55解三角形與其他知識的綜合運用（精講）（原卷版）

5.5解三角形與其他知識的綜合運用（精講）一．仰角和俯角在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方叫仰角，目標視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).二．方位角從正北方向起按順時針轉到目標方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點的方位角為α(如圖2).三．方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等.四.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.考法一解三角形在實際生活中的運用【例11】（2023·河北·模擬預測）釋迦塔俗稱應縣木塔，建于公元1056年，是世界上現(xiàn)存最古老最高大之木塔，與意大利比薩斜塔、巴黎埃菲爾鐵塔并稱“世界三大奇塔”.2016年、釋迦塔被吉尼斯世界紀錄認定為世界最高的木塔.小張為測量木塔的高度，設計了如下方案：在木塔所在地面上取一點，并垂直豎立一高度為的標桿，從點處測得木塔頂端的仰角為60°，再沿方向前進到達點，并垂直豎立一高度為的標桿，再沿方向前進到達點處，此時恰好發(fā)現(xiàn)點，在一條直線上.若小張眼睛到地面的距離，則小張用此法測得的釋迦塔的高度約為（參考數據：）（

）A． B． C． D．【例12】（2023·河南鄭州·洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）如圖，某景區(qū)為方便游客，計劃在兩個山頭M，N間架設一條索道．為測量M，N間的距離，施工單位測得以下數據：兩個山頭的海拔高度，在BC同一水平面上選一點A，測得M點的仰角為，N點的人仰角為，以及，

則M，N間的距離為（

）

A． B．120m C． D．200m【一隅三反】1．（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學校聯(lián)考階段練習）如圖所示，某學生社團在公園內測量某建筑的高度，為該建筑頂部.在處測得仰角，當沿一固定方向前進60米到達處時測得仰角，再繼續(xù)前進30米到達處時測得仰角，已知該建筑底部A和、、在同一水平面上，則該建筑高度為（

）

A． B． C．45 D．902．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）圣·索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風格的東正教教堂，被列為第四批全國重點文物保護單位，其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領略它的美.如圖，小明為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點（三點共線）處測得樓頂，教堂頂的仰角分別是和，在樓頂處測得塔頂的仰角為，則小明估算索菲亞教堂的高度約為(取)（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江·高三專題練習）喜來登月亮酒店是浙江省湖州市地標性建筑，某學生為測量其高度，在遠處選取了與該建筑物的底端在同一水平面內的兩個測量基點與，現(xiàn)測得，，米，在點處測得酒店頂端的仰角，則酒店的高度約是（

）（參考數據：，，）A．91米 B．101米 C．111米 D．121米考法二解三角形與平面向量的綜合【例2】（2023·全國·高三專題練習）在中，角A，B，C對應邊分別為a，b，c，已知三個向量，，共線，則形狀為（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【一隅三反】1．（2023·上海普陀·曹楊二中校考模擬預測）已知點為的外心，且，則為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定2．（2022·廣東廣州·三模）已知的內角，，所對的邊分別為，，，向量，，.(1)若，，為邊的中點，求中線的長度；(2)若為邊上一點，且，，求的最小值.考法三解三角形與三角函數性質綜合【例3】（2023春·上海黃浦·高三格致中學?？茧A段練習）已知函數.(1)求函數的單調遞減區(qū)間；(2)在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，求的取值范圍.【一隅三反】1．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知，，（1）求的最小正周期及單調遞減區(qū)間；（2）已知銳角的內角的對邊分別為，且，，求邊上的高的最大值．2．（2023·全國·高一專題練習）已知向量，，函數.（1）求函數的零點；（2）若鈍角的三內角的對邊分別是，，，且，求的取值范圍.3．（2023·安徽）已知函數，將的圖象橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變，再向左平移個單位后得到的圖象，且在區(qū)間內的最大值為.（1）求的值；（2）在銳角中，若，求的取值范圍.考法四解三角形與各種心的綜合【例4】（2022·廣東·模擬預測）的內角的對邊分別為，且.從下列①②③這三個條件中選擇一個補充在橫線處，并作答.①為的內心；②為的外心；③為的重心.(1)求；(2)若，__________，求的面積.注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.【一隅三反】1.（2022·湖北省仙桃中學模擬預測）如圖，在△ABC中，已知，，，BC邊上的中線AM與的角平分線相交于點P．(1)的余弦值．(2)求四邊形的面積.2．（2022·廣東廣州·三模）在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答.問題：已知中，分別為角所對的邊，__________.(1)求角的大小；(2)已知，若邊上的兩