專題38函數(shù)與方程（知識點講解）-2023年高考數(shù)學一輪復(fù)習知識點講解真題測試（新教材新高考）

專題3.8函數(shù)與方程（知識點講解）【知識框架】【核心素養(yǎng)】1.與不等式、方程等問題結(jié)合，考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，凸顯數(shù)學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．2．通過判斷具體函數(shù)零點的個數(shù)或零點所在區(qū)間，凸顯數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．3．通過函數(shù)零點或方程根的存在情況求參數(shù)的取值范圍，凸顯直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．．【知識點展示】1．函數(shù)的零點(1)定義：對于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．(2)幾何意義：函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標就是函數(shù)y＝f(x)的零點．(3)結(jié)論：方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點2．函數(shù)零點的判定定理條件結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上y＝f(x)在(a，b)內(nèi)有零點(1)圖象是連續(xù)不斷的曲線(2)f(a)f(b)＜03.二分法的定義對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．4.判斷函數(shù)y＝f(x)是否存在零點的方法：(1)方程法：判斷方程f(x)＝0是否有實數(shù)解．(2)圖象法：判斷函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸是否有交點．(3)定理法：利用零點的判定定理來判斷．5.有關(guān)函數(shù)零點的三個結(jié)論(1)若y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷，且有f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)一定有零點．(2)f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點的充分不必要條件．(3)若函數(shù)f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，且f(x)的圖象連續(xù)不斷，則f(a)·f(b)<0?函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上只有一個零點．【常考題型剖析】題型一求函數(shù)的零點例1.（2014·湖北·高考真題（文））已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則函數(shù)的零點的集合為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，當時，，所以，所以，由，解得或；由解得或（舍去），所以函數(shù)的零點的集合為.故選：D.例2．（2009·山東·高考真題（理））已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù),若方程在區(qū)間上有四個不同的根，則【答案】【解析】【分析】說明函數(shù)是周期為8的函數(shù)，求出其對稱軸，畫出函數(shù)的大致圖像，根據(jù)圖像判斷即可.【詳解】解：定義在R上的奇函數(shù)，所以，，又，所以，8是函數(shù)的一個周期，所以，所以是函數(shù)的一條對稱軸，函數(shù)的對稱軸是，根據(jù)以上性質(zhì)畫出函數(shù)的大致圖像:有圖像知，，所以，故答案為：【規(guī)律方法】1.正確理解函數(shù)的零點：(1)函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當自變量取該值時，其函數(shù)值等于零．(2)根據(jù)函數(shù)零點定義可知，函數(shù)f(x)的零點就是f(x)＝0的根，因此判斷一個函數(shù)是否有零點，有幾個零點，就是判斷方程f(x)＝0是否有實根，有幾個實根．即函數(shù)y＝f(x)的零點?方程f(x)＝0的實根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標．2．函數(shù)零點的求法：(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實數(shù)根．(2)幾何法：與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數(shù)的零點．,題型二：判斷零點所在的區(qū)間例3．（2014·北京·高考真題（文））已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點的區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】因為，，所以由根的存在性定理可知：選C.例4．（2022·安徽·蚌埠二中模擬預(yù)測（理））已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)函數(shù)，易知在上遞增，由零點存在定理可知．，設(shè)函數(shù)，由零點存在定理可知，，設(shè)函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性可知，，即可得出答案.【詳解】設(shè)函數(shù)，易知在上遞增，，，即，由零點存在定理可知．；設(shè)函數(shù)，易知在上遞增，，，即，由零點存在定理可知，；設(shè)函數(shù)，易知在上遞減，，，因為，由函數(shù)單調(diào)性可知，，即.故選:A．例5．（2011·山東·高考真題（理））已知函數(shù)，且．當時，函數(shù)的零點，，則__________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：設(shè)函數(shù)，根據(jù)，對于函數(shù)在時，一定得到一個值小于1，在同一坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象，判斷兩個函數(shù)的圖形的交點在（2，3）之間，∴函數(shù)f（x）的零點時，.【規(guī)律方法】判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法：一般而言判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法是將區(qū)間端點代入函數(shù)求出函數(shù)的值，進行符號判斷即可得出結(jié)論．此類問題的難點往往是函數(shù)值符號的判斷，可運用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進行判斷．題型三：函數(shù)零點個數(shù)的判斷例6．（2013·天津·高考真題（理））的零點個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】由題得，在同一坐標系下，作出函數(shù)的圖象，即得解.【詳解】令，在同一坐標系下，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由于的圖象有兩個交點，所以的零點個數(shù)為2,故選：B例7．（2014·福建·高考真題（文））函數(shù)的零點個數(shù)是_____.【答案】【解析】【詳解】試題分析：令得，，只有符合題意；令得，，在同一坐標系內(nèi)，畫出的圖象，觀察知交點有，所以零點個數(shù)是.例8．（2022·新疆·三模（理））函數(shù)的零點個數(shù)為___________.【答案】2【解析】【分析】當時，令，直接解出零點即可；當時，先判斷單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理即可判斷.【詳解】當時，令，解得，，此時有1個零點；當時，，顯然單調(diào)遞增，又，由零點存在定理知此時有1個零點；綜上共有2個零點.故答案為：2.例9．（2017·江蘇·高考真題）設(shè)是定義在R且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上，其中集合，則方程的解的個數(shù)是____________【答案】8【解析】【詳解】由于，則需考慮的情況，在此范圍內(nèi)，且時，設(shè)，且互質(zhì)，若，則由，可設(shè)，且互質(zhì)，因此，則，此時左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾，因此，因此不可能與每個周期內(nèi)對應(yīng)的部分相等，只需考慮與每個周期的部分的交點，畫出函數(shù)圖象，圖中交點除外其他交點橫坐標均為無理數(shù)，屬于每個周期的部分，且處，則在附近僅有一個交點，因此方程的解的個數(shù)為8．【規(guī)律方法】判斷函數(shù)零點個數(shù)的主要方法：(1)利用方程根，轉(zhuǎn)化為解方程，有幾個根就有幾個零點．(2)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點個數(shù)，從而判定零點的個數(shù)．(3)結(jié)合單調(diào)性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零點的個數(shù)．(4)轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖象的交點問題．題型四：根據(jù)零點情況求參數(shù)范圍例10.函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1在區(qū)間上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C．D．【答案】D【解析】由題意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝在上有解，設(shè)t＝，x∈，則t的取值范圍是，所以實數(shù)a的取值范圍是.例11.（2021·天津·高考真題）設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由最多有2個根，可得至少有4個根，分別討論當和時兩個函數(shù)零點個數(shù)情況，再結(jié)合考慮即可得出.【詳解】最多有2個根，所以至少有4個根，由可得，由可得，（1）時，當時，有4個零點，即；當，有5個零點，即；當，有6個零點，即；（2）當時，，，當時，，無零點；當時，，有1個零點；當時，令，則，此時有2個零點；所以若時，有1個零點.綜上，要使在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點，則應(yīng)滿足或或，則可解得a的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是分成和兩種情況分別討論兩個函數(shù)的零點個數(shù)情況.例12．（2020·天津·高考真題）已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由，結(jié)合已知，將問題轉(zhuǎn)化為與有個不同交點，分三種情況，數(shù)形結(jié)合討論即可得到答案.【詳解】注意到，所以要使恰有4個零點，只需方程恰有3個實根即可，令，即與的圖象有個不同交點.因為，當時，此時，如圖1，與有個不同交點，不滿足題意；當時，如圖2，此時與恒有個不同交點，滿足題意；當時，如圖3，當與相切時，聯(lián)立方程得，令得，解得（負值舍去），所以.綜上，的取值范圍為.故選：D.

例13．（2018·天津·高考真題（理））已知，函數(shù)若關(guān)于的方程恰有2個互異的實數(shù)解，則的取值范圍是______________.【答案】【解析】【詳解】分析：由題意分類討論和兩種情況，然后繪制函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合即可求得最終結(jié)果.詳解：分類討論：當時，方程即，整理可得：，很明顯不是方程的實數(shù)解，則，當時，方程即，整理可得：，很明顯不是方程的實數(shù)解，則，令，其中，原問題等價于函數(shù)與函數(shù)有兩個不同的交點，求的取值范圍.結(jié)合對勾函數(shù)和函數(shù)圖象平移的規(guī)律繪制函數(shù)的圖象，同時繪制函數(shù)的圖象如圖所示，考查臨界條件，結(jié)合觀察可得，實數(shù)的取值范圍是.點睛：本題的核心在考查函數(shù)的零點問題，函數(shù)零點的求解與判斷方法包括：(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．例14．（2022·上?！の挥袑W模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上存在零點，且，則的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】就、分類討論，求解時利用不等式組表示的平面上的點的集合來求范圍.【詳解】，因為，所以，若即，由零點存在定理可得在上存在零點，考慮不等式組即在坐標平面上所表示的點的集合，因為表示直線及直線下方所有的點，同理表示直線與直線圍成的所有點（包含邊界，如圖所示），由可得，，由圖可得.若，因為在上存在零點，故即①，同理可得在坐標平面中①所表示的點的集合如圖所示：由可得或（舍），由可得，結(jié)合圖形可得，綜上，故答案為：【規(guī)律方法】1.已知函數(shù)的零點個數(shù)，一般利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，這時圖形一定要準確，這種數(shù)形結(jié)合的方法能夠幫助我們直觀解題．2.已知函數(shù)有零點(方程有根)，求參數(shù)的值或取值范圍的方法題型五：嵌套函數(shù)零點問題例15.【多選題】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且.若函數(shù)有3個零點，則a的取值可能為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】BC【解析】【分析】設(shè)，則求出值，可得，由分離參數(shù)，結(jié)合圖象即可求解．【詳解】因為為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，所以存在唯一的，使得，則，，即，因為函數(shù)為增函數(shù)，且，所以，.當時，由，得；當時，由，得.結(jié)合函數(shù)的圖象可知，若有3個零點，則．故選：BC例16.已知函數(shù)，則函數(shù)F(x)＝f(f(x))－2f(x)－的零點個數(shù)是()A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】令f(x)＝t，則函數(shù)F(x)可化為y＝f(t)－2t－，則函數(shù)F(x)的零點問題可轉(zhuǎn)化為方程f(t)－2t－＝0的根的問題．令y＝f(t)－2t－＝0，則f(t)＝2t＋.分別作出y＝f(t)和y＝2t＋的圖象，如圖①，由圖象可得有兩個交點，橫坐標設(shè)為t1，t2(不妨設(shè)t1＜t2)，則t1＝0,1＜t2＜2；由圖②，結(jié)合圖象，當f(x)＝0時，有一解，即x＝2；當f(x)＝t2時，結(jié)合圖象，有3個解．所以y＝f[f(x)]－2f(x)－共有4個零