專題07橢圓大題12種題型總結(jié)-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試好題匯編(人教A版2019選擇性)(原卷版)

專題07橢圓大題12種題型總結(jié)知識點一：韋達定理基礎(chǔ)應(yīng)用型1.題型特征：一線一曲兩個交點2.計算特征：（1）設(shè)直線時，是否需要討論斜率存在否（2）聯(lián)立方程式，根據(jù)題意確定消x還是消y（3）轉(zhuǎn)化條件為韋達定理型，講清楚代入韋達定理時的各種運算過程。1.（天津市天津中學(xué)20202021學(xué)年高二上學(xué)期期中）設(shè)橢圓的左焦點為，離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓的下頂點，為橢圓的上頂點，過點且斜率為的直線與橢圓交于，兩點.若，求的值.2.（重慶市巴蜀中學(xué)20202021學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C：的離心率為，且過點．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓C交于M、N兩點，O為坐標(biāo)原點，若點E滿足，且點E在橢圓C上，求實數(shù)t的值．3．（重慶市第一中學(xué)20202021學(xué)年高二期中數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的離心率為，且過點，過的直線與橢圓交于兩點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若以為直徑的圓過橢圓右焦點，求直線的方程.知識點二：中點型中點型直接法就是韋達定理應(yīng)用。講授點差法時一定要講清楚這個方法的限制和“增根”適當(dāng)?shù)囊攵壗Y(jié)論：中點弦1.（河北省石家莊市第二中學(xué)20202021學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知橢圓經(jīng)過點，其左焦點的坐標(biāo)為.過的直線交橢圓于A，B兩點.（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)線段AB的中點的橫坐標(biāo)為時，求直線AB的方程.2.（四川省瀘州市敘永縣敘永縣第一中學(xué)校20192020學(xué)年高二期中）已知橢圓的離心率為，其中左焦點．（1）求橢圓的方程．（2）若直線與橢圓交于不同的兩點，，且線段的中點在圓上，求的值．知識點三：弦長基礎(chǔ)講透徹這三種弦長公式并推導(dǎo)1.（甘肅省永昌縣第一高級中學(xué)20202021學(xué)年高二期中）設(shè)橢圓過點，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過點且斜率為的直線交橢圓于、兩點，求弦的中點坐標(biāo)及．2.（安徽省合肥藝術(shù)中學(xué)20202021學(xué)年高二期中）已知橢圓C：的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為2.（1）橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l：交橢圓C于A，B兩點，且，求m的值.3.（四川省遂寧市射洪中學(xué)校20202021學(xué)年高二上學(xué)期期中）已知橢圓中心在原點，焦點在軸上，其長軸長為焦距的2倍，且過點，為其左焦點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過左焦點的直線與橢圓交于，兩點，當(dāng)時，求直線的方程．知識點四：弦長最值1、建立弦長的“函數(shù)式”2、以一元二次為住的最值，注意變量取值范圍1.（山東省菏澤市20202021學(xué)年高二（上）期中數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的焦點在軸上，左頂點為，離心率為（1）求橢圓的方程；（2）斜率為1的直線與橢圓相交于，兩點，求的最大值.2.（四川省遂寧市射洪縣射洪中學(xué)校20192020學(xué)年高二期中）已知橢圓：的離心率為，焦距為.直線與橢圓有兩個不同的交點.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線方程為，先用表示，然后求其最大值.知識點五：面積基礎(chǔ)圓錐曲線中求面積常規(guī)類型（1）(2)三角形橫過數(shù)軸上的定線段，可分為左右或者上下面積，轉(zhuǎn)化為1.(浙江省寧波市北侖中學(xué)20202021學(xué)年高二上學(xué)期期中已知橢圓的一個頂點坐標(biāo)為，離心率為，直線交橢圓于不同的兩點．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點，當(dāng)邊的面積為時，求實數(shù)的值．2.(云南省曲靖市羅平縣第二中學(xué)20192020學(xué)年高二期中)已知橢圓的焦距是，長軸長是4.（1）橢圓的方程；（2）過點作斜率為的直線交橢圓于兩點，是橢圓的右焦點，求的面積.3.(福建省福州第三中學(xué)20202021學(xué)年高二期中)已知橢圓的離心率為，且過點．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓E交于兩點，G為橢圓E上的點，且滿足，求證：四邊形的面積為定值．知識點六：面積最值總結(jié)出各類型“函數(shù)式”最值規(guī)律：分式型：分子分母各自一次和二次的多種組合一元二次型：注意自變量取值范圍高次型：整體換元或者求導(dǎo)1.(云南省水富縣云天化中學(xué)20202021學(xué)年高二期中)已知橢圓的離心率為，短軸長為2．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，，求當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時的值．2.(浙江省金華市第一中學(xué)20202021學(xué)年高二上學(xué)期期中)已知點P是圓上的動點，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，點M在線段DP的延長線上，且．（1）求點M的軌跡方程；（2）若直線l：與x軸、y軸分別交于點A、B兩點，求△ABM面積的最小值．3.(河北省張家口市第一中學(xué)（銜接班）20202021學(xué)年高二期中)已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，過的直線與橢圓交于，兩點，若的周長為8.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓上的動點，過原點作直線與橢圓分別交于點、（點不在直線上），求面積的最大值.知識點七：最值與范圍注意變量的范圍。式子轉(zhuǎn)化為求值域或者求最值的專題復(fù)習(xí)1.（江西省湘東中學(xué)2019~2020學(xué)年度高二期中）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且經(jīng)過點，直線交橢圓于不同的兩點A，B．（1）求橢圓的方程；（2）求的取值范圍．2.（廣西岑溪市20202021學(xué)年高二期中）已知橢圓的離心率為，短軸一個端點到右焦點F的距離為2．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線與橢圓C相交于A，B不同兩點，且（O為坐標(biāo)原點），求m的取值范圍．3.（四川省內(nèi)江市內(nèi)江市第六中學(xué)20202021學(xué)年高二期中）已知橢圓的長軸長等于拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離，的離心率是方程的一個實數(shù)根.（1）求橢圓的方程；（2）若，分別是橢圓的左?右焦點，是橢圓上的一點.求的取值范圍.知識點八：斜率基礎(chǔ)型1.類型1，斜率轉(zhuǎn)化為韋達定理形式2.類型2，借助點在橢圓上構(gòu)造消去結(jié)構(gòu)。1.（安徽省合肥市肥東縣第二中學(xué)20192020學(xué)年高二（共建班））已知直線經(jīng)過橢圓的左頂點A和上頂點D，設(shè)橢圓C的右頂點為B.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率e的值；（2）設(shè)點S是橢圓上位于x軸上方的動點，求證：直線AS與BS的斜率的乘積為定值．2.（福建省莆田第十五中學(xué)2020屆高二上學(xué)期期中）已知橢圓：，該橢圓經(jīng)過點，且離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)是圓上任意一點，由引橢圓的兩條切線，，當(dāng)兩條切線的斜率都存在時，證明：兩條切線斜率的積為定值.知識點九：定點型直線過定點：1、直線多為y=kx+m型2.目標(biāo)多為求：m=f（k）其余曲線如圓過定點，可參考后邊“優(yōu)選提升題”例題2做配套輔助講授。1.（湖北省荊州市沙市五中20202021學(xué)年高二期中）已知橢圓：的離心率為，拋物線：的準(zhǔn)線被橢圓截得的線段長為.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，點，分別是橢圓的左頂點、左焦點直線與橢圓交于不同的兩點，（，都在x軸上方）.且.直線是否恒過定點？若是，求出該定點的坐標(biāo)；若否，說明之.2.（吉林省長春市十一高中20202021學(xué)年高二期中）已知橢圓的長軸長為，且經(jīng)過點.（1）求C的方程；（2）過點斜率互為相反數(shù)的兩條直線，分別交橢圓C于A，B兩點（A，B在x軸同一側(cè)）.求證：直線過定點，并求定點的坐標(biāo).知識點十：定值型定值題型對化簡要求較高，規(guī)律不容易總結(jié)，學(xué)習(xí)程度較好的學(xué)生，可以適當(dāng)補充適量的練習(xí)題做基礎(chǔ)訓(xùn)練。定直線題型，可參考后邊“優(yōu)選提升題”例題3做配套輔助講授。1.（江西省南昌市新建區(qū)第一中學(xué)20202021學(xué)年高二期中）已知橢圓（）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓的左焦點，直線，為橢圓上任意一點，若點到的距離為，點到的距離為，求證：為定值.2.（四川省成都市第七中學(xué)20202021學(xué)年高二期中）已知橢圓經(jīng)過點，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左頂點為，直線與橢圓交于，兩點，求證：不論取何值，的大小為定值.3.（海南省北京師范大學(xué)萬寧附中20202021學(xué)年高二期中）已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率e＝，且由橢圓上頂點、右焦點及坐標(biāo)原點構(gòu)成的三角形面積為2．(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)已知P(0，2)，過點Q(﹣1，﹣2)作直線l交橢圓C于A、B兩點(異于P)，直線PA、PB的斜率分別為k1、k2．試問k1+k2是否為定值？若是，請求出此定值，若不是，請說明理由．知識點十一：定比分點型題型特征：1.過定點直線和曲線倆交點2.三個點之間存在著向量線性定值關(guān)系計算規(guī)律：1.坐標(biāo)運算，如例題12.韋達定理比值代換，如例題21.(福建省廈門市湖濱中學(xué)2021屆高二上學(xué)期期中）已知橢圓C：（）的短軸長和焦距相等，左、右焦點分別為、，點滿足：.已知直線l與橢圓C相交于A，B兩點.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l過點，且，求直線l的方程；2.（河北省唐山市201920120學(xué)年度高二年級期中考試）設(shè)動點M(x,y)到直線y=3的距離與它到點F(0,1)的距離之比為，點M的軌跡為曲線E.（I）求曲線E的方程：（II）過點F作直線l與曲線E交于A,B兩點，且．當(dāng)3時，求直線l斜率k的取值范圍·知識點十二：非韋達定理型題型特征：1.可能不具有“一直一曲倆交點”特征2.化簡和計算，要充分利用“點在曲線上”這個條件。1.（江蘇省鹽城市東臺中學(xué)20202021學(xué)年高二上學(xué)期期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦點在軸上，、分別是左、右焦點，為上頂點，為線段的中點.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求實數(shù)的值.2.（廣東省清遠市陽山縣陽山中學(xué)20192020學(xué)年高二上學(xué)期期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線上異于坐標(biāo)原點Ｏ的兩不同動點Ａ、Ｂ滿足（如圖４所示）．（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程；（Ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．xyxyOAB1.（浙江省金華市第一中學(xué)20202021學(xué)年高二上學(xué)期期中）已知橢圓C：的離心率，且過點．（1）求橢圓C的方程；（2）A、B分別是橢圓C的左頂點和上頂點，P是線段AB上的點，直線交橢圓C于M，N兩點．若是斜邊長為的直角三角形，求直線MN的方程．2.（河北省實驗中學(xué)2021屆高二上學(xué)期期中）過橢圓右焦點的直線交橢圓于A，兩點，為其左焦點，已知的周長為8，橢圓的離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，，且？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．3.（重慶市第一中學(xué)20202021學(xué)年高二上學(xué)期期中（半期））如圖，橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為A，過點A與垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點Q，且恰是的中點，若過A，Q，三點的圓與直線相切．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N為橢圓C的長軸兩端點，直線m過點交C于不同兩點G，H，證明：四邊形MNHG的對角線交點在定直線上，并求出定直線方程．4.（湖北省黃岡市黃梅國際育才高級中學(xué)20202021學(xué)年高二期中）已知橢圓：，直線l：過橢圓的左焦點F，與橢圓在第一象限交于點M，三角形的面積為，A、B分別為橢圓的上下頂點，P、Q是橢圓上的兩個不同的動點（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線的斜率為，直線的斜率為，若，問直線是否過定點，若過定點，求出定點；否則說明理由.5.（湖北省黃岡市黃梅國際育才高級中學(xué)20202021學(xué)年高二期中）已知橢圓的焦距為，連接其四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積為.（1）求橢圓C的方程；（2）若直線交C于兩點，直線與的斜率互為相反數(shù)，證明：過定點.江西省上饒市橫峰中學(xué)20202021學(xué)年高二期中考試數(shù)學(xué)（文）試題6.（湖北省黃岡市黃梅國際育才高級中學(xué)20202021學(xué)年高二期中）已知橢圓的離心率是，橢圓C過點.（1）求橢圓的方程；（2）已知是橢圓的左、右焦點，過點的直線l（不過坐標(biāo)原點）與橢圓交于兩點，求的取值范圍.黑龍江省綏化市第一中學(xué)20202021學(xué)年高二期中考試數(shù)學(xué)（文）試題7.（江西省南昌市八一中學(xué)、洪都中學(xué)等七校20202021學(xué)年高二期中）橢圓與橢圓有共同的焦點，且橢圓的離心率，點分別為橢圓的左頂點和右焦點，直線過點且交橢圓于兩點，設(shè)直線的斜率分別為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）是否存在直線，使得，若存在，求出直線方程;不存在，說明理由.8（日喀則市第二高級中學(xué)2021屆高二期中）已知橢圓的右焦點為，離心率，是橢圓上的動點.（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與的斜率乘積，動點滿足，（其中實數(shù)為常數(shù)）.問是否存在兩個定點，使得？若存在，求的坐標(biāo)及的值；若不存在，說明理由.9.（廣東省湛江市徐聞縣第一中學(xué)20202021學(xué)年高二期中）已知橢圓：（）的離心率為，的長軸是圓：的直徑.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的左焦點作兩條相互垂直的直線，，其中交橢圓于，兩點，交圓于，兩點，求四邊形面積的最小值.10.（云南省玉溪第一中學(xué)20202021學(xué)年高二期中）已知平面內(nèi)的兩個定點，，，平面內(nèi)的動點滿足.記的軌跡為曲線.（1）請建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求的方程；（2）過做直線交曲線于，兩點，若點是線段的中點，點滿足，求面積的最大值，并求出此時直線的方程.11.（江西省贛縣第三中學(xué)20202021學(xué)年高二期中）橢圓：（）的離心率為，其左焦點到點的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線：與橢圓相交于，兩點（，不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點.求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo).12.（江蘇省無錫市江陰市四校20202021學(xué)年高二上學(xué)期期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率左頂點為，過點作斜率為的直線交橢圓于點，交