從一道學考代數(shù)壓軸題的一題多解談代數(shù)思想

從云南省統(tǒng)一命制的2021、2022、2023年初中學業(yè)水平考試（以下簡稱“學考”）數(shù)學試卷最后一題，我們可以看出命題人對2022年版《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》（以下簡稱“新課標”）的準確把握.新課標雖然是在2022年才正式出版，但在云南省2021年的中考命題中就有對新課標理念的滲透.黨的十八大、十九大明確提出教育要落實立德樹人的根本任務(wù)，于是2014年教育部提出通過核心素養(yǎng)落實育人目標，同時對高中課標提出明確要求.新課標改編的基本原則一個是增強幾何直觀，另一個就是增加代數(shù)推理.從這個角度看，我們也就不難理解為什么云南省連續(xù)三年的數(shù)學學考壓軸題都是代數(shù)題.代數(shù)思想在初中數(shù)學階段的教學中被廣泛應(yīng)用，并且已被證明是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分.初中數(shù)學是學生進一步探索數(shù)學世界的重要階段，而代數(shù)思想對于學生在這個階段的數(shù)學學習和發(fā)展至關(guān)重要.在數(shù)學教學中，代數(shù)思想是用符號代替實際數(shù)值進行計算和解決問題的能力，不僅可以幫助學生更好地理解數(shù)學概念，同時也可以為學生提供解決各種實際問題的工具.基于以上分析，筆者嘗試以2023年云南省學考代數(shù)壓軸題第24題為載體，分析代數(shù)思想在培養(yǎng)學生邏輯思維能力和解決問題能力上的不可替代性，幫助學生更好地面對未來的職業(yè)和生活挑戰(zhàn)，也希望能引起廣大教師的關(guān)注，在初中階段就注重培養(yǎng)學生的代數(shù)思維能力，讓學生會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.一、試題的呈現(xiàn)與解法賞析題目：數(shù)和形是數(shù)學研究客觀物體的兩個方面，數(shù)（代數(shù)）側(cè)重研究物體數(shù)量方面，具有精確性;形（幾何）側(cè)重研究物體形的方面，具有直觀性.數(shù)和形相互聯(lián)系，可用數(shù)來反映空間形式，也可用形來說明數(shù)量關(guān)系.數(shù)形結(jié)合就是把兩者結(jié)合起來考慮問題，充分利用代數(shù)、幾何各自的優(yōu)勢，數(shù)形互化，共同解決問題.同學們，請你結(jié)合所學的數(shù)學解決下列問題.在平面直角坐標系中，若點的橫坐標、縱坐標都為整數(shù)，則稱這樣的點為整點.設(shè)函數(shù)y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4（實數(shù)a為常數(shù)）的圖象為圖象T.（1）求證：無論a取什么實數(shù)，圖象T與x軸總有公共點;（2）是否存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點中有整點？若存在，求所有整數(shù)a的值;若不存在，請說明理由.題目的第（1）問，主要考查學生代數(shù)表達能力和代數(shù)計算能力.特別是當a≠-時，如果想確定函數(shù)與x軸的交點個數(shù)，就需要判斷△的正負.但在y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4這個函數(shù)中含有參數(shù)a，并不能直接算出△的正負.所以我們可以嘗試用含a的式子表示△，當?shù)贸觥?100a2-140a+49后，需要進一步運用代數(shù)運算將其化為完全平方式△=（10a-7）2，進而判斷△的正負.題目的第（2）問涉及一題多解，具體的解題方法如下：解法一：公式法解：當a=-時，不符合題意.當a≠-時，對于函數(shù)y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，令y=0，則有（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4=0.由（1）可知△=（10a-7）2，由求根公式可得x=，∴x1=-，x2=，∵x2==2-，∵x2是整數(shù)，a是整數(shù)，∴|2a+1|是6的約數(shù)，∴2a+1=±1或2a+1=±3，∴a=0或a=-1或a=1或a=-2.綜上所述，存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點中有整點且a的值為-2，-1，0，1.解法分析：該解法的優(yōu)點是緊扣第一小問的思路，因為第一問已經(jīng)求出了△，而且△剛好可以開方，于是直接利用求根公式就可以得到x1=-，x2=.當用含a的式子表示出x的值后，我們再根據(jù)x是整數(shù)這個條件建立方程即可.解法二：配方法解：當a=-時，不符合題意.當a≠-時，對于函數(shù)y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，令y=0，則有（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4=0.∴x2+x+=0，∴x2+x=-，∴x2+x+

=-+

，∴

=，∴x+=±，∴x+=±，∴x=±-，∴x=，∴x1=-，x2=，∵x2==2-，∵x2是整數(shù)，a是整數(shù)，∴|2a+1|是6的約數(shù)，∴2a+1=±1或2a+1=±3，∴a=0或a=-1或a=1或a=-2.綜上所述，存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點中有整點且a的值為-2，-1，0，1.解法分析：該方法主要解題思路和方法一差不多，考查學生代數(shù)表達能力，先用含a的式子表示出x，然后建立關(guān)于a的方程.兩種解法的主要區(qū)別在于求x采用了不同的方法，解法二運用了平時訓(xùn)練比較多的配方法，這種方法雖然有點雞肋，但重在突出一元二次方程解法的通法.解法三：十字分解法解：當a=-時，不符合題意.當a≠-時，對于函數(shù)y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，令y=0，則有（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4=0.∴（2x+1）[（2a+1）x-4a+4]=0，∴（2x+1）=0或（2a+1）x-4a+4=0，∴x1=-，x2=∵x2==2-，∵x2是整數(shù)，a是整數(shù)，∴|2a+1|是6的約數(shù)，∴2a+1=±1或2a+1=±3，∴a=0或a=-1或a=1或a=-2.綜上所述，存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點中有整點且a的值為-2，-1，0，1.解法分析：該方法技巧性比較強，對學生數(shù)學觀察能力要求比較高，優(yōu)點在于計算量比較小.解法四：分離參數(shù)法解：當a=-時，不符合題意.當a≠-時，∵y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，∴y=4ax2-6ax-4a+2x2+9x+4，∴y=2a（x2-3x-2）+（2x2+9x+4），∴y=2a（2x+1）（x-2）+（2x+1）（x+4），∴y=（2x+1）（2ax+x-4ax+4），∴當2x+1=0時，y=0，∴該函數(shù)橫過點（-，0），∴x1=-.∵y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=.又∵x1=-∴x2=+==2-，∵x2是整數(shù)，a是整數(shù)，∴|2a+1|是6的約數(shù)，∴2a+1=±1或2a+1=±3，∴a=0或a=-1或a=1或a=-2.綜上所述，存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點中有整點且a的值為-2，-1，0，1.解題分析：該方法需要學生對含參數(shù)函數(shù)有比較深刻的理解.通過分離參數(shù)的方法，我們可以得到含參數(shù)的函數(shù)恒過的定點，從而得到x1，再由根與系數(shù)的關(guān)系求出x2.解法五：轉(zhuǎn)換法解：當=-時，不符合題意.當a≠-時，∵y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，∴y=4ax2-6ax-4a+2x2+9x+4，∴y=2a（2x2-3x-2）+（2x2+9x+4），可以將上述函數(shù)看成是y關(guān)于a的函數(shù)，∴聯(lián)立2x2-3x-2=02x2+9x+4=0，解得[y=0][x=-].∴該函數(shù)恒過點（-，0），∴x1=-.∵y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=.又∵x1=-∴x2=+==2-，∵x2是整數(shù)，a是整數(shù)，∴|2a+1|是6的約數(shù)，∴2a+1=±1或2a+1=±3，∴a=0或a=-1或a=1或a=-2.綜上所述，存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點中有整點且a的值為-2，-1，0，1.解法分析：該方法將關(guān)于x的二次函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于a的一次函數(shù)進行研究，降低了函數(shù)研究難度，更容易確定參數(shù)函數(shù)的定點.本題旨在測試學生的數(shù)學能力，主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的基本性質(zhì)，以及它們與一元二次方程的關(guān)系.對于此類題目，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，了解二次函數(shù)的性質(zhì)對于解題非常關(guān)鍵.然而，學生僅僅掌握知識是不夠的.需要通過思維的方式去理解這類問題，才能真正觸類旁通，進而解決更復(fù)雜的問題.在解決這些問題時，我們需要不斷地運用代數(shù)思想，即代數(shù)表達和代數(shù)計算，包括將數(shù)學概念轉(zhuǎn)化為符號和表達式，進行代數(shù)計算，推導(dǎo)出解法.通過實際練習，學生可以不斷地提高自己的代數(shù)思維能力，從而更好地應(yīng)對數(shù)學問題.因此，學生在備考數(shù)學時，需要在不斷掌握知識的基礎(chǔ)上，注重思維能力的訓(xùn)練和提高.二、代數(shù)思想的重要性初中階段正是學生開始接觸代數(shù)，掌握最基本的代數(shù)思想的時候，在這個階段打好代數(shù)基礎(chǔ)顯得格外重要.代數(shù)思想作為一種用符號表示一般數(shù)量和關(guān)系的數(shù)學思想（如例題中，通過代數(shù)計算成功用含a的代數(shù)式表示出了x2的值，x2=2-這個式子也反映了x與a之間的一般關(guān)系），具有抽象和普遍性的特點，并一直被認為是數(shù)學領(lǐng)域中最基本的思想之一.代數(shù)思想又分為代數(shù)表達和代數(shù)計算兩部分：代數(shù)表達是指用字母和符號表示數(shù)學問題中的未知數(shù)和關(guān)系;代數(shù)計算是指在代數(shù)表達的基礎(chǔ)上，通過運算發(fā)現(xiàn)未知數(shù)或確定變量之間的關(guān)系.代數(shù)思想是數(shù)學中非常重要的一個概念，它通過各種符號和符號規(guī)則的運用，幫助學生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學概念.代數(shù)思想與數(shù)學核心素養(yǎng)密不可分，代數(shù)思想是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分.初中階段打好代數(shù)基礎(chǔ)，掌握代數(shù)思想的應(yīng)用方法，可以培養(yǎng)出批判性、邏輯性、創(chuàng)新性等一系列數(shù)學素養(yǎng)，進而提高數(shù)學核心素養(yǎng).代數(shù)思維與數(shù)學核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)主要體現(xiàn)在以下幾方面：（1）數(shù)學思維素養(yǎng).代數(shù)思想在數(shù)學學科中廣泛應(yīng)用，可以幫助學生學習和運用正確的數(shù)學思維方法.在掌握代數(shù)思想的過程中，學生還會逐漸培養(yǎng)出批判性、邏輯性、創(chuàng)新性等一系列數(shù)學思維素養(yǎng).（2）數(shù)學方法素養(yǎng).代數(shù)思想在解決數(shù)學問題時起到了重要的引導(dǎo)作用，學生可以通過代數(shù)方法來解決一些實際問題.代數(shù)思想雖然抽象難懂，但在數(shù)學方法素養(yǎng)的培養(yǎng)過程中，學生可以逐步理解和掌握其應(yīng)用方法.（3）數(shù)學表達素養(yǎng).代數(shù)思想通過符號、式子和方程式等方式來表達和計算數(shù)學問題.學生在掌握代數(shù)思想的同時，還會逐漸掌握符號規(guī)則、運算法則等數(shù)學表達技能，從而提高數(shù)學表達能力，使其能夠清晰準確地表達數(shù)學思想.（4）數(shù)學信念素養(yǎng).代數(shù)思想能夠幫助學生逐漸建立科學的數(shù)學信念，進而提高數(shù)學素養(yǎng).學生在學習代數(shù)思想的過程中，處理難題時要堅持不斷思考、提煉和總結(jié)，從而培養(yǎng)出循序漸進的良好學習習慣.三、培養(yǎng)代數(shù)思想的教學策略無論從學考考點的角度還是從提高學生數(shù)學核心素養(yǎng)的角度分析，在初中階段教師都應(yīng)該重點培養(yǎng)好學生的代數(shù)思想.代數(shù)思想不僅可以幫助學生更好地理解數(shù)學概念，還可以培養(yǎng)他們的邏輯思維能力、問題解決能力和抽象思維能力.1.融入實例教學優(yōu)化代數(shù)思想的教學融入實例教學是一種有效的教學策略，它可以讓學生更好地理解代數(shù)思想，提高他們的學習興趣和成績.在初中數(shù)學教學中，融入實例教學也可以用來優(yōu)化代數(shù)思想的教學.首先，讓我們來了解一下什么是實例教學.實例教學是通過實例來闡釋知識、體現(xiàn)規(guī)律，讓學生通過具體事物來理解抽象概念的一種教學方式.這種教學方式可以幫助學生更好地理解代數(shù)思想的概念、性質(zhì)和運算方法，提高學生的代數(shù)思維能力.在初中數(shù)學教學中，教師可以通過具體實例來解釋代數(shù)符號的含義和應(yīng)用方法.舉例來說，當講到解方程時，教師可以通過生活實際或物理問題來介紹方程式的概念和解題步驟，讓學生更好地理解并掌握方程式的應(yīng)用方法.類似地，教師也可以對解不等式、因式分解等代數(shù)概念進行講解，并配以實例來幫助學生深入了解其使用方法和應(yīng)用場景.通過實例教學，學生可以更快、更深入地理解代數(shù)思想，并愉悅地參與到教學過程中.另外，在實例教學中，學生可以積極探索實際問題，提升創(chuàng)造力和解決問題的能力，充分體現(xiàn)教育的目標是讓學生更好地掌握知識，而非僅僅完成考試要求.2.打破傳統(tǒng)限制提升學生的代數(shù)思維能力在初中階段學習代數(shù)思想并打好代數(shù)基礎(chǔ)對于未來的數(shù)學學習和發(fā)展至關(guān)重要.然而，許多傳統(tǒng)的教學方法，如死記硬背公式和機械式運算，不利于學生代數(shù)思維能力的發(fā)展.因此，我們需要打破傳統(tǒng)限制，采取創(chuàng)新的教學策略，提升學生的代數(shù)思維能力，深入理解概念：代數(shù)思想需要通過數(shù)學概念的理解和運用進行學習.傳統(tǒng)方法通常依靠不斷的實踐來學習，但是這種方法容易忽略概念學習的重要性.因此，我們需要尋找到一些新的教學方法來幫助學生更好地掌握和理解數(shù)學概念.而啟發(fā)式教學正是其中之一.傳統(tǒng)的教學方法通常是按照一定步驟進行的，這種方法對于發(fā)展學生的創(chuàng)造力和思維能力并不利，而啟發(fā)式教學是一種更加開放，具有探究性的教學方法.通過啟發(fā)式教學，學生可以更自由地探索問題，從而鍛煉他們的思維能力和創(chuàng)造力.這種方法可以鼓勵學生獨立思考和運用代數(shù)思想來解決問題.我們還需要改變傳統(tǒng)的考試方式，采用更加多元化的評價方式來評估學生的代數(shù)思維能力.這種評價方式可以包括口頭表達、創(chuàng)意作品、解決實際問題等方式.這不僅可以給學生提供更多的展示機會，還可以幫助他們更加全面地發(fā)展其代數(shù)思維能力.通過打破傳統(tǒng)限制，采取創(chuàng)新的教學策略，我們可以提升學生的代數(shù)思維能力，并為他們未來的數(shù)學學習和發(fā)展打好基礎(chǔ).這包括深入理解代數(shù)概念、采用啟發(fā)式教學和實踐，以及使用多元化評價方式等.這些策略將幫助我們建立更加開放和富有創(chuàng)造性的學習環(huán)境，使學生獲得更好的學習效果.3.探索新的教學方法發(fā)揮代數(shù)思想的育人功能在初中階段，學生打好代數(shù)基礎(chǔ)對于后續(xù)的數(shù)學學習至關(guān)重要.因此，我們需要探索新的教學方法，以幫助學生更好地理解和掌握代數(shù)思想.以下是幾種可能的探索方法：（1）利用數(shù)學游戲的方式教授代數(shù)思想.數(shù)學游戲可以幫助學生在娛樂中學習并掌握代數(shù)思想.如學生可以通過填充數(shù)字游戲?qū)W習解方程的基本方法，或者通過數(shù)字消除游戲加深對因式分解的理解.這些游戲不僅能夠激發(fā)學生的學習興趣，還能夠讓學生更深刻地理解代數(shù)思想的概念和應(yīng)用，同時培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.（2）利用實踐性質(zhì)教授代數(shù)思想.實踐性質(zhì)指的是將代數(shù)思想應(yīng)用到