基于問題導向的深度學習案例實踐與反思

隨著高中新課程改革的逐步推進，滿堂灌的傳統(tǒng)教學模式已經(jīng)不再適用.但在實際教學中，很多教師的教學設計依舊比較隨意、淺顯、孤立，使得學生對新知識的學習浮于淺表，思維能力并未得到提升.以問題為中心，促進學生積極參與到學習中來，激發(fā)學生的學習興趣，提高學生的知識遷移能力，引導學生走向深度學習，是促進學生數(shù)學思維的發(fā)展，提高核心素養(yǎng)與解決問題能力的關鍵所在.問題的設計要有計劃性、要科學合理，既能激發(fā)學生學習的積極性，還能促進學生對知識的深度理解.在此，我們以“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象”一課為例，談談基于問題導向的深度學習案例的實踐與反思.一、課程內(nèi)容與學情分析1.教材內(nèi)容分析“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象”選自2019年人教版高中數(shù)學教材必修一第五章第四節(jié).三角函數(shù)是基本初等函數(shù)里重要的一員，既有其他基本初等函數(shù)的共同特征，又具有自身性質(zhì)（如周期性、對稱性等）.三角函數(shù)既是刻畫生活中周期現(xiàn)象問題的數(shù)學模型，又是后續(xù)學習三角函數(shù)性質(zhì)的基礎，在高中數(shù)學知識體系中具有承上啟下的作用。2.學情分析本節(jié)課的主要內(nèi)容是讓學生學會用“五點（作圖）法”刻畫正弦、余弦函數(shù)的圖象.學生在學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，對利用“描點法”畫函數(shù)圖象、研究函數(shù)的一般思路已經(jīng)有了進一步的認識;同時，基于對三角函數(shù)概念及誘導公式的學習，也從知識層面對本節(jié)課的學習做好了準備.但是，學生還可能在以下幾個方面存在困惑：（1）學生對三角函數(shù)的定義與圖象上任意一點之間的關系認識不到位，利用三角函數(shù)定義的幾何意義繪制函數(shù)圖象是一大難點，如怎樣準確畫出正弦函數(shù)圖象上任意一點（x0，sinx0）等.（2）學生對余弦函數(shù)圖象與正弦函數(shù)圖象之間的平移關系理解不到位，如作余弦函數(shù)圖象時，不易聯(lián)系誘導公式，利用圖象變換得到余弦函數(shù)圖象;畫圖缺乏流暢美，無法真正掌握“五點（作圖）法”.3.教學目標（1）經(jīng)歷繪制正弦函數(shù)圖象的過程，掌握繪制正弦函數(shù)圖象的“五點（作圖）法”;（2）經(jīng)歷繪制余弦函數(shù)圖象的過程，理解函數(shù)圖象變換的思想;（3）通過本節(jié)課的學習，體會數(shù)形結合思想，提升數(shù)學抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)與合作探究學習的能力.4.教學重點及難點（1）重點：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象.（2）難點：如何得到正弦函數(shù)的圖象.二、教學過程與設計意圖課前教師讓學生準備好本節(jié)課所需材料：塑料瓶、長方形白紙板、細線、細沙、支架.活動1：小組合作完成該活動：請學生將塑料瓶的底部扎出一個小孔，使其成為一個漏斗，掛在架子上。這樣一個簡易的單擺就形成了（如圖1所示）.在漏斗下方放一塊白紙板，在紙板的中間畫一條虛線代表坐標系的橫軸.在漏斗中裝入細沙并拉離平衡位置，讓其自由擺動，同時勻速拉動白色紙板，在紙板上就會得到一條曲線.我們將這條曲線抽象出來，就可以得到如圖2所示的圖象，我們將它稱之為“正弦曲線”或“余弦曲線”.【設計意圖】簡諧運動實驗的開展，對學生來說是一個比較新穎的探究過程，既可以讓學生對正弦曲線、余弦曲線有直觀形象的了解，激發(fā)學生探索新知的欲望，引出本節(jié)課的內(nèi)容，還能加強學科之間的聯(lián)系，讓學生了解數(shù)學并不是“無用”的，數(shù)學來源于生活，服務于生活，提高學生的直觀想象能力.師：三角函數(shù)是我們學習的一類新的基本初等函數(shù)，根據(jù)之前我們研究函數(shù)的思路，請同學們思考我們應該怎樣研究三角函數(shù)？研究哪些問題？生：研究一個新的函數(shù)，應從以下三個方面進行：函數(shù)的定義、函數(shù)的圖象、函數(shù)的性質(zhì).追問：（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，需要繪制正弦函數(shù)在整個定義域上的函數(shù)圖象嗎？（2）繪制一個新函數(shù)圖象的基本步驟是什么？生：我們可以通過列表、描點、連線，先畫出y=sinx在[0，2π]的圖象，由誘導公式sin（α±2kπ）=sinα，cos（α±2kπ）=cosα可以發(fā)現(xiàn)，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最小正周期為2π，最后通過平移得到y(tǒng)=sinx在整個定義域R上的圖象.【設計意圖】教師提出問題，學生進行思考并回答，體現(xiàn)教師為主導，學生為主體的教育理念.師：繪制正弦函數(shù)y=sinx的圖象，我們需要精準地確定點的坐標，請同學們思考在[0，2π]上如何精準地刻畫出任意一點T的坐標呢？活動2：為解決“如何精準地刻畫出任意一點T的坐標”這一問題，教師帶領學生回顧三角函數(shù)的定義：在單位圓中，點T的橫坐標x0實質(zhì)就是指以OA為始邊，以OB為終邊的角，即[）][AOB]=x0，如圖3所示.過點B向x軸作垂線，垂足為M，則線段MB的長即為|sinx0|，對于任意一個橫坐標x0，其縱坐標我們可以用幾何方法精準畫出.【設計意圖】教師引導學生，根據(jù)正弦函數(shù)的定義確定一個點T（x0，sinx0）的位置，強化學生對點T（x0，sinx0）的理解，為后續(xù)刻畫其他點做準備.這一環(huán)節(jié)以問題為導向，以活動任務為驅動，展開師生互動.這一環(huán)節(jié)的設計能幫助學生看到知識點之間的聯(lián)系，引導學生對新知進行深度思考.活動3：類比指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象的畫法，如何畫出函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象？根據(jù)學生的完成情況，教師用幾何畫板展示上述兩種繪圖過程（多媒體展示，讓學生欣賞作圖過程，體會作圖的精確性）.【設計意圖】本節(jié)課的重點是畫正弦函數(shù)的圖象，從抽象的概念到具體圖象的形成，既培養(yǎng)了學生的動手操作能力，增強學生學習的主體意識，又促進了學生數(shù)學知識的建構與數(shù)學思想方法的形成，培養(yǎng)學生善于思考、樂于合作的良好學習習慣.通過課件演示，教師讓學生直觀感受正弦函數(shù)圖象的形成過程，并讓學生親自動手實踐，體會數(shù)與形的完美結合.師生互動：教師引導學生觀察圖象.學生可以發(fā)現(xiàn)，在函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象上，（0，0），（，1），（π，0），（，-1），（2π，0）五個點對正弦函數(shù)形狀的確定起著關鍵性作用.在坐標系中描出這五個點，根據(jù)圖象的走勢，再用平滑的曲線將其連接起來即可得到函數(shù)圖象.這種方法叫“五點（作圖）法”.【設計意圖】教師通過引導學生觀察圖象，歸納得出“五點（作圖）法”在畫正弦函數(shù)圖象中的作用.這是本節(jié)課的一大重點，也是后續(xù)畫任意一個三角函數(shù)圖象的基礎.教師應重點強調(diào)三角函數(shù)的圖象特征，培養(yǎng)學生的直觀想象、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng).師：根據(jù)函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象，請同學們畫出正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象.師生互動：學生畫圖，教師予以指導和點評.終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，所以只要將函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象向左、右平行移動（每次2π個單位長度），就可以得到正弦函數(shù)y=sinx、x∈R的圖象，讓學生體會圖象從部分到整體的變化過程，體會化復雜為簡單的化歸思想.畫出完整的圖象以后，教師指出，正弦函數(shù)的圖象叫正弦曲線，是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.師：請同學們思考在研究完正弦函數(shù)圖象后，如何研究余弦函數(shù)圖象呢？生：通過誘導公式cosx=sin（x+），可以實現(xiàn)兩者之間的轉化.師：根據(jù)上述問題，思考正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx的圖象有什么關系？生：根據(jù)誘導公式cosx=sin（x+），我們把正弦函數(shù)y=sinx的圖象向左平移個單位以后，即可得到余弦函數(shù)y=cosx的圖象.（教師用課件演示正弦曲線平移為余弦曲線的過程，如圖4）師：如圖5，類比正弦函數(shù)圖象的五個關鍵點，找出余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間[0，2π]上相應的五個關鍵點.【設計意圖】在學生熟悉圖象特征后，教師引出余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間[0，2π]上相應的五個關鍵點：（0，1），（，0），（π，-1），（，0），（2π，1），在精確度要求不太高時，只要畫出這五個關鍵點，余弦函數(shù)的圖象就基本確定了.師：類似于用“五點（作圖）法”畫正弦函數(shù)的圖象，你能找出余弦函數(shù)在區(qū)間[-π，π]上相應的五個關鍵點嗎？可以畫出y=cosx，x∈[-π，π]的簡圖嗎？【設計意圖】通過正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互關系，在類比的過程中，教師畫出余弦函數(shù)的圖象，引導學生體會數(shù)學知識間的聯(lián)系和類比的數(shù)學思想.追問：如何用“五點（作圖）法”畫出下列函數(shù)的簡圖？（1）y=1+sinx，x∈[0，2π];（2）y=-cosx，x∈[0，2π].師生活動：學生先獨立完成，然后就解題思路和結果進行展示交流.教師點評并給出規(guī)范的解答過程.【設計意圖】教師通過例題檢驗學生對“五點（作圖）法”的掌握情況，鞏固畫圖步驟.通過分析圖象變換，教師深化學生對三角函數(shù)圖象關系的理解，并為后續(xù)學習三角函數(shù)的性質(zhì)作鋪墊，培養(yǎng)學生的直觀想象、數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).課堂小結：教師先讓學生回憶本節(jié)課學習內(nèi)容，讓其自行總結歸納并回答，再補充完善.【設計意圖】對課堂知識和思想的總結，能加深學生對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的理解，提升學生的概括能力，養(yǎng)成學習-總結-學習的良好習慣，培養(yǎng)學生歸納總結和語言表達的能力，促使其自主構建知識體系.作業(yè)布置：（1）必做題：①課本34頁練習1;②用“五點（作圖）法”畫出y=sin2x，x∈[0，π]的圖象.（2）思考題：用“五點（作圖）法”畫出y=sin（2x+），x∈[0，π]的圖象并思考其可由y=sin2x，x∈[0，π]的圖象如何變換而來？【設計意圖】作業(yè)的布置旨在增強學生對所學新知的遷移與應用.通過分層作業(yè)的布置，充分激發(fā)不同層次學生的潛能與積極性，促進學生的自主學習，注重學生的個體發(fā)展，使每個層次的學生都有所進步.三、教學反思1.以教學目標為指引，以問題為主線設計教學活動整堂課以預設的學習目標為指引，以問題串的形式展開，小組合作探究完成具體的實踐活動.學生在課堂上進行了深度思考、真正參與到課堂活動中來，無論是從思維層面，還是理論層面，都得到了提升，增強了分析問題和解決問題的能力，調(diào)動了學習的積極性和主動性.這堂課真正體現(xiàn)了“教師只是課堂活動的組織者和引導者，學生才是課堂的中心”這一基本理念.2.以問題為導向，促進學生進行深度學習通過以問題為導向的深度學習，學生才能真正進行深度思考與深度理解.在這個過程中，教師應強調(diào)學生的主體地位，要讓學生學會主動學習.隨著問題與活動