《機(jī)械設(shè)計(jì)基礎(chǔ) 》課件第7章

第7章彎曲

7.1平面彎曲的概念

7.2梁的內(nèi)力與彎矩圖

7.3純彎曲時(shí)的正應(yīng)力

7.4梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算

7.5梁的剛度概念

7.6提高梁彎曲強(qiáng)度和剛度的措施思考與練習(xí)題

7.1.1彎曲的概念

在工程中常遇到發(fā)生彎曲變形的構(gòu)件，如車輛的車軸(如圖7-1所示)、橋式起重機(jī)的主梁(如圖7-2所示)等。這類構(gòu)件受力與變形的主要特點(diǎn)是：在構(gòu)件軸截面內(nèi)承受力偶作用，或受垂直于軸線方向的外力作用，將使構(gòu)件的軸線彎曲成曲線，這種變形形式稱為彎曲。以彎曲變形為主要變形的構(gòu)件，通稱為梁。7.1平面彎曲的概念

圖7-1車軸圖7-2橋式起重機(jī)的主梁7.1.2平面彎曲

在工程實(shí)際中常見(jiàn)的梁，它們的橫截面一般都具有一個(gè)對(duì)稱軸，如圖7-3(a)所示。通過(guò)梁的軸線和橫截面對(duì)稱軸的平面稱為縱向?qū)ΨQ面，即xy平面，如圖7-3(b)所示。如果梁上的載荷與支座反力均作用于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，則梁變形后的軸線是一條平面曲線，這種彎曲稱為平面彎曲。本章只研究平面彎曲問(wèn)題。梁在平面彎曲時(shí)，按照支座對(duì)梁的約束情況，可將梁簡(jiǎn)化為如下三種典型形式：

(1)簡(jiǎn)支梁。梁的一端是固定鉸鏈支座，另一端是活動(dòng)鉸鏈支座，是可自由彎曲的梁(如圖7-2(b)所示)。

(2)外伸梁。簡(jiǎn)支梁的一端或兩端伸出支座以外的梁(如圖7-1(b)所示)。

(3)懸臂梁。一端固定，另一端自由的梁。作用于梁上的載荷，可以簡(jiǎn)化成三種類型：

集中力F作用于構(gòu)件上一點(diǎn)的載荷，其單位是N(牛)或kN(千牛)；力偶矩M由于力的平移而出現(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)作用，其單位是N·m(牛·米)或N·mm(?！ず撩?；均布載荷q作用于構(gòu)件上一定長(zhǎng)度的力，q稱為載荷集度，其單位是N/m(牛/米)或kN/m(千牛/米)。

圖7-3梁的對(duì)稱軸和對(duì)稱面

7.2.1梁的內(nèi)力——彎矩和剪力

在確定了梁上的載荷與反力以后，為了計(jì)算梁的強(qiáng)度與剛度，還要進(jìn)一步研究梁上各截面上的內(nèi)力。內(nèi)力分析與計(jì)算的方法仍用截面法。

設(shè)一簡(jiǎn)支梁受集中力F作用，如圖7-4(a)所示。先利用梁的平衡方程求出其支座反力為7.2梁的內(nèi)力與彎矩圖

圖7-4簡(jiǎn)支梁受力

為了求某一截面上的內(nèi)力，可假想用一截面m—n將梁分為左、右兩段。左段梁在外力FA作用下，有向上移動(dòng)的趨勢(shì)，欲保持其平衡，橫截面上必有一個(gè)與FA平行且方向向下的內(nèi)力FQ作用。同時(shí)，在FA與FQ作用下，左段梁有沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)的趨勢(shì)，因此，橫截面上必然作用著逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的內(nèi)力偶矩M與之平衡，如圖7-4(b)所示。這個(gè)使梁橫截面發(fā)生錯(cuò)動(dòng)的內(nèi)力FQ稱為剪力；使梁軸線發(fā)生彎曲的內(nèi)力偶矩M稱為彎矩。所以，左右兩段梁的相互作用，可以用剪力FQ與彎矩M表示。梁彎曲時(shí)橫截面上的內(nèi)力，一般包含剪力和彎矩這兩個(gè)內(nèi)力分量。雖然兩者都影響梁的強(qiáng)度，但對(duì)于跨度與截面高度之比較大的非薄壁截面梁(l/h>5)，剪力的影響是很小的，一般均略去不計(jì)，僅對(duì)彎矩進(jìn)行計(jì)算。由平衡方程

得彎矩

如取右段梁來(lái)分析，同樣用平衡方程也可以求得該截面上的彎矩，即

根據(jù)作用與反作用的關(guān)系，雖然取左段(或右段)梁為研究對(duì)象，分別求出的同一截面的彎矩值相等，但是其轉(zhuǎn)向相反。為了使從左右兩段梁上求得同一截面上的彎矩符號(hào)一致，可根據(jù)梁的變形情況，對(duì)彎矩的符號(hào)進(jìn)行如下規(guī)定：以某一截面為界，使某段梁彎曲呈凹面向上的變形時(shí)，該截面上的彎矩為正，反之為負(fù)(如圖7-5所示)。

圖7-5彎矩符號(hào)的規(guī)定通過(guò)式(1)、(2)可以總結(jié)出計(jì)算彎矩的規(guī)則：

某截面上彎矩的大小等于此截面以左(或右)所有外力對(duì)該截面形心力矩的代數(shù)和。截面左側(cè)外力對(duì)截面形心之矩順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎鏁r(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)；截面右側(cè)外力對(duì)截面形心之矩逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)。因此，可以概括為“左順右逆，彎矩為正，反之為負(fù)”。這樣，在實(shí)際計(jì)算中就可以不必截取研究對(duì)象通過(guò)平衡方程去求彎矩了，而可以直接根據(jù)截面左側(cè)或右側(cè)梁上的外力來(lái)求截面上的彎矩。

例7-1

一受均布載荷的懸臂梁，如圖7-6(a)所示。試求x截面上的彎矩。

解

(1)求支座反力。取AB梁為研究對(duì)象，由平衡條件求得

(2)求彎矩。按照彎矩計(jì)算規(guī)則，以截面左側(cè)外力可直接求得

(3)若取x截面以右為研究對(duì)象，如圖7-6(c)所示，按彎矩計(jì)算規(guī)則求得

圖7-6懸臂梁7.2.2彎矩圖

梁橫截面上的彎矩一般是隨著截面位置改變而變化的。為了描述其變化規(guī)律，用坐標(biāo)x表示橫截面沿梁軸線的位置，將梁各橫截面上的彎矩表示為坐標(biāo)x的函數(shù)，即 M＝M(x)

這個(gè)函數(shù)表達(dá)式稱為彎矩方程，其圖線稱為彎矩圖。

彎矩圖可以清楚表示彎矩隨截面位置的變化規(guī)律。其繪制方法如下：以平行于梁軸線的坐標(biāo)x表示橫截面的位置，以垂直于梁軸線的坐標(biāo)M表示相應(yīng)橫截面上的彎矩，根據(jù)彎矩方程畫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖線。

例7-2

如圖7-7(a)所示簡(jiǎn)支梁AB，在梁的全長(zhǎng)受均布載荷q的作用，試畫出梁的彎矩圖。

解

(1)求支座反力。全梁受均布載荷作用，其合力為ql，作用在梁的中點(diǎn)，由此得

(2)列彎矩方程。計(jì)算距左端(A為坐標(biāo)原點(diǎn))x處橫截面彎矩：

圖7-7簡(jiǎn)支梁(3)彎矩圖。由彎矩方程知彎矩圖為二次拋物線，在x＝0和x＝l處(即梁的AB端面上)，M＝0，當(dāng)x在0和l之間時(shí)，M為正值。為求M的最大值，可令dM/dx＝0，即

得

即在梁的中點(diǎn)彎矩M值最大，其值為

由這三點(diǎn)的彎矩值可畫出彎矩圖，如圖7-7(b)所示。

例7-3

如圖7-8(a)所示為一長(zhǎng)度為l的簡(jiǎn)支梁，在C點(diǎn)處受集中力F作用，試畫該梁的彎矩圖。

解

(1)求梁的支座反力。

圖7-8簡(jiǎn)支梁受力F作用時(shí)的彎矩圖(2)列彎矩方程。由于在截面C處作用有集中力F，故應(yīng)將梁分為AC和CB兩段，分段列彎矩方程，并分段畫彎矩圖。

對(duì)于AC段，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，并用x1表示橫截面的位置，則彎矩方程為

對(duì)于CB段，為計(jì)算方便，選B點(diǎn)為原點(diǎn)，用坐標(biāo)x2表示橫截面的位置，CB段的彎矩方程為(3)畫彎矩圖。由式(1)可知，在AC段內(nèi)彎矩M是x的一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線，已知直線上的兩點(diǎn)即可確定這條直線，因x＝0處M＝0，x＝a處M＝Fab/l，故連接這兩點(diǎn)就得到AC段內(nèi)的彎矩圖(如圖7-8(b)所示)，同理，由式(2)可作出CB段內(nèi)的彎矩圖(仍為斜線)。由圖可見(jiàn)，C截面上彎矩最大，其值為

例7-4

如圖7-9(a)所示為一簡(jiǎn)支梁，在C點(diǎn)處受到矩為MC的集中力偶作用，試畫該梁的彎矩圖。

解

(1)求支座反力。

圖7-9簡(jiǎn)支梁受力偶作用時(shí)的彎矩圖

(2)列彎矩方程。由于在截面C處作用有集中力偶，應(yīng)分別列出AC與CB兩段上的彎矩方程，并均以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有

(3)畫彎矩圖。根據(jù)上述彎矩方程作彎矩圖(如圖7-9(b)所示)。若a<b，則最大彎矩為

一般情況下，梁在發(fā)生彎曲變形時(shí)，其橫截面上既有彎矩又有剪力。若梁的橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力，則所產(chǎn)生的彎曲稱為純彎曲。

如圖7-10所示的梁，在CD段內(nèi)各截面上剪力都等于零，而彎矩M＝Fa，為常量，所以該段梁的彎曲為純彎曲。圖中在AC和DB兩段內(nèi)，梁的各截面上既有剪力又有彎矩。這種彎曲稱為剪切彎曲。7.3純彎曲時(shí)的正應(yīng)力

圖7-10純彎曲示例7.3.1正應(yīng)力的分布規(guī)律

一矩形截面梁，在梁的側(cè)面畫上平行于軸線和垂直于軸線的直線，形成許多正方形的網(wǎng)格(如圖7-11(a)所示)。然后在梁的兩端施加一對(duì)力偶(力偶矩為M)，使之產(chǎn)生純彎曲變形。梁的變形如圖7-11(b)所示。從彎曲變形后的梁上可以看到：各縱向線彎曲成彼此平行的圓弧，內(nèi)凹一側(cè)的原縱向線縮短，而外凸一側(cè)的原縱向線伸長(zhǎng)。各橫向線仍為直線，只是相對(duì)轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，但仍與縱向線垂直。

圖7-11純彎曲實(shí)驗(yàn)根據(jù)上述現(xiàn)象，可作如下假設(shè)：梁的橫截面在變形后仍為平面，并垂直于變形后梁的軸線。即橫截面只是繞著截面內(nèi)的某一軸轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度。橫截面間沒(méi)有相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。設(shè)想梁是由無(wú)數(shù)條縱向纖維所組成，各縱向纖維產(chǎn)生伸長(zhǎng)或縮短，靠近凹面的纖維縮短，靠近凸面的纖維伸長(zhǎng)。故知梁橫截面上只產(chǎn)生正應(yīng)力。

由于變形的連續(xù)性，在伸長(zhǎng)纖維和縮短纖維之間必存在一層既不伸長(zhǎng)也不縮短的纖維層，這一縱向纖維層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸(如圖7-12所示)。橫截面上位于中性軸兩側(cè)的各點(diǎn)分別承受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，中性軸上各點(diǎn)的應(yīng)力為零。經(jīng)分析可知，中性軸必然通過(guò)橫截面的形心。

圖7-12中性層和中性軸由平面假設(shè)可知，純彎曲變形時(shí)梁橫截面上只有正應(yīng)力而無(wú)切應(yīng)力。由圖7-13可以看出，梁的橫截面在變形前后保持平面，所以沿橫截面高度方向縱向纖維從縮短到伸長(zhǎng)是線性變化的，因此橫截面上的正應(yīng)力沿橫截面高度方向也是線性分布的，即純彎曲時(shí)橫截面上各點(diǎn)的縱向線應(yīng)變?chǔ)排c各點(diǎn)到中性軸的距離y成正比，中性軸等遠(yuǎn)處各點(diǎn)的正應(yīng)力相等，正應(yīng)力的分布如圖7-14所示。

圖7-13純彎曲時(shí)的變形在中性軸(y＝0處)上各點(diǎn)的正應(yīng)力為零，在中性軸的兩側(cè)，其各點(diǎn)的應(yīng)力分別為拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。在離中性軸最遠(yuǎn)處(y＝y(tǒng)max)，產(chǎn)生最大的正應(yīng)力為σmax，根據(jù)正應(yīng)力的分布規(guī)律(如圖7-14所示)可得

或

圖7-14彎曲時(shí)的正應(yīng)力分布7.3.2最大正應(yīng)力的計(jì)算公式

橫截面上的彎矩M，是截面上各部分內(nèi)力對(duì)中性軸z力矩之和。在圖7-15中任意微面積dA上的微內(nèi)力為σdA，它對(duì)中性軸z軸的力矩為σdA·y，于是橫截面上的彎矩M為

將 代入上式，則有

圖7-15彎曲時(shí)正應(yīng)力的計(jì)算分析式中的 是一個(gè)僅與截面的形狀和尺寸有關(guān)的幾何量，稱為橫截面對(duì)中性軸z的軸慣性矩，其單位為m4或cm4?，F(xiàn)令 ，則橫截面上最大彎曲正應(yīng)力為

(7-1)

式中:M為欲求應(yīng)力點(diǎn)所在橫截面上的彎矩，ymax為橫截面上最遠(yuǎn)點(diǎn)到中性軸的距離。式(7-1)可以改寫為

(7-2)

式中

(7-3)

Wz稱為橫截面對(duì)于中性軸z的抗彎截面模量，其值與橫截面的形狀和尺寸有關(guān)，它是衡量截面抗彎能力的一個(gè)幾何量。即對(duì)于某一橫截面，其Wz值越大，在給定的最大正應(yīng)力下梁能夠抵抗的彎矩M也越大。

由精確的分析證明，純彎曲條件下得到的式(7-1)、式(7-2)和式(73)對(duì)于剪切彎曲的梁也能適用。7.3.3截面的軸慣性矩Iz和抗彎截面模量Wz

構(gòu)件的承載能力與截面的幾何性質(zhì)有密切的關(guān)系。例如在拉伸與壓縮的應(yīng)力與變形計(jì)算中，要用到橫截面面積A；在扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力與變形計(jì)算中，要用到橫截面對(duì)圓心的極慣性矩IP和抗扭截面模量WP：彎曲應(yīng)力計(jì)算中要用到截面的軸慣性矩Iz和抗彎截面模量Wz等幾何量。為了便于計(jì)算時(shí)查用，將常用梁截面的軸慣性矩和抗彎截面模量列于表7-1中。表7-1常用梁截面的軸慣性矩和抗彎截面模量

等截面梁彎曲時(shí)，最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩所在截面上，這一截面稱為危險(xiǎn)截面。在危險(xiǎn)截面上、下邊緣處的正應(yīng)力最大，這些點(diǎn)首先發(fā)生破壞，故稱為危險(xiǎn)點(diǎn)。必須首先保證這些危險(xiǎn)點(diǎn)的安全。由于橫截面上、下邊緣各點(diǎn)處于單向拉伸或壓縮狀態(tài)，因此，應(yīng)按彎曲正應(yīng)力建立梁的強(qiáng)度條件：最大彎曲正應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用彎曲正應(yīng)力，即7.4梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算

(7-4)

各種材料許用彎曲應(yīng)力的數(shù)值，可從有關(guān)規(guī)范中查得。

應(yīng)該指出，式(7-4)只適用于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料。對(duì)于鑄鐵等脆性材料制成的梁，因材料的抗壓強(qiáng)度遠(yuǎn)高于抗拉強(qiáng)度，其相應(yīng)強(qiáng)度條件為

(7-5a)

(7-5b)

式中: 、 分別為梁的最大彎曲拉應(yīng)力和最大彎曲壓應(yīng)力。

應(yīng)用強(qiáng)度條件，可以進(jìn)行三方面的強(qiáng)度計(jì)算，即校核梁的強(qiáng)度、設(shè)計(jì)梁的截面尺寸和確定梁的許可載荷。

例7-5

如圖7-16(a)所示的車軸，已知a＝310mm，l＝1440mm，F(xiàn)＝15.15kN，［σ］＝100MPa，若車軸的橫截面為圓環(huán)形，外徑D＝100mm，內(nèi)徑d＝80mm，試校核車軸的強(qiáng)度。

解

(1)求支座反力。由于梁所受載荷左、右對(duì)稱，所以支座反力

FA＝FB＝F＝15.15kN

圖7-16主軸(2)畫梁的彎矩圖。如圖7-16(c)所示，最大彎矩發(fā)生在CD段，其大小為

Mmax＝FA·a＝15.15×103×310＝4696.5×103N·mm

(3)校核梁的強(qiáng)度。危險(xiǎn)截面的抗彎截面模量為

由梁的彎曲強(qiáng)度條件

則車軸的最大正應(yīng)力為

所以車軸的強(qiáng)度足夠。

例7-6

如圖7-17(a)所示螺旋壓板裝置，已知a＝50mm，壓板的許用彎曲應(yīng)力［σ］＝140MPa，試計(jì)算壓板給工件的最大允許壓緊力F。

(1)壓板的受力分析。將壓板簡(jiǎn)化為外伸梁，受力如圖7-17(b)所示。

(2)畫壓板的彎矩圖，如圖7-17(c)所示。最大彎矩發(fā)生在B截面上，其值為

Mmax＝Fa

圖7-17螺旋壓板裝置解(3)確定許可載荷。B截面的抗彎截面模量Wz為

根據(jù)壓板的強(qiáng)度條件 ，可得

故有

壓板給工件的最大壓緊力不得超過(guò)2996N，其方向與F相反。

梁在載荷作用下，除應(yīng)滿足強(qiáng)度條件以防止發(fā)生破壞外，還應(yīng)滿足剛度條件，即彈性變形不得超過(guò)一定的限度，以保證機(jī)器和結(jié)構(gòu)的正常工作。

設(shè)梁AB在xAy平面內(nèi)受載荷F作用發(fā)生彎曲變形(如圖7-18所示)，梁軸線則由原來(lái)的直線變成一條連續(xù)的平面曲線，此曲線稱為梁的撓曲線。由圖可見(jiàn)，梁的各橫截面將在該平面內(nèi)同時(shí)發(fā)生線位移和角位移。7.5梁的剛度概念

圖7-18撓度和轉(zhuǎn)角梁上任一橫截面的形心在垂直于原來(lái)梁軸線方向的位移，稱為梁在該截面的撓度，以y表示。同時(shí)橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，稱為該截面的轉(zhuǎn)角，以θ表示。撓度y和轉(zhuǎn)角θ是量度梁彎曲變形的兩個(gè)基本量。

梁的撓度和轉(zhuǎn)角一般是隨著截面的位置而變化的。在工程上，根據(jù)工作要求，常對(duì)撓度和轉(zhuǎn)角加以限制而進(jìn)行梁的剛度計(jì)算，梁的剛度條件為

ymax≤［y］ (7-6)

θmax≤［θ］

(7-7)

式中:ymax為梁的最大撓度，單位為mm；θmax為梁橫截面的最大轉(zhuǎn)角，單位為rad；［y］為梁的許用撓度，單位為mm；［θ］為梁橫截面的許用轉(zhuǎn)角，單位為rad。

許用撓度和許用轉(zhuǎn)角的數(shù)值可由有關(guān)規(guī)范中查得。常用的幾種梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角的計(jì)算公式可由表7-2查得。因此，利用式(7-6)和式(7-7)就可以對(duì)梁進(jìn)行剛度計(jì)算。

表7-2梁在簡(jiǎn)單載荷作用下端截面的轉(zhuǎn)角和最大撓度

表7-2梁在簡(jiǎn)單載荷作用下端截面的轉(zhuǎn)角和最大撓度(續(xù))

表7-2梁在簡(jiǎn)單載荷作用下端截面的轉(zhuǎn)角和最大撓度(續(xù))

表7-2梁在簡(jiǎn)單載荷作用下端截面的轉(zhuǎn)角和最大撓度(續(xù))

從梁的彎曲正應(yīng)力公式σ＝Mmax/Wz可知，梁的最大彎曲正應(yīng)力與梁上最大彎矩Mmax成正比，與抗彎截面系數(shù)Wz成反比；在計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角時(shí)可以發(fā)現(xiàn)梁的變形與梁的跨度l的高次方成正比，與梁的抗彎剛度EIz成反比。依據(jù)它們之間的關(guān)系，可以采用以下措施提高梁的強(qiáng)度和剛度，從而在滿足梁的抗彎能力前提下，盡量減少材料的消耗。7.6提高梁彎曲強(qiáng)度和剛度的措施

1.合理安排梁的支承

在梁的尺寸和截面形狀已經(jīng)設(shè)定的條件下，合理安排梁的支承，可以起到降低梁上最大彎矩的作用，同時(shí)也可縮小梁的跨度，從而提高了梁的強(qiáng)度和剛度。以如圖7-19(a)所示均布載荷作用下的簡(jiǎn)支梁為例，若將兩端支座各向內(nèi)移動(dòng)0.2l(如圖7-19(b)所示)，梁上的最大彎矩只有原來(lái)的1/5，同時(shí)梁上的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角也變小了。

圖7-19均布載荷作用下的簡(jiǎn)支梁

2.合理布置載荷

當(dāng)梁上的載荷大小一定時(shí)，合理布置載荷，可以減少梁上的最大彎矩，提高梁的強(qiáng)度和剛度。以簡(jiǎn)支梁承受集中力F為例(如圖7-20(a)所示)，集中力F的布置形式和位置不同，梁的最大彎矩明顯減少。傳動(dòng)軸上齒輪靠近軸承安裝(如圖7-20(b)所示)；運(yùn)輸大型設(shè)備的多輪板車(如圖7-20(c)所示)；吊車增加副梁(如圖7-20(d)所示)，均可為簡(jiǎn)支梁上合理布置載荷，提高抗彎能力的實(shí)例。

圖7-20分布

3.選擇梁的合理截面

梁的合理截面應(yīng)該使用較小的截面面積獲得較大的彎曲截面系數(shù)。從梁橫截面正應(yīng)力的分布情況來(lái)看，應(yīng)該盡可能將材料放在離中性軸較遠(yuǎn)的地方。因此工程上許多受彎曲構(gòu)件都采用工字形、槽形、箱形等截面形狀。各種型材，如型鋼、空心鋼管的廣泛應(yīng)用就是這個(gè)道理。

7-1具有對(duì)稱截面的直梁發(fā)生平面彎曲的條件是什么？