數(shù)學學案：課堂導學函數(shù)的表示方法第課時分段函數(shù)

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導學三點剖析一、正確地理解分段函數(shù)的意義【例1】依法納稅是每個公民的義務，國家征收個人所得稅是分段計算的，總收入不超過1600元,免征個人所得稅，超過1600元部分必須征稅,設全月納稅所得額為x,x=全月總收入-1600元,稅率見下表.級數(shù)全月納稅所得額稅率1不超過500元部分5%2超過500元至2000元部分10％3超過2000元至5000元部分15％設應納稅額為f（x)，使用分段函數(shù)表示1—3級納稅額f(x)的表達式.思路分析:認真讀懂題意，每一階段中有多少錢按什么比例交錢一定找準，這是突破問題的關鍵.如第二階段500＜x≤2000,f（x)=(x-500)×10％+500×5％.解：依稅率表,第一段:x·5%，0＜x≤500，第二段:（x—500)×10％+500×5％，500＜x≤2000,第三段：(x—2000)×15％+1500×10％+500×5％,2000＜x≤5000.∴f（x）=溫馨提示易錯解為：第二段：x×10％，500＜x≤2000,第三段:x×15%,2000＜x≤5000。(1)由列表寫解析式是函數(shù)三種表示方法的綜合應用.（2）在解題中要注意分段函數(shù)的正確書寫。二、利用分段函數(shù)進行有關運算【例2】已知f（x）=求f{f［f（)］｝的值。思路分析：應從內(nèi)到外，層層計算,最后求出所求的函數(shù)值.解：∵＞0，∴f(）=0。又f（0)=-π,f（—π）=（-π)2+1=π2+1，∴f｛f［f()］}=π2+1。溫馨提示在分段函數(shù)中,要求復合函數(shù)的值，應從內(nèi)到外依次求值,此值作為外圍函數(shù)的自變量再求值,最后求出復合函數(shù)值.三、分段函數(shù)在實際問題中的應用【例3】某商品在近30天內(nèi)每件的銷售價格P元與時間t天的函數(shù)關系式是P=該商品的日銷售量Q件與時間t天的函數(shù)關系式是Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N*）,求這種商品的日銷量金額的最大值，并指出取得最大值的一天是30天中的第幾天.思路分析：應先求出日銷量金額的解析式,分別求各段最值，再比較大小求出最大的一個.解：設日銷售額為y元,則y=P·Q，y=當0＜t＜25時，t=10,ymax=900元；當25≤t≤30時，t=25，ymax=1125元?！?125＞900，∴ymax=1125.∴第25天日銷售額最大.溫馨提示求分段函數(shù)最值問題時，也可利用圖象法,作出分段函數(shù)圖象,直接觀察得最值.分段函數(shù)的最值，不是某一段上的最值，而是在整個定義域上，取f（x）的最大值.各個擊破類題演練1某市郊空調(diào)出租汽車的票價按下列規(guī)則制定(1）乘坐汽車3km以內(nèi)，票價6元；（2）3km以上，每增加1km,票價增加18。元（不足1km的按1km計算）.請根據(jù)題意寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式.解析：設票價為y，里程為x，由空調(diào)出租汽車票價制定的規(guī)定，可得到以下函數(shù)解析式：y=[x]表示不小于x的最小整數(shù)。變式提升2甲、乙兩車同時沿某公路從A地駛往300km外的B地，甲車先以75km/h的速度行駛，在到達AB中點C處停留2h后,再以100km/h的速度駛往B地，乙車始終以速度v行駛。（1)請將甲車離A地路程x（km)表示為離開A地時間t(h）的函數(shù)，并畫出這個函數(shù)圖象；（2)若兩車在途中恰好相遇兩次（不包括A、B兩地），試確定乙車行駛速度v的取值范圍.解析:(1）x=它的圖象如圖所示.（2）由已知，乙車離開A地的路程x(km）表示為離開A地的時間t（h）的函數(shù)為x=vt(0≤t≤),其圖象是一條線段。由圖象知，當此線段經(jīng)過（4,150)時，v=（km/h);當此線段經(jīng)過點（5。5，300）時，v=（km/h）。∴當〈v<時，兩車在途中相遇兩次。類題演練2若f（x)=則f{f[f（-1）]}=_________。解析:∵f(-1)=0，∴f[f(—1）]=f(0)=π.∴f{f［f(-1)］｝=f（π)=π+1.答案：π+1變式提升2若f(x）=若f（x）=3，則x=_________。解析：當x≤-1時,x+2=3，x=1，無解；當-1〈x〈2時,x2=3，x=；當x≥2時，2x=3,x=,無解。綜上有x=.答案：類題演練3不等式|x+2｜+|x-1｜<a的解集是空集，則a的取值范圍為________.解析:作出y=｜x+2|+｜x-1｜=的圖象知y的最小值為3(或利用絕對值的幾何意義知y就