數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)絕對(duì)值的三角不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一，利用絕對(duì)值的三角不等式進(jìn)行大小比較【例1】設(shè)a≠0，a，b∈R,試比較與的大小。解：-.=-=—=||a|—｜b｜｜-(|a|—｜b｜)=(+)｜｜a|-|b｜|—（｜a｜—｜b｜)≥｜｜a|-｜b|｜-｜(｜a|—|b｜)≥（|a｜—｜b|）—(｜a|—|b|）=0.∴≥.當(dāng)b=0或a=±b時(shí)取等號(hào).溫馨提示對(duì)于含絕對(duì)值符號(hào)的比較大小的問題,可視為絕對(duì)值不等式的證明，要結(jié)合絕對(duì)值不等式的性質(zhì)作轉(zhuǎn)化處理。二,利用絕對(duì)值的三角不等式進(jìn)行證明【例2】已知函數(shù)f(x）=2x2—2x-1，|x-a｜〈.求證：|f（x）-f（a）|<2（｜a｜+）。證明：｜f（x)-f（a）｜=｜2x2-2x-1-(2a2-2=｜2x2-2a2-2x+2a｜=|2(x—a）(x+=2|x—a|·｜x+a—1|〈｜x+a—1｜=｜x-a+2a—1|≤｜x-a|+｜2a|+|—1｜〈+|2=+2｜a|=2（+｜a｜）.∴原不等式成立.溫馨提示利用了放縮的方法,過程簡(jiǎn)捷.由于結(jié)論中兩式含有根號(hào)和絕對(duì)值符號(hào)，也可采用平方差法，三角換元法,數(shù)形結(jié)合等方法證明.三,絕對(duì)值的三角不等式的綜合應(yīng)用【例3】設(shè)1≤|x｜≤4，2≤｜y|≤7,則｜x-y｜的最大值和最小值分別是__________.解析:∵3≤｜x｜+｜y|≤11，∴|x—y|≤｜x|+｜y｜≤11?！撸黿—y|≥|｜x|-|y｜|≥0，∴0≤｜x-y｜≤11.∴最大值和最小值分別為11和0.答案：11和0溫馨提示含絕對(duì)值的不等式常與函數(shù)聯(lián)系,要注意絕對(duì)值不等式性質(zhì)的靈活運(yùn)用。各個(gè)擊破類題演練1已知函數(shù)f(x)=x2-x+13，｜x—a｜〈1,比較|f（x）—f(a）｜與2(｜a|+1｜）的大小。解析：｜f（x）—f(a)｜=|x2—x+13-(a2—a+13)｜=|x2—a2—x+a|=｜(x—a）(x+a-1)|=|x-a|·｜x+a—1｜〈｜x+a—1|=|x-a+2a≤｜x—a|+|2a-1｜〈1+｜2=2+2|a|=2(1+｜a｜).∴|f(x）—f（a)｜〈2（|a｜+1)。變式提升1若｜x-a|<h，|y—a｜<h，則下列不等式一定成立的是()A。｜x—y｜〈h B。｜x-y|〈2h C.|x—y｜>h D。｜x-y|>2h解析：|x—a|〈h,｜y—a|〈h|x—a|+|y—a|<2h|x-y｜〈|x—a｜+|y—a｜<2h.故選B.答案：B類題演練2若f（x）=,x1≠x2，試證明|f(x1)-f(x2）|<|x1-x2|。證明:|f（x1）-f（x2）｜=｜-|==|x1-x2｜.變式提升2求證:≥｜a|—｜b|.證明:≥=｜a|-·|b｜,(1)若||≥1,則｜a|-｜b｜≤0,原不等式顯然成立.（2）若||<1，則—｜b｜·｜｜〉—｜b｜,由不等式的傳遞性知原不等式成立.類題演練3若|h｜<，|k｜<，求證：|2h-3k|<a。證明：｜2h—3k|≤|2h｜+｜3k|=2|h|+3|k|〈2×+3×=+=a.∴｜2h-3k｜〈a。變式提升3已知|x—a｜<，0〈|y-b｜<，y∈（0,M）,求證:|xy-ab|〈ε。