微觀經(jīng)濟學-博弈論及應用

第28章博弈論

博弈論關注的是對策略互動的一般性分析。第十講博弈論及應用28.1博弈的收益矩陣

對于雙人的簡單博弈，我們用收益矩陣來描述博弈。此處的簡單博弈指參與者的策略數(shù)量有限，且只進行一次的博弈。

假設兩人進行簡單的博弈。參與人A有兩個策略：“上”或“下”。參與人B有兩個策略：“左”或“右”。當兩個人同時行動后，二人的收益情況由收益矩陣反映，該矩陣A、B完全了解。參與人B左右參與人A上1，20，1下2，11，0博弈的收益矩陣當A上B左時，A得1B得2；當A下B右時，A得1B得0。當A下B左時，A得2B得1；當A上B右時，A得0B得1；那么在A、B完全了解收益矩陣的情況下，A、B如何確定自己的策略呢？參與人B左右參與人A上1，20，1下2，11，0A的思路如下：如果B選左，我就選下（2>1)；如果B選右，我就選下(1>0)。因此，A的最優(yōu)策略“下”與B的策略并沒有關系，此時A的最優(yōu)策略為“下”。

B做同樣的思考：如果A選上，我就選左（2>1)；如果A選下，我就選左(1>0)。因此，B決定采取“左”。上述分析中，A的“下”、B的“左”被稱為占優(yōu)策略。占優(yōu)策略：不論對方采取什么策略，該策略總是最優(yōu)的。顯然，在博弈中，參與人如果有占優(yōu)策略，他一定選擇占優(yōu)策略。上述博弈中，A一定選擇下，B一定選左。該博弈的結果一定是（2，1）。

此時，我們定義一個占優(yōu)策略均衡，即雙方占優(yōu)策略的組合（下，左)。運用該定義可以幫助我們尋找存在占優(yōu)策略博弈的結果。28.2納什均衡(NashEquilibrium)如果如下表所示，參與人不存在占優(yōu)策略，那么該如何預測博弈的結果呢？參與人B左右參與人A上2，10，0下0，01，2

A的思路如下：如果B選左，我就選上（2>0)；如果B選右，我就選下(1>0)。因此，A沒有占優(yōu)策略。同樣，B也沒有占優(yōu)策略。

如果參與人沒有占優(yōu)策略，那么我們需要借助納什均衡的概念尋找博弈的結果。

納什均衡(N.E.)：如果給定B的選擇，A的選擇是最優(yōu)的，并且給定A的選擇，B的選擇也是最優(yōu)的，這樣的策略組合稱為納什均衡。寡頭壟斷下，古諾均衡實際上就是納什均衡。即給定A廠商的產(chǎn)量，B實現(xiàn)了利潤最大化；給定B廠商的產(chǎn)量，A實現(xiàn)了利潤最大化。

在上面收益矩陣描述的博弈中，存在四個策略組合：（上，左）、（上，右）、（下，左）、（下，右）。參與人B左右參與人A上2，10，0下0，01，2根據(jù)N.E.的定義，請找出N.E.借助N.E.預測博弈的結果，往往會遇到兩個問題：1、N.E.不止一個。2、一些博弈中不存在納什均衡。如下面收益矩陣描述的博弈：參與人B左右參與人A上0，00，-1下1，0-1，328.3混合策略而現(xiàn)實中，參與人完全可以隨機選擇策略，例如參與人采取拋硬幣的方法確定自己的策略——硬幣正面朝上就“上”，反面朝上就下。該策略實際就是以50%的概率選擇上，以50％的概率選擇下。這種隨機策略稱為混合策略。

如果將策略擴展到混合策略，那么對于簡單博弈而言，混合策略納什均衡總是存在的。

迄今為止，參與人的策略均為純策略。純策略指參與人以100％概率選擇的策略。28.4囚徒困境

本節(jié)通過一個例子說明納什均衡并不一定會導致帕累托有效率的結果。

囚徒困境：合伙犯罪的兩個囚徒被分別關在兩個房間接受審訊。每個囚徒可以選擇坦白，也可以選擇抵賴。如果只有一人坦白，坦白者免刑，抵賴者入獄6個月；如果兩人同時坦白，兩人將被判入獄3個月；如果兩個人都抵賴，證據(jù)不足，兩人被判入獄1個月。囚徒B：坦白也是B的占優(yōu)策略。囚徒A：如果B坦白，我最好坦白（-3>-6)；如果B抵賴，我最好坦白(0>-1)。因此，不論B做什么，A的最優(yōu)選擇就是坦白。實際上，此處坦白是A的占優(yōu)策略。參與人B坦白抵賴參與人A坦白-3，-30，-6抵賴-6，0-1，-1囚徒困境

現(xiàn)實中囚徒困境的例子很多，例如冷戰(zhàn)中的美蘇爭霸。當參與人具有占優(yōu)策略時，博弈存在占優(yōu)策略均衡，此處為（坦白、坦白），博弈結果為（-3,-3）。

該結果有帕累托改進的可能，如果雙方達成共識，互相信任，同時抵賴，大家的境況都可以改善。28.5重復博弈

上節(jié)中囚徒無法擺脫困境，很大程度上源于假定雙方是一錘子買賣，如果雙方今后還要合作，即雙方進行的是重復博弈，那么結果可能會有所改變。重復博弈分為有限重復博弈和無限重復博弈。

我們從最后一次博弈開始分析，第10次博弈大家將面臨永遠不再合作的局面，那么A、B均會毫不猶豫地選擇坦白，因為這是一次囚徒博弈中的占優(yōu)策略。

第9次博弈會出現(xiàn)什么情況呢？A清楚地知道對方最后一次肯定選擇坦白。如果本次我選抵賴，對方可以選坦白而獲利。既然下一次已經(jīng)沒有合作的可能，為避免單獨入獄6個月的不幸發(fā)生，A決定第9次也選擇坦白。當然B也會這樣推理，進而選擇坦白。有限博弈：如果囚徒博弈進行10次，那么結果會怎樣呢？

第8、7….1次博弈中，第9次的故事反復發(fā)生。所以只要博弈重復有限次，囚徒依然無法擺脫困境。

如果，囚徒博弈重復無數(shù)次，結果會怎樣呢？

當博弈沒有最后一次時，雙方均意識到無休止地坦白非明智之舉。

經(jīng)濟學家證明：“針鋒相對”的策略可以使博弈雙方境況得到改善。

“針鋒相對”的策略：第一局選擇抵賴（即表明愿意與對方合作），從第二局開始采用對方上一局的策略。例如，如果對方第一局抵賴，那么我第二局依然抵賴；如果對方第一坦白，那么我第二局坦白。如果對方第二局抵賴，那么我第三局選擇抵賴，如此等等。

該策略相當靈活，既可以對對方的背信進行及時懲罰，又體現(xiàn)了寬恕的一面，即對每次背信僅處罰一次。28.7序貫博弈

迄今為止，我們考察的博弈均是兩個人同時采取行動。本節(jié)我們學習一個人首先行動，然后，另一個人再作出反應。第27章描述的斯塔克伯格模型就是這樣的例子。

一個序貫博弈的例子：第一階段，參與人A選擇“上”或“下”。參與人B觀察到A的選擇，再選擇“左”或“右”，該博弈的收益矩陣如下所示：參與人B左右參與人A上1，91，9下0，02，1

此處介紹一種尋找納什均衡的簡便方法——畫線法：前者縱向比，大者下面畫線；后者橫向比，大者下面畫線；出現(xiàn)兩條線者即納什均衡。我們對收益矩陣畫線，得到兩個納什均衡：（上，左）（下，右）原因在于收益矩陣在描述序貫博弈時，無法體現(xiàn)參與雙方的策略是序貫做出的，因此描述序貫博弈我們采用博弈樹或博弈的擴展形式來描述。

而實際上，這兩個納什均衡中有一個是不合理。AB上B左左右右下1，91，90，02，1博弈的擴展形式參與人B左右參與人A上1，91，9下0，02，1AB上B左左右右下1，91，90，02，1序貫博弈中，先行者需要分析跟隨者的反應，因此，分析博弈樹是由后往前推算。首先考慮B的選擇：如果A選“下”，如果A選“上”，那么B選“左”或“右”無差異；那么B選“右”比較明智（1>0）。A上1，9下2，1經(jīng)過上述分析，博弈樹可變成如下形式：然后考慮A的選擇，A上1，9下2，1如果選“上”，得1；如果選“下”，可得2。因此A的最優(yōu)選擇是“下”。當先行者A選“下”，B的最優(yōu)選擇是“右”，因此該序貫博弈的均衡為（下，右）在該序貫博弈中，我們依據(jù)收益矩陣找到的N.E.（上，左）并不是合理的均衡，因為A選擇“上”是愚蠢的。

從博弈的結果看，B非常不幸，最終他只能得到1而非9。面臨巨大落差，B極有可能威脅A，聲稱如果A選“下”，那他就選“左”，讓大家一無所獲。AB上B左左右右下1，91，90，02，1

A對B的威脅不予理睬，因為A一旦選“下”，B就考慮自己的利益，明智地選“右”而非“左”。針對B的威脅，A會如何反應？B為了改善自己的境況，就必須讓A相信自己的威脅。

B可以跟第三方簽一個合約，規(guī)定如果A選“下”，B若選“右”，B支付第三方2。右AB上左右1，91，9B左下0，02，1-2=-1若A知道B簽了類似合約，就知道如果自己選“下”，B一定選“左”（0>-1），那么為避免一無所獲，A就會選“上”。本章小結1、納什均衡的概念及應用2、納什均衡應用中的問題（不唯一、不存在、無效率）3、序貫博弈求解應用逆向歸納法。第29章博弈論的應用

本章我們考察博弈論中4個非常重要的問題——合作問題、競爭問題、共存問題和承諾問題。

首先了解一個重要的分析工具——最優(yōu)反應曲線（反應函數(shù)的圖像）。29.1最優(yōu)反應曲線

考慮一個雙人博弈，假定你是其中的一個參與人。對另外一人的任何選擇，你的最優(yōu)反應就是使你的收益最大化。B的選擇：左A的選擇：上列參與人B左右行參與人A上2，10，0下0，01，2A的最優(yōu)反應：上B的最優(yōu)反應：左B的選擇：右A的最優(yōu)反應：下B的最優(yōu)反應：右A的選擇：下如果行參與人A的可能選擇r1（上）,r2（下）,…….，列參與人B的可能選擇c1（左）,c2（右）…….。對于行參與人A的每一個選擇r，列參與人B的最優(yōu)反應函數(shù)為：對于行參與人B的每一個選擇c，行參與人A的最優(yōu)反應函數(shù)為：在上例中，列參與人B的最優(yōu)反應函數(shù)：行參與人A的最優(yōu)反應函數(shù)：列參與人B左右行參與人A上2，10，0下0，01，2納什均衡是使得以下兩個式子成立的一個策略組合上例中納什均衡為（上，左）（下，右），這兩個組合滿足：納什均衡一旦實現(xiàn)，A、B均滿意，無人愿意偏離該狀態(tài)。最優(yōu)反應曲線（函數(shù)）提供了一種相對簡單的求解納什均衡的方法。在第27章求解古諾均衡時，實際就是最優(yōu)反應曲線的應用：兩個廠商的反應函數(shù)如下：聯(lián)立上述反應函數(shù)，得到古諾均衡（也是納什均衡）。29.2混合策略本節(jié)利用最優(yōu)反應曲線來尋求混合策略納什均衡和純策略納什均衡。列參與人B左c右(1-c)行參與人A上r2，10，0下(1-r)0，01，2

我們令A選擇上的概率為r，那么(1-r)就表示選下的概率。c表示B選擇左的概率，那么(1-c)就表示選右的概率。當r為0時，表示A選下；c為0時，表示B選右。參與人面臨的是不確定下的選擇，因此我們利用期望效用最大化分析雙方的選擇。A的期望收益＝2rc+(1-r)(1-c)=3rc-r-c+1A的邊際期望收益(MR=dR/dr)＝3c-1列參與人B左c右(1-c)行參與人A上r2，10，0下(1-r)0，01，2c>1/3，MR>0，提高r可以使收益增大，r最大為1。根據(jù)以上特點可以畫出A的最優(yōu)反應曲線：rc1/301A的最優(yōu)反應曲線A的邊際期望收益(MR=dR/dr)＝3c-1c=1/3，MR=0，期望收益達到最大值，r為[0，1]任意值;c<1/3，MR<0，降低r可以使收益增大，r最小為0；1列參與人B左c右(1-c)行參與人A上r2，10，0下(1-r)0，01，2B的期望收益＝1rc+2(1-r)(1-c)=3rc-2r-2c+2B的邊際期望收益(MR=dR/dc)＝3r-2根據(jù)以上特點可以畫出B的最優(yōu)反應曲線：102/3B的最優(yōu)反應曲線B的邊際期望收益(MR=dR/dc)＝3r-2r=2/3，MR=0，期望收益達到最大值，c為[0，1]任意值;r<2/3，MR<0，降低c可以使收益增大，c最小為0；r>1/3，MR>0，提高c可以使收益增大，c最大為1。rc將A、B的最優(yōu)反應曲線放在一個象限中：1/311c0r三個交點分別對應兩個純策略納什均衡（下，右）、(上，左)和一個混合策略納什均衡（A以2/3的概率選上，B以1/3的概率選左）。2/3列參與人B左c右(1-c)行參與人A上r2，10，0下(1-r)0，01，2兩條最優(yōu)曲線有三個交點：（0,0）,（1,1）,（2/3,1/3）29.3合作博弈

本節(jié)利用上節(jié)介紹的分析工具考察協(xié)調博弈。在該類博弈中，當參與人能夠協(xié)調他們之間的策略時，他們的收益就會實現(xiàn)最大化。性別戰(zhàn)男女約會看電影，男喜歡動作片，女喜歡文藝片，但他們寧愿看一部電影也不愿單獨行動。他們的收益矩陣如下：女孩動作片文藝片男孩動作片2，10，0文藝片0，01，2我們已經(jīng)知道，該博弈有三個納什均衡：（動作片，動作片）、（文藝片，文藝片）、（男孩以2/3的概率選動作片，女孩以1/3的概率選動作片）這取決于有關該博弈的正式描述以外的因素，例如男孩事先已經(jīng)買好了動作片的票，于是一起看動作片將是最終的選擇。當參與人完全有理由相信，其中的一個均衡相對于其他均衡更為“自然”時，這個均衡稱作博弈的聚點。例如，動作片的主演是成龍，上述博弈的結果很有可能是大家不約而同的一起看動作片。三個納什均衡到底哪個會發(fā)生呢？囚徒困境參與人B坦白抵賴參與人A坦白-3，-30，-6抵賴-6，0-1，-1囚徒困境也是一個協(xié)調博弈，雙方如果可以協(xié)調一致，共同抵賴，雙方的境況均有明顯改觀。問題是大家在一次博弈中不會相互合作。1、無限重復博弈2、締結合約懲罰不合作的行為解決問題的方式有兩種：保證博弈考慮20世紀50年代美蘇的軍事競賽。兩個國家都可以選擇生產(chǎn)核彈，也可以選擇不生產(chǎn)。雙方都不生產(chǎn)的收益（4，4）；都生產(chǎn)的收益（2，2）；一方生產(chǎn)時，生產(chǎn)者得3，不生產(chǎn)者得1。收益矩陣如下：蘇聯(lián)不生產(chǎn)生產(chǎn)美國不生產(chǎn)4，41，3生產(chǎn)3，12，2畫線法可知這里有兩個純策略納什均衡：（不生產(chǎn)，不生產(chǎn)）、（生產(chǎn)，生產(chǎn)）如果一方保證不生產(chǎn)，并給予充分的證據(jù)說明確實沒有生產(chǎn)的話，可以確信另一方也會停止生產(chǎn)。例如美國保證不生產(chǎn)，那么蘇聯(lián)也會選不生產(chǎn)（4>3）；如果蘇聯(lián)保證不生產(chǎn)，那么美國也會選不生產(chǎn)（3>2）。顯然（不生產(chǎn)，不生產(chǎn)）對雙方均是較好的選擇。問題是任何一方均不知道對方的實際選擇。斗雞博弈兩個年輕人分別從一條街的兩頭，駕車駛向對方。先躲避的顏面盡失；如果沒人躲避，雙方車毀人亡，收益矩陣如下：參與人B轉向不轉向參與人A轉向0，0-1，1不轉向1，-1-2，-2畫線法可知這里有兩個純策略納什均衡：（A不轉向，B轉向），（A轉向，B不轉向）。問題是哪個純策略納什均衡會發(fā)生呢？如果A事先將方向盤鎖住，并且讓B知道，那么B很可能就選擇轉向了，畢竟車毀人亡太瘋狂了。如何協(xié)調通過以上的分析，在保證博弈、性別戰(zhàn)和斗雞博弈中某參與人可以事先采取行動，并承諾選擇某個策略來實現(xiàn)合作共贏。

囚徒困境中的參與人如果想達成合作，除了事先做出承諾外，關鍵在于對雙方行動的制約，例如簽定懲罰合約。29.4競爭博弈

與協(xié)調相對應的是競爭博弈，也稱為零和博弈，即在博弈中，一方的收益即另一方的損失。

實際上，大多數(shù)競技體育項目都是零和博弈。我們通過足球比賽中的罰點球來分析零和博弈。行參與人罰點球，列參與人守門。行參與人可以踢向球門的左方或右方，守門員可能撲向左方或右方。A踢向左方，B撲向右方，進球概率為80％，

B撲向左方，進球概率為50％；A踢向右方，B撲向左方，進球概率為90％，

B撲向右方，進球概率為20％。收益矩陣如下：守門員B左右罰球者A左50，-5080，-80右90，-9020，-20每一方格中的總收益為0，這顯示參與人的得分完全相反。

在該博弈中，如果守門員能夠知道罰球者的踢球方向，進球的概率大大降低。罰球者為使守門員猜不透自己的意圖，很可能有時踢向擅長的一方，有時踢向不擅長的一方，即采取混合策略。

如果罰球者選擇踢向左方的概率為p，那么B撲向左方時，A的期望收益=50p+90(1-p)=90-40p；當B撲向右方時，A的期望收益=80p+20(1-p)=20+60p。守門員B左右罰球者A左p50，-5080，-80右(1-p)90，-9020，-20當B撲向左方時，A的期望收益＝50×0.5＋90×0.5＝70當B撲向右方時，A的期望收益＝80×0.5＋20×0.5＝50

以上推理過程守門員一清二楚，如果罰球者踢向左方的概率為0.5，那守門員會毫不猶豫地撲向右方，因為這樣罰球者的期望收益最小。守門員B左右罰球者A左0.550，-5080，-80右0.590，-9020，-20

舉例來說，假定罰球者踢向左方的概率為0.5。罰球者A該如何確定自己的策略呢？罰球者知道，守門員總是試圖最小化他的期望收益。守門員撲向左還是右，取決于罰球者的選擇（踢向左的概率p）。給定p，如果90-40p>20+60p（即罰球者在守門員撲向左時期望收益較大），那么守門員一定撲向右，結果罰球者期望收益為20+60p。否則，罰球者期望收益為90-40p。pA的收益01905090-40p208020+60p紅色折線即罰球者的期望收益線。

顯然，紅色線段的最高點位于兩條直線的交點處。50p+90(1-p)=80p+20(1-p)解得p=0.7

當罰球者以70％的概率踢向左方時，此時的期望收益=50*0.7+90*0.3=62。pA的收益01905090-40p208020+60p0.762守門員B左q右(1-q)罰球者A左50，-5080，-80右90，-9020，-20守門員B該如何確定撲向左的概率q？當A踢向左時，A的期望收益＝50q+80(1-q)=80-30q；當A踢向右時，A的期望收益＝90q+20(1-q)=20+70q。qA的收益01209020+70q805080-30q給定q，如果80-30q>20+70p（即罰球者踢向左時期望收益較大），那么A一定踢向左，結果罰球者期望收益為80-30q。否則，罰球者期望收益為20+70q。A的期望收益線顯然，下式成立時藍色線段達到最低點。50q+80(1-q)=90q+20(1-q)解得q=0.6。至此，我們已經(jīng)計算出了均衡策略組合：（0.7、0.6）即：（罰球者以0.7的概率踢向左方，守門員以0.6的概率撲向左方）守門員通過選擇q使罰球者的期望收益最小（自己的期望收益最大）反應曲線法求均衡守門員撲向左方的收益＝p(-50)+(1-p)(-90)=40p-90＝-62；守門員撲向右方的收益＝p(-80)+(1-p)（-20）=-20-60p＝-62，守門員的最優(yōu)反應q=[0,1]守門員左q右罰球者左p50，-5080，-80右90，-9020，-20當罰球者踢向左方的概率p＝0.7時，守門員的最優(yōu)反應q=1(撲向左)。同理，當罰球者踢向左方的概率p<0.7時，守門員的最優(yōu)反應q=0（撲向右）。守門員左q右罰球者左p50，-5080，-80右90，-9020，-20當罰球者踢向左方的概率p>0.7時，守門員撲向左方的收益＝p(-50)+(1-p)(-90)=40p-90>-62；守門員撲向右方的收益＝p(-80)+(1-p)（-20）=-20-60p<-62;0.7守門員的最優(yōu)反應曲線P<0.7q=0P=0.7q=[0,1]P>0.7q=1pq罰球者踢向左的概率守門員撲向左的概率綜上：1罰球者的最優(yōu)反應曲線10.6q>0.6p=0q=0.6p=[0,1]q<0.6p=1類似地：pq罰球者踢向左的概率守門員撲向左的概率將兩條最優(yōu)反應曲線放在一起：0.61qp0.7混合策略納什均衡守門員的最優(yōu)反應曲線罰球員的最優(yōu)反應曲線29.5共存博弈

博弈論可以用來解釋動物進化行為。有關動物互動的一個著名例子是鷹－鴿博弈。

考慮兩只豺狗同時遇到一塊食物，它們決定是爭斗還是分享食物。這個博弈的收益矩陣如下：B鷹派鴿派A鷹派-2，-24，0鴿派0，42，2畫線法確定純策略納什均衡。B鷹派p鴿派1-pA鷹派p-2，-24，0鴿派1-p0，42，2

此處的混合納什均衡需要確定是鴿派與鷹派在豺狗中的穩(wěn)定比例。假定鷹派的比例為p，鴿派的比例為(1-p)。該博弈還存在混合策略納什均衡鷹派的期望收益H＝-2p+4(1-p)鴿派的期望收益D＝0p+2(1-p)=2(1-p)假定具有較高收益的類型繁殖速度更快，并且它會將其采取的策略遺傳下去。那么，當H>D時，鷹派越來越多；當H<D時，鴿派越來越多。B鷹派p鴿派1-pA鷹派p-2，-24，0鴿派1-p0，42，2種群處于均衡狀態(tài)的唯一途徑就是H=D。H=-2p+4(1-p)=2(1-p)=Dp=1/2均衡的穩(wěn)定性討論0.5P>0.5，H<D，鷹派減少，p下降。P(鷹派比例)期望收益4鷹派收益H=4-6p2鴿派收益D=2(1-p)1P<0.5，H>D，鷹派增加，p上升；鷹鴿各占一半是進化的結果，相當穩(wěn)定。29.6承諾博弈本節(jié)我們轉向序貫博弈。此類博弈的一個重要策略問題是承諾，例如斗雞博弈中，如果一人能夠強迫自己直線駕駛，那么另一人的最優(yōu)選擇就是轉向。注意：承諾要取得預期效果，不可撤銷性和可觀察性是至關重要的。青蛙蝎子背不背