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文檔簡介
2023屆湖北省第五屆高三1月階段性測試數(shù)學試題文試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某工廠利用隨機數(shù)表示對生產的600個零件進行抽樣測試,先將600個零件進行編號,編號分別為001,002,……,599,600.從中抽取60個樣本,下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行:若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),則得到的第6個樣本編號是()A.324 B.522 C.535 D.5782.設,,是非零向量.若,則()A. B. C. D.3.若的展開式中的系數(shù)之和為,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.14.若直線經過拋物線的焦點,則()A. B. C.2 D.5.已知,橢圓的方程,雙曲線的方程為,和的離心率之積為,則的漸近線方程為()A. B. C. D.6.已知函數(shù),若,則等于()A.-3 B.-1 C.3 D.07.阿基米德(公元前287年—公元前212年),偉大的古希臘哲學家、數(shù)學家和物理學家,他死后的墓碑上刻著一個“圓柱容球”的立體幾何圖形,為紀念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內切球的體積是圓柱體積的,且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結論.已知某圓柱的軸截面為正方形,其表面積為,則該圓柱的內切球體積為()A. B. C. D.8.的展開式中的系數(shù)為()A.5 B.10 C.20 D.309.設,分別是橢圓的左、右焦點,過的直線交橢圓于,兩點,且,,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.10.設集合,,若,則()A. B. C. D.11.已知向量,,且,則()A. B. C.1 D.212.若,則實數(shù)的大小關系為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的一條漸近線方程為,則________.14.春節(jié)期間新型冠狀病毒肺炎疫情在湖北爆發(fā),為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn),我省某醫(yī)院選派2名醫(yī)生,6名護士到湖北、兩地參加疫情防控工作,每地一名醫(yī)生,3名護士,其中甲乙兩名護士不到同一地,共有__________種選派方法.15.已知為矩形的對角線的交點,現(xiàn)從這5個點中任選3個點,則這3個點不共線的概率為________.16.驗證碼就是將一串隨機產生的數(shù)字或符號,生成一幅圖片,圖片里加上一些干擾象素(防止),由用戶肉眼識別其中的驗證碼信息,輸入表單提交網站驗證,驗證成功后才能使用某項功能.很多網站利用驗證碼技術來防止惡意登錄,以提升網絡安全.在抗疫期間,某居民小區(qū)電子出入證的登錄驗證碼由0,1,2,…,9中的五個數(shù)字隨機組成.將中間數(shù)字最大,然后向兩邊對稱遞減的驗證碼稱為“鐘型驗證碼”(例如:如14532,12543),已知某人收到了一個“鐘型驗證碼”,則該驗證碼的中間數(shù)字是7的概率為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知某種細菌的適宜生長溫度為12℃~27℃,為了研究該種細菌的繁殖數(shù)量(單位:個)隨溫度(單位:℃)變化的規(guī)律,收集數(shù)據(jù)如下:溫度/℃14161820222426繁殖數(shù)量/個2530385066120218對數(shù)據(jù)進行初步處理后,得到了一些統(tǒng)計量的值,如表所示:20784.11123.8159020.5其中,.(1)請繪出關于的散點圖,并根據(jù)散點圖判斷與哪一個更適合作為該種細菌的繁殖數(shù)量關于溫度的回歸方程類型(給出判斷即可,不必說明理由);(2)根據(jù)(1)的判斷結果及表格數(shù)據(jù),建立關于的回歸方程(結果精確到0.1);(3)當溫度為27℃時,該種細菌的繁殖數(shù)量的預報值為多少?參考公式:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二成估計分別為,,參考數(shù)據(jù):.18.(12分)如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=AA1,M,N分別是AC,B1C1的中點.求證:(1)MN∥平面ABB1A1;(2)AN⊥A1B.19.(12分)已知集合,集合.(1)求集合;(2)若,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)如圖,直三棱柱中,底面為等腰直角三角形,,,,分別為,的中點,為棱上一點,若平面.(1)求線段的長;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)已知函數(shù).(1)若關于的不等式的整數(shù)解有且僅有一個值,當時,求不等式的解集;(2)已知,若,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)在國家“大眾創(chuàng)業(yè),萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下,某企業(yè)決定加大對某種產品的研發(fā)投入.為了對新研發(fā)的產品進行合理定價,將該產品按事先擬定的價格試銷,得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示:試銷價格(元)產品銷量(件)已知變量且有線性負相關關系,現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學通過計算求得回歸直線方程分別為:甲;乙;丙,其中有且僅有一位同學的計算結果是正確的.(1)試判斷誰的計算結果正確?(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差不超過,則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”,現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取個,求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的分布列和數(shù)學期望.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
因為要對600個零件進行編號,所以編號必須是三位數(shù),因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),大于600的,重復出現(xiàn)的舍去,直至得到第六個編號.【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),編號內的數(shù)據(jù)依次為:,因為535重復出現(xiàn),所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為,故第6個數(shù)據(jù)為578.選D.【點睛】本題考查了隨機數(shù)表表的應用,正確掌握隨機數(shù)表法的使用方法是解題的關鍵.2.D【解析】試題分析:由題意得:若,則;若,則由可知,,故也成立,故選D.考點:平面向量數(shù)量積.【思路點睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點,作為一類既能考查向量的線性運算、坐標運算、數(shù)量積及平面幾何知識,又能考查學生的數(shù)形結合能力及轉化與化歸能力的問題,實有其合理之處.解決此類問題的常用方法是:①利用已知條件,結合平面幾何知識及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易);②將條件通過向量的線性運算進行轉化,再利用①求解(較難);③建系,借助向量的坐標運算,此法對解含垂直關系的問題往往有很好效果.3.B【解析】
由,進而分別求出展開式中的系數(shù)及展開式中的系數(shù),令二者之和等于,可求出實數(shù)的值.【詳解】由,則展開式中的系數(shù)為,展開式中的系數(shù)為,二者的系數(shù)之和為,得.故選:B.【點睛】本題考查二項式定理的應用,考查學生的計算求解能力,屬于基礎題.4.B【解析】
計算拋物線的交點為,代入計算得到答案.【詳解】可化為,焦點坐標為,故.故選:.【點睛】本題考查了拋物線的焦點,屬于簡單題.5.A【解析】
根據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式,結合和的離心率之積為,即可得的關系,進而得雙曲線的離心率方程.【詳解】橢圓的方程,雙曲線的方程為,則橢圓離心率,雙曲線的離心率,由和的離心率之積為,即,解得,所以漸近線方程為,化簡可得,故選:A.【點睛】本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質應用,橢圓與雙曲線離心率表示形式,雙曲線漸近線方程求法,屬于基礎題.6.D【解析】分析:因為題設中給出了的值,要求的值,故應考慮兩者之間滿足的關系.詳解:由題設有,故有,所以,從而,故選D.點睛:本題考查函數(shù)的表示方法,解題時注意根據(jù)問題的條件和求解的結論之間的關系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的關系.7.D【解析】
設圓柱的底面半徑為,則其母線長為,由圓柱的表面積求出,代入圓柱的體積公式求出其體積,結合題中的結論即可求出該圓柱的內切球體積.【詳解】設圓柱的底面半徑為,則其母線長為,因為圓柱的表面積公式為,所以,解得,因為圓柱的體積公式為,所以,由題知,圓柱內切球的體積是圓柱體積的,所以所求圓柱內切球的體積為.故選:D【點睛】本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式;考查運算求解能力;熟練掌握圓柱的表面積和體積公式是求解本題的關鍵;屬于中檔題.8.C【解析】
由知,展開式中項有兩項,一項是中的項,另一項是與中含x的項乘積構成.【詳解】由已知,,因為展開式的通項為,所以展開式中的系數(shù)為.故選:C.【點睛】本題考查求二項式定理展開式中的特定項,解決這類問題要注意通項公式應寫準確,本題是一道基礎題.9.C【解析】
根據(jù)表示出線段長度,由勾股定理,解出每條線段的長度,再由勾股定理構造出關系,求出離心率.【詳解】設,則由橢圓的定義,可以得到,在中,有,解得在中,有整理得,故選C項.【點睛】本題考查幾何法求橢圓離心率,是求橢圓離心率的一個常用方法,通過幾何關系,構造出關系,得到離心率.屬于中檔題.10.A【解析】
根據(jù)交集的結果可得是集合的元素,代入方程后可求的值,從而可求.【詳解】依題意可知是集合的元素,即,解得,由,解得.【點睛】本題考查集合的交,注意根據(jù)交集的結果確定集合中含有的元素,本題屬于基礎題.11.A【解析】
根據(jù)向量垂直的坐標表示列方程,解方程求得的值.【詳解】由于向量,,且,所以解得.故選:A【點睛】本小題主要考查向量垂直的坐標表示,屬于基礎題.12.A【解析】
將化成以為底的對數(shù),即可判斷的大小關系;由對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質,可判斷出與1的大小關系,從而可判斷三者的大小關系.【詳解】依題意,由對數(shù)函數(shù)的性質可得.又因為,故.故選:A.【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質,考查了對數(shù)函數(shù)的性質,考查了對數(shù)的運算性質.兩個對數(shù)型的數(shù)字比較大小時,底數(shù)相同,則構造對數(shù)函數(shù),結合對數(shù)的單調性可判斷大??;若真數(shù)相同,則結合對數(shù)函數(shù)的圖像或者換底公式可判斷大小;若真數(shù)和底數(shù)都不相同,則可與中間值如1,0比較大小.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)雙曲線的標準方程寫出雙曲線的漸近線方程,結合題意可求得正實數(shù)的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由于該雙曲線的一條漸近線方程為,,解得.故答案為:.【點睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求參數(shù),考查計算能力,屬于基礎題.14.24【解析】
先求出每地一名醫(yī)生,3名護士的選派方法的種數(shù),再減去甲乙兩名護士到同一地的種數(shù)即可.【詳解】解:每地一名醫(yī)生,3名護士的選派方法的種數(shù)有,若甲乙兩名護士到同一地的種數(shù)有,則甲乙兩名護士不到同一地的種數(shù)有.故答案為:.【點睛】本題考查利用間接法求排列組合問題,正難則反,是基礎題.15.【解析】
基本事件總數(shù),這3個點共線的情況有兩種和,由此能求出這3個點不共線的概率.【詳解】解:為矩形的對角線的交點,現(xiàn)從,,,,這5個點中任選3個點,基本事件總數(shù),這3個點共線的情況有兩種和,這3個點不共線的概率為.故答案為:.【點睛】本題考查概率的求法,考查對立事件概率計算公式等基礎知識,考查運算求解能力,屬于基礎題.16.【解析】
首先判斷出中間號碼的所有可能取值,由此求得基本事件的總數(shù)以及中間數(shù)字是的事件數(shù),根據(jù)古典概型概率計算公式計算出所求概率.【詳解】根據(jù)“鐘型驗證碼”中間數(shù)字最大,然后向兩邊對稱遞減,所以中間的數(shù)字可能是.當中間是時,其它個數(shù)字可以是,選其中兩個排在左邊(排法唯一),另外兩個排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當中間是時,其它個數(shù)字可以是,選其中兩個排在左邊(排法唯一),另外兩個排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當中間是時,其它個數(shù)字可以是,選其中兩個排在左邊(排法唯一),另外兩個排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當中間是時,其它個數(shù)字可以是,選其中兩個排在左邊(排法唯一),另外兩個排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當中間是時,其它個數(shù)字可以是,選其中兩個排在左邊(排法唯一),另外兩個排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當中間是時,其它個數(shù)字可以是,選其中兩個排在左邊(排法唯一),另外兩個排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.所以該驗證碼的中間數(shù)字是7的概率為.故答案為:【點睛】本小題主要考查古典概型概率計算,考查分類加法計數(shù)原理、分類乘法計數(shù)原理的應用,考查運算求解能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)作圖見解析;更適合(2)(3)預報值為245【解析】
(1)由散點圖即可得到答案;(2)把兩邊取自然對數(shù),得,由計算得到,再將代入可得,最終求得,即;(3)將代入中計算即可.【詳解】解:(1)繪出關于的散點圖,如圖所示:由散點圖可知,更適合作為該種細菌的繁殖數(shù)量關于的回歸方程類型;(2)把兩邊取自然對數(shù),得,即,由.∴,則關于的回歸方程為;(3)當時,計算可得;即溫度為27℃時,該種細菌的繁殖數(shù)量的預報值為245.【點睛】本題考查求非線性回歸方程及其應用的問題,考查學生數(shù)據(jù)處理能力及運算能力,是一道中檔題.18.(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】
(1)利用平行四邊形的方法,證明平面.(2)通過證明平面,由此證得.【詳解】(1)設是中點,連接,由于是中點,所以且,而且,所以與平行且相等,所以四邊形是平行四邊形,所以,由于平面,平面,所以平面.(2)連接,由于直三棱柱中,而,,所以平面,所以,由于,所以.由于四邊形是矩形且,所以四邊形是正方形,所以,由于,所以平面,所以.【點睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查線面垂直的證明,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.19.(1);(2).【解析】
(1)求出函數(shù)的定義域,即可求出結論;(2)化簡集合,根據(jù)確定集合的端點位置,建立的不等量關系,即可求解.【詳解】(1)由,即得或,所以集合或.(2)集合,由得或,解得或,所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查集合的運算,集合間的關系求參數(shù),考查函數(shù)的定義域,屬于基礎題.20.(1)(2)【解析】
(1)先證得,設與交于點,在中解直角三角形求得,由此求得的值.(2)建立空間直角坐標系,利用平面和平面的法向量,計算出二面角的余弦值.【詳解】(1)由題意,,設與交于點,在中,可求得,則,可求得,則(2)以為原點,方向為軸,方向為軸,方向為軸,建立空間直角
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