2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列1.1.1數(shù)列的概念學(xué)案含解析北師大版必修5

PAGE§1數(shù)列1.1數(shù)列的概念內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.了解數(shù)列的概念及其簡(jiǎn)潔表示和數(shù)列的分類，相識(shí)數(shù)列是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型.2.能依據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式.達(dá)成數(shù)學(xué)抽象發(fā)展邏輯推理提升數(shù)學(xué)運(yùn)算授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第1頁[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問點(diǎn)一數(shù)列及其有關(guān)概念預(yù)習(xí)教材P3－6，思索并完成以下問題1．視察下面5列數(shù)，它們有什么共同特征？(1)全體自然數(shù)按從小到大排成一列數(shù)：0，1，2，3，4，….(2)正整數(shù)1，2，3，4，5的倒數(shù)排成一列數(shù)：1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5).(3)π精確到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值排成一列數(shù)：3，3.1，3.14，3.141，….(4)無窮多個(gè)1排成一列數(shù)：1，1，1，1，1，….(5)當(dāng)n分別取1，2，3，4，5，…時(shí)，(－1)n的值排成一列數(shù)：－1，1，－1，1，－1，….提示：這五列數(shù)的共同特征：都是依據(jù)肯定依次排列的一列數(shù)．2．上述5列數(shù)，按項(xiàng)的個(gè)數(shù)來分，可以把數(shù)列分為幾類？提示：從項(xiàng)數(shù)的多少可以把數(shù)列分為兩類：有窮數(shù)列如(2)和無窮數(shù)列如(1)(3)(4)(5)．學(xué)問梳理1.數(shù)列的概念及一般形式(1)相關(guān)概念①數(shù)列：按肯定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列．②項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，其中數(shù)列的第1項(xiàng)a1，也稱首項(xiàng)；an是數(shù)列的第n項(xiàng)，也叫數(shù)列的通項(xiàng)．(2)一般形式數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡(jiǎn)記為{an}．2．?dāng)?shù)列的分類(按項(xiàng)的個(gè)數(shù))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(有窮數(shù)列→項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列,無窮數(shù)列→項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列.))學(xué)問點(diǎn)二數(shù)列的通項(xiàng)公式思索并完成以下問題視察數(shù)列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5)，…，數(shù)列的每一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號(hào)之間存在怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？提示：用文字語言描述：數(shù)列的每一項(xiàng)為這一項(xiàng)序號(hào)的倒數(shù)，用符號(hào)語言描述：an＝eq\f(1,n).學(xué)問梳理假如數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子表示成an＝f(n)，那么這個(gè)式子就叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式．[自我檢測(cè)]1．(2024·信陽市模擬)數(shù)列1，3，6，10，x，21，…中的x等于()A．17 B．16C．15 D．14解析：∵3－1＝2，6－3＝3，10－6＝4，∴x－10＝5，21－x＝6，∴x＝15，故選C.答案：C2．(2024·天門市模擬)數(shù)列－1，4，－9，16，－25…的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝n2 B．a(chǎn)n＝(－1)nn2C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1n2 D．a(chǎn)n＝(－1)n(n＋1)2解析：設(shè)此數(shù)列為{an}，其符號(hào)為(－1)n，肯定值為n2，∴an＝(－1)nn2.故選B.答案：B3．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n(n－1)，則a3＝________，30是該數(shù)列的第________項(xiàng)．解析：∵an＝n(n－1)，∴a3＝3×(3－1)＝6.令an＝n(n－1)＝30，解得n＝6或n＝－5(舍去)．答案：66授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第2頁探究一由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式[閱讀教材P5例2及解答]寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．(1)3，5，7，9…(2)1，2，4，8…(3)9，99，999，9999，…題型：用視察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式．方法步驟：①視察各項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系；②寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．[例1]寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)．(1)eq\f(1,2)，2，eq\f(9,2)，8，….(2)1，－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，－eq\f(1,4)，….(3)2，0，2，0，….(4)eq\r(2)，eq\r(3)，2，eq\r(5)，….[解析](1)統(tǒng)一形式后，數(shù)列可化為eq\f(1,2)，eq\f(4,2)，eq\f(9,2)，eq\f(16,2)，…，可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n2,2).(2)因數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)帶負(fù)號(hào)，須要乘以(－1)n＋1，原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n＋1×eq\f(1,n).(3)法一：數(shù)列給出前4項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)為2，偶數(shù)項(xiàng)為0，所以通項(xiàng)公式的一種表示方法為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（n為正奇數(shù)），,0（n為正偶數(shù)）.))法二：2與0的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(2＋0,2)＝1，1加上1是2，1加上－1是0，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式還可以寫成an＝1＋(－1)n＋1.(4)將前4項(xiàng)改寫成根式的形式為：eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(4)，eq\r(5)，…故這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\r(n＋1).方法技巧由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式的常用方法此類問題主要靠視察(視察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特別數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法．詳細(xì)方法為：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的改變特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)的符號(hào)特征和肯定值特征；⑤化異為同，對(duì)于分式，還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，或找尋分子、分母的關(guān)系．跟蹤探究1.依據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．(1)0.9，0.99，0.999，0.9999，….(2)1eq\f(1,2)，2eq\f(4,5)，3eq\f(9,10)，4eq\f(16,17)，….(3)eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(7,8)，eq\f(15,16)，….解析：(1)0.9＝1－0.1＝1－10－1，0.99＝1－10－2，0．999＝1－10－3；0.9999＝1－10－4.故an＝1－10－n(n∈N＋)．(2)1eq\f(1,2)＝1＋eq\f(12,12＋1)，2eq\f(4,5)＝2＋eq\f(22,22＋1)，3eq\f(9,10)＝3＋eq\f(32,32＋1)，4eq\f(16,17)＝4＋eq\f(42,42＋1)，故an＝n＋eq\f(n2,n2＋1)(n∈N＋)．(3)eq\f(1,2)＝eq\f(21－1,21)，eq\f(3,4)＝eq\f(22－1,22)，eq\f(7,8)＝eq\f(23－1,23)，eq\f(15,16)＝eq\f(24－1,24)，故an＝eq\f(2n－1,2n)(n∈N＋)．探究二數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用[閱讀教材P5例1及解答]依據(jù)下面的通項(xiàng)公式，分別寫出數(shù)列的前5項(xiàng)．(1)an＝eq\f(n,n＋2).(2)an＝(－1)ncoseq\f(nπ,4).題型：數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用方法步驟：①把握通項(xiàng)公式中n的位置；②在通項(xiàng)公式中依次取n＝1，2，3，4，5得數(shù)列{an}的前5項(xiàng)．[例2]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\f(（－1）n（n＋1）,（2n－1）（2n＋1）)，n∈N＋.(1)寫出它的第10項(xiàng)；(2)推斷eq\f(2,33)是不是該數(shù)列中的項(xiàng)．[解析](1)a10＝eq\f(（－1）10×（10＋1）,（2×10－1）（2×10＋1）)＝eq\f(11,399).(2)令eq\f(n＋1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(2,33).化簡(jiǎn)得8n2－33n－35＝0，解得n＝5，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＝－\f(7,8)舍去))，當(dāng)n＝5時(shí)，a5＝－eq\f(2,33)≠eq\f(2,33)，所以eq\f(2,33)不是該數(shù)列中的項(xiàng)．延長(zhǎng)探究對(duì)于本例中的{an}，(1)求an＋1；(2)求a2n.解析：(1)an＋1＝eq\f(（－1）n＋1[（n＋1）＋1],[2（n＋1）－1][2（n＋1）＋1])＝eq\f(（－1）n＋1（n＋2）,（2n＋1）（2n＋3）).(2)a2n＝eq\f(（－1）2n（2n＋1）,（2×2n－1）（2×2n＋1）)＝eq\f(2n＋1,（4n－1）（4n＋1）).方法技巧通項(xiàng)公式的應(yīng)用技巧(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的位置序號(hào)n之間的關(guān)系，只要用序號(hào)代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)．(2)推斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)，需假定它是數(shù)列中的項(xiàng)去列方程，若方程的解為正整數(shù)則是數(shù)列的一項(xiàng)；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項(xiàng)．跟蹤探究2.(2024·福州模擬)已知數(shù)列eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，…，eq\f(n,n＋1)，…，則0.96是該數(shù)列的第()A．20項(xiàng) B．22項(xiàng)C．24項(xiàng) D．26項(xiàng)解析：∵數(shù)列eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，…，eq\f(n,n＋1)，…，∴an＝eq\f(n,n＋1).令eq\f(n,n＋1)＝0.96，得n＝24，所以0.96是該數(shù)列的第24項(xiàng)，故選C.答案：C授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第3頁[課后小結(jié)](1)與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項(xiàng)也有三特性質(zhì)．①確定性：一個(gè)數(shù)在不在數(shù)列中，即一個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)是確定的．②可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)．③有序性：一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且也和這些數(shù)的排列次序有關(guān)．(2)并非全部的數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式．例如，π的不同近似值，依據(jù)精確的程度可形成一個(gè)數(shù)列3，3.1，3.14，3.141，…，它沒有通項(xiàng)公式．依據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需細(xì)致視察分析，抓住其幾方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的改變特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)的符號(hào)特征和肯定值特征，并對(duì)此進(jìn)行聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、歸納．(3)假如一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式，則它的通項(xiàng)公式可以有多種形式．[素養(yǎng)培優(yōu)]對(duì)數(shù)列概念的理解不清致誤寫出由集合{x|x∈N＋，且x≤4}中的全部元素構(gòu)成的數(shù)列(要求首