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PAGE第2課時導數(shù)與函數(shù)的極值、最值一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1.函數(shù)的極值與導數(shù)條件f′(x0)=0x0旁邊的左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0x0旁邊的左側(cè)f′(x)<0,右側(cè)f′(x)>0圖象形如山峰形如山谷極值f(x0)為極大值f(x0)為微小值極值點x0為極大值點x0為微小值點(1)函數(shù)的極大值和微小值都可能有多個,極大值和微小值的大小關(guān)系不確定.(2)對于可導函數(shù)f(x),“f′(x0)=0”是“函數(shù)f(x)在x=x0處有極值”的必要不充分條件.2.函數(shù)的最值與導數(shù)(1)函數(shù)f(x)在[a,b]上有最值的條件一般地,假如在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連綿不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值.(2)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟①求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上的極值;②將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.(1)求函數(shù)的最值時,應(yīng)留意極值點和所給區(qū)間的關(guān)系,關(guān)系不確定時,須要分類探討,不行想當然認為極值就是最值.(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)是單調(diào)函數(shù),則f(x)肯定在區(qū)間端點處取得最值;若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個極值點,則相應(yīng)的極值點肯定是函數(shù)的最值點.(3)函數(shù)最值是“整體”概念,而函數(shù)極值是“局部”概念,極大值與微小值之間沒有必定的大小關(guān)系.二、基本技能·思想·活動體驗1.推斷下列說法的正誤,對的打“√”,錯的打“×”.(1)函數(shù)的極大值不肯定比微小值大. (√)(2)對可導函數(shù)f(x),f′(x0)=0是x0點為極值點的充要條件. (×)(3)函數(shù)的極大值肯定是函數(shù)的最大值. (×)(4)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值. (√)2.f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示,則f(x)的微小值點的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4A解析:由題意知在x=-1處f′(-1)=0,且其兩側(cè)導數(shù)符號為左負右正,f(x)在x=-1左減右增.故選A.3.函數(shù)f(x)=2x-xlnx的極大值是()A.eq\f(1,e)B.eq\f(2,e)C.eD.e2C解析:f′(x)=2-(lnx+1)=1-lnx.令f′(x)=0,得x=e.當0<x<e時,f′(x)>0;當x>e時,f′(x)<0.所以x=e時,f(x)取到極大值,f(x)極大值=f(e)=e.4.若函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處有微小值,則常數(shù)c的值為()A.4B.2或6C.2D.6C解析:函數(shù)f(x)=x(x-c)2的導數(shù)為f′(x)=3x2-4cx+c2.由題意知,f(x)在x=2處的導數(shù)值為12-8c+c2=0,解得c=2或6.又函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處有微小值,故導數(shù)在x=2處左側(cè)為負,右側(cè)為正.當c=2時,f(x)=x(x-2)2的導數(shù)在x=2處左側(cè)為負,右側(cè)為正,即在x=2處有微小值.而當c=6時,f(x)=x(x-6)2在x=2處有極大值.故c=2.5.函數(shù)f(x)=2x3-2x2在區(qū)間[-1,2]上的最大值是________.8解析:f′(x)=6x2-4x=2x(3x-2).由f′(x)=0,得x=0或x=eq\f(2,3).因為f(-1)=-4,f(0)=0,feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))=-eq\f(8,27),f(2)=8,所以最大值為8.考點1利用導數(shù)求函數(shù)的極值——綜合性考向1依據(jù)函數(shù)的圖象推斷函數(shù)的極值(多選題)已知函數(shù)f(x)在R上可導,其導函數(shù)為f′(x),且函數(shù)y=(1-x)f′(x)的圖象如圖所示,則()A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)B.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)C.函數(shù)f(x)有微小值f(-2)D.函數(shù)f(x)有微小值f(2)BD解析:由題圖可知,當x<-2時,f′(x)>0;當-2<x<1時,f′(x)<0;當1<x<2時,f′(x)<0;當x>2時,f′(x)>0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x=-2處取得極大值,在x=2處取得微小值.依據(jù)函數(shù)的圖象推斷極值的方法依據(jù)已知條件,分狀況確定導數(shù)為0的點,及導數(shù)為0點處左右兩側(cè)導數(shù)的正負,從而確定極值類型.考向2已知函數(shù)解析式求極值已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(a∈R).(1)當a=eq\f(1,2)時,求f(x)的極值;(2)探討函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點的個數(shù).解:(1)當a=eq\f(1,2)時,f(x)=lnx-eq\f(1,2)x,定義域為(0,+∞),且f′(x)=eq\f(1,x)-eq\f(1,2)=eq\f(2-x,2x).令f′(x)=0,解得x=2.于是當x改變時,f′(x),f(x)的改變狀況如下表.x(0,2)2(2,+∞)f′(x)+0-f(x)↗ln2-1↘故f(x)在定義域上的極大值為f(2)=ln2-1,無微小值.(2)由(1)知,函數(shù)的定義域為(0,+∞),f′(x)=eq\f(1,x)-a=eq\f(1-ax,x).當a≤0時,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,此時函數(shù)f(x)在定義域上無極值點;當a>0,x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,a)))時,f′(x)>0,x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a),+∞))時,f′(x)<0,故函數(shù)f(x)在x=eq\f(1,a)處有極大值.綜上可知,當a≤0時,函數(shù)f(x)無極值點;當a>0時,函數(shù)f(x)有一個極大值點,且為x=eq\f(1,a).求函數(shù)極值的一般步驟(1)先求函數(shù)f(x)的定義域,再求函數(shù)f(x)的導函數(shù);(2)求f′(x)=0的根;(3)推斷在f′(x)=0的根的左、右兩側(cè)f′(x)的符號,確定極值點;(4)求出函數(shù)f(x)的極值.考向3已知函數(shù)的極值求參數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行,求a;(2)若f(x)在x=2處取得微小值,求a的取值范圍.解:(1)因為f(x)=[ax2-(4a+1)·x+4a+3]ex,所以f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex,f′(1)=(1-a)e.由題設(shè)知f′(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.所以a的值為1.(2)由(1)得f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex.若a>eq\f(1,2),則當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a),2))時,f′(x)<0;當x∈(2,+∞)時,f′(x)>0.所以f(x)在x=2處取得微小值.若a≤eq\f(1,2),則當x∈(0,2)時,x-2<0,ax-1≤eq\f(1,2)x-1<0,所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的微小值點.綜上可知,a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),+∞)).已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的兩個關(guān)鍵(1)列式:依據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解.(2)驗證:因為某點處的導數(shù)值等于0不是此點為極值點的充要條件,所以利用待定系數(shù)法求解后必需驗證該點左右兩側(cè)的正負.1.(多選題)定義在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),4))上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,4)單調(diào)遞增B.函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),0))單調(diào)遞減C.函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值D.函數(shù)f(x)在x=0處取得微小值A(chǔ)BD解析:依據(jù)導函數(shù)圖象可知,f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),0))上,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,4)上,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.所以f(x)在x=0處取得微小值,沒有極大值.所以A,B,D選項正確,C選項錯誤.故選ABD.2.(2024·青島一模)已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x-9,x≥0,,xex,x<0))(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)).若f(x)的零點為α,極值點為β,則α+β=()A.-1B.0C.1D.2C解析:當x≥0時,f(x)=3x-9為增函數(shù),無極值.令f(x)=0,即3x-9=0,解得x=2,即函數(shù)f(x)的一個零點為2;當x<0時,f(x)=xex<0,無零點,f′(x)=ex+xex=(1+x)ex,則當-1<x<0時,f′(x)>0.當x<-1時,f′(x)<0,所以當x=-1時,函數(shù)f(x)取得微小值.綜上可知,α+β=2+(-1)=1.故選C.3.函數(shù)f(x)=eq\f(2x+1,x2+2)的微小值為________.-eq\f(1,2)解析:f′(x)=eq\f(2x2+2-2x2x+1,x2+22)=eq\f(-2x+2x-1,x2+22).令f′(x)<0,得x<-2或x>1;令f′(x)>0,得-2<x<1.所以f(x)在(-∞,-2),(1,+∞)上單調(diào)遞減,在(-2,1)上單調(diào)遞增,所以f(x)微小值=f(-2)=-eq\f(1,2).4.設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-2x2+x+c(a≥0).(1)當a=1,且函數(shù)圖象過點(0,1)時,求函數(shù)f(x)的微小值;(2)若f(x)在(-∞,+∞)上無極值點,求a的取值范圍.解:f′(x)=3ax2-4x+1.(1)函數(shù)f(x)的圖象過點(0,1)時,有f(0)=c=1.當a=1時,f′(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1).令f′(x)>0,解得x<eq\f(1,3)或x>1;令f′(x)<0,解得eq\f(1,3)<x<1.所以函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(1,3)))和(1,+∞)上單調(diào)遞增;在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),1))上單調(diào)遞減,微小值是f(1)=13-2×12+1+1=1.(2)若f(x)在(-∞,+∞)上無極值點,則f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)函數(shù),即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立.①當a=0時,f′(x)=-4x+1,明顯不滿意條件;②當a>0時,f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要條件是Δ=(-4)2-4×3a×1≤0,即16-12a≤0,解得a≥eq\f(4,3).綜上,a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3),+∞)).考點2利用導數(shù)求函數(shù)的最值——應(yīng)用性(2024·北京卷)已知函數(shù)f(x)=12-x2.(1)求曲線y=f(x)的斜率等于-2的切線方程;(2)設(shè)曲線y=f(x)在點(t,f(t))處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為S(t),求S(t)的最小值.解:(1)因為f(x)=12-x2,所以f′(x)=-2x.設(shè)切點為(x0,12-xeq\o\al(2,0)),則-2x0=-2,即x0=1,所以切點為(1,11).由點斜式可得切線方程為y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0.(2)明顯t≠0,因為y=f(x)在點(t,12-t2)處的切線方程為y-(12-t2)=-2t(x-t),即y=-2tx+t2+12.令x=0,得y=t2+12;令y=0,得x=eq\f(t2+12,2t).所以S(t)=eq\f(1,2)×(t2+12)·eq\f(t2+12,2|t|)=eq\f(t2+122,4|t|),t≠0,明顯為偶函數(shù).只需考察t>0即可(t<0時,結(jié)果一樣),則S(t)=eq\f(t4+24t2+144,4t)=eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t3+24t+\f(144,t))),S′(t)=eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3t2+24-\f(144,t2)))=eq\f(3t4+8t2-48,4t2)=eq\f(3t2-4t2+12,4t2)=eq\f(3t-2t+2t2+12,4t2).由S′(t)>0,得t>2;由S′(t)<0,得0<t<2.所以S(t)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,所以t=2時,S(t)取得微小值,也是最小值為S(2)=eq\f(16×16,8)=32.綜上所述,當t=±2時,S(t)min=32.求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟(1)求函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值;(2)求函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值f(a),f(b);(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值.已知k∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1)),函數(shù)f(x)=(x-1)ex-kx2.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求函數(shù)f(x)在[0,k]上的最大值.解:(1)由題意得f′(x)=ex+(x-1)ex-2kx=x(ex-2k).因為k∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1)),所以1<2k≤2.令f′(x)>0,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0,,ex-2k>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0,,ex-2k<0,))解得x>ln2k或x<0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(ln2k,+∞),(-∞,0).令f′(x)<0,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0,,ex-2k<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0,,ex-2k>0,))解得0<x<ln2k.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,ln2k).所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(ln2k,+∞),(-∞,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,ln2k).(2)令φ(k)=k-ln(2k),k∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1)),φ′(k)=1-eq\f(1,k)=eq\f(k-1,k)≤0.所以φ(k)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1))上是減函數(shù).所以φ(1)≤φ(k)<φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).所以1-ln2≤φ(k)<eq\f(1,2)<k,即0<ln(2k)<k.所以f′(x),f(x)隨x的改變狀況如下表:x(0,ln(2k))ln(2k)(ln(2k),k)f′(x)-0+f(x)↘微小值↗f(0)=-1,f(k)-f(0)=(k-1)ek-k3-f(0)=(k-1)ek-k3+1=(k-1)ek-(k3-1)=(k-1)ek-(k-1)(k2+k+1)=(k-1)[ek-(k2+k+1)].因為k∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1)),所以k-1≥0.對隨意的k∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1)),y=ek的圖象恒在直線y=k2+k+1的下方,所以ek-(k2+k+1)≤0.所以f(k)-f(0)≥0,即f(k)≥f(0).所以函數(shù)f(x)在[0,k]上的最大值f(k)=(k-1)ek-k3.考點3極值與最值的綜合應(yīng)用——綜合性(2024·山東師范高校附中高三質(zhì)評)已知函數(shù)f(x)=x2·eax+1-blnx-ax(a,b∈R).(1)若b=0,曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線y=2x平行,求a的值;(2)若b=2,且函數(shù)f(x)的值域為[2,+∞),求a的最小值.解:(1)當b=0時,f(x)=x2eax+1-ax,x>0,f′(x)=xeax+1(2+ax)-a.由f′(1)=ea+1(2+a)-a=2,得ea+1(2+a)-(a+2)=0,即(ea+1-1)(2+a)=0,解得a=-1或a=-2.當a=-1時,f(1)=e0+1=2,此時直線y=2x恰為切線,舍去.所以a=-2.(2)當b=2時,f(x)=x2eax+1-2lnx-ax,x>0.設(shè)t=x2eax+1(t>0),則lnt=2lnx+ax+1,故函數(shù)f(x)可化為g(t)=t-lnt+1(t>0).由g′(t)=1-eq\f(1,t)=eq\f(t-1,t),可得g(t)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),所以g(t)的最小值為g(1)=1-ln1+1=2.此時,t=1,函數(shù)f(x)的值域為[2,+∞).問題轉(zhuǎn)化為:當t=1時,lnt=2lnx+ax+1有解,即ln1=2lnx+ax+1=0,得a=-eq\f(1+2lnx,x).設(shè)h(x)=-eq\f(1+2lnx,x),x>0,則h′(x)=eq\f(2lnx-1,x2),故h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,eq\r(e)),單調(diào)遞增區(qū)間為(eq\r(e),+∞),所以h(x)的最小值為h(eq\r(e))=-eq\f(2,\r(e)),故a的最小值為-eq\f(2,\r(e)).求解函數(shù)極值與最值綜合問題的策略(1)求極值、最值時,要求步驟規(guī)范,函數(shù)的解析式含參數(shù)時,要探討參數(shù)的大?。?2)求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值,不僅要探討其極值狀況,還要探討其單調(diào)性,并通過單調(diào)性和極值狀況,畫出函數(shù)的大致圖象,然后借助圖象視察得到函數(shù)的最值.1.(2024·福建三校聯(lián)考)若方程8x=x2+6lnx+m僅有一個解,則實數(shù)m的取值范圍為()A.(-∞,7)B.(15-6ln3,+∞)C.(12-61n3,+∞)D.(-∞,7)∪(15-6ln3,+∞)D解析:方程8x=x2+6lnx+m僅有一個解等價于函數(shù)m(x)=x2-8x+6lnx+m(x>0)的圖象與x軸有且只有一個交點.對函數(shù)m(x)求導得m′(x)=2x-8+eq\f(6,x)=eq\f(2x2-8x+6,x)=eq\f(2x-1x-3,x).當x∈(0,1)時,m′(x)>0,m(x)單調(diào)遞增;當x∈(1,3)時,m′(x)<0,m(x)單調(diào)遞減;當x∈(3,+∞)時,m′(x)>0,m(x)單調(diào)遞增,所以m(x)極大值=m(1)=m-7,
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