專題13-相似三角形中的圓的切線問題專練(一)(解析版)九下數(shù)學專題培優(yōu)訓練

第=page22頁，共=sectionpages22頁專題13相似三角形中的圓的切線問題專練（一）班級：___________姓名：___________得分：___________一、選擇題如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，C是劣弧AB的中點，連接BC并延長交PA于D，若PDAD=23，則CDCBA.13 B.23 C.35【答案】B【分析】連接OA、OB，過B作BE//PA與PO的延長線交于點E，證明Rt△OAP≌Rt△OBP，進而可得CDCB=PDPA．

本題主要考查了圓的切線長定理，圓的切線的性質，相似三角形的性質與判定，關鍵是構造相似三角形．

【解答】解：連接OA、OB，過B作BE//PA與PO的延長線交于點E，

∵PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，

∴∠OAP=∠OBP=90°，OA=OB，PA=PB，

∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL)，

∴∠APE=∠BPE，∠AOP=∠BOP，

∴OP平分AB，

∵C是劣弧AB的中點，

∴點C在OP上，

∵BE//PA，

∴∠BEP=∠APE=∠BPE，

∴BE=PB=PA，

∵BE//PA，

∴△PCD∽△ECB，

∴DCBC=PDEB，

∴CD如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，AD平分∠BAC，交⊙O于點D，過點D的切線交AC的延長線于點E，若DE=4，AC=2，則⊙O的半徑為(

)A.6 B.15 C.17 D.2【答案】C【分析】

本題考查矩形的判定與性質，切線的性質，平行線分線段成比例，求得BC的長是解題的關鍵，屬于中檔題．

連接OD交CB于點F，根據(jù)AD平分∠BAC及OA=OD，得AE//OD，結合DE是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，得到四邊形FDEC是矩形；根據(jù)AE//OD，AO=BO，得到BC=2CF=8，在中，運用勾股定理得到AB=217，即可得到⊙O的半徑．

【解答】

解：如圖，連接OD交CB于點F，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAB=∠DAE，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODA=∠DAE，

∴AE//OD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠OFC=90°，

∵過點D的切線交AC的延長線于點E，

∴OD⊥DE，

∴四邊形FDEC是矩形，

∴CF=DE=4，

∵AE//OD，AO=BO，

∴BC=2CF=8，

在中，

AB=BC2+AC2=8如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點，點C是弧AD的中點，弦CE⊥AB于點E，過點D的切線交EC的延長線于點G，連接AD，分別交CE、CB于點P、Q，連接AC，給出下列結論：①∠DAC=∠ABC；②AD=CB；③點P是△ACQ的外心；④AC2=AE?AB；A.①③⑤ B.②④⑤ C.①②⑤ D.①③④【答案】D【分析】在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，所對的弦相等，據(jù)此推理可得①正確，②錯誤；通過推理可得∠ACE=∠CAP，得出AP=CP，再根據(jù)∠PCQ=∠PQC，可得出PC=PQ，進而得到AP=PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點，故P為Rt△ACQ的外心，即可得出③正確；連接BD，則∠ADG=∠ABD，根據(jù)∠ADG≠∠BAC，∠BAC=∠BCE=∠PQC，可得出∠ADG≠∠PQC，進而得到CB與GD不平行，可得⑤錯誤．

此題主要考查了切線的性質，圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系，相似三角形的判定與性質以及三角形的外接圓與圓心的綜合應用，熟練掌握性質及定理是解決本題的關鍵．解題時注意：弦切角等于弦所對的圓周角．

【解答】解：∵在⊙O中，點C是AD的中點，

∴AC=CD，

∴∠CAD=∠ABC，故①正確；

∵AC≠BD，

∴AD≠BC，

∴AD≠BC，故②錯誤；

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

又∵CE⊥AB，

∴∠ACE+∠CAE=∠ABC+∠CAE=90°，

∴∠ACE=∠ABC，

又∵C為AD的中點，

∴AC=CD，

∴∠CAP=∠ABC，

∴∠ACE=∠CAP，

∴AP=CP，

∵∠ACQ=90°，

∴∠ACP+∠PCQ=∠CAP+∠PQC=90°，

∴∠PCQ=∠PQC，

∴PC=PQ，

∴AP=PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點，

∴P為Rt△ACQ的外心，故③正確；

由∠ACB=∠AEC=90°，∠ACE=∠ABC，

可得△ABC∽△ACE，可得AEAC=ACAB，

可得AC2=AE?AB，故④正確；

如圖，連接BD，則∠ADG=∠ABD，

∵AC≠BD，

∴AD≠如圖，直線PA是⊙O的切線，且AB是⊙O的直徑，連接OP交⊙O于點D.過點A作AC⊥OP交⊙O于點C，垂足為E，連接BC.若PA=3OA=3，則BC的長為(????)

A.12 B.23 C.255【答案】D【分析】

此題考查了相似三角形的判定和性質，切線的性質，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理的應用等.求得三角形相似是本題的關鍵．

首先要根據(jù)圓的性質，直徑所對的圓周角是直角，再根據(jù)切線的性質可得∠PAO=90°，在Rt△AOP中，由勾股定理求出OP長，由AC⊥OP，∠ABC=90°，得PO//BC，根據(jù)平行線的性質，可得∠AOP=∠CBA，所以可證得△ABC∽△POA，根據(jù)相似三角形的性質，相似三角形的對應邊成比例可求得BC的長．

【解答】

解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵PA是⊙O的切線，

∴∠OAP=90°，

∵AC⊥OP，∠ACB=90°

BC//OP，

∴∠AOP=∠CBA，

則△ABC∽△POA，

OABC=OPAB

∵PA=3OA=3，

∴OA=1，AB=2，PA=3，

在Rt△OAP中，

∴OP=10，如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點，點C是弧AD的中點，弦CE⊥AB于點E，過點D的切線交EC的延長線于點G，連結AD，分別交CE，CB于點P，Q，連結AC.給出下列結論：?①∠BAD=∠ABC;?②AD=CB;?③點P是△ACQ的外心;?④GP=GD;?⑤CB//GD.其中正確的結論有(????)

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【分析】

此題是圓的綜合題，其中涉及到切線的性質，圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關系定理，相似三角形的判定與性質，以及三角形的外接圓與圓心，平行線的判定，熟練掌握性質及定理是解決本題的關鍵．

根據(jù)切線的性質、垂徑定理、圓周角定理、弧與弦的關系、三角形的外心的定義、等腰三角形的判定方法．平行線的判定方法一一判斷即可．

【解答】

解：

∵在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點，點C是弧AD的中點，

∴?AC?=??CD?≠??BD，

∴∠BAD≠∠ABC，故①錯誤；

∵AC?≠??BD，

∴AC?+??CD?≠??BD?+??CD，

即

AD?≠??BC，

∴AD≠BC，故②錯誤；

∵弦CE⊥AB于點F，

∴A為

?CE的中點，即

AE?=??AC，

又∵C為

AD的中點，

∴??AC?=??CD，

∴?AE?=??CD，

∴∠CAP=∠ACP，

∴AP=CP．

∵AB為圓O的直徑，

∴∠ACQ=90°，

∴∠PCQ=∠PQC，

∴PC=PQ，

∴AP=PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點，

∴P為Rt△ACQ的外心，故③正確；

連接OD，

則OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，

∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EPA+∠FAP=∠FAP+∠GPD=90°，

∴∠GPD=∠GDP；

∴GP=GD，故④正確；

∵CE⊥AB，

∴?BC?=??BE，

∵?如圖，AB為⊙O的直徑，BC，CD是⊙O的切線，切點分別為點B，D.點E為線段OB上的一個動點，連接AD，OD，CE，DE.已知AB=25，BC=2，當CE+DE的值最小時，則CEDE的值為(????)

A.53 B.23 C.910【答案】C【分析】

本題是圓的綜合題，主要考查了切線長定理，切線的性質，相似三角形的性質與判定，勾股定理以及軸對稱—最短路線問題等知識，問題較復雜，作的輔助線較多，正確作輔助線是解決問題的關鍵．延長CB到F使得BC=BF，則C與F關于OB對稱，連接DF與OB相交于點E，此時CE+DE=DF值最小，連接OC，BD，兩線相交于點G，過D作DH⊥OB于H，先求得BG，再求BH，進而DH，運用相似三角形得EFDE=BFDH，便可得解．

【解答】

解：延長CB到F使得BC=BF，則C與F關于OB對稱，連接DF與OB相交于點E，此時CE+DE=DF值最小，

連接OC，BD，兩線相交于點G，過D作DH⊥OB于H，

則OC⊥BD，OC=OB2+BC2=5+4=3，

∵CB⊥OB，∠COB=∠BOG，

ΔCOB∽ΔBOG，

∴BCBG=OCOB，

∴OB?BC=OC?BG，

∴BG=235，

∴BD=2BG=二、填空題如圖，AB是⊙O的弦，過點O作OC⊥OA，OC交于AB于P，且CP=CB，已知∠BAO=25°，OA=2.下列結論：①BC是⊙O的切線；②∠AQB=65°；③?CBP與?ABQ相似：④AQB的長為239π.正確的是________(寫出正確結論的序號【答案】①②④【分析】

本題主要考查切線的判定和弧長的計算以及圓周角定理等知識的綜合運用，①連接OB，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠OAB=∠OBA，∠CPB=∠PBC，等量代換得到∠APO=∠CBP，根據(jù)OC⊥OA，即可得到∠CBO=90°，從而得到BC是⊙O的切線；②根據(jù)等腰三角形和三角形內角和定理得到∠AOB=130°，根據(jù)圓周角定理即可得到結論；③△CBP是等腰三角形，而點Q是⊙O的優(yōu)弧AB上的一點，無法證明△ABQ是等腰三角形，即無法證明?CBP與?ABQ相似；④根據(jù)弧長公式即可得到AQB的長，據(jù)此判斷即可得到答案．

【解答】證明：①連接OB，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵PC=CB，

∴∠CPB=∠PBC，

∵∠APO=∠CPB，

∴∠APO=∠CBP，

∵OC⊥OA，

∴∠AOP=90°，

∴∠OAP+∠APO=90°，

∴∠CBP+∠ABO=90°，

∴∠CBO=90°，

∴BC是⊙O的切線；故①正確；

②∵∠BAO=25°，

∴∠ABO=25°，

∴∠AOB=180°?25°?25°=130°

∴∠AQB=12∠AOB=12×130°=65°；故②正確；

③∵在△CBP中，CP=CB，

∴△CBP是等腰三角形，

∵點Q是⊙O的優(yōu)弧AB上的一點，

∴無法證明△ABQ是等腰三角形，

∴無法證明?CBP與?ABQ相似，

故③錯誤；

④∵∠AOB=130°，OA=2，

∴AQB

如圖9，AB是的直徑，AD是的切線，點C在上，，AB=2，OD=3，則BC的長為_________?！敬鸢浮?【分析】

此題主要考查了圓周角定理、切線的性質以及相似三角形的判定和性質，能夠根據(jù)已知條件得到與所求相關的相似三角形，是解題的關鍵．由于OD//BC，可得同位角∠B=∠AOD，進而可證得Rt△AOD∽Rt△CBA，根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求出BC的長．

【解答】

解：∵OD//BC，

∴∠AOD=∠B；

∵AD是⊙O的切線，

∴AD是○O的切線，AB為圓O的直徑，

∴∠OAD=∠ACB=90°，

∴Rt△AOD∽Rt△CBA，

∴BCOA=ABOD，即BC1=如圖，圓O是銳角△ABC的外接圓，D是弧AB的中點，CD交AB于點E，∠BAC的平分線交CD于點F，過點D的切線交CA的延長線于點P，連接AD，則有下列結論：

①點F是△ABC的重心；

②PD//AB；

③AF=AE；

④DF2=DE?CD，

其中正確結論的序號是______【答案】②④【分析】結論②④正確，利用垂徑定理，切線的性質，相似三角形的判定和性質即可解決問題．

本題考查三角形的重心，內心，切線的性質，垂徑定理，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，利用切線的性質解決問題，屬于中考?？碱}型．

【解答】解：∵D是弧AB的中點，

∴∠ACD=∠BCD，

∵AF平分∠CAB，

∴點F是△ABC的內心，故①錯誤，

連接OD，

∵PD是切線，

∴OD⊥PD，

∵AD=DB，

∴OD⊥AB，

∴PD//AB，故②正確，

∵∠AFE=∠FAC+∠ACF，AEF=∠B+∠ECB，∠ACF=∠ECB，∠CAF與∠B不一定相等，

∴∠AFE與∠AEF不一定相等，

∴AE與AF不一定相等，故③錯誤，

∵∠DAF=∠EAF+∠EAD，∠AFD=∠FAC+∠ACF，∠FAC=∠FAE，∠EAD=∠DCB=∠ACF，

∴∠DAF=∠DFA，

∴DA=DF，

∵∠ADE=∠ADC，∠DAE=∠DCB=∠DCA，

∴△ADE≌△CDA，

∴ADCD=DEAD，

∴AD2如圖，AB是⊙O的直徑，AD是⊙O的切線，點C在⊙O上，BC//OD，AB=2，OD=3，則BC的長為______．【答案】2【分析】由于OD//BC，可得同位角∠B=∠AOD，進而可證得Rt△AOD∽Rt△CBA，根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求出BC的長．

此題主要考查了圓周角定理、切線的性質以及相似三角形的判定和性質，能夠根據(jù)已知條件得到與所求相關的相似三角形，是解題的關鍵．

【解答】解：∵OD//BC，

∴∠AOD=∠B；

∵AD是⊙O的切線，

∴BA⊥AD，AB為圓O的直徑，

∴∠OAD=∠ACB=90°，

∴Rt△AOD∽Rt△CBA，

∴BCOA=ABOD如圖，⊙O是銳角△ABC的外接圓，F(xiàn)H是⊙O的切線，切點為F，F(xiàn)H?//?BC，連結AF交BC于E，∠ABC的平分線BD交AF于D，連結BF。下列結論：①BF?=FC?；②連接DC，點F為△BCD的外心；③若EF=4，DE=3，則AD=234；④BECE【答案】①②④【分析】此題主要考查了切線的性質、圓周角定理及相似三角形的判定和性質．

①連接OF，通過切線的性質證OF⊥FH，進而由FH//BC，得OF⊥BC，即可由垂徑定理得到F是弧BC的中點即可；

②由三角形外角性質和同弧所對的圓周角相等可得∠BDF=∠FBD，可得BF=DF=CF，可得點F為△BDC的外心；

③由EF、DE的長可得出DF的長，進而可由②的結論得到BF的長；然后證明△FBE∽△FAB，根據(jù)相似三角形得到的成比例線段，可求出AF的長，即可由AD=AF?DF求出AD的長；

④如圖2，過點C作CG//AB，交AF的延長線于點G，通過證明△BAE∽△CGE，可得

【解答】解：如圖1，連接OF，CF，

①解：∵FH是⊙O的切線，

∴OF⊥FH，

∵FH//BC，

∴OF⊥BC，且OF為半徑，

∴OF垂直平分BC，

故①正確，

②解：∵∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2，

∴∠1+∠4=∠2+∠3，

∴∠1+∠4=∠5+∠3，

∵∠1+∠4=∠BDF，∠5+∠3=∠FBD，

∴∠BDF=∠FBD，

∴BF=FD，且BF=CF，

∴BF=DF=CF，

∴點F為△BDC的外心，

故②正確；

③解：

在△BFE和△AFB中

∵∠5=∠2=∠1，∠AFB=∠AFB，

∴△BFE∽△AFB

④解：

如圖2，過點C作CG//AB，交AF的延長線于點G，

∵CG//AB，

∴∠BAE=∠EGC，且∠BAE=∠CAE，

∴∠CAE=∠CGE，

∴AC=CG，

∵CG//AB，

∴△BAE∽△CGE，

如圖，AB為半圓的直徑，點D在半圓弧上，過點D作AB的平行線與過點A半圓的切線交于點C，點E在AB上，若DE垂直平分BC，則AECD=______．【答案】5【分析】連接CE，過點B作BH⊥CD交CD的延長線于點H，可證四邊形ACHB是矩形，可得AC=BH，AB=CH，由垂直平分線的性質可得BE=CE，CD=BD，可證CE=BE=CD=DB，通過證明Rt△ACE≌Rt△HBD，可得AE=DH，通過證明△ACD∽△DHB，可得AC2=AE?BE，由勾股定理可得BE2?AE2=AC2，可得關于BE，AE的方程，即可求解．

本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，矩形的判定和性質，一元二次方程的解法等知識，列出關于BE，AE的方程是本題的關鍵．

【解答】解：連接CE，過點B作BH⊥CD交CD的延長線于點H，

∵AC是半圓的切線

∴AC⊥AB，

∵CD//AB，

∴AC⊥CD，且BH⊥CD，AC⊥AB，

∴四邊形ACHB是矩形，

∴AC=BH，AB=CH，

∵DE垂直平分BC，

∴BE=CE，CD=BD，且DE⊥BC，

∴∠BED=∠CED，

∵AB//CD，

∴∠BED=∠CDE=∠CED，

∴CE=CD，

∴CE=BE=CD=DB，

∵AC=BH，CE=BD，

∴Rt△ACE≌Rt△HBD(HL)

∴AE=DH，

∵CE2?AE2=AC2，

∴BE2?AE2=AC2，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADC+∠BDH=90°，且∠ADC+∠CAD=90°如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交于點P，弦CE平分∠ACB，交AB于點F，連接BE，下列四個結論中：①AC平分∠DAB；②PC=?PF；③PF2=?PB·?PA；④若tan∠ABC?=43，BE?=72，則PC的長為12.其中正確的結論有：_______________【答案】①②③【分析】

此題考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質、垂徑定理、圓周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定與性質.①由PD切⊙O于點C，AD與過點C的切線垂直，易證得OC//AD，進而證得AC平分∠DAB；②由已知推出∠PFC=∠PCF，即可證得PC=PF；③證明△PAC∽△PCB，即可證得PF2?=?PB·?PA；④首先連接AE，易得AE=BE，即可求得AB的長，根據(jù)△PAC∽△PCB和tan∠ABC=43，可得PCPB=43，設PC=4k，PB=3k，BE=72，利用勾股定理求得PC的值即可得到答案．

【解答】

解：①∵PD切⊙O于點C，

∴OC⊥PD，

又∵AD⊥PD，

∴OC//AD，

∴∠ACO=∠DAC，

又∵OC=OA，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

即AC平分∠DAB．

故①正確；

②∵AD⊥PD，

∴∠DAC+∠ACD=90°，

又∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°．

∴∠PCB+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠PCB，

又∵∠DAC=∠CAO，

∴∠CAO=∠PCB，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACF=∠BCF，

∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，

∴∠PFC=∠PCF，

∴PC=PF．

故②正確；

③∵PD切⊙O于點C，

∴∠PAC=∠PCB，

又∵∠P=∠P，

∴△PAC∽△PCB，

∴PCPB=PAPF，

∵PC=PF，

∴PFPB=PAPF，

∴PF2=PB·PA．

故③正確；

④連接AE，如圖所示，

∵CE平分∠ACB，

∴AE=BE，

∴AE=BE=72，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°．

在Rt△ABE中，AB=AE2+BE2=14，

∴OB=12AB=7，

∵△PAC∽△PCB，

∴PCPB=ACBC，

又三、解答題如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E時AC的中點，F(xiàn)是射線AC上一點，作FG⊥AC交直線BC于點G，過E、F、G作⊙O，⊙O交BC于點H，連接GE、EH．

(1)當AF=1時，求FG的長；

(2)當點F在線段AC上時，若△EFG與△EHG全等，求⊙O的半徑；

(3)當⊙O與矩形各邊所在的直線相切時，求AF的長．【分析】(1)首先求出CF的長度，再證明△ABC和△GFC相似，即可求出FG的長度；

(2)把△EFG與△EHG全等當作已知條件，通過△ABC和△GFC相似即可求出⊙O的半徑；

(3)連接圓心與切點，過點O作直線BC的垂線，通過垂徑及勾股定理求出GH的長，再通過△ABC和△GFC相似即可求出AF的長．

本題考查了相似三角形，切線的性質，垂徑定理等，有一定難度，綜合性強，解題的關鍵是對各知識掌握要全面．

【解答】解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

∴AC=AB2+BC2=10，

∵E是AC中點，

∴AE=CE=5，

∴EF=EA?AF=4，CF=AC?AF=9，

∵∠ACB=∠ACB，∠ABC=∠GFE=90°，

∴△ACB∽△GCF，

∴CBCF=ABGF，

∴89=6GF，

∴GF=274；

(2)①如圖1?1，當△EFG≌△EHG時，

∵∠GFE=90°，

∴GE是⊙O直徑，∠EHG=90°，

∴EH//AB，

∴△CEH∽△CAB，

∴EHAB=CECA=12，

∴EH=EF=12AB=3，

∴CF=8，

由(1)知，△ACB∽△GCF，

∴CBCF=ABGF，

∴FG=6，

在Rt△EFG中，GE=GF2+EF2=35，

∴⊙O的半徑是352；

②如圖2?2，當△EFG≌△EHG時，

由①知EF=EH=3，CH=12CB=4，

∴FC=EC?EF=2，

∵∠FCG=∠FCG，∠CFG=∠ABC=90°，

∴△CFG∽△CBA，

∴CFCB=CGCA，

即28=CG10，

∴CG=52，

∴HG=4?52=32，

∴EG=GF2+HG2=352，

∴⊙O的半徑是354；

綜上所述，當點F在線段AC上時，若△EFG與△EHG全等，⊙O的半徑是352或354；

(3)①如圖2?1，當⊙O與直線AB相切點N時，連接ON，作OM⊥BC于M，

則GM=HM，

∴HM=4?r，

∴GH=8?2r，

在Rt△EGH中，

EG2=GH2+EH2，

∴(2r)2=32+(8?2r)2，

∴r=7332，

∴BH=8?2r=5516，

∴CG=CH+GH=11916，

∵△CFG∽△CBA，

∴CFCB=CGCA，

∴CF8=1191610，

∴CF=11920，

∴AF=AC?CF=8120；

②如圖2?2，當⊙O與直線BC相切時，切點與H，G重合，

∵△CFG∽△CBA，

∴CFCB=CGCA，

∴CF8=410，

∴CF=165，

∴AF=AC?CF=345；

③如圖2?3，當⊙O與直線如圖1，在邊長為5的菱形ABCD中，cos∠BAD=35，點E是射線AB上的點，作EF⊥AB，交AC于點F．

(1)求菱形ABCD的面積；

(2)求證：AE=2EF；

(3)如圖2，過點F，E，B作⊙O，連結DF，若⊙O與△CDF的邊所在直線相切，求所有滿足條件的AE的長度．【分析】(1)如圖1中，作DH⊥AB于H.在Rt△ADH中，由∠AHD=90°，AD=5，cos∠DAH=35，推出AH=3，DH=52?32=4，即可解決問題；

(2)如圖1中，BD與AC交于點G.在Rt△DHB中，可得BD=DH2+BH2=22+42=25，由四邊形ABCD是菱形，推出AC⊥BD，BG=DG=5，AG=AB2?BG2=52?(5)2=25，由△AEF∽△AGB，推出AEAF=AGBG=255=2，即可解決問題；

(3)分三種情形分別求解：①如圖2中，當⊙O與直線DF相切時．②如圖3中，當⊙O與AC相切時．③如圖4中，當⊙O與CD相切于點M.分別求解即可；

本題考查圓綜合題、菱形的性質、直線與圓的位置關系、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，學會構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．

【解答】(1)解：如圖1中，作DH⊥AB于H．

在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=5，cos∠DAH=35，

∴AH=3，DH=52?32=4，

∴S菱形ABCD=AB?DH=5×4=20．

(2)證明：如圖1中，BD與AC交于點G．

在Rt△DHB中，∵DH=4，BH=2，

∴BD=DH2+BH2=22+42=25，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BG=DG=5，AG=AB2?BG2=52?(5)2=25，

∵∠EAF=∠BAG，∠AEF=∠AGB=90°，

∴△AEF∽△AGB，

∴AEAF=AGBG=255=2，

∴AE=2EF．

(3)解：①如圖2中，當⊙O與直線DF相切時，易知，∠BFD=90°，DF=BF．

∵BD=25，

∴BF=10，設EF=x，則AE=2EF=2x，

在Rt△BEF中，∵BF2=EF2+BE2，

∴10=x2+(5?2x)2，

解得x=1或3，

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，過點A作AD平分∠BAC交⊙O于點D，過點D作BC的平行線分別交AC、AB的延長線于點E、F，DG⊥AB于點G，連接BD．

(1)求證：△AED∽△DGB；

(2)求證：EF是⊙O的切線；

(3)若BFDF=33，【分析】本題為圓的綜合題，考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質，切線的判定，平行線的判定和性質，弧長的計算，熟練掌握相似三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．

(1)根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=∠ADB=90°，根據(jù)平行線的性質得到∠AED=∠ACB=90°，由三角形內角和定理得到∠ADE=∠ABD，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結論；

(2)連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質和三角形的外角的性質得到∠EAF=∠DOF，求得AE//OD，根據(jù)平行線的性質得到OD⊥EF，于是得到EF是⊙O的切線；

(3)根據(jù)余角的性質得到∠DAF=∠BDF，根據(jù)相似三角形的性質得到ADDB=AFDF=DFBF=3，根據(jù)勾股定理得到AD=43，求得BD=4，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到∠DAB=30°，根據(jù)弧長公式即可得到結論．

【解答】(1)證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

∵BC//EF，

∴∠AED=∠ACB=90°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠DAB，

∴∠ADE=∠ABD，

∵DG⊥AB，

∴∠BGD=∠AED=90°，

∴△AED∽△DGB；

(2)證明：如圖，連接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∴∠DOF=∠OAD+∠ADO=2∠DAF，

∵∠EAF=2∠DAF，

∴∠EAF=∠DOF，

∴AE//OD，

∵AE⊥EF，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切線；

(3)解：∵∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠DAF+∠ADE=90°，

∵∠BDF+∠ADE=90°，

∴∠DAF=∠BDF，

∵∠DFB=∠AFD，

∴△ADF∽△DBF，

∴ADDB=AFDF=DFBF=3，

∵AD2+B如圖，已知AC是⊙O的直徑，∠ACB=60°，連結AB，過A、B兩點分別作⊙O的切線，兩切線交于點P，連接OP交AB于D．

(1)求證：OP//BC；

(2)求證：AD2=OD?【分析】本題考查了切線長定理，圓周角定理，切線的性質，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵．

(1)連接OB，根據(jù)切線長定理得到PA=PB，∠APO=∠BPO，根據(jù)等腰三角形的性質，頂角平分線OP垂直平分