期末專題09概率綜合

期末專題09概率綜合一、單選題1．（2022春·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）一個盒子中裝有除顏色外其它都相同的5個小球，其中有2個紅球，3個白球，從中任取一球，則取到紅球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用概率公式求解即可.【詳解】一個袋里裝有5個球，其中2個紅球，3個白球，它們除顏色外其余都相同，摸出1個球是紅球的概率為：.故選：D2．（2022春·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）考慮擲硬幣試驗，設事件“正面朝上”，則下列論述正確的是（

）A．擲2次硬幣，事件“一個正面，一個反面”發(fā)生的概率為B．擲8次硬幣，事件A發(fā)生的次數一定是4C．重復擲硬幣，事件A發(fā)生的頻率等于事件A發(fā)生的概率D．當投擲次數足夠多時，事件A發(fā)生的頻率接近0.5【答案】D【分析】根據隨機事件的性質可判斷A，B；根據頻率與概率的關系可判斷C，D.【詳解】擲2次硬幣，事件“一個正面，一個反面”發(fā)生的概率，A錯誤；擲8次硬幣，事件A發(fā)生的次數是隨機的，B錯誤；重復擲硬幣，事件A發(fā)生的頻率無限接近于事件A發(fā)生的概率，C錯誤；當投擲次數足夠多時，事件A發(fā)生的頻率接近0.5，D正確.故選：D3．（2022春·浙江麗水·高一統(tǒng)考期末）若，，，則事件與的關系是（

）A．事件與互斥 B．事件與對立C．事件與相互獨立 D．事件與既互斥又相互獨立【答案】C【分析】結合互斥事件、對立事件、相互獨立事件的知識求得正確答案.【詳解】∵，∴，∴事件與相互獨立、事件與不互斥，故不對立.故選：C4．（2022春·廣東·高一統(tǒng)考期末）“五一”勞動節(jié)放假期間，甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為，，，假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內至少有1人去北京旅游的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結合對立事件以及相互獨立事件概率計算公式，計算出正確答案.【詳解】∵甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為，，．∴他們不去北京旅游的概率分別為，，．∵至少有1人去北京旅游的對立事件是沒有人去北京旅游，∴至少有1人去北京旅游的概率為：．故選：B5．（2022秋·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）中國共產黨第二十次全國代表大會于2022年10月16日在北京開幕．黨的二十大報告鼓舞人心，內涵豐富．某學校黨支部評選了5份優(yōu)秀學習報告心得體會（其中教師2份，學生3份），現(xiàn)從中隨機抽選2份參展，則參展的優(yōu)秀學習報告心得體會中，學生、教師各一份的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出基本事件的樣本空間，再根據古典概型計算.【詳解】在5份優(yōu)秀報告中，設教師的報告為，學生的報告為，從中隨機抽取2份的樣本空間為：，共10個，恰好是學生，教師各一份的概率為；故選：B.6．（2022春·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）將一枚骰子先后拋擲兩次，并記朝上的點數分別為，，則為2或4，且的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出骰子先后拋擲兩次的情況數，再求出當為2或4時，滿足＞5的情況，然后利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】將一枚骰子先后拋擲兩次，共有種不同的情況，其當時，要滿足，只要，有3種情況，當時，要滿足，只要，有5種情況，所以當為2或4時，共有8種情況，所以所求概率為，故選：B7．（2022春·浙江紹興·高一統(tǒng)考期末）從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋里任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（

）A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C．“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”D．“至少有一個黑球”與“都是紅球”【答案】C【分析】根據紅球和黑球的數量，結合互斥事件和對立事件的定義，逐一對題目中的各個選項進行判斷，即可得到結果.【詳解】當兩個球都為黑球時，“至少有一個黑球”與“都是黑球”同時發(fā)生，故A中的兩個事件不互斥；當兩個球一個為黑，一個為紅時，“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”同時發(fā)生，故B中的兩個事件不互斥；“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”不可能同時發(fā)生，但有可能同時不發(fā)生，故C中兩個事件互斥而不對立；“至少有一個黑球”與“都是紅球”不可能同時發(fā)生，但必然有一種情況發(fā)生，故D中兩個事件對立．故選：C．8．（2022秋·遼寧遼陽·高一校聯(lián)考期末）隨機安排甲、乙、丙、丁、戊位同學中的位同學負責掃地和拖地兩項工作，每人負責一項工作，則甲負責掃地工作的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】列舉出所有基本事件并確定滿足題意的基本事件個數，根據古典概型概率公式可得結果.【詳解】由題意得其樣本空間為：（甲掃地，乙拖地），（甲掃地，丙拖地），（甲掃地，丁拖地），（甲掃地，戊拖地），（乙掃地，甲拖地），（乙掃地，丙拖地），（乙掃地，丁拖地），（乙掃地，戊拖地），（丙掃地，甲拖地），（丙掃地，乙拖地），（丙掃地，丁拖地），（丙掃地，戊拖地），（丁掃地，甲拖地），（丁掃地，乙拖地），（丁掃地，丙拖地），（丁掃地，戊拖地），（戊掃地，甲拖地），（戊掃地，乙拖地），（戊掃地，丙拖地），（戊掃地，丁拖地）}，共個樣本點；“甲負責掃地工作”對應的事件為（甲掃地，乙拖地），（甲掃地，丙拖地），（甲掃地，丁拖地），（甲掃地，戊拖地）}，含有個樣本點，甲負責掃地工作的概率為．故選：A.9．（2022春·湖北恩施·高一恩施土家族苗族高中?？计谀┧惚P是我國古代一項偉大的發(fā)明，是一類重要的計算工具.下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別表示個位，十位?百位?千位.....，上面一粒珠子（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠子（簡稱下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.例如，個位撥動一粒上珠，十位撥動一粒下珠至梁上，表示數字15.現(xiàn)將算盤的個位?十位，百位，千位分別隨機撥動一粒珠子至梁上，設事件“表示的四位數能被3整除”，“表示的四位數能被5整除”，則有：①②；③④.上述結論正確的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】只撥動一粒珠子至梁上，因此數字只表示1或5，由此可得四位數的個數；能被3整除，只能是2個1和2個5，求出四位數的個數后可得概率，而被5整除，只要個位數字是5即可．由此計數后可計算出概率，判斷各序號即可求解．【詳解】只撥動一粒珠子至梁上，因此數字只表示1或5，四位數的個數是16.能被3整除的四位數，數字1和5各出現(xiàn)2個，因此滿足條件的四位數的個數是6，所以，①正確；能被5整除的四位數，個位數為5，滿足的個數為8，，②不正確；能被15整除的四位數的個位數是5，十位、百位、千位為一個5兩個1，因此滿足這個條件的四位數的個數是3，概率為，④正確；，③正確.故正確的有3個，故選：D.10．（2022秋·遼寧沈陽·高一東北育才學校?？计谀┠持袑W舉行運動會，有甲?乙?丙?丁四位同學參加100米短跑決賽，現(xiàn)將四位同學隨機地安排在這4個跑道上，每個跑道安排一名同學，則甲不在1跑道且乙不在4跑道的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意，按甲是否在道上分2種情況討論，求出每種情況的安排方法數目，由加法原理計算可得甲不在1跑道且乙不在4跑道的總的方法數，再利用古典概型的概率求解．【詳解】解：根據題意，分2種情況討論：①若甲在道上，剩下3人任意安排在其他3個跑道上，有種排法，②若甲不在道上，甲的安排方法有2種，乙的安排方法也有2種，剩下2人任意安排在其他2個跑道上，有2種安排方法，此時有種安排方法，故共有種不同的安排方法，現(xiàn)將四位同學隨機地安排在這4個跑道上，共有.由古典概型的概率公式得所求的概率為.故選：B．二、多選題11．（2022秋·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）同時擲紅、藍兩枚質地均勻的骰子，事件A表示“兩枚骰子的點數之和為5”，事件B表示“紅色骰子的點數是偶數”，事件C表示“兩枚骰子的點數相同”，事件D表示“至少一枚骰子的點數是奇數”，則（

）A．A與C互斥 B．B與D對立 C．A與相互獨立 D．B與C相互獨立【答案】AD【分析】根據互斥的意義判定A；利用對立事件定義判斷B；利用獨立事件的概率公式判斷C、D.【詳解】事件A：兩枚骰子的點數之和為5，則為（1,4）（4,1）（2,3）（3,2）事件C：表示“兩枚骰子的點數相同，則為（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）故事件A與事件C互斥，所以A正確；事件中與事件D會出現(xiàn)相同的情況，例如（2,1）（4,3）等故事件中與事件D不對立，故B不正確；事件D表示“至少一枚骰子的點數是奇數”事件D的對立事件表示“擲出的點數都是偶數點”所以,,所以故C不正確；,,所以故D正確；故選：AD.12．（2022春·山東濱州·高一統(tǒng)考期末）在某次數學考試中，對多項選擇題的要求是：“在每小題給出的四個選項中，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.”已知某道多項選擇題的正確答案是ABC，且某同學不會做該題，下列結論正確的是（

）A．該同學僅隨機選一個選項，能得分的概率是B．該同學隨機至少選擇二個選項，能得分的概率是C．該同學僅隨機選三個選項，能得分的概率是D．該同學隨機選擇選項，能得分的概率是【答案】BC【分析】對各項中的隨機事件，計算出基本事件的總數和隨機事件中含有的基本事件的個數，再計算出相應的概率后可得正確的選項.【詳解】該同學隨機選一個選項，共有4個基本事件，分別為，，，；隨機選兩個選項，共有6個基本事件，分別為，，，，，；隨機選三個選項，共有4個基本事件，分別為，，，；隨機選四個選項，共有1個基本事件，即；僅隨機選一個選項，能得分的概率是，故A錯誤；隨機至少選擇二個選項，能得分的概率是，故B正確；僅隨機選三個選項，能得分的概率是，故C正確；隨機選擇選項，能得分的概率是，故D錯誤；故選：BC.13．（2022春·山東聊城·高一統(tǒng)考期末）下列說法中，正確的是（

）A．對于事件A與事件B，如果，那么B．在n次隨機試驗中，一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨機性C．隨著試驗次數n的增大，一個隨機事件A發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率D．從2個紅球和2個白球中任取兩個球，記事件{取出的兩個球均為紅球}，{取出的兩個球顏色不同}，則A與B互斥而不對立【答案】BCD【分析】A由事件包含關系可得；B、C根據隨機事件概率跟試驗所得的頻率關系判斷正誤；D列舉出所有基本事件，結合對立、互斥事件的定義判斷.【詳解】A：若，則，錯誤；對于有限n次隨機試驗，事件A發(fā)生的頻率是隨機的，而隨試驗次數n趨向無窮大，隨機事件A發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率，B、C正確；D：基本事件有{取出的兩個球均為紅球}、{取出的兩個球顏色不同}、{取出的兩個球均為白球}，故事件A、B不對立，但互斥，正確.故選：BCD14．（2022春·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列結論中正確的是（

）A．該試驗樣本空間共有個樣本點 B．C．與為互斥事件 D．與為相互獨立事件【答案】ABD【分析】由題可得樣本空間及事件樣本點，結合互斥事件，獨立事件的概念及古典概型概率公式逐項分析即得.【詳解】對于A：試驗的樣本空間為：正，正，正，反，反，正，反，反，共個樣本點，故A正確對于B：由題可知正，正，正，反，正，反，反，反，顯然事件，事件都含有“正，反這一結果，故，故B正確；對于C：事件，事件能同時發(fā)生，因此事件不互斥，故C不正確；對于D：，，，所以，故D正確．故選：ABD.15．（2022春·湖南永州·高一統(tǒng)考期末）在下列關于概率的命題中，正確的有（

）A．若事件A，B滿足，則A，B為對立事件B．若事件A與B是互斥事件，則A與也是互斥事件C．若事件A與B是相互獨立事件，則A與也是相互獨立事件D．若事件A，B滿足，，，則A，B相互獨立【答案】CD【分析】對于A：舉反例判斷命題不成立；對于B：由互斥事件的定義直接判斷；對于C：由相互獨立事件的性質直接判斷；對于D：利用公式法直接判斷.【詳解】對于A：若事件A、B不互斥，但是恰好，滿足，但是A，B不是對立事件.故A錯誤；對于B：由互斥事件的定義可知，事件A、B互斥，但是A與也是互斥事件不成立.故B錯誤；對于C：由相互獨立事件的性質可知：若事件A與B是相互獨立事件，則A與也是相互獨立事件.故C正確；對于D：因為事件A，B滿足，，，所以，所以A，B相互獨立.故選：CD16．（2022春·安徽宣城·高一統(tǒng)考期末）甲罐中有四個相同的小球，標號為1，2，3，4；乙罐中有五個相同的小球，標號為1，2，3，5，6.現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機抽取1個小球，記事件A：抽取的兩個小球標號之和大于5，事件：抽取的兩個小球標號之積大于8，則（

）A．事件A與事件是對立事件 B．事件與事件是互斥事件C．事件發(fā)生的概率為 D．事件發(fā)生的概率為【答案】BC【分析】求得從甲罐、乙罐中分別隨機抽取1個小球，共包含個基本事件；再寫出事件A,B包含的基本事件，即可判斷A,B；寫出事件以及包含的事件，即可以求得其概率，判斷C,D.【詳解】由題意知：從甲罐、乙罐中分別隨機抽取1個小球，共包含個基本事件；事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共11個基本事件；事件包含的基本事件有：，，，，，，，，共8個基本事件，可以看出，事件是事件的子事件，故錯；事件包括：，，，，，，，，共9個事件，每個事件中兩小球標號之積都小于8，故與事件是互斥事件，故正確；事件包含的基本事件為：，，，，，，，，，，，共11個，所以事件發(fā)生的概率為，故正確；事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共12個，所以事件包含的基本事件為：，，，共3個基本事件，所以事件發(fā)生的概率為，故不正確，故選：．17．（2022春·重慶沙坪壩·高一重慶市第七中學校?？计谀╇S機投擲一枚質地均勻的正方體骰子兩次，記錄朝上一面的點數．設事件“第一次為奇數”，“第二次為奇數”，“兩次點數之和為奇數”，則（

）A． B．A與互斥 C．A與相互獨立 D．【答案】ACD【分析】利用古典概型求出，即可判斷A；根據互斥事件的定義即可判斷B；根據相互獨立事件的定義即可判斷C；根據事件表示第一次或第二次為奇數，求出此事件的對立事件的概率即可求出，即可判斷D.【詳解】解：由題意可得，所以，故A正確；因為事件可以同時發(fā)生，故兩事件不是互斥事件，故B錯誤；因為事件互不影響，所以為相互獨立事件，則，因為事件表示第一次為奇數且第二次為奇數，所以，又，所以A與相互獨立，故C正確；事件表示第一次或第二次為奇數，它的對立事件為第一次和第二次都是偶數，所以，故D正確.故選：ACD.18．（2022春·福建福州·高一福州四中校考期末）下列說法正確的是（）A．用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為5的樣本，則個體被抽到的概率是0.1B．已知一組數據1，2，m，6，7的平均數為4，則這組數據的方差是5C．數據27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數是23D．若樣本數據，，…，的標準差為8，則數據，，…，的標準差為32【答案】AC【分析】分別利用古典概型的計算公式，方差和標準差的計算公式及其百分位數的定義求解即可.【詳解】對于選項,個體被抽到的概率為，故該選項正確；對于選項，，解得，則方差為，故該選項錯誤；對于選項,數據27，12，14，30，14，17，19，23從小到大排列為，12，14，14，17，19，23，27，30，由于%，其中第6個數為23，故該選項正確；對于選項,設數據，，…，的均值為，則數據，，…，的均值為，因為數據，，…，的標準差為，所以數據，，…，的標準差為，故該選項錯誤；故選：AC.19．（2022春·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）口袋里裝有2紅，2白共4個形狀相同的小球，從中不放回的依次取出兩個球，事件“取出的兩球同色”，“第一次取出的是紅球”，“第二次取出的是紅球”，“取出的兩球不同色”，下列判斷中正確的（

）A．A與B相互獨立. B．A與D互為對立. C．B與C互斥. D．B與D相互獨立；【答案】ABD【分析】根據古典概型的概率公式求出所對應的事件的概率，再根據相互獨立事件的定義判斷AD，根據對立事件，互斥事件的定義可判斷BC.【詳解】由題可得，，，，，所以，，所以A與B相互獨立，B與D相互獨立，故AD正確；對于B，由題意知，取出兩個球要么顏色相同，要么顏色不同，即A與D互為對立事件，故B正確；對于C，“第1次取出的是紅球”，“第2次取出的是紅球”，C與D可能同時發(fā)生，故C錯誤.故選：ABD.20．（2022春·湖南張家界·高一統(tǒng)考期末）從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，從兩袋各摸出一個球，下列結論正確的是（

）A．2個球都是紅球的概率為B．2個球不都是紅球的概率為C．至少有1個紅球的概率為D．2個球中恰有1個紅球的概率為【答案】ACD【分析】根據獨立事件乘法公式計算2個球都是紅球的概率，判斷A;利用對立事件的概率計算方法求得2個球不都是紅球的概率，判斷B;根據對立事件的概率計算判斷C;根據互斥事件的概率計算可判斷D.【詳解】設“從甲袋中摸出一個紅球”為事件，從“乙袋中摸出一個紅球”為事件，則，，對于A選項，2個球都是紅球為，其概率為，故A選項正確，對于B選項，“2個球不都是紅球”是“2個球都是紅球”的對立事件，其概率為，故B選項錯誤，對于C選項，2個球至少有一個紅球的概率為，故C選項正確，對于D選項，2個球中恰有1個紅球的概率為，故D選項正確．故選：ACD．三、填空題21．（2022春·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）某同學從籃球、足球、羽毛球、乒乓球四個球類項目中任選兩項報名參加比賽，則籃球被選中的概率為____________．【答案】/【分析】利用列舉法列出所以可能結果，再利用古典概型的概率公式計算可得；【詳解】解：記籃球、足球、羽毛球、乒乓球分別為、、、，則從中任選兩項有、、、、、共種情況；滿足選中籃球的有、、共種情況；所以籃球被選中的概率為；故答案為：22．（2022春·湖南長沙·高一長郡中學?？计谀┘?、乙兩人進行乒乓球比賽，約定先連勝兩局者贏得比賽，假設每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽相互獨立，則恰好進行了4局甲獲勝的概率為______.【答案】【分析】由題得恰好進行了4局甲獲勝，則甲第一局贏，第二局輸，第三、四局贏，再由獨立事件的乘法公式即可得出答案.【詳解】由題得恰好進行了4局甲獲勝，則甲第一局贏，第二局輸，第三、四局贏，此時.故答案為:.23．（2022春·廣東·高一校聯(lián)考期末）某高校的入學面試中有道難度相當的題目，李明答對每道題目的概率都是．若每位面試者共有三次機會，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第次為止．那么，李明最終通過面試的概率為___________．【答案】/【分析】根據獨立事件概率乘法公式可求得無法通過面試的概率，根據對立事件概率的求法可求得結果.【詳解】李明無法通過面試的概率為，李明最終通過面試的概率為.故答案為：.24．（2022春·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期末）在一個由三個元件構成的系統(tǒng)中，已知元件正常工作的概率分別是，，，且三個元件正常工作與否相互獨立，則這個系統(tǒng)正常工作的概率為______．【答案】【分析】先求出都不工作的概率，可得至少有一個能正常工作的概率，繼而求得這個系統(tǒng)正常工作的概率.【詳解】由題意可知都不工作的概率為，所以至少有一個能正常工作的概率為，故這個系統(tǒng)正常工作的概率為，故答案為：25．（2022春·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）在中，邊、的長度分別為5、12，現(xiàn)在從這9個正整數中任選一個數作為邊的長度，則為鈍角三角形的概率為________.【答案】【分析】計算出使得為鈍角三角形時，BC的可能取值有多少種，根據古典概型的概率計算【詳解】由題意可知：，從這9個正整數中任選一個數作為邊的長度，故有9種可能，要使為鈍角三角形，需滿足：或，即或，故BC的取值可能是：8,9,10；或14,15,16，共6種可能，故為鈍角三角形的概率為，故答案為：四、解答題26．（2022秋·山東淄博·高一?？计谀┠暝氯罩袊裰凼栞d人飛船返回艙在東風著陸場成功著陸，這標志著此次載人飛行任務取得圓滿成功．在太空停留期間，航天員們開展了兩次“天宮課堂”，在空間站進行太空授課，極大的激發(fā)了廣大中學生對航天知識的興趣．為此，某班組織了一次“航空知識答題競賽”活動，競賽規(guī)則是：兩人一組，兩人分別從3個題中不放回地依次隨機選出個題回答，若兩人答對題數合計不少于題，則稱這個小組為“優(yōu)秀小組”．現(xiàn)甲乙兩位同學報名組成一組，已知3個題中甲同學能答對的題有個、乙同學答對每個題的概率均為，并且甲、乙兩人選題過程及答題結果互不影響．(1)求甲同學選出的兩個題均能答對的概率；(2)求甲乙二人獲“優(yōu)秀小組”的概率．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用古典概率模型即可求解;(2)根據古典概型和事件的獨立性對獲“優(yōu)秀小組”分類討論即可.【詳解】（1）設三個題中甲能答對的題編號為,答錯的題編號為1,則樣本空間,共有6個樣本點,兩個題均能答對的有2個樣本點,由古典概型的概率公式可得兩個題均能答對的概率為.（2）設表示“甲答對的題數為”，表示“乙答對的題數為”，表示“甲、乙二人獲得優(yōu)秀小組”．由(1)知由古典概型得或．由事件的獨立性，，．由題意，．而事件、、兩兩互斥，事件與相互獨立，，．所以，甲、乙二人獲“優(yōu)秀小組”的概率為．27．（2022春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）2022年2月蘇州新冠肺炎疫情發(fā)生后，2月17日，“疫”聲令下，江蘇省內各大市紛紛聞訊而動，約6000名醫(yī)務工作者雪夜抱團馳援蘇州，為蘇州抗疫工作注入堅實而溫暖的力量，各方力量按成一股繩，合力“蘇”寫了守望相助的抗疫故事，現(xiàn)從各市支援蘇州某地區(qū)的700名醫(yī)務工作者中隨機抽取40名，將這40人的年齡按照，，，這3個區(qū)間繪制如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據頻率分布直方圖，估計這40名醫(yī)務工作者的平均年齡（同一組數據用該組，區(qū)間的中點值代表）(2)現(xiàn)需要對居家隔離的居民進行單管核酸檢測，防疫指揮部決定在，兩區(qū)間段醫(yī)務工作者中按比例分配分層隨機抽樣方法抽取5人.假設5人已經選定，現(xiàn)要從這5人中選擇2人到某戶進行檢測，求選中的兩人來自不同年齡段的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據頻率分布直方圖可得每組的頻率，再根據加權平均數運算求解；（2）先根據分層抽樣求每層抽取的人數，再根據古典概型求解．（1）被抽取的40名醫(yī)務工作人員的平均年齡.（2）40人中年齡在內的人數比為，即.按比例分配分層隨機抽樣，在內應抽取人，在內應抽取人.設年齡在內的3人編號為，年齡在內的2人編號為4，5，用表示選擇編號為的事件，設事件“選中的兩人來自不同年齡段”，則，所以.因為，所以.所以.∴選中的兩人來自不同年齡段的概率為.28．（2022春·山東泰安·高一統(tǒng)考期末）某工廠有，，三條生產線各自獨立地生產同一種汽車配件，已知生產線生產的汽車配件是合格品且生產線生產的汽車配件是合格品的概率為，生產線生產的汽車配件是非合格品且生產線生產的汽車配件是合格品的概率為，生產線生產的汽車配件是合格品且生產線生產的汽車配件是合格品的概率為，記事件，，分別為，，三條生產線各自生產的汽車配件是合格品．(1)求事件，，的概率；(2)隨機從，，三條生產線上各取1個汽車配件進行檢驗，求恰有2個合格品的概率．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）借助對立事件的概率公式，把相互獨立的事件同時發(fā)生的概率表示出來，然后聯(lián)立方程組求解即可得到每個事件發(fā)生的概率；（2）隨機從三條生產線上各取1個汽車配件進行檢驗，恰有2個合格品的情況分為、、三種，根據相互獨立事件的概率公式求解即可.【詳解】（1）因為事件，，分別為，，三條生產線各自生產的汽車配件是合格品，則事件，，分別為，，三條生產線各自生產的汽車配件是非合格品，且，，相互獨立，，，也相互獨立．由得解得，，，（2）由（1）知，，，記事件為抽取的三個汽車配件中合格品為2個，則29．（2022春·福建福州·高一福建省福州高級中學?？计谀┰谀持袑W舉行的電腦知識競賽中，隨機抽取若干個學生成績（得分均為整數）進行整理后分成五組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖．已知圖中從左到右的第一、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小組的頻數是8．(1)求第二小組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖，求抽取了多少個學生成績？(2)在第三和第五小組的學生成績中隨機抽取2個，求第五組的恰好沒有被抽中的概率．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）根據頻率之和為1即可求第二組的頻率，根據頻率與頻數的關系即可求得總數.（2）利用古典概型求概率即可.【詳解】（1）由頻率之和為1可知：第二組的頻率為.又因為第二組的頻數為8，所以共抽取的學生成績數為：.頻率分布直方圖如下圖所示：（2）由（1）知：第三、第五組抽取的成績數分別為：個，個，分別設為，設第五組的恰好沒有被抽中為事件，則從中抽取2個的基本事件如下：共6種，其中第五組的恰好沒有被抽中的情況有共3種.則.30．（2022秋·遼寧沈陽·高一沈陽二十中?？计谀┙陙?，在新高考改革中，打破文理分科的“3＋3模式初露端倪，其中，語、數、英三門為必考科目，剩下三門為選考科目（物理、化學、生物、政治、歷史、地理）．選考科目采用賦分”，即原始分不直接使用，而是按照學生在本科目考試的排名來劃分等級，并以此打分得到最后的得分，假定某省規(guī)定：選考科目按考生原始分數從高到低排列，按照占總體15%，35%，35%，13%和2%劃定A、B、C、D、E五個等級，并分別賦分為90分、80分、70分、60分和50分．該省某高中高一（1）班（共40人）進行了一次模擬考試選考科目全考，單科全班排名，（已知這次模擬考試中歷史成績滿分100分）的頻率分布直方圖和地理成績的成績單如下所示，李雷同學這次考試地理70多分．地理成績40444352535361616263646571727373737475757676777882838385858586868888899192939396(1)采用賦分制前，求該班同學歷史成績的平均數與中位數（中位數結果精確到0.01）；(2)采用賦分制后，若李雷同學地理成績的最終得分為80分，那么他地理成績的原始分的所有可能值是多少?(3)若韓梅同學必選歷史，從地理、政治、物理、化學、生物五科中等可能地任選兩科，則她選考科目中包含地理的概率是多少?【答案】(1)平均數76.5，中位數為77.14.(2)可能的原始分數為76,77,78.(3)【分析】（1）根據頻率分布直方圖計算平均數，先找出中位數所在的組，設出來，列出方程解出即可；（2）計算成績應該在名和名之間，即到之間，得到分數；（3）列舉所有情況，統(tǒng)計滿足條件的個數，得到概率；【詳解】（1）由頻率分布直方圖知，采用賦分制前，該班同學歷史成績的平均數為：（分），由，所以該班同學歷史成績的中位數在70與80，設為，則，（2）采用賦分制后，李雷同學地理成績的最終得分為80分，，，故成績在名和名（包含7、20名）之間，即到之間，又因為其地理70多分，故可能的原始分數為76,77,78.（3）記地理、政治、物理、化學、生物分別為，共有10種情況，滿足條件的有4種，故所求概率為：.31．（2022春·山東臨沂·高一?？计谀?022年7月1日是中國共產黨建黨101周年，某黨支部為了了解黨員對黨章黨史的認知程度，針對黨支部不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“黨章黨史”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結果認知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組：[20，25），第二組：[25，30），第三組：[30，35），第四組：[35，40），第五組：[40，45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．(1)根據頻率分布直方圖，估計這m人的第80百分位數；(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔任“黨章黨史”的宣傳使者．①若有甲（年齡36），乙（年齡42）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；②若第四組宣傳使者的年齡的平均數與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數與方差分別為43和1，據此估計這m人中35～45歲所有人的年齡的方差．【答案】(1)(2)①；②10【分析】（1）根據百分位數的定義結合頻率分布直方圖中的數據，計算即可；（2）①由列舉法結合古典概型的概率公式計算即可；②由方差的計算公式求解即可.（1）設這人的平均年齡為，則（歲．設第80百分位數為，方法一：由，解得．方法二：由，解得．（2）①由題意得，第四組應抽取4人，記為，，，甲，第五組抽取2人，記為，乙．對應的樣本空間為：，，（，甲），（，乙），，，（，甲），（，乙），，（，甲），（，乙），，（甲，乙），（甲，），（乙，），共15個樣本點．設事件“甲、乙兩人至少一人被選上”，則，甲），（，乙），（，甲），（，乙），（，甲），（，乙），（甲，乙），（甲，），（乙，，共有9個樣本點．所以，．②設第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數分別為，，方差分別為，，則，，，，設第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數為，方差為．則，．因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10．據此，可估計這人中年齡在歲的所有人的年齡方差約為10．32．（2022春·山東泰安·高一統(tǒng)考期末）某校為了對學生的數學運算素養(yǎng)進行監(jiān)測，隨機抽取了名學生進行數學運算素養(yǎng)評分．評分規(guī)則實行百分制計分，現(xiàn)將所得的成績按照，，，，，分成6組，并根據所得數據作出了如下所示的頻率分布表和頻率分布直方圖．請對照圖中所給信息解決下列問題．分組頻數頻率10500.30合計1(1)求出表中及圖中，的值；(2)估計該校學生數學運算素養(yǎng)成績的中位數以及平均數（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表該組數據平均值）；(3)若按照成績分組對該樣本進行分層，用分層隨機抽樣的方法，從成績在的學生中隨機抽取6人查看學生的答題情況，再從6人中抽取2人進行調查分析，求這2人中至少1人成績在內的概率．【答案】(1)，；(2)中位數為；平均數為(3)【分析】（1）根據頻率分布直方圖結合頻數分布表中數據可求得N，繼而求得a,b;（2）根據頻率分布直方圖中中位數和平均數的計算方法，可得答案；（3）根據分層抽樣的比例確定各組中的人數，列出從6人中抽取2人的所有基本事件，再列出這2人中至少1人成績在內的基本事件，根據古典概型的概率公式可得答案.（1）由頻率分布直方圖得的頻率為：，由頻數分布表得的頻數為10，∴，∴;∵，∴;（2）的頻率為：，的頻率為：，∴估計該校學生運算素養(yǎng)成績的中位數為．估計該校學生運算素養(yǎng)成績的平均數為:.（3）樣本在，的人數分別為40，20，利用分層抽樣從成績的學生中隨機抽取6人，則在，的人數分別為4，2,從中抽取的4人記為，，，，從中抽取的2人記為1，2，則從6人中隨機抽取2人的樣本空間，記“2人中至少1人成績在內”為事件A，則有,,，共9個基本事件，∴.33．（2022春·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）某班進行了一次數學測試，并根據測試成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)估計這次測試成績的平均數（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表）；(3)在測試成績位于區(qū)間[80，90）和[90，100]的學生中，采用分層抽樣，確定了5人，若從這5人中隨機抽取2人向全班同學介紹自己的學習經驗，設事件A＝“抽取的兩人的測試成績分別位于[80，90）和[90，100]”，求事件A的概率P（A）.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據頻率分布直方圖的性質，列出方程，即可求解；（2）根據頻率分布直方圖的平均數的計算公式，即可求解；（3）根據題意確定抽樣比，利用列舉法求得基本事件的總數，以及所求事件中所包含的基本事件的個數，利用古典摡型的概率計算公式，即可求解.【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖的性質，可得，解得.（2）解：根據頻率分布直方圖的平均數的計算公式，這次測試成績的平均數為（分）.（3）解：測試成績位于的頻率，位于的頻率，因為，所以確定的5人中成績在內的有3人，分別記為，成績在內的有2人，分別記為，從5人中隨機抽取2人的樣本空間：共有10個樣本點，其中，即，所以概率為.34．（2022春·福建福州·高一校聯(lián)考期末）2021年秋季學期，某省在高一推進新教材，為此該省某市教育部門組織該市全體高中教師在暑假期間進行相關學科培訓，培訓后舉行測試（滿分100分），從該市參加測試的數學老師中抽取了100名老師并統(tǒng)計他們的測試分數，將成績分成五組，第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值以及這100人中測試成績在的人數；(2)估計全市老師測試成績的平均數和中位數（保留兩位小數）；(3)若要從第三、四、五組老師中用分層抽樣的方法抽取6人作學習心得交流分享，并在這6人中再抽取2人擔當分享交流活動的主持人，求第四組至少有1名老師被抽到的概率.【答案】(1)，20人，(2)平均數為分，中位數為分(3)【分析】（1）根據各組的頻率和為1，可求出的值，從而可求出成績在的頻率，進而可求出這100人中測試成績在的人數；（2）根據頻率分布直方圖可計算出平均數，頻率分布直方圖可判斷出中位數在，然后列方程求解即可；（3）先利用分層抽樣的定義求出各組抽取的人數，然后利用列舉法列出所有的情況，再列出第四組至少有1名老師的情況，然后利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】（1）由題意得，解得，所以這100人中測試成績在的人數為（人），（2）平均數為分，因為前2組的頻率和為，前3組的頻率為，所以中位數在中，設中位數為，則，解得，所以中位數約為分，（3）第三組的頻率為，第四組的頻率為，第五組的頻率為，所以從第三、四、五組老師中用分層抽樣的方法抽取6人作學習心得交流分享，三組人數分別為3人，2人和1人，設第三組抽取的人為，第四組抽取的人為，第五組抽取的人為，則從這6人中抽取2人的所有情況如下：,,，,共15種，其中第四組至少有1名老師被抽到的有：,，共9種，所以第四組至少有1名老師被抽到的概率為.35．（2022秋·山東日照·高一統(tǒng)考期末）我省從2021年開始，高考不分文理科，實行“3+1+2”模式，其中“3”指的是語文、數學，外語這3門必選科目，“1”指的是考生需要在物理、歷史這2門首選科目中選擇1門，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化學、生物這4門再選科目中選擇2門。已知福建醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求是首選科目為物理，再選科目為化學、生物至少1門。(1)從所有選科組合中任意選取1個，求該選科組合符合福建醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求的概率；(2)假設甲、乙、丙三人每人選擇任意1個選科組合是等可能的，求這三人中恰好有一人的選科組合符合福建醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）由古典概型的概率公式求解，（2）由概率乘法公式與加法公式求解【詳解】（1）用a，b分別表示“選擇物理”“選擇歷史”，用c，d，e，f分別表示選擇“選擇化學”“選擇生物”“選擇思想政治”“選擇地理”，則所有選科組合的樣本空間，∴，設“從所有選科組合中任意選取1個，該選科組合符合福建醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求”，則，∴，∴.（2）設甲、乙、丙三人每人的選科組合符合醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求的事件分別是，，，由題意知事件，，相互獨立由（1）知.記“甲、乙、丙三人中恰好有一人的選科組合符合福建醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求”，則易知事件，，兩兩互斥，根據互斥事件概率加法公式得.36．（2022春·河北石家莊·高一?？计谀┘住⒁覂扇诉M行