等腰三角形性質(zhì)定理 提高 知識講解

等腰三角形性質(zhì)定理（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解等腰三角形的有關(guān)概念,掌握等腰三角形的軸對稱性2.利用軸對稱變換推導(dǎo)等腰三角形的性質(zhì)，并加深對軸對稱變換的認(rèn)識．3.掌握等腰三角形的下列性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等；等腰三角形三線合一．4.會利用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理、判斷、計(jì)算和作圖．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等腰三角形的定義1.等腰三角形有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知線段a,b(如圖).用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作線段BC=a；2.分別以B,C為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A;3.連接AB,AC.△ABC為所求作的等腰三角形.3.等腰三角形的對稱性(1)等腰三角形是軸對稱圖形(2)∠B＝∠C(3)BD＝CD，AD為底邊上的中線.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD為底邊上的高線.結(jié)論：等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線是它的對稱軸.4.等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對稱軸，每個(gè)角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對稱軸.要點(diǎn)詮釋：（1）等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.（2）用尺規(guī)作圖時(shí)，畫圖的痕跡一定要保留，這些痕跡一般是畫的輕一些，能看清就可以了，題目中要求作的圖要畫成實(shí)線，最后一定要點(diǎn)題，即“xxx即為所求”.(3)等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.等邊三角形是中考中?？嫉闹R點(diǎn)，并且有關(guān)它的計(jì)算也很常見，因此對于等邊三角形的特殊數(shù)據(jù)要熟記于心，比如邊長為a的等邊三角形它的高是，面積是.【高清課堂：389301等腰三角形的性質(zhì)及判定，知識要點(diǎn)】要點(diǎn)二、等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡稱“在同一個(gè)三角形中，等邊對等角”．推論：等邊三角形的各個(gè)內(nèi)角都等于60°.性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡稱“等腰三角形三線合一”．2.等腰三角形的性質(zhì)的作用證明兩條線段或兩個(gè)角相等的一個(gè)重要依據(jù)．3.尺規(guī)作圖：已知底邊和底邊上的高已知線段a，h（如圖）用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使底邊BC＝a,BC邊上的高線為h.作法：1.作線段BC=a.2.作線段BC的垂直平分線l,交BC與點(diǎn)D.3.在直線l上截取DA=h,連接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.【典型例題】類型一、等腰三角形中的分類討論【高清課堂：389301等腰三角形的性質(zhì)及判定：例2（1）】 1、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為()．A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°【答案】D；【解析】由等腰三角形的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理可知，等腰三角形的頂角可以是銳角、直角、鈍角，然而題目沒說是什么三角形，所以分類討論，畫出圖形再作答．(1)頂角為銳角如圖①，按題意頂角的度數(shù)為60°；(2)頂角為直角，一腰上的高是另一腰，夾角為0°不符合題意；(3)頂角為鈍角如圖②，則頂角度數(shù)為120°，故此題應(yīng)選D．【總結(jié)升華】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形的高相對于三角形的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是忽視了頂角為120°這種情況，把三角形簡單的認(rèn)為是銳角三角形．舉一反三：【高清課堂：389301等腰三角形的性質(zhì)及判定：例2（2）】 【變式1】已知等腰三角形的周長為13，一邊長為3，求其余各邊．【答案】解：(1)3為腰長時(shí)，則另一腰長也為3，底邊長＝13－3－3＝7；(2)3為底邊長時(shí)，則兩個(gè)腰長的和＝13－3＝10，則一腰長．這樣得兩組：①3，3，7②5，5，3．而由構(gòu)成三角形的條件：兩邊之和大于第三邊可知：3＋3＜7，故不能組成三角形，應(yīng)舍去．∴等腰三角形的周長為13，一邊長為3，其余各邊長為5，5．【變式2】等腰三角形有一個(gè)外角是100°，這個(gè)等腰三角形的底角是．【答案】50°或80°．解：①若100°的外角是此等腰三角形的頂角的鄰角，則此頂角為：180°﹣100°=80°，則其底角為：（180°﹣80°）÷2=50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的鄰角，則此底角為：180°﹣100°=80°；故這個(gè)等腰三角形的底角為：50°或80°．故答案為：50°或80°．類型二、等腰三角形的操作題2、如圖，有甲，乙兩個(gè)三角形，請你用一條直線把每一個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形，并標(biāo)出每個(gè)三角形各角的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，一個(gè)等腰三角形的兩底角相等，故可把原三角形中的一個(gè)角分成兩個(gè)角，故（1）把75°的角分成25°的角和50°的角，則25°和25°的底角組成一個(gè)等腰三角形，另外一個(gè)三角形是兩底角為50°的等腰三角形；（2）把120°的角分成80°和40°的角，則40°與40°的底角組成一個(gè)等腰三角形，另外一個(gè)三角形有兩個(gè)角都是80°．【答案與解析】解：如圖1：直線把75°的角分成25°的角和50°的角，則分成的兩個(gè)三角形都是等腰三角形；如圖2，直線把120°的角分成80°和40°的角，則分成的兩個(gè)三角形都是等腰三角形．【總結(jié)升華】本題主要考查了等腰三角形的判定以及作圖，確定分割三角形中的哪一個(gè)角是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】直角三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如圖，將紙片沿某條直線折疊，使點(diǎn)A落在直角邊BC上，記落點(diǎn)為D，設(shè)折痕與AB、AC邊分別交于點(diǎn)E、F，探究：如果折疊后的△CDF與△BDE均為等腰三角形，那么紙片中的∠B的度數(shù)是多少？寫出你的計(jì)算過程，并畫出符合條件的折疊后的圖形．【答案】解：若△CDF是等腰三角形，則一定是等腰直角三角形.設(shè)∠B為度∠1＝45°，∠2＝∠A＝90°－①當(dāng)BD＝BE時(shí)∠3＝，45°＋90°－＋＝180°，＝30°.②經(jīng)計(jì)算ED＝EB不成立.③當(dāng)DE＝DB時(shí)∠3＝180°－245°＋90°－＋180°－2＝180°，＝45°.綜上所述，∠B＝30°或45°.類型三、等腰三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用3、如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線,E是AD上一點(diǎn)，且BE＝AC，延長BE交AC于F.求證：AF＝EF.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長AD到點(diǎn)H，得到△ADC≌△HDB，利用全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等進(jìn)行等量代換，得到△AEF中的兩個(gè)角相等，然后用等角對等邊證明AE=EF．【答案與解析】證明：延長AD到H使DH＝AD，連接BH.∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD在△ADC和△HDB中，，∴△ADC≌△HDB，∴∠1＝∠H，BH＝AC∵BE＝AC，∴BE＝BH，∴∠3＝∠H，∴∠1＝∠3又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AF＝EF【總結(jié)升華】證明不在同一個(gè)三角形的兩條線段相等，而它們所在的三角形不全等，可以利用輔助線將它們轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，然后通過等腰三角形來證明.舉一反三：【變式】如圖，已知AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．【答案】證明：延長AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接BG.ABCDABCDEFG4、如圖，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分線AD交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E.求證：BE＝AD.【答案與解析】證明：如圖，延長BE、AC交于點(diǎn)F.∵∠1＝∠2，AE＝AE，∠AEB＝∠AEF＝90°，∴△AEB≌△AEF（ASA）.∴BE＝FE＝BF.∵∠3＝90°－∠F＝∠2，BC＝AC,∴△BCF≌△ACD（ASA）∴BF＝AD，BE＝AD.【總結(jié)升華】在幾何解題的過程中，當(dāng)遇到角分線或線段垂線時(shí)?？紤]使用翻折變換，可保留原有圖形的性質(zhì)，且使原來分散的條件相對集中，以利于問題的解決．舉一反三：【變式】如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上．

（1）求證：BE=CE；

（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點(diǎn)F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45°，原題設(shè)其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF．【答案】證明：（1）∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，

∴∠BAE=∠EAC，

在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACE（SAS），

∴BE=CE；

（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，

∴△ABF為等腰直角三角形，

∴AF=BF，

∵AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，

∴∠EAF+∠C=90°，

∵BF⊥AC，

∴∠CBF+∠C=90°，

∴∠EAF=∠CBF，

在△AEF和△BCF中，∴△AEF≌△BCF（ASA）．5、如圖，△ABC是等邊三角形，D是AB邊上的一點(diǎn)，以CD為邊作等邊三角形CDE，使點(diǎn)E、A在直線DC的同側(cè)，連接AE．

求證：AE∥BC．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)推出BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，求出∠BCD=∠ACE，根據(jù)SAS證△ACE≌△BCD，推出∠EAC=∠DBC=∠ACB，根據(jù)平行線的判定推出