小初高試卷模板

1/61第頁專題4-2等差數(shù)列的概念總覽總覽題型解讀TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或某一項(xiàng)【題型2】等差數(shù)列基本量的計(jì)算【題型3】等差中項(xiàng)及應(yīng)用【題型4】等差數(shù)列的性質(zhì)及簡(jiǎn)化計(jì)算的應(yīng)用【題型5】等差數(shù)列的判斷【題型6】等差數(shù)列證明（1）:直接作差或等差中項(xiàng)形式【題型7】等差數(shù)列證明（2）：因式分解型【題型8】求等差數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)【題型9】等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【題型10】等差數(shù)列與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合【題型11】構(gòu)造等差數(shù)列（1）：取倒數(shù)【題型12】構(gòu)造等差數(shù)列（2）：插入數(shù)字或每隔k項(xiàng)抽項(xiàng)數(shù)【題型13】構(gòu)造等差數(shù)列（3）：提取2個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列【題型14】構(gòu)造等差數(shù)列（4）：奇偶相間討論型（奇偶數(shù)列）【題型15】構(gòu)造等差數(shù)列（5）：隔項(xiàng)等差（奇偶數(shù)列）【題型16】構(gòu)造等差數(shù)列（6）：其它類型一、等差數(shù)列的概念一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示.注意點(diǎn)：(1)概念的符號(hào)表示：an＋1－an＝d(n∈N*)．(2)定義中強(qiáng)調(diào)“從第2項(xiàng)起”，因?yàn)榈谝豁?xiàng)沒有前一項(xiàng)．(3)差必須是同一個(gè)常數(shù)．(4)公差可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、零．(5)當(dāng)d>0時(shí)，是遞增數(shù)列，當(dāng)d＝0時(shí)，是常數(shù)列，當(dāng)d<0時(shí)，是遞減數(shù)列．二、等差中項(xiàng)以及拓展由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列．這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且.注意：(1)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等差中項(xiàng)，且唯一．(2)a3是a1和a5的等差中項(xiàng)，特別注意下標(biāo)之間的關(guān)系．拓展：若，則（下標(biāo)之和性質(zhì)關(guān)系）三、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與函數(shù)性質(zhì)1．首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為證明：可以用累加法推導(dǎo)a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d，左右兩邊分別相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．2．若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公差為d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)點(diǎn)(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上，這條直線的斜率為d，在y軸上的截距為a1－d；(2)這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加d.注意：①已知首項(xiàng)a1和公差d，便可寫出通項(xiàng)公式．②等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是an，a1，d，n四個(gè)變量之間的關(guān)系，知三求一．等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法與應(yīng)用技巧③等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可由首項(xiàng)與公差確定，所以要求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求出首項(xiàng)與公差即可．④等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四個(gè)參數(shù)，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三個(gè)數(shù)，那么就可以由通項(xiàng)公式求出第四個(gè)數(shù)，這一求未知量的過程，我們通常稱之為“知三求一”熟練掌握等差數(shù)列是關(guān)于n的一次函數(shù)型這一結(jié)構(gòu)特征，并且公差d是一次項(xiàng)系數(shù)，它的符號(hào)決定了數(shù)列的單調(diào)性，d>0時(shí)，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，d＝0時(shí)，數(shù)列{an}為常數(shù)列，d<0時(shí)，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列．四、等差數(shù)列的性質(zhì)1.下標(biāo)性質(zhì)（1）在等差數(shù)列中,若,則.特別的,若,則有（2）下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng),,,(k,m)組成公差為md的等差數(shù)列.（3）在等差數(shù)列{}中，若，，，則有.2.等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形及推廣（1） （2）.（3）,且.3.若分別是公差為的等差數(shù)列,則有數(shù)列結(jié)論公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))公差為2d的等差數(shù)列(k為常數(shù))公差為的等差數(shù)列(p,q為常數(shù))題型題型匯編知識(shí)梳理與?？碱}型【題型1】求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或某一項(xiàng)等差數(shù)列概念的符號(hào)表示：an＋1－an＝d(n∈N*)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為【例題1】（23-24高二上·浙江紹興·期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則（

）A． B． C．16 D．19【答案】B【分析】根據(jù)條件得出數(shù)列是以，的等差數(shù)列，即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到，又，所以數(shù)列是以，的等差數(shù)列，得到，【例題2】等差數(shù)列3，11，19，27，…的通項(xiàng)公式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先得到首項(xiàng)與公差，即可求出通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的首項(xiàng)，公差，所以通項(xiàng)公式為.【例題3】（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知數(shù)列中，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以條件可知為等差數(shù)列，求得通項(xiàng)公式后，進(jìn)一步計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以是?為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故，則，故【例題4】在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把變形得到，再由等差數(shù)列的定義即可求出通項(xiàng)公式.【詳解】由得，令，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，即，所以.【鞏固練習(xí)1】已知數(shù)列中，，，則.【答案】【分析】先判斷得是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得解．【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列是等差數(shù)列，公差，又，所以．【鞏固練習(xí)2】（22-23高三上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，，對(duì)任意的，都有，則.【答案】41【分析】分析得到數(shù)列是等差數(shù)列，求出數(shù)列的公差即得解.【詳解】解：因?yàn)閷?duì)任意的，都有，所以對(duì)任意的，都有，所以數(shù)列是等差數(shù)列，因?yàn)椋?，所?所以.【鞏固練習(xí)3】已知在數(shù)列中，，，則等于．【答案】【分析】根據(jù)題意可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得解．【詳解】解：因?yàn)?，所以，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，故，所以．【鞏固練習(xí)4】在數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】根據(jù)可得為等差數(shù)列，從而可求的通項(xiàng)公式.【詳解】由題設(shè)可得，故為等差數(shù)列，故【鞏固練習(xí)5】已知數(shù)列中，，且是等差數(shù)列，則（

）A．36 B．37 C．38 D．39【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義寫出的通項(xiàng)公式，再利用累加法求.【詳解】因?yàn)?，所以，又是等差?shù)列，故首項(xiàng)為3，公差為2，所以，所以．【鞏固練習(xí)6】已知數(shù)列（）為等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的概念可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以，即【題型2】等差數(shù)列基本量的計(jì)算等差數(shù)列基本量的計(jì)算是指把條件拆成基本量和的形式，解二元方程組來得出所求【例題1】在等差數(shù)列中，，，且，________．【答案】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解出，代入即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為則所以【例題2】（高二上·廣東深圳·期末）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，且從第10項(xiàng)開始均比1大，則公差d的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】易得，結(jié)合通項(xiàng)公式，解關(guān)于的不等式即可.【詳解】由題意得所以解得.【例題3】（22-23高二上·江蘇蘇州·期末）若數(shù)列是等差數(shù)列，a1=1，，則a5=（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令、可得等差數(shù)列的首項(xiàng)和第三項(xiàng)，即可求出第五項(xiàng)，從而求出.【詳解】令得，令得，所以數(shù)列的公差為，所以，解得【例題4】（2023·全國(guó)·高考II卷真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，，求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)；【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.【鞏固練習(xí)1】（24-25高二上·江蘇蘇州·期中）等差數(shù)列中，，則的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】首先由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公差d，則可求.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，因?yàn)?，所以，所以【鞏固練?xí)2】（23-24高二上·山東泰安·階段練習(xí)）首項(xiàng)為的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意分析，，從而求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，由從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，所以，即，解得，故D正確.【鞏固練習(xí)3】已知數(shù)列是等差數(shù)列，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)數(shù)列的公差為d，分別表示出，，，驗(yàn)證C；然后分別解出，驗(yàn)證ABD是否正確即可.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，則，，，因此，故C正確；，，不滿足，故A錯(cuò)誤；，，故B錯(cuò)誤；，，則，故D錯(cuò)誤【鞏固練習(xí)4】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且滿足，，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)已知判斷等差數(shù)列先正后負(fù)，是遞減數(shù)列，即可得出，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)結(jié)合已知列不等式，即可解出答案.【詳解】，，，則，解得，，，即的取值范圍是.【鞏固練習(xí)5】（2023·全國(guó)·高考1卷真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．，若，求的通項(xiàng)公式；【答案】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求解即可；【詳解】（1），，解得，，又，，即，解得或（舍去），.【題型3】等差中項(xiàng)及應(yīng)用由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列．這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且.應(yīng)用1、等差數(shù)列中任意相鄰的三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，且中間項(xiàng)是等差中項(xiàng)，即應(yīng)用2、若數(shù)列對(duì)均滿足，則為等差數(shù)列簡(jiǎn)證：，即為等差數(shù)列.應(yīng)用3、若，則【例題1】已知為等差數(shù)列，，．求．【答案】1【詳解】設(shè)的公差為d，首項(xiàng)為，根據(jù)題意得，∴∴【例題2】已知數(shù)列滿足：，，則．【答案】【分析】由，得，可知為等差數(shù)列，從而可以求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求出的值．【詳解】解：由，得，∴為等差數(shù)列．又，，∴，∴．∴．【例題3】（23-24高二上·江蘇南京·期末）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（

）A．30 B． C．20 D．【答案】A【分析】利用等差中項(xiàng)列式求解即可.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，則是和的等差中項(xiàng)，有，即，解得.【例題4】已知遞增數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則（

）A．2024 B．2023 C．4048 D．4046【答案】C【分析】設(shè)數(shù)列的公差為d（），解法一：根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求，即可得結(jié)果；解法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)并以為中心求，即可得結(jié)果.【詳解】解法一：設(shè)數(shù)列的公差為d（），因?yàn)?，，則，解得，所以；解法二：設(shè)數(shù)列的公差為d（），由得，又因?yàn)椋?，解得，所?【例題5】（高二上·云南曲靖·期末）已知中三邊，，成等差數(shù)列，，，也成等差數(shù)列，則的形狀為.【答案】等邊三角形【解析】根據(jù)等差數(shù)列條件列方程化簡(jiǎn)得即可判斷結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，成等差?shù)列，，，也成等差數(shù)列，所以則即所以故所以為等邊三角形【鞏固練習(xí)1】（23-24高二上·陜西咸陽·階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，則（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，項(xiàng)數(shù)之和相等的兩項(xiàng)之和相等，化簡(jiǎn)已知的等式即可求出的值，然后把所求的式子也利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)后，將的值代入即可求出值．【詳解】由題意，得，所以，故C正確.【鞏固練習(xí)2】（23-24高二上·山西呂梁·階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，，則（

）A． B． C．1345 D．2345【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得公差和通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式代入運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，得，又因?yàn)?，得，可得?shù)列的公差，則，所以．【鞏固練習(xí)3】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知為等差數(shù)列，且，，則.【答案】3【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由等差中項(xiàng)性質(zhì)得，解得.【鞏固練習(xí)4】（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，已知，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一，設(shè)出首項(xiàng)，公差為d，代入已知條件即可求解；方法二，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可求出，代入到已知可求出公差為d，即可求解；方法三，根據(jù)韋達(dá)定理可求出，是方程的兩根，再根據(jù)等差數(shù)列可求出通項(xiàng)公式.【詳解】方法一（基本量法）設(shè)的首項(xiàng)為，公差為d，則由，得，∴．代入，整理得，解得．當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，．方法二（等差數(shù)列的性質(zhì)）∵，∴．，∴，∴．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．方法三（方程思想）∵，∴，∴，（由和與積，聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系）∴，是方程的兩根，∴或由，，得，∴．同理，由，，得．【鞏固練習(xí)5】（高二上·江蘇徐州·期中）正數(shù)a，b的等差中項(xiàng)是，且，，則的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)得出，再由基本不等式求出最小值.【詳解】由題意可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)【鞏固練習(xí)6】（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）等差數(shù)列中，若，則的值為．【答案】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，.【題型4】等差數(shù)列的性質(zhì)及簡(jiǎn)化計(jì)算的應(yīng)用在對(duì)等差數(shù)列基本量進(jìn)行計(jì)算時(shí)，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可以起到減少計(jì)算量的作用，很多時(shí)候即使不求出和也能得出答案【例題1】已知數(shù)列是等差數(shù)列，p，q，s，，且.求證.分析：只要根據(jù)等差數(shù)列的定義寫出，，，，再利用已知條件即可得證.證明：設(shè)數(shù)列的公差為d，則，，，.所以，.因?yàn)?，所?【例題2】（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知為等差數(shù)列，，則.【答案】6【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，又，所以.【例題3】已知等差數(shù)列中，，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則（

）A．3 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由已知，函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，即方程的兩根，，∴，∵數(shù)列為等差數(shù)列，∴，∴.【例題4】（23-24高二上·四川達(dá)州·期末）在遞增等差數(shù)列中有，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析條件，求出通項(xiàng)公式后利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】設(shè)公差為，首項(xiàng)為，由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得，結(jié)合，是遞增等差數(shù)列，解得，(另一組解舍)，故，，，即，令，則原式為求的前項(xiàng)和，故原式，【鞏固練習(xí)1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，則的最小值為（

）A．9 B． C． D．【答案】B【分析】先通過等差數(shù)列的性質(zhì)得到，再利用基本不等式中1的妙用來求解最值即可.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“”號(hào).【鞏固練習(xí)2】（24-25高二上·福建龍巖·期中）公差不為0的等差數(shù)列中，，則的值不可能是（

）A．9 B．16 C．22 D．25【答案】C【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，即可得，的所有可能取值，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又，，所以或或或或或或或或，所以的值可能是，，，?【鞏固練習(xí)4】已知等差數(shù)列滿足，則的值為.【答案】3【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，即，進(jìn)而求出【詳解】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，即，故，.【鞏固練習(xí)5】（23-24高二上·重慶·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列為遞增數(shù)列，且滿足，，則其通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出，，從而求出通項(xiàng)公式.【詳解】由數(shù)列為遞增等差數(shù)列，則，且，又因?yàn)?，所以，，所以?shù)列的公差，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故B項(xiàng)正確.【鞏固練習(xí)6】（23-24高二下·云南玉溪·開學(xué)考試）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（）A．48 B．50 C．52 D．54【答案】A【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可求得，而，代入即可得出答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可得：，解得：，而【鞏固練習(xí)7】已知正項(xiàng)等差數(shù)列，若，，則(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合已知條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出和，進(jìn)而求出公差即可求解.【詳解】在等差數(shù)列中，依題意，，故，解得，，故和是的兩根，解得，，，因?yàn)闉檎?xiàng)等差數(shù)列，故公差，從而，，則，即，所以.【鞏固練習(xí)8】若是公差不為的等差數(shù)列，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，可得，根據(jù)題意求得，然后利用等差數(shù)列的基本性質(zhì)得出，利用等差數(shù)列求和公式可求得的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，可得，，，即，，，所以，，由等差數(shù)列的基本性質(zhì)可得，即【題型5】等差數(shù)列的判斷證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法：(1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an－an－1為同一常數(shù)．即作差法，將關(guān)于an－1的an代入an－an－1，在化簡(jiǎn)得到定值．(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an－1＝an＋an－2（n≥3，n∈N×）都成立．(3)判定一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列還常用到的結(jié)論：①通項(xiàng)公式：an＝pn＋q（p，q為常數(shù)）是等差數(shù)列．②前n項(xiàng)和公式：Sn＝An2＋Bn（A，B為常數(shù)）是等差數(shù)列.問題的最終判定還是利用定義.【例題1】已知一個(gè)無窮等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d．（1）將數(shù)列中的前m項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是多少？（2）取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是多少？（3）取出數(shù)列中所有序號(hào)為7的倍數(shù)的項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，它是等差數(shù)列嗎？你能根據(jù)得到的結(jié)論作出一個(gè)猜想嗎？【答案】（1）是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為；（2）是等差數(shù)列，首項(xiàng)為首項(xiàng)為，公差為；（3）是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為；猜想：等差數(shù)列每隔一定距離抽取一項(xiàng)后所組成的新數(shù)列仍是等差數(shù)列.【解析】【分析】（1）由題意可知，新的數(shù)列為：，可知新等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差；（2）由題意可知，新的數(shù)列為：，可知新等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差；（3）由題意可知，新的數(shù)列為：，可知新等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差，進(jìn)而得到猜想.【詳解】（1）由題意可知，將無窮等差數(shù)列的前m項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù)列為：，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為.（2）由題意可知，取出無窮等差數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列為：，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為.（3）由題意可知，取出無窮等差數(shù)列中所有序號(hào)為7的倍數(shù)的項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列為：，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為.猜想：等差數(shù)列每隔一定距離抽取一項(xiàng)后所組成的新數(shù)列仍是等差數(shù)列.【例題2】（23-24高二下·山東菏澤·期中）從1，2，3，…，9這9個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)不同的數(shù)字，使它們成等差數(shù)列，則這樣的等差數(shù)列共有（

）A．16個(gè) B．24個(gè) C．32個(gè) D．48個(gè)【答案】C【分析】分別對(duì)公差的各不同取值判斷等差數(shù)列的個(gè)數(shù)，即可求解．【詳解】解：當(dāng)公差時(shí)，數(shù)列有1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；，5，6，7；6，7，8；7，8，9共7個(gè)；當(dāng)公差時(shí)，數(shù)列有1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共5個(gè)；當(dāng)公差時(shí)，數(shù)列有1，4，7，；2，5，8；3，6，9共3個(gè)；當(dāng)公差時(shí)，數(shù)列有1，5，9共1個(gè)，同理，當(dāng)時(shí)，有7個(gè)，當(dāng)時(shí)，有5個(gè)，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)，故共有．【例題3】（23-24高二上·廣東深圳·期末）若數(shù)列是等差數(shù)列，則下列數(shù)列不一定是等差數(shù)列的是（）A． B．C．（為常數(shù)） D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的定義和特殊數(shù)列，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，可得，對(duì)于A中，例如：等差數(shù)列，則，此時(shí)數(shù)列不是等差數(shù)列，所以A符合題意；對(duì)于B中，數(shù)列中，可得，所以數(shù)列為常數(shù)列，所以數(shù)列一定是等差數(shù)列，所以B不符合題意；對(duì)于C中，數(shù)列中，可得（常數(shù)），所以數(shù)列一定是等差數(shù)列，所以C不符合題意；對(duì)于D中，數(shù)列中，可得，所以數(shù)列一定是等差數(shù)列，所以D不符合題意.【例題4】（24-25高三上·內(nèi)蒙古包頭·開學(xué)考試）“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先假設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè)出其首項(xiàng)及公差，計(jì)算可得數(shù)列亦為等差數(shù)列，舉出恰當(dāng)?shù)臄?shù)列的通項(xiàng)公式，使是等差數(shù)列，但不是等差數(shù)列即可得.【詳解】若數(shù)列是等差數(shù)列，可設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，則，則，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；若數(shù)列是等差數(shù)列，取，則，符合要求，但數(shù)列不為等差數(shù)列，故“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充分不必要條件.【鞏固練習(xí)1】已知數(shù)列是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中①②③④必為等差數(shù)列的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】設(shè)出等差數(shù)列的公差，利用等差數(shù)列定義一一判斷四個(gè)數(shù)列，對(duì)于④中數(shù)列，只需舉反例即可說明.【詳解】由數(shù)列是等差數(shù)列，不妨設(shè)其公差為，則，對(duì)于①，因，，則為常數(shù)，故是等差數(shù)列；對(duì)于②，不妨設(shè)，則，，于是為常數(shù)，故是等差數(shù)列；對(duì)于③，設(shè)，則，，于是為常數(shù)，故是等差數(shù)列；對(duì)于④，若數(shù)列為，顯然是等差數(shù)列，則數(shù)列為，因，故不是等差數(shù)列.即在①，②，③，④中，是等差數(shù)列的有3個(gè)【鞏固練習(xí)2】（多選）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則（

）A．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列 B．C． D．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列【答案】BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)即可判斷B；根據(jù)求出數(shù)列的通項(xiàng)，即可判斷C；由的符號(hào)即可判斷A；根據(jù)等差數(shù)列的定義即可判斷D.【詳解】由題意，所以，故B正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以，故C正確；因?yàn)椋詳?shù)列為遞增數(shù)列，故A錯(cuò)誤；，因?yàn)椋?，所以?shù)列不是等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：BC.【鞏固練習(xí)3】（23-24高二下·浙江·期中）對(duì)于數(shù)列，設(shè)甲：為等差數(shù)列，乙：，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可證明充分性；由得，兩式相減，結(jié)合等差中項(xiàng)的應(yīng)用即可證明必要性.【詳解】充分性：若是等差數(shù)列，則．必要性：若，則，兩式相減得，即，所以是等差數(shù)列．所以甲是乙的充要條件.【鞏固練習(xí)4】（多選）若數(shù)列是等差數(shù)列，公差，則下列對(duì)數(shù)列的判斷正確的是（

）A．若，則數(shù)列是遞減數(shù)列B．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列C．若，則數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列D．若，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列【答案】AD【分析】寫出的通項(xiàng)公式，結(jié)合各項(xiàng)寫出的通項(xiàng)公式，利用所得通項(xiàng)公式對(duì)應(yīng)函數(shù)性質(zhì)判斷單調(diào)性、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷等差數(shù)列.【詳解】由且，A：由，即數(shù)列是遞減數(shù)列，對(duì)；B：由，若時(shí)，如，不單調(diào)，錯(cuò)；C：由，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，錯(cuò)；D：由，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，對(duì).故選：AD【鞏固練習(xí)5】（23-24高二下·廣東佛山·期末）（多選）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)中，能使為等差數(shù)列的條件有（

）A．B．C．對(duì)，有D．【答案】BCD【分析】對(duì)A、B：利用與的關(guān)系計(jì)算后，結(jié)合等差數(shù)列定義即可得；對(duì)C：利用賦值法構(gòu)造即可得；對(duì)D：借助分段函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)A：，當(dāng)時(shí)，，則，即，，則，故不為等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：當(dāng)時(shí)，，則，即，即對(duì)任意的，有，此時(shí)，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故B正確；對(duì)C：令，則對(duì)，有，故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，故C正確；對(duì)D：，則，故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，故D正確.故選：BCD.【題型6】等差數(shù)列證明（1）:直接作差或等差中項(xiàng)形式1、等差數(shù)列概念的符號(hào)表示：an＋1－an＝d(n∈N*)2、若數(shù)列對(duì)均滿足，則為等差數(shù)列簡(jiǎn)證：，即為等差數(shù)列.【例題1】已知一個(gè)無窮等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d．（1）將數(shù)列中的前m項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是多少？（2）取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是多少？（3）取出數(shù)列中所有序號(hào)為7的倍數(shù)的項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，它是等差數(shù)列嗎？你能根據(jù)得到的結(jié)論作出一個(gè)猜想嗎？【答案】（1）是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為；（2）是等差數(shù)列，首項(xiàng)為首項(xiàng)為，公差為；（3）是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為；猜想：等差數(shù)列每隔一定距離抽取一項(xiàng)后所組成的新數(shù)列仍是等差數(shù)列.【解析】【分析】（1）由題意可知，新的數(shù)列為：，可知新等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差；（2）由題意可知，新的數(shù)列為：，可知新等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差；（3）由題意可知，新的數(shù)列為：，可知新等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差，進(jìn)而得到猜想.【詳解】（1）由題意可知，將無窮等差數(shù)列的前m項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù)列為：，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為.（2）由題意可知，取出無窮等差數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列為：，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為.（3）由題意可知，取出無窮等差數(shù)列中所有序號(hào)為7的倍數(shù)的項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列為：，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為.猜想：等差數(shù)列每隔一定距離抽取一項(xiàng)后所組成的新數(shù)列仍是等差數(shù)列.【例題2】（22-23高二上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知數(shù)列{}滿足．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）兩邊取倒數(shù)可得：，即可證明；（2）由（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【詳解】（1）證明：數(shù)列{}滿足．兩邊取倒數(shù)可得：，即，∴數(shù)列{}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為2；（2）由（1）可得：，解得．【例題3】數(shù)列滿足.(1)求的值；(2)設(shè)，證明是等差數(shù)列.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式求解即可；（2）結(jié)合遞推關(guān)系式與等差數(shù)列的定義證明即可.【詳解】（1）數(shù)列滿足所以，（2）∵∴為等差數(shù)列.【例題4】（23-24高二上·廣東汕頭·階段練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足，，令.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將遞推關(guān)系代入，利用定義證明是等差數(shù)列；（2）由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求，進(jìn)而得.【詳解】（1）∵，∴，又，∴是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．（2）由（1）知，，∴.【例題5】（22-23高二上·福建廈門·階段練習(xí)）已知數(shù)列，，且滿足，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列并求出的通項(xiàng)公式；(2)若是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）定義法證明等差數(shù)列，再求出首項(xiàng)與公差由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得所求；（2）由與關(guān)系分類求通項(xiàng)公式即可得.【詳解】（1）由，則，故數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為.則，即的通項(xiàng)公式為.（2）由，則由（1）知，所以，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，時(shí)，也適合.綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【鞏固練習(xí)1】（23-24高二上·浙江溫州·期末）已知數(shù)列滿足，(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列【分析】（1）證明為定值即可；【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列【鞏固練習(xí)2】（23-24高二上·山東菏澤·期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，且.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列.【分析】（1）利用得到，再結(jié)合，得到，證明出結(jié)論；【詳解】（1）對(duì)于，兩式相減，得，遞推可得：，兩式相減：得，所以所以，即為等差數(shù)列.【鞏固練習(xí)3】已知滿足，且.(1)求；(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式.【答案】(1)(2)證明詳見解析，【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系求得正確答案.（2）根據(jù)已知條件進(jìn)行整理，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明，進(jìn)而求得.【詳解】（1）依題意，，，所以，，所以.（2）依題意，，，所以，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以.【鞏固練習(xí)4】（23-24高二上·安徽黃山·期末）已知數(shù)列滿足：.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最大整數(shù)n.【答案】(1)證明見解析(2)24【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義結(jié)合已知的遞推式可證得結(jié)論；（2）由（1）可求得，則可得，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得，進(jìn)而解不等式可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?shù)列是以2為公差，1為首項(xiàng)的為等差數(shù)列；（2）解：由（1）得，所以所以，所以由，得，因?yàn)椋詽M足條件的最大整數(shù)為24.【鞏固練習(xí)5】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．證明：數(shù)列是等差數(shù)列；【答案】證明見解析【分析】利用與的關(guān)系及等差數(shù)列的定義即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，，即，，即，?為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．【鞏固練習(xí)6】（23-24高二上·江蘇常州·期末）設(shè)是正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題中的遞推公式可得，從而可求解.（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，求得，再驗(yàn)證，從而可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，所以，所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列．（2），且，所以．當(dāng)時(shí)，，．時(shí)，不滿足上式，所以．【題型7】等差數(shù)列證明（2）：因式分解型若遞推公式中出現(xiàn)了關(guān)于和的齊二次式，且為正項(xiàng)數(shù)列，則一般需要通過因式分解來得出常數(shù).【例題1】在數(shù)列中，，且前n項(xiàng)和滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為________．【答案】【分析】利用與的關(guān)系可求得數(shù)列為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，即，整理得，因?yàn)椋?，即，又，故?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以.【例題2】（23-24高二下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）設(shè)是正項(xiàng)數(shù)列，且其前項(xiàng)和為，已知.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【分析】（1）首先求得的值，然后結(jié)合遞推關(guān)系式整理可得數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)且時(shí)，，∴，整理可得：，∵，∴，∴，∴數(shù)列以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，∴.【例題3】（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·期中）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.(1)證明：為等差數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求.【答案】(1)證明見解析，(2)20【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義證明等差數(shù)列，再根據(jù)通項(xiàng)公式計(jì)算即可；（2）分組求和計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，即，所以，，即數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為.所以.（2）由（1）知，其公差為，所以，所以，.【鞏固練習(xí)1】（高二下·浙江紹興·期中）已知正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，則，通項(xiàng)【答案】3【分析】利用給定的遞推公式求出，再結(jié)合探求出是等差數(shù)列，然后計(jì)算即得.【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，則當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，即，整理得：，又?jǐn)?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，于是得，從而得數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則，，所以，通項(xiàng)公式為.【鞏固練習(xí)2】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求、；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列.【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】（1）直接在數(shù)列遞推式中取即可求、（2）在數(shù)列遞推式中將換成，得另一遞推式后作差，整理即可證明數(shù)列是等差數(shù)列【詳解】（1）由已知條件得：.∴.又有，即.解得（舍）或.（2）由得時(shí)：，∴，即，∴，∴，∴即，經(jīng)過驗(yàn)證也成立，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.【鞏固練習(xí)3】（22-23高二下·福建泉州·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)求，；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】(1)當(dāng)時(shí)由＝(＋1)與＝(＋1)作差，由此得出是等差數(shù)列，從而求出即可；(2).通過（1）再裂項(xiàng)得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．【詳解】（1）……①，……②由②－①得，，．又，所以，由①所以是首項(xiàng)為1公差為的等差數(shù)列，所以，代入①得．（2），，因?yàn)椋?，即．【鞏固練?xí)4】（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列，滿足．(1)求；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用的關(guān)系，結(jié)合已知條件以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）求出，利用裂項(xiàng)求和法求得結(jié)果.【詳解】（1）由，可得，，兩式相減得，又，，即，，又，解得，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，.（2）由（1），，所以.【鞏固練習(xí)5】（23-24高三上·河南周口·階段練習(xí)）在正項(xiàng)等差數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合從而求解.（2）由（1）可得，然后利用裂項(xiàng)求和從而求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，由于，令，則，將代入，解出或，因?yàn)楦黜?xiàng)為正數(shù)，則，所以：.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2）由（1）知，所以：故數(shù)列的前項(xiàng)和為：.【鞏固練習(xí)6】（23-24高二上·廣東中山·期中）數(shù)列的前項(xiàng)和為，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)是否存在正整數(shù)使得成等差數(shù)列？說明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)已知和求通項(xiàng)可得結(jié)果；（2）假設(shè)存在正整數(shù)使得成等差數(shù)列，推出矛盾可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)符合故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2）若成等差數(shù)列，則，，這與為正整數(shù)且矛盾，所以不存在正整數(shù)使得成等差數(shù)列.【題型8】求等差數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)求等差數(shù)列中的最大（小）項(xiàng)的主要方法是：首先確定數(shù)列的公差正負(fù)，然后判斷數(shù)列是遞增還是遞減，接著找出首項(xiàng)和末項(xiàng)，最后根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性確定最大（小）項(xiàng)的位置及值。【例題1】（22-23高二上·廣東深圳·期末）（多選）數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（

）A．是遞減數(shù)列 B．是等差數(shù)列C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)或4時(shí)，取得最大值【答案】CD【分析】由數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系即可求出，對(duì)選項(xiàng)分別討論及計(jì)算即可得到正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不滿足上式，所以，對(duì)于A，由于，，所以不是遞減數(shù)列，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由于，，，所以，所以不是等差數(shù)列，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由，得，所以當(dāng)時(shí)，，所以C正確，對(duì)于D，，因?yàn)?，所以?dāng)或4時(shí)，取得最大值，所以D正確，故選：CD.【例題2】設(shè)an=2n-9，則當(dāng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和取得最小值時(shí)，n的值為（A．4 B．5C．4或5 D．5或6【解題思路】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得到an≤0【解答過程】由an≤0an+1≥0，即2n-9≤02n+1-9≥0【例題3】（23-24高二上·河南鄭州·開學(xué)考試）等差數(shù)列an中，S6<S7，S7>S8，給出下列命題：①d<0，②S9<S6，③a7是各項(xiàng)中最大的項(xiàng)，④【解題思路】直接利用等差數(shù)列{an}中，S6<S7【解答過程】等差數(shù)列{an}中，S6<S7所以a1+a所以①d=a②S9<S③a7④S7是S⑤{a故答案為：①②④．【鞏固練習(xí)1】（22-23高二上·陜西渭南·階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，記，則數(shù)列（

）A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)【答案】C【分析】根據(jù)題意求出，根據(jù)等差數(shù)列的各項(xiàng)符號(hào)得到數(shù)列的單調(diào)性，由此可求得結(jié)果.【詳解】解：依題意可得公差，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，，，，，又?dāng)時(shí)，，且，即，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，所以數(shù)列無最大項(xiàng)，數(shù)列有最小項(xiàng).【鞏固練習(xí)2】（22-23高二上·重慶巴南·階段練習(xí)）已知數(shù)列，，數(shù)列滿足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列中的最大項(xiàng).【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將代入中進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用等差數(shù)列定義得出結(jié)論即可.（2）求出數(shù)列，利用函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?所以當(dāng)時(shí)，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列..（2）由（1）知，.則時(shí)，,設(shè)函數(shù)易知在上為減函數(shù)所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.【鞏固練習(xí)3】無窮數(shù)列{an}滿足：且（1）求證：為等差數(shù)列；（2）若為數(shù)列{an}中的最小項(xiàng)，求【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）利用遞推公式證得，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可得出結(jié)論；（2）由于數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，所以若，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列無最大項(xiàng)，因此{(lán)an}中無最小項(xiàng)，故，然后結(jié)合題意即可得到，解不等式組即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，則所以，故數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列；（2）若，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列無最大項(xiàng)，因此{(lán)an}中無最小項(xiàng)，故，又?jǐn)?shù)列是遞增數(shù)列，且為數(shù)列{an}中的最小項(xiàng)，所以是數(shù)列中的最大負(fù)項(xiàng)，從而有，而，則，解得，故的取值范圍為.【題型9】等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用等差數(shù)列在實(shí)際中有廣泛應(yīng)用，如計(jì)算存款利息、工資增長(zhǎng)、溫度梯度、等距分布的物品數(shù)量等，它簡(jiǎn)化了連續(xù)、等間隔變化的量的計(jì)算，是數(shù)學(xué)中重要的模型之一【例題1】習(xí)近平總書記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵．要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵(lì)外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．為鼓勵(lì)返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對(duì)青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員．預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列（單位萬元，），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金的倍，已知．則預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為（

）A．72萬元 B．96萬元 C．120萬元 D．144萬元【答案】C【分析】本題可設(shè)等差數(shù)列的公差為，然后根據(jù)題意得出五年累計(jì)總投入資金為，最后通過基本不等式即可求出最值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，五年累計(jì)總投入資金為：，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為120萬元【例題2】（23-24高二上·福建龍巖·期中）潮涌杭州，亞運(yùn)來了！2023年9月23日，第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州盛大開幕，這是杭州歷史上的一件大事，也是中國(guó)繼北京奧運(yùn)會(huì)、廣州亞運(yùn)會(huì)后再次舉辦的大型國(guó)際體育賽事.某網(wǎng)站全程轉(zhuǎn)播了該次賽事，為慶祝本次賽事，該網(wǎng)站舉辦了一場(chǎng)針對(duì)本網(wǎng)站會(huì)員的獎(jiǎng)品派發(fā)活動(dòng)，派發(fā)規(guī)則如下：①對(duì)于會(huì)員編號(hào)能被3整除余1且被5整除余1的可以獲得精品吉祥物一套；②對(duì)于不符合①中條件的可以獲得普通吉祥物一套.已知該網(wǎng)站的會(huì)員共有2023人（編號(hào)為1號(hào)到2023號(hào)，中間沒有空缺），則獲得精品吉祥物的人數(shù)為.【答案】135【分析】將能被3整除余1且被5整除余1的正整數(shù)按從小到大排列，所得的數(shù)列記為，根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)求出其通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得出答案.【詳解】將能被3整除余1且被5整除余1的正整數(shù)按從小到大排列，所得的數(shù)列記為，由已知得是3的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)，所以為15的倍數(shù)，所以是首項(xiàng)為0，公差為15的等差數(shù)列，所以，令，可得，又，解得且，故獲得精品吉祥物的人數(shù)為135.【鞏固練習(xí)1】某公司購置了一臺(tái)價(jià)值為220萬元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過程中老化，其價(jià)值會(huì)逐年減少．經(jīng)驗(yàn)表明，每經(jīng)過一年其價(jià)值就會(huì)減少d（d為正常數(shù)）萬元．已知這臺(tái)設(shè)備的使用年限為10年，超過10年，它的價(jià)值將低于購進(jìn)價(jià)值的5%，設(shè)備將報(bào)廢．請(qǐng)確定d的取值范圍．【答案】【分析】這臺(tái)設(shè)備使用n年后的價(jià)值構(gòu)成一個(gè)數(shù)列．由題意可知，10年之內(nèi)（含10年），這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值應(yīng)不小于萬元；而10年后，這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值應(yīng)小于11萬元．可以利用的通項(xiàng)公式列不等式求解．【詳解】解：設(shè)使用n年后，這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值為萬元，則可得數(shù)列．由已知條件，得．由于d是與n無關(guān)的常數(shù)，所以數(shù)列是一個(gè)公差為的等差數(shù)列．因?yàn)橘忂M(jìn)設(shè)備的價(jià)值為220萬元，所以，于是．根據(jù)題意，得，即，解這個(gè)不等式組，得．【鞏固練習(xí)2】百善孝為先，孝敬父母是中華民族的傳統(tǒng)美德.因父母年事已高，大張與小張兄弟倆約定：如果兩人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把這一天記為“家庭日”.由于工作的特殊性，大張每工作三天休息一天，小張每周星期一與星期五休息，除此之外，他們沒有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他們約定的首個(gè)“家庭日”，則2021年全年他們約定的“家庭日”是星期五的天數(shù)為；2021年全年他們約定的“家庭日”共有個(gè).【答案】；.【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)大張的休息日構(gòu)成的等差數(shù)列為，顯然大張?jiān)?021年第天放假，所以有，若小張每周星期五休息，小張休息日構(gòu)成等差數(shù)列為，則有，此時(shí)兩數(shù)列的公共項(xiàng)為：，首項(xiàng)為，公差為，末項(xiàng)為，設(shè)共有項(xiàng)，所以有；若小張每周星期一休息，小張休息日構(gòu)成等差數(shù)列為，則有，此時(shí)兩數(shù)列的公共項(xiàng)為：，首項(xiàng)為，公差為，末項(xiàng)為，設(shè)共有項(xiàng)，所以有，所以2021年全年他們約定的“家庭日”共有天【鞏固練習(xí)3】稠環(huán)芳香烴化合物中有不少是致癌物質(zhì)，比如學(xué)生鐘愛的快餐油炸食品中會(huì)產(chǎn)生苯并芘，它是由一個(gè)苯環(huán)和一個(gè)芘分子結(jié)合而成的稠環(huán)芳香烴類化合物，長(zhǎng)期食用會(huì)致癌.下面是一組稠環(huán)芳香烴的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式和分子式：名稱萘蒽并四苯…并n苯結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式……分子式……由此推斷并十苯的分子式為.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義可以判斷出稠環(huán)芳香烴的分子式中、的下標(biāo)分別成等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以求出并n苯的分子式，最后求出并十苯的分子式即可.【詳解】因?yàn)槌憝h(huán)芳香烴的分子式中下標(biāo)分別是：，的下標(biāo)分別是：所以稠環(huán)芳香烴的分子式中下標(biāo)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為4，所以通項(xiàng)公式為：，稠環(huán)芳香烴的分子式中下標(biāo)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為2，所以通項(xiàng)公式為：，所以并n苯的分子式為：，因此當(dāng)時(shí)，得到并十苯的分子式為：.【題型10】等差數(shù)列與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合等差數(shù)列不僅是一種重要的數(shù)學(xué)概念，在數(shù)學(xué)文化中也占據(jù)著獨(dú)特的位置。古代文明中，等差數(shù)列的概念被用于天文歷法的計(jì)算，例如中國(guó)古代的歷法中就運(yùn)用了等差數(shù)列來預(yù)測(cè)日食、月食等天象。此外，在音樂理論中，音階的構(gòu)成也可以看作是一種等差數(shù)列的應(yīng)用，每個(gè)音符之間的頻率比遵循一定的等差關(guān)系。文學(xué)作品中，等差數(shù)列有時(shí)也被用作創(chuàng)作的靈感來源，通過數(shù)列的規(guī)律性來構(gòu)建故事的節(jié)奏或是人物的發(fā)展脈絡(luò)。等差數(shù)列以其簡(jiǎn)潔而強(qiáng)大的特性，成為連接數(shù)學(xué)與文化的一座橋梁【例題1】（21-22高二下·河南鄭州·階段練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中討論過高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等．例如“百層球堆垛”：第一層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，第五層有15個(gè)球，…，各層球數(shù)之差：，，，，…即2，3，4，5，…是等差數(shù)列．現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前6項(xiàng)分別為1，3，6，12，23，41，則該數(shù)列的第8項(xiàng)為（

）．A．51 B．68 C．106 D．157【答案】C【分析】對(duì)高階等差數(shù)列按其定義逐一進(jìn)行構(gòu)造數(shù)列，直到出現(xiàn)一般等差數(shù)列為止，再根據(jù)其遞推關(guān)系進(jìn)行求解.【詳解】現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前6項(xiàng)分別為1，3，6，12，23，41，各項(xiàng)與前一項(xiàng)之差：，，，，，…即2，3，6，11，18，…，，，，，…即1，3，5，7，…是等差數(shù)列，所以，．【例題2】（22-23高二上·上海虹口·期中）1934年，東印度（今孟加拉國(guó)）學(xué)者森德拉姆發(fā)現(xiàn)了“正方形篩子”如圖所示，根據(jù)規(guī)律，則“正方形篩子”中位于第100行的第100個(gè)數(shù)是（

）A．20180 B．20200 C．20220 D．20240【答案】B【分析】先求出第100行的第一個(gè)數(shù)，再根據(jù)第100行的數(shù)是公差為3＋2×(100－1)＝201的等差數(shù)列，從而得到第100行的第100個(gè)數(shù)是301＋201×(100－1)＝20200．【詳解】第一列的數(shù)字為4，7，10，13，16，……，成等差數(shù)列，公差d＝3，其通項(xiàng)公式＝4＋3(n－1)＝3n＋1，故第100行的第一個(gè)數(shù)為＝301，再看行，第一行的數(shù)是公差為3的等差數(shù)列，第二行的數(shù)是公差為5的等差數(shù)列，第三行的數(shù)是公差為7的等差數(shù)列，…，第n行的數(shù)是公差為3＋2×(n－1)的等差數(shù)列，則第100行的數(shù)是公差為3＋2×(100－1)＝201的等差數(shù)列，所以第100行的第100個(gè)數(shù)是301＋201×(100－1)＝20200．【例題3】（22-23高二上·浙江杭州·期末）“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)問題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（

）A．103 B．107 C．109 D．105【答案】B【分析】根據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化得到數(shù)列通項(xiàng)公式，由題意解出不等式即可判斷項(xiàng)數(shù).【詳解】由題意，被3除余2且被7除余2的數(shù)即為被21除余2的數(shù)，故，則.【鞏固練習(xí)1】（高二上·江蘇連云港·期中）數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二(除以3余2)，五五數(shù)之剩三(除以5余3)，問物幾何？”現(xiàn)將1到2020共2020個(gè)整數(shù)中，同時(shí)滿足“三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三”的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列則該數(shù)列共有（

）A．132項(xiàng) B．133項(xiàng) C．134項(xiàng) D．135項(xiàng)【答案】D【解析】由題意抽象出數(shù)列是等差數(shù)列，再根據(jù)通項(xiàng)公式計(jì)算項(xiàng)數(shù).【詳解】被3除余2且被5除余3的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為8，公差為15的等差數(shù)列，記為，則，令，解得：，所以該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)共有135項(xiàng).【鞏固練習(xí)2】《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，立春當(dāng)日日影長(zhǎng)為9.5尺，春分當(dāng)日日影長(zhǎng)為6尺，則小滿當(dāng)日日影長(zhǎng)為（

）A．尺 B．13尺 C．尺 D．尺【答案】D【分析】由題意，利用等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，得出結(jié)論．【詳解】設(shè)十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，公差為，則由題意可得，，，則小滿當(dāng)日日影長(zhǎng)．【鞏固練習(xí)3】（高二下·安徽宣城·期中）數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二(除以3余2)，五五數(shù)之剩三(除以5余3)，問物幾何？"現(xiàn)將1到1000共1000個(gè)整數(shù)中同時(shí)滿足“三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三”的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列中共有項(xiàng)．【答案】67【分析】根據(jù)題意可得被3除余2且被5除余3的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為8，公差為15的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式小于等于1000解不等式可得答案.【詳解】被3除余2且被5除余3的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為8，公差為15的等差數(shù)列，記為，則，令，解得，所以該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)共有67項(xiàng)．【鞏固練習(xí)4】（22-23高二上·江蘇淮安·期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有一道題:“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，所有被3除余2的正整數(shù)按從小到大的順序排列組成數(shù)列，所有被5除余2的正整數(shù)按從小到大的順序排列組成數(shù)列，把數(shù)列與的公共項(xiàng)按從小到大的順序排列組成數(shù)列，則數(shù)列的第10項(xiàng)是數(shù)列的第項(xiàng).【答案】28【分析】根據(jù)給定的條件，求出數(shù)列，的通項(xiàng)公式，再推導(dǎo)出數(shù)列的通項(xiàng)即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，令，即有，則，因此，即，有，于是得數(shù)列的通項(xiàng)為，，由得：，所以數(shù)列的第10項(xiàng)是數(shù)列的第28項(xiàng).【題型11】構(gòu)造等差數(shù)列（1）：取倒數(shù)形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除，轉(zhuǎn)化為形式注意：有的遞推公式是分式的形式，如：，等，化為整式之后就符合上面的式子結(jié)構(gòu)了【例題1】（24-25高二上·福建寧德·階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用取倒法證得是等差數(shù)列，進(jìn)而求得，從而得解.【詳解】因?yàn)?，，易知，所以，即，又，所以，故是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，故，所以.【例題2】（23-24高二上·陜西西安·期中）已知數(shù)列滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取倒數(shù)法求通項(xiàng)，將變形可得數(shù)列為等差數(shù)列，計(jì)算即可得.【詳解】，即，可得，又，即有數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，可得，即.【例題3】已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列滿足，且，則．【答案】【分析】將取倒數(shù)化簡(jiǎn)可得，即判斷為等差數(shù)列，即可求得的通項(xiàng)公式，即可得答案.【詳解】由題意知數(shù)列滿足，即，即，即為首項(xiàng)是，公差為1的等差數(shù)列，故，故【鞏固練習(xí)1】已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用取倒數(shù)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式即可．【詳解】解：因?yàn)?，則，又，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，則．【鞏固練習(xí)2】（22-23高二上·湖北荊州·期末）已知數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【分析】取倒數(shù)后得為等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解．【詳解】由題意得，故是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，得，即，故答案為：【鞏固練習(xí)3】（23-24高二下·河南·期中）數(shù)列中，若，，則．【答案】19【分析】取倒數(shù)可得，即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算即可得.【詳解】∵，則，∴，∴故數(shù)列為等差數(shù)列，公差等于2，又，故，∴.【題型12】構(gòu)造等差數(shù)列（2）：插入數(shù)字或每隔k項(xiàng)抽項(xiàng)數(shù)1、在等差數(shù)列中每隔相同的項(xiàng)選出一項(xiàng)，按原來的順序排成一列，仍然是一個(gè)等差數(shù)列．例如：是公差為d的等差數(shù)列，則是公差為kd的等差數(shù)列2、要在兩個(gè)已知項(xiàng)之間插入數(shù)字構(gòu)成新的等差數(shù)列，首先計(jì)算這兩項(xiàng)間的原有公差d。然后，決定要插入的項(xiàng)數(shù)k，計(jì)算新的公差。最后，從第一項(xiàng)開始，按新公差依次計(jì)算并插入每個(gè)新項(xiàng)，直到完成插入。這樣就能構(gòu)造出包含新項(xiàng)的等差數(shù)列?！纠}1】已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）是不是數(shù)列的項(xiàng)？若是，它是的第幾項(xiàng)？若不是，說明理由.分析：（1）是一個(gè)確定的數(shù)列，只要把，表示為中的項(xiàng)，就可以利用等差數(shù)列的定義得出的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)中的第n項(xiàng)是中的第項(xiàng)，根據(jù)條件可以求出n與的關(guān)系式，由此即可判斷是否為的項(xiàng).解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為.由題意可知，，，于是.因?yàn)?，所以，所?所以.所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）數(shù)列的各項(xiàng)依次是數(shù)列的第1，5，9，13，…項(xiàng)，這些下標(biāo)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，則.令，解得.所以，是數(shù)列的第8項(xiàng).【例題2】已知等差數(shù)列中，，若在數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使得新數(shù)列也是一個(gè)等差數(shù)列，則新數(shù)列的第43項(xiàng)為.【答案】【分析】先計(jì)算出等差數(shù)列的公差，進(jìn)而得到新的等差數(shù)列的公差，從而求出的通項(xiàng)公式，求出新數(shù)列的第項(xiàng).【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，設(shè)在數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)所得新數(shù)列為，則新的等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，所以新數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故.【例題3】已知{an}是等差數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若從數(shù)列{an}中，依次取出第2項(xiàng)、第4項(xiàng)、第6項(xiàng)……第2n項(xiàng)，按原來的順序組成一個(gè)新數(shù)列{bn}，試求出{bn}的通項(xiàng)公式．【答案】（1）an＝2n；（2）bn＝4n.【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程，可得答案；（2）由（1）可得出{bn}是以4為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案.【詳解】解：（1）∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4．∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d，∴d＝2，∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n．（2）a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝4n．當(dāng)n>1時(shí)，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4，∴{bn}是以4為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n．【鞏固練習(xí)1】已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為2，公差為8，在中每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使它們與原數(shù)列的項(xiàng)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，則數(shù)列．【答案】4046【分析】根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的定義可求得，進(jìn)而利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，由題意可得：，即，且，故.【鞏固練習(xí)2】（23-24高二上·浙江寧波·期中）已知等差數(shù)列，現(xiàn)在其每相鄰兩項(xiàng)之間插入一個(gè)數(shù)，使之成為一個(gè)新的等差數(shù)列．(1)求新數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)16是新數(shù)列中的項(xiàng)嗎？若是，求出是第幾項(xiàng)，若不是，說明理由．【答案】(1)(2)是【分析】（1）求出原等差數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，利用求解；（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)已知的等差數(shù)列為bn，易知，則，則，由題意知：.（2）令，故是新數(shù)列中的項(xiàng).【鞏固練習(xí)3】已知等差數(shù)列的公差為正數(shù),與的等差中項(xiàng)為,且.求的通項(xiàng)公式；從中依次取出第項(xiàng),第項(xiàng),第項(xiàng),，第項(xiàng),按照原來的順序組成一個(gè)新數(shù)列,判斷是不是數(shù)列中的項(xiàng)？并說明理由.【答案】；是數(shù)列中的項(xiàng)，理由見解析.【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知與的等差中項(xiàng)為，利用等差數(shù)列的定義列出式子求出公差為，，進(jìn)而列出的通項(xiàng)公式；寫出，將代入驗(yàn)證即可.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得與的等差中項(xiàng)為，所以，又因?yàn)?，?所以，，因?yàn)楣顬檎龜?shù),所以.則，則.的通項(xiàng)公式.結(jié)合可知，，，，.令，即，符合題意，即.所以是數(shù)列中的項(xiàng).【鞏固練習(xí)4】（23-24高二上·安徽合肥·期末）某中學(xué)響應(yīng)政府號(hào)召，積極推動(dòng)“公益一小時(shí)”，鼓勵(lì)學(xué)生利用暑假時(shí)間積極參與社區(qū)服務(wù)，為了保障學(xué)生安全，與社區(qū)溝通實(shí)行點(diǎn)對(duì)點(diǎn)服務(wù)．原計(jì)劃第一批派遣18名學(xué)生，以后每批增加6人．由于志愿者人數(shù)暴漲，學(xué)校與社區(qū)臨時(shí)決定改變派遣計(jì)劃，具體規(guī)則為：把原計(jì)劃擬派遣的各批人數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列記為，在數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)與之間插入個(gè)2，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．按新數(shù)列的各項(xiàng)依次派遣支教學(xué)生．記為派遣了50批學(xué)生后參加公益活動(dòng)學(xué)生的總數(shù)，則的值為．【答案】200【分析】此類問題為數(shù)列的增減項(xiàng)問題，把握好兩點(diǎn)，先枚舉找規(guī)律，再做好滿足題意的估計(jì)，最后利用相關(guān)數(shù)列的求和公式分組求和即可.【詳解】由已知原計(jì)劃第一批派遣18名學(xué)生，以后每批增加6人．所以數(shù)列為等差數(shù)列，且，數(shù)列的公差，所以，數(shù)列bn為數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)與之間插入個(gè)2所得，所以數(shù)列bn滿足條件，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列bn的前項(xiàng)的和為.【題型13】構(gòu)造等差數(shù)列（3）：提取2個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列要從兩個(gè)等差數(shù)列中提取公共項(xiàng)構(gòu)成新的等差數(shù)列，首先找出兩數(shù)列的通項(xiàng)公式。設(shè)兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)分別為和。找到滿足的項(xiàng)，這些項(xiàng)即為公共項(xiàng)。選取兩個(gè)連續(xù)的公共項(xiàng)作為新數(shù)列的首項(xiàng)和第二項(xiàng)，其差值即為新數(shù)列的公差。這樣即可構(gòu)造出由公共項(xiàng)組成的新等差數(shù)列.如果是選填就直接找規(guī)律即可，解答題要寫出規(guī)范解答過程，可以設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為，，然后令，求解與的關(guān)系結(jié)論1：兩個(gè)等差數(shù)列的公差分別為正整數(shù)s和t，則它們的公共項(xiàng)構(gòu)成新的等差數(shù)列，且新數(shù)列的公差為s和t的“最小公倍數(shù)”結(jié)論2：兩個(gè)等差數(shù)列的公差分別為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)和，則它們的公共項(xiàng)從小到大排列構(gòu)成的新等差數(shù)列的公差為（說明：為正整數(shù)m，n的最小公倍數(shù)，為正整數(shù)m，n的最大公約數(shù)．）【例題1】定義數(shù)列的公共項(xiàng)組成的新數(shù)列為,則數(shù)列的第101項(xiàng)為（

）A．2025 B．2021 C．2017 D．2013【答案】D【分析】根據(jù)題意，得到數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】由數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可得數(shù)列的公差為，數(shù)列的公差為，所以它們的公共項(xiàng)組成的新數(shù)列的公差為，再兩個(gè)數(shù)列的第1個(gè)公共項(xiàng)為，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則第101項(xiàng)為.【例題2】（2020·新高考1卷真題·改）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則．【答案】【分析】首先判斷出數(shù)列與項(xiàng)的特征，從而判斷出兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)所構(gòu)成新數(shù)列的首項(xiàng)以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，【例題3】將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大依次排列得數(shù)列，求的通項(xiàng)公式【答案】【分析】【詳解】法一：數(shù)列與的公共項(xiàng)滿足 要使，則必為2的倍數(shù)，即設(shè)，則，所以是首項(xiàng)為3，公差為6的等差數(shù)列，所以的通項(xiàng)公式為．同理，也可以是，則為3的倍數(shù)，法二：把常數(shù)配湊成相同的，，即記，顯然既是2的倍數(shù)也是3的倍數(shù)，故即，故【鞏固練習(xí)1】（22-23高二上·廣東深圳·期末）數(shù)列與的所有公共項(xiàng)由小到大構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，則.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列與的性質(zhì)確定數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，從而可得通項(xiàng)，即可得的值.【詳解】解：數(shù)列與分別是以為公差，為首項(xiàng)的等差數(shù)列，則新的數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，故.【鞏固練習(xí)2】（23-24高二下·遼寧·期中）已知數(shù)列，則由這兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)從小到大排列得到的數(shù)列為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩數(shù)列的項(xiàng)的特征，易推得由公共項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列項(xiàng)的特征，寫出通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)即得.【詳解】因數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，而數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，則這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列構(gòu)成的新數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為6的等差數(shù)列，故.【鞏固練習(xí)3】將數(shù)列和的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，求的通