河北省鹿泉第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題下學(xué)期第四次月考試題

河北省鹿泉第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題下學(xué)期第四次月考試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成的角為（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為（）A． B． C． D．63．設(shè)雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn).已知?jiǎng)狱c(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上，且點(diǎn)不共線(xiàn).若的周長(zhǎng)的最小值為，則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．4．某設(shè)備使用年限x（年）與所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分別為，，，，由最小二乘法得到回歸直線(xiàn)方程為，若計(jì)劃維修費(fèi)用超過(guò)15萬(wàn)元將該設(shè)備報(bào)廢，則該設(shè)備的使用年限為（）A．8年 B．9年 C．10年 D．11年5．若集合，則=（）A． B． C． D．6．甲在微信群中發(fā)了一個(gè)6元“拼手氣”紅包,被乙?丙?丁三人搶完,若三人均領(lǐng)到整數(shù)元,且每人至少領(lǐng)到1元,則乙獲得“最佳手氣”(即乙領(lǐng)到的錢(qián)數(shù)多于其他任何人)的概率是（）A． B． C． D．7．設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F,拋物線(xiàn)C與圓交于M,N兩點(diǎn),若,則的面積為()A． B． C． D．8．已知直線(xiàn)：與圓：交于，兩點(diǎn)，與平行的直線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，且與的面積相等，給出下列直線(xiàn)：①，②，③，④.其中滿(mǎn)足條件的所有直線(xiàn)的編號(hào)有（）A．①② B．①④ C．②③ D．①②④9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入，則輸出的的值為（）A． B． C． D．10．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，是線(xiàn)段上的點(diǎn)，且,則直線(xiàn)的斜率的最大值為()A． B． C． D．111．設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．12．根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門(mén)派四位專(zhuān)家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)縣區(qū)至少派一位專(zhuān)家，則甲，乙兩位專(zhuān)家派遣至同一縣區(qū)的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知全集，集合則_____．14．已知，則展開(kāi)式的系數(shù)為_(kāi)_________．15．已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)____．16．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加淮南文明城市創(chuàng)建志愿服務(wù)活動(dòng)，服務(wù)活動(dòng)共有“走進(jìn)社區(qū)”、“環(huán)境監(jiān)測(cè)”、“愛(ài)心義演”、“交通宣傳”等四個(gè)項(xiàng)目，每人限報(bào)其中一項(xiàng)，記事件為“4名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同”，事件為“只有甲同學(xué)一人報(bào)走進(jìn)社區(qū)項(xiàng)目”，則的值為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，底面，且，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）設(shè)點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角最小時(shí)，求三棱錐的體積.19．（12分）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的周長(zhǎng)是否有最大值？如果有，求出這個(gè)最大值，如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）設(shè)函數(shù)（）的最小值為.（1）求的值；（2）若，，為正實(shí)數(shù)，且，證明：.21．（12分）如圖，已知四棱錐，平面，底面為矩形，，為的中點(diǎn)，.（1）求線(xiàn)段的長(zhǎng).（2）若為線(xiàn)段上一點(diǎn)，且，求二面角的余弦值.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的右焦點(diǎn)為（，為常數(shù)），離心率等于0.8，過(guò)焦點(diǎn)、傾斜角為的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)．⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；⑵若時(shí)，，求實(shí)數(shù)；⑶試問(wèn)的值是否與的大小無(wú)關(guān)，并證明你的結(jié)論．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

取中點(diǎn)，連接，，根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，得出//，則即為異面直線(xiàn)與所成角，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】解：如圖，取中點(diǎn)，連接，，由于正三棱柱，則底面，而底面，所以，由正三棱柱的性質(zhì)可知，為等邊三角形，所以，且,所以平面，而平面，則，則//，，∴即為異面直線(xiàn)與所成角，設(shè)，則，，，則，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)幾何法求異面直線(xiàn)的夾角，考查計(jì)算能力.2、B【解析】

設(shè)，，利用復(fù)數(shù)幾何意義計(jì)算.【詳解】設(shè)，由已知，，所以點(diǎn)在單位圓上，而，表示點(diǎn)到的距離，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查求復(fù)數(shù)模的最大值，其實(shí)本題可以利用不等式來(lái)解決.3、A【解析】

依題意可得即可得到，從而求出雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍；【詳解】解：依題意可得如下圖象，所以則所以所以所以，即故選：A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.4、D【解析】

根據(jù)樣本中心點(diǎn)在回歸直線(xiàn)上，求出，求解，即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線(xiàn)上，，由，估計(jì)第年維修費(fèi)用超過(guò)15萬(wàn)元.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線(xiàn)過(guò)樣本中心點(diǎn)、以及回歸方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

求出集合，然后與集合取交集即可．【詳解】由題意，，，則，故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

將所有可能的情況全部枚舉出來(lái),再根據(jù)古典概型的方法求解即可.【詳解】設(shè)乙,丙,丁分別領(lǐng)到x元,y元,z元,記為,則基本事件有,,,,,,,,,,共10個(gè),其中符合乙獲得“最佳手氣”的有3個(gè),故所求概率為,故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了枚舉法求古典概型的方法,屬于基礎(chǔ)題型.7、B【解析】

由圓過(guò)原點(diǎn)，知中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合，作出圖形，由，，得，從而直線(xiàn)傾斜角為，寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)方程求出參數(shù)，可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得三角形面積．【詳解】由題意圓過(guò)原點(diǎn)，所以原點(diǎn)是圓與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)為，如圖，由于，，∴，∴，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線(xiàn)方程得，，∴，．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)與圓相交問(wèn)題，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)原點(diǎn)是其中一個(gè)交點(diǎn)，從而是等腰直角三角形，于是可得點(diǎn)坐標(biāo)，問(wèn)題可解，如果僅從方程組角度研究?jī)汕€(xiàn)交點(diǎn)，恐怕難度會(huì)大大增加，甚至沒(méi)法求解．8、D【解析】

求出圓心到直線(xiàn)的距離為：，得出，根據(jù)條件得出到直線(xiàn)的距離或時(shí)滿(mǎn)足條件，即可得出答案.【詳解】解：由已知可得：圓：的圓心為（0,0），半徑為2，則圓心到直線(xiàn)的距離為：，∴，而，與的面積相等，∴或，即到直線(xiàn)的距離或時(shí)滿(mǎn)足條件，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離可知，①②④滿(mǎn)足條件.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式.9、C【解析】

由程序語(yǔ)言依次計(jì)算，直到時(shí)輸出即可【詳解】程序的運(yùn)行過(guò)程為當(dāng)n=2時(shí)，時(shí)，，此時(shí)輸出.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題10、C【解析】試題分析：設(shè)，由題意，顯然時(shí)不符合題意，故，則，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選C．考點(diǎn)：1．拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2．均值不等式．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應(yīng)用及拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程方程，均值不等式的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．解題時(shí)一定要注意分析條件，根據(jù)條件，利用向量的運(yùn)算可知，寫(xiě)出直線(xiàn)的斜率，注意均值不等式的使用，特別是要分析等號(hào)是否成立，否則易出問(wèn)題．11、B【解析】

根據(jù)題意,畫(huà)出幾何圖形,根據(jù)向量加法的線(xiàn)性運(yùn)算即可求解.【詳解】根據(jù)題意,可得幾何關(guān)系如下圖所示:,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的線(xiàn)性運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

每個(gè)縣區(qū)至少派一位專(zhuān)家，基本事件總數(shù)，甲，乙兩位專(zhuān)家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出甲，乙兩位專(zhuān)家派遣至同一縣區(qū)的概率.【詳解】派四位專(zhuān)家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)縣區(qū)至少派一位專(zhuān)家基本事件總數(shù)：甲，乙兩位專(zhuān)家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)：甲，乙兩位專(zhuān)家派遣至同一縣區(qū)的概率為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】解：．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了補(bǔ)集的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

先根據(jù)定積分求出的值，再用二項(xiàng)展開(kāi)式公式即可求解.【詳解】因?yàn)樗缘耐?xiàng)公式為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故展開(kāi)式中的系數(shù)為故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查定積分公式，二項(xiàng)展開(kāi)式公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于簡(jiǎn)單題目.15、【解析】

兩函數(shù)圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的等價(jià)命題是方程在區(qū)間上有解，化簡(jiǎn)方程在區(qū)間上有解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)性質(zhì)得解.【詳解】解：根據(jù)題意，若函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則方程在區(qū)間上有解，即方程在區(qū)間上有解，設(shè)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，又由，可得：當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故函數(shù)有最小值，又由；比較可得：，故函數(shù)有最大值，故函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋蝗舴匠淘趨^(qū)間上有解，必有，則有，即的取值范圍是；故答案為：；【點(diǎn)睛】本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某區(qū)間上最值求參數(shù)的問(wèn)題,函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的拓展.由于函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根，在研究方程的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，可以將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決.此類(lèi)問(wèn)題的切入點(diǎn)是借助函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合思想加以解決.16、【解析】

根據(jù)條件概率的求法，分別求得，再代入條件概率公式求解.【詳解】根據(jù)題意得所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查條件概率的求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）;（2）.【解析】

（1）方程的兩根為，由題意得，在利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求出．【詳解】方程x2－5x＋6＝0的兩根為2，3.由題意得a2＝2，a4＝3.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a4－a2＝2d，故d＝，從而得a1＝.所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝n＋1.（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為Sn，由（1）知＝，則Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，兩式相減得Sn＝＋－＝＋－，所以Sn＝2－.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列的求和．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、一元二次方程的解法等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，解答中方程的兩根為，由題意得，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生的推理能力與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．18、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）要證明，只需證明平面即可；（2）以C為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求，并求其最大值從而確定出使問(wèn)題得到解決.【詳解】（1）連結(jié)AC、AE，由已知，四邊形ABCE為正方形，則①，因?yàn)榈酌妫瑒t②，由①②知平面，所以.（2）以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)，，則，所以，設(shè)，則，所以當(dāng)，即時(shí)，取最大值，從而取最小值，即直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角最小，此時(shí)，則，因?yàn)椋?，則平面，從而M到平面的距離，所以.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面垂直證線(xiàn)線(xiàn)垂直、異面直線(xiàn)直線(xiàn)所成角計(jì)算、換元法求函數(shù)最值以及等體積法求三棱錐的體積，考查的內(nèi)容較多，計(jì)算量較大，解決此類(lèi)問(wèn)題最關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，是一道中檔題.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）有最大值，最大值為3.【解析】

（Ⅰ）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；（Ⅱ）由正弦定理可得，則，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】（Ⅰ）由得再由正弦定理得因此，又因?yàn)?，所?（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)有最大值，且最大值為3，理由如下：由正弦定理得，所以，所以.因?yàn)椋?，所以?dāng)即時(shí)，取到最大值2，所以的周長(zhǎng)有最大值，最大值為3.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.20、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）分類(lèi)討論，去絕對(duì)值求出函數(shù)的解析式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，得出的單調(diào)性，得出取最小值，即可求的值；（2）由（1）得出，利用“乘1法”，令，化簡(jiǎn)后利用基本不等式求出的最小值，即可證出.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取最小值.（2）證明：由（1）可知.要證明：，即證，因?yàn)?，，為正?shí)數(shù)，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)取等號(hào)，所以.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式和基本不等式的應(yīng)用，還運(yùn)用“乘1法”和分類(lèi)討論思想，屬于中檔題.21、（1）的長(zhǎng)為4（2）【解析】

（1）分別以所在直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)向量垂直關(guān)系計(jì)算得到答案.（2）計(jì)算平面的法向量為，為平面的一個(gè)法向量，再計(jì)算向量夾角得到答案.【詳解】（1）分別以所在直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，所以.，因?yàn)椋?，即，解得，所以的長(zhǎng)為4.（2）因?yàn)椋?，又，?設(shè)為平面的法向量，則即取，解得，所以為平面的一個(gè)法向量.顯然，為平面的一個(gè)法向量，則，據(jù)圖可知，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線(xiàn)段長(zhǎng)度，二面角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.22、（1）（2）（3）為定值【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法可得，橢圓方程為；（2）我們要知道=的條件應(yīng)