數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究絕對值不等式（第課時(shí)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究1．對絕對值三角不等式的理解剖析：絕對值三角不等式實(shí)質(zhì)是兩個(gè)實(shí)數(shù)的和差的絕對值與絕對值的和差的關(guān)系,我們可以類比得到另外一種形式：｜a｜－|b|≤|a－b｜≤｜a|＋|b|.和差的絕對值與絕對值的和差的關(guān)系是由ab＞0,ab＜0，ab＝0三種情況來確定的,其本質(zhì)是敘述兩個(gè)實(shí)數(shù)符號的各種情形下得到的結(jié)果，即這個(gè)定理本身就是一個(gè)分類討論問題．“數(shù)”分正、負(fù)、零等不同情況討論，往往在所難免，因此，對絕對值的認(rèn)識要有分類討論的習(xí)慣．2．對絕對值三角不等式幾何意義的理解剖析：用向量a,b替換實(shí)數(shù)a,b時(shí)，問題就從一維擴(kuò)展到二維,當(dāng)向量a，b不共線時(shí)，a＋b，a，b構(gòu)成三角形,有｜a＋b｜＜|a|＋｜b|.當(dāng)向量a,b共線時(shí)，a，b同向（相當(dāng)于ab≥0)時(shí),|a＋b｜＝｜a｜＋|b|;a，b異向（相當(dāng)于ab＜0)時(shí),｜a＋b｜＜|a|＋|b|，這些都是利用了三角形的性質(zhì)定理，如兩邊之和大于第三邊等，這樣處理，可以形象地描繪絕對值三角不等式，更易于記憶定理，并應(yīng)用定理解題．絕對值三角不等式體現(xiàn)了“放縮法”的一種形式，但放縮的“尺度"還要仔細(xì)把握,如下面的式子:｜a|－｜b|≤｜｜a|－|b|｜≤｜a＋b｜≤|a|＋｜b｜。我們較為常用的形式是|a|－|b｜≤｜a＋b｜≤|a｜＋｜b｜，但有些學(xué)生就會誤認(rèn)為只能如此，而實(shí)質(zhì)上，|a＋b｜是不小于｜｜a|－｜b|｜的．題型一絕對值三角不等式的性質(zhì)【例1】若x＜5,n∈N，則下列不等式:①eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1(xlg\f（n，n＋1））)＜5eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（lg\f（n,n＋1)））；②｜x｜lgeq\f(n,n＋1）＜5lgeq\f（n,n＋1）；③xlgeq\f(n，n＋1）＜5eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(lg\f(n，n＋1）));④|x|lgeq\f(n，n＋1）＜5eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(lg\f(n，n＋1）))。其中，能夠成立的有______．解析：∵0＜eq\f（n，n＋1）＜1，∴l(xiāng)geq\f（n，n＋1）＜0。由x＜5，并不能確定｜x｜與5的關(guān)系，∴①②可能不成立；當(dāng)x＝－6時(shí)，可知③不成立；由｜x｜lgeq\f（n，n＋1）＜0，5eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(lg\f（n,n＋1))）＞0，可知④成立．答案:④反思一個(gè)不等式成立與否，取決于影響不等號的因素，如一個(gè)數(shù)的正、負(fù)、零等，數(shù)（或式子）的積、平方、取倒數(shù)等都會對不等號產(chǎn)生影響，注意考查這些因素在不等式中的作用,對于一個(gè)不等式是否成立也就比較好判斷了.題型二用絕對值三角不等式的性質(zhì)證明不等式【例2】設(shè)m等于|a|，|b|和1中最大的一個(gè)，當(dāng)｜x｜＞m時(shí)，求證：eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1（\f(a,x）＋\f（b,x2）））＜2。分析：本題的關(guān)鍵是對題設(shè)條件的理解和運(yùn)用．｜a|，|b｜和1這三個(gè)數(shù)中哪一個(gè)最大?如果兩兩比較大小，將十分復(fù)雜,但我們可以得到一個(gè)重要的信息：m≥|a|，m≥|b|,m≥1.證明：∵|x｜＞m≥|a｜,｜x|＞m≥|b｜,｜x|＞m≥1,∴｜x|2＞｜b|,∴eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1（\f（a，x)＋\f(b,x2)））≤eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f（a，x））)＋eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1(\f（b,x2)))＝eq\f(|a|，｜x｜)＋eq\f(|b｜，|x｜2）＜eq\f(｜x|，|x|）＋eq\f(|x｜2,｜x|2)＝2.∴eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（\f（a，x）＋\f（b，x2)）)＜2。故原不等式成立．反思分析題目時(shí)，題目中的語言文字是我們解題信息的重要來源與依據(jù)，而解題時(shí)的數(shù)學(xué)符號語言也往往需要從文字語言“翻譯”轉(zhuǎn)化而來，那么準(zhǔn)確理解題目中的文字語言,適時(shí)準(zhǔn)確地進(jìn)行轉(zhuǎn)化也就成了解題的關(guān)鍵,如本題中題設(shè)條件中的文字語言“m等于|a｜,|b|和1中最大的一個(gè)”轉(zhuǎn)化為符號語言“m≥|a|，｜m|≥|b|,m≥1”是證明本題的關(guān)鍵.題型三絕對值三角不等式的綜合應(yīng)用【例3】已知函數(shù)f(x)＝lgeq\f（x2－x＋1，x2＋1)。（1）判斷f(x)在［－1,1］上的單調(diào)性，并給出證明．（2)若t∈R，求證：lgeq\f(7,10)≤feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(t－\f(1,6)））－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,6））））)≤lgeq\f（13，10).分析：（1）借助定義判別f（x）的單調(diào)性；(2)利用絕對值三角不等式解決．解：（1)f(x)在[－1，1］上是減函數(shù)．證明：令u＝eq\f(x2－x＋1,x2＋1)＝1－eq\f（x，x2＋1).?。?≤x1＜x2≤1。則u1－u2＝eq\f(（x2－x1)（1－x1x2)，（x\o\al（2,1）＋1)（x\o\al（2，2）＋1)）,∵｜x1｜≤1，｜x2｜≤1，x1＜x2，∴u1－u2＞0，即u1＞u2.又在[－1,1]上u＞0，故lgu1＞lgu2,得f(x1)＞f（x2)，∴f（x）在［－1，1]上是減函數(shù)．（2)∵eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（t－\f(1,6））)－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（t＋\f（1，6）))≤eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（t－\f(1,6）)）－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（t＋\f（1，6）））)）＝eq\f(1，3），eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（t＋\f(1，6））)－eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（t－\f（1,6)）)≤eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（t＋\f(1，6）－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（t－\f（1,6)）)))＝eq\f(1,3)，∴－eq\f(1，3）≤eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（t－\f（1,6）））－eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（t＋\f(1，6)))≤eq\f（1,3).由(1)的結(jié)論，有feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，3））)≤feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t－\f（1，6）))－\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1(t＋\f(1，6)）)))≤feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1,3)）).而feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,3)）)＝lgeq\f(7,10），feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（1，3)))＝lgeq\f(13，10)，∴l(xiāng)geq\f(7，10)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\l