數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精課堂探究探究一拋物線的定義及應(yīng)用拋物線定義的實(shí)質(zhì)可歸納為“一動(dòng)三定"：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)；一個(gè)定點(diǎn)F；一條定直線l;一個(gè)定值．拋物線的定義中指明了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等，因此兩者可以相互轉(zhuǎn)化，這也是利用拋物線定義解題的方便之處．【典型例題1】設(shè)P為拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離之和的最小值;（2)若B(3，2），求|PB|＋｜PF|的最小值．思路分析：本題主要考查拋物線中的最值問(wèn)題,利用數(shù)形結(jié)合的思想尋求解題思路．解:（1)拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝－1。因?yàn)辄c(diǎn)P到準(zhǔn)線x＝－1的距離等于點(diǎn)P到F（1，0）的距離，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A（－1，1)的距離與P到F（1,0)的距離之和最?。B接AF，如圖(1)所示，圖（1)顯然P是AF與拋物線的交點(diǎn),最小值為|AF｜＝eq\r(5).(2)同理|PF|與點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離相等．如圖（2）所示,圖（2）過(guò)B作BQ⊥準(zhǔn)線于Q，交拋物線于點(diǎn)P1。由題意知｜P1Q｜＝|P1F｜所以｜PB|＋｜PF｜≥｜P1B｜＋|P1Q|＝｜BQ|＝4。所以｜PB｜＋|PF|的最小值為4.點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線上到兩定點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置時(shí)，通常有兩種情況：(1）當(dāng)兩定點(diǎn)在曲線兩側(cè)時(shí),連接兩定點(diǎn)的線段與曲線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（2）當(dāng)兩定點(diǎn)在曲線同側(cè)時(shí)，由圓錐曲線定義作線段的等量轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換為（1)的情形即可．探究二求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，從形式上看，只需要求出參數(shù)p即可．而要求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程,則首先要將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，求出p的值后，再寫(xiě)出焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程．【典型例題2】已知拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，拋物線上的點(diǎn)M（3,m）到焦點(diǎn)的距離是5。(1)求拋物線方程和m的值．(2）求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．思路分析:設(shè)出拋物線方程，利用拋物線的定義得出p的關(guān)系式，求出p的值，再用代入法求m的值．解:（1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px（p＞0），焦點(diǎn)為Feq\b\lc\（\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(p，2)，0）)，準(zhǔn)線方程x＝－eq\f（p,2），根據(jù)拋物線定義，點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離,則3＋eq\f（p，2)＝5，解得p＝4。因此拋物線方程為y2＝8x.又點(diǎn)M(3，m)在拋物線上，所以m2＝24,解得m＝±2eq\r(6)。故所求的拋物線方程為y2＝8x，m的值為±2eq\r(6).(2）因?yàn)閜＝4，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),準(zhǔn)線方程是x＝－2.探究三易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)忽略拋物線中變量的取值范圍【典型例題3】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0）(a∈R)，則曲線y2＝4x上的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離的最小值為多少?錯(cuò)解:設(shè)曲線上的任意一點(diǎn)B（x,y)到點(diǎn)A的距離為d,則d2＝(x－a)2＋y2＝x2－(2a－4）x＋a2＝［x－(a－2）]2＋（4a因?yàn)閍∈R,所以當(dāng)x＝a－2時(shí)，d2取最小值4a所以dmin＝2eq\r(a－1).錯(cuò)因分析：在求與拋物線有關(guān)的最值時(shí),要充分利用拋物線所隱含的條件，注意坐標(biāo)的取值是否滿足拋物線的范圍．錯(cuò)解中既忽略了拋物線中x的取值范圍，也忽略了對(duì)a的討論．正解：設(shè)曲線上任意一點(diǎn)B（x,y）到點(diǎn)A的距離為d，則d2＝（x－a)2＋y2＝x2－(2a－4)x＋a2＝[x－(a－2)]2＋（4a由題意知x∈［0,＋∞），所以當(dāng)