高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）選擇性必修第一冊 第二課時　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)的應(yīng)用(習(xí)題課)

第二課時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)的應(yīng)用(習(xí)題課)題型突破·析典例01知能演練·扣課標(biāo)02目錄CONTENTS01題型突破·析典例?題型一直線與拋物線的位置關(guān)系【例1】

已知直線l:y＝kx＋1,拋物線C:y2＝4x,當(dāng)k為何值時,l與C:只有一個公共點;有兩個公共點;沒有公共點.

①當(dāng)Δ＞0,即k＜1,且k≠0時,l與C有兩個公共點,此時直線l與C相交;②當(dāng)Δ＝0,即k＝1時,l與C有一個公共點,此時直線l與C相切;③當(dāng)Δ＜0,即k＞1時,l與C沒有公共點,此時直線l與C相離.綜上所述,當(dāng)k＝1或0時,l與C只有一個公共點;當(dāng)k＜1,且k≠0時,l與C有兩個公共點;當(dāng)k＞1時,l與C沒有公共點.通性通法直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷方法設(shè)直線l:y＝kx＋b,拋物線:y2＝2px(p＞0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得:k2x2＋(2kb-2p)x＋b2＝0.(1)若k2＝0,此時直線與拋物線有一個交點,該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.(2)若k2≠0,當(dāng)Δ＞0時,直線與拋物線相交,有兩個交點;當(dāng)Δ＝0時,直線與拋物線相切,有一個交點;當(dāng)Δ＜0時,直線與拋物線相離,無交點.?

已知拋物線方程為y2＝8x,若過點Q(-2,0)的直線l與拋物線有公共點,則直線l的斜率的取值范圍是

?.

解析:由題意知,直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2),代入拋物線方程,消去y并整理,得k2x2＋(4k2-8)x＋4k2＝0,當(dāng)k＝0時,顯然滿足題意;當(dāng)k≠0時,Δ＝(4k2-8)2-4k2·4k2＝64(1-k2)≥0,解得-1≤k＜0或0＜k≤1.因此直線l的斜率的取值范圍是[-1,1].答案:[-1,1]題型二拋物線的焦點弦問題

A.x2＝8yB.x2＝4y

答案

CC.y2＝8xD.y2＝4x通性通法

通過拋物線的特殊性質(zhì),脫離于傳統(tǒng)的聯(lián)立方程組求解,較為迅速的得到結(jié)果.?

答案:-4

【例3】

拋物線的頂點在原點,以x軸為對稱軸,經(jīng)過焦點且傾斜角為135°的直線被拋物線所截得的弦長為8,試求拋物線的方程.

通性通法

?

經(jīng)過拋物線C:y2＝2px(p＞0)的焦點F,傾斜角為30°的直線l與C交于A,B兩點,若線段AB的中點M的橫坐標(biāo)為7,則p＝

?.

答案:2

【例4】

過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線交于A,B兩點,若｜AF｜＝2｜BF｜,則｜AB｜＝(

)A.4C.5D.6

答案

B通性通法

將求弦長問題通過焦半徑與p之間的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為焦半徑問題.?如圖,過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線交拋物線于點A,B,交其準(zhǔn)線l于點C,若F是AC的中點,且｜AF｜＝4,則線段AB的長為(

)A.5B.6

?1.已知直線l與拋物線x2＝2py(p＞0)只有一個交點,則直線l與拋物線的位置關(guān)系是(

)A.相交B.相切C.相離D.相交或相切解析:D

當(dāng)直線l與y軸平行或重合時,直線l與拋物線x2＝2py(p＞0)有一個交點,此時直線l與拋物線是相交的.當(dāng)直線l的斜率存在,直線l與拋物線x2＝2py(p＞0)只有一個交點時,直線l與拋物線相切.

C.13D.9

3.過拋物線C:y2＝8x的焦點F的直線交拋物線C于A,B兩點,若｜AF｜＝6,則｜BF｜＝(

)A.9或6B.6或3C.9D.3

4.過拋物線y2＝8x的焦點作直線l交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的橫坐標(biāo)為3,則｜AB｜＝

?.

答案:105.直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個公共點,則k＝

?.

解析:當(dāng)k＝0時,直線與拋物線有唯一交點,當(dāng)k≠0時,聯(lián)立方程消去y,得k2x2＋4(k-2)x＋4＝0,由題意Δ＝16(k-2)2-16k2＝0,∴k＝1.綜上,k＝0或1.答案:0或102知能演練·扣課標(biāo)?1.過拋物線x2＝4y的焦點F作直線l交拋物線于P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點,若y1＋y2＝6,則｜P1P2｜＝(

)A.5B.6C.8D.10解析:C

拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線為y＝-1,因為P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點是過拋物線焦點的直線l與拋物線的交點,所以P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點到準(zhǔn)線的距離分別是y1＋1,y2＋1,所以｜P1P2｜＝y(tǒng)1＋y2＋2＝8.故選C.2.與直線2x-y＋4＝0平行的拋物線y＝x2的切線方程為(

)A.2x-y＋3＝0B.2x-y-3＝0C.2x-y＋1＝0D.2x-y-1＝0

C.1D.2

A.5pB.10pC.11pD.12p解析:B

直線方程代入拋物線方程,可得x2-4px-p2＝0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1＋x2＝4p,所以y1＋y2＝9p.因為直線過拋物線的焦點,所以｜AB｜＝y(tǒng)1＋y2＋p＝10p.5.(多選)已知拋物線y2＝2px(p＞0)上三點A(x1,y1),B(1,2),C(x2,y2),F為拋物線的焦點,則下列說法正確的是(

)A.拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝-1C.若A,F,C三點共線,則y1y2＝-1D.若｜AC｜＝6,則AC的中點到y(tǒng)軸距離的最小值為2

6.直線y＝x-1被拋物線y2＝4x截得的線段的中點坐標(biāo)是

?.

答案:(3,2)

8.已知直線l:y＝x-1經(jīng)過拋物線C:y2＝2px(p＞0)的焦點,且與拋物線C交于A,B兩點,則｜AB｜＝

?.

答案:89.過拋物線C:y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,且A,B兩點的縱坐標(biāo)之積為-4,求拋物線C的方程.

10.如圖,已知拋物線C:y2＝2px(p＞0)過點A(1,1).(1)求拋物線C的方程;解:(1)由題意得2p＝1,所以拋物線方程為y2＝x.(2)過點P(3,-1)的直線與拋物線C交于M,N兩個不同的點(均與點A不重合).設(shè)直線AM,AN的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2為定值.

?

B.(1,±2)C.(1,2)

A.y2＝6xB.y2＝8xC.y2＝16xD.y2＝20x

13.拋物線y2＝4x的焦點為F,點P為拋物線上的動點,點M為其準(zhǔn)線上的動點,當(dāng)△FPM為等邊三角形時,其面積為

?.

14.已知拋物線C:y＝2x2和直線l:y＝kx＋1,O為坐標(biāo)原點.(1)求證:l與C必有兩交點;解:(1)證明:聯(lián)立拋物線C:y＝2x2和直線l:y＝kx＋1,可得2x2-kx-1＝0,所以Δ＝k2＋8＞0,所以l與C必有兩交點.(2)設(shè)l與C交于A,B兩點,且直線OA和OB斜率之和為1,求k的值.

?15.已知F為拋物線C:y2＝4x的焦點,過F作兩條互