滬教版八年級數學上冊壓軸題攻略專題05一元二次方程實際應用的4種壓軸題型全攻略(2)(原卷版+解析)

專題05一元二次方程實際應用的4種壓軸題型全攻略（2）【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一一元二次方程中盈利（虧損）問題的應用】 1【考點二一元二次方程中動態(tài)幾何問題的應用】 2【考點三一元二次方程中工程問題的應用】 2【考點四一元二次方程其它應用的拓展提高】 3【過關檢測】 4【典型例題】【考點一一元二次方程中營銷（虧損）問題的應用】【例題1】端午節(jié)又稱端陽節(jié)，是中華民族重要的傳統(tǒng)節(jié)日，我國各地都有吃粽子的習俗．某超市以9元每袋的價格購進一批粽子，根據市場調查，售價定為每袋15元，每天可售出200袋；若售價每降低1元，則可多售出70袋，問此種粽子售價降低多少元時，超市每天售出此種粽子的利潤可達到1360元？若設每袋粽子售價降低x元，則可列方程為(

)A． B．C． D．【變式1】一件工藝品進價為100元，標價為135元售出，每天可售出100件，根據銷售統(tǒng)計，一件工藝品每降低1元出售，則每天可多售出4件，要使顧客盡量得到優(yōu)惠，且每天獲得利潤為3596元，每件工藝品需降價（）A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元【變式2】某商場銷售一款恤，進價為每件40元，當售價為每件60元時，平均每周可賣出200件，為擴大銷售，增加利潤，商場準備降價銷售．經市場調查發(fā)現，每件每降價1元，平均每周可多賣出8件，若要使每周銷售該款恤獲利8450元，設每件降低元，則可列方程為（）A． B．C． D．【變式3】小明在某書店購買數學課外讀物《幾何原本》，已知每本《幾何原本》的定價為40元，若按八折出售，該書店仍可獲利10元，則每本《幾何原本》的進價為（

）A．22元 B．24元 C．26元 D．28元【考點二一元二次方程中動態(tài)幾何問題的應用】【例題2】如圖，在中，，，，點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿向點C以的速度移動，當點Q到達點C時，P，Q均停止運動，若的面積等于，則運動時間為（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒【變式1】如圖，在中，，點M從點A出發(fā)沿邊向點B以的速度移動，點N從點B出發(fā)沿邊向點C以的速度移動．當一個點先到達終點時，另一個點也停止運動，當的面積為時，點M，N的運動時間為()A． B． C． D．【變式2】如圖，在中，，cm，cm．現有動點從點出發(fā)，沿向點方向運動，動點從頂點出發(fā)，沿線段向點方向運動，如果點的速度是2cm/s，點的速度是1cm/s，它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動，當，兩點運動秒時，的面積等于5cm2．A．1 B．3 C．3或5 D．1或5【變式3】如圖，在中，，，，點P，Q分別從A，B兩點出發(fā)沿方向向終點C勻速運動，其速度均為．設運動時間為ts，則當的面積是的面積的一半時，t的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【考點三一元二次方程中工程問題的應用】【例題3】某農場開挖一條長480米的渠道，開工后每天比原計劃多挖20米，結果提前4天完成任務，若設原計劃每天挖x米，那么下列方程中正確的是（

）A． B． C． D．【變式1】甲、乙、丙三名工人共承擔裝搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天時的對話信息如下：甲說：我的工作效率比乙的工作效率少乙說：我3小時完成的工作量與甲4小時完成工作量相等；丙說：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的；丁說：我沒參加此項工作，但我可以計算你們的工作效率．知道工程問題三者關系是：工作效率×工作時間＝工作總量．如果每小時只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的輪流順序至完成工作任務，共需（

）小時．A．20 B．21 C．19 D．19【變式2】2020年3月11日，太原解放路的道路改造工程拉開了序幕．工程南起南內環(huán)街，北至花園后南街，全長約8公里．某施工隊承接了這8公里路的修路任務，為了提前完成任務，施工隊實際每天的工作效率比原計劃提高了25%，結果提前10天完成了這項任務．設原計劃每天修路x公里，根據題意列出的方程正確的是（

）A． B．C． D．【變式3】下面是學習分式方程的應用時，老師的板書和兩名同學所列的方程．15.3分式方程甲、乙兩個工程隊，甲隊修路與乙隊修路所用的時間相等，且乙隊每天比甲隊多修．求甲隊每天修路的長度．佳佳：音音：根據以上信息，解答下列問題．（1）佳佳同學所列方程中的x表示，音音同學所列方程中的y表示；（2）甲隊每天修路的長度是．【考點四一元二次方程其它應用的拓展提高】【例題4】我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遣人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準與一株椽．”其大意為：現請人代買一批椽，這批椽的價錢為文．如果每株椽的運費是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問文能買多少株椽？設這批椽的數量為株，則符合題意的方程是（

）A． B．C．（ D．【變式1】《九章算術》之“粟米篇”中記載了中國古代的“粟米之法”：“粟率五十，糲米三十…”（粟指帶売的谷子，糲米指糙米，其意為：“50單位的粟，可換得30單位的糲米…”，問題：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，則可以換得的糲米為（

）A．6升 B．8升 C．16升 D．18升【變式2】．某工程隊采用A、B兩種設備同時對長度為4800米的公路進行施工改造．原計劃A型設備每小時鋪設路面比B型設備的2倍多30米，則32小時恰好完成改造任務．(1)求A型設備每小時鋪設的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的4800米多了1000米．在實際施工中，B型設備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了小時，同時，A型設備的鋪路速度比原計劃每小時下降了米，而使用時間增加了小時，求的值．【過關檢測】一．選擇題1.某花圃用花盆培育某種花苗，經過試驗發(fā)現，每盆花的盈利與每盆株數構成一定的關系，每盆植入3株時，平均單株盈利10元；以同樣的栽培條件，若每盆每增加1株，平均單株盈利就減少1元，要使每盆的盈利為40元，需要每盆增加幾株花苗？設每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合題意的是（）A． B．C． D．2．某商店經銷一種銷售成本為40元的水果，據市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克：銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，設銷售單價為每千克（）元，月銷售利潤達8000元.則方程為（

）A． B．C． D．3．某商店將進貨價格為20元的商品按單價36元售出時，能賣出200個．已知該商品單價每上漲1元，其銷售量就減少5個．設這種商品的售價上漲元時，獲得的利潤為1200元，則下列關系式正確的是（）A． B．C． D．4．電影《滿江紅》在2023年春節(jié)檔上映，深受觀眾喜愛．某電影院每日開放若干個能容納80位觀眾的放映廳排片《滿江紅》，票價統(tǒng)一訂為60元．經調查發(fā)現，當一天排片3個放映廳時，每個廳均能坐滿．在此基礎上，每增加1個廳，每個廳將減少10位觀眾．若該電影院擬一日票房收入為18000元，設需要增加開放x個放映廳，根據題意可列出方程為（

）A． B．C． D．5．如圖，在中，，AB=，BC=．點從點開始沿邊向點以的速度移動，同時點從點開始沿邊向點以的速度移動，當其中一點到達終點時，另一點隨即停止．當四邊形的面積為時，點的運動時間為(

)A． B．或 C． D．或6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．動點P，Q分別從點A，B同時開始移動，點P的速度為1cm/秒，點Q的速度為2cm/秒，點Q移動到點C后停止，點P也隨之停止運動．下列時間瞬間中，能使△PBQ的面積為15cm2的是（

）A．2秒鐘 B．3秒鐘 C．3秒鐘或5秒鐘 D．5秒鐘二.填空題7．春節(jié)期間，某超市舉辦了“年跨年迎新購物季”促銷活動，該超市對一款原價為元的商品降價銷售一段時間后，為了加大促銷力度，再次降價，此時售價共降低了元，則_________．8．原價為20元/盒的商品，若售價為36元/盒，則每天可賣出40盒，經市場調查發(fā)現，若每盒下調1元，平均每天就可以多銷售10盒，要使每天的利潤達到750元，應將每盒的售價下調__________元．9．春節(jié)來臨之際，某童裝專柜決定通過降價銷售，增加收入，在銷售中發(fā)現；某童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元，調查發(fā)現：如果每件童裝降價1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天銷售這種童裝共盈利1050元，設每件童裝降價元，那么可以列方程為_________．

10．端午節(jié)又稱端陽節(jié)，是中華民族重要的傳統(tǒng)節(jié)日，我國各地都有吃粽子的習俗，某超市以9元每袋的價格購進一批粽子，根據市場調查，售價定為每袋15元，每天可售出200袋；若售價每降低1元，則可多售出70袋，問此種粽子售價降低多少元時，超市每天售出此種粽子的利潤可達到1360元？若設每袋粽子售價降低x元，則可列方程為_________．11．一商店銷售某種商品，當每件利潤為30元時，平均每天可售出20件，經過一段時間銷售，發(fā)現銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件，當每件商品的單價降低_________元時，該商店銷售這種商品每天的利潤為800元．12．某商店銷售一批保暖襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售增加盈利，商店采取適當的降價措施，經調查發(fā)現，在一定的范圍內，保暖襯衫的單價每降1元，商店平均每天可多售出2件，如果商店通過銷售這批保暖襯衫每天要盈利1200元，盡量減少庫存，保暖襯衫的單價應降________元．13．如圖所示，中，，點P沿射線AB方向從點A出發(fā)以的速度移動，點Q沿射線CB方向從點C出發(fā)以的速度移動，P，Q同時出發(fā)_________秒后，的面積為．14．如圖，在中，，，，點從A點開始沿邊向點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動，則、分別從A、同時出發(fā)，經過_________秒鐘，使的面積等于．15．如圖，在中，，，，點從出發(fā)沿向點以厘米秒的速度勻速挪動；點從出發(fā)沿向點以厘米秒的速度勻速挪動點、分別從起點同時出發(fā)，挪動到某一位置時所需時間是為秒，當_________時，的面積等于．

三、解答題16．譙城區(qū)某商場銷售一款上衣每件進價元，銷售價為元時，每天可售出件，為了擴大銷售量，經市場調查發(fā)現，如果每件服裝降價元；那么平均每天可多售出件．(1)設每件衣服降價元，則每天銷售量增加件，每件商品盈利多少元（用含的代數式表示）；(2)每件服裝降價多少元時，商家平均每天能盈利元；(3)商家能達到平均每天盈利元嗎？請說明你的理由．17．溫州某百貨商場購進一批單價為5元的日用商品．如果以單價7元銷售，每天可售出160件，根據銷售經驗，銷售單價每提高1元，銷售量每天就相應減少20件，設這種商品的銷售單價為x元．(1)若該商場當天銷售這種商品所獲得的利潤為元，求x的值．(2)當商品的銷售單價定為多少元時，該商店銷售這種商品獲得的利潤最大？此時最大利潤為多少？18．在長方形中，，，點從點開始沿邊向終點以的速度移動，與此同時，點從點開始沿向終點以的速度移動，如果，分別從，同時出發(fā)，當點運動到點時，兩點停止運動．設運動時間為秒．

(1)填空：，__________（用含的代數式表示）；(2)當為何值時，的長度等于？(3)是否存在的值，使得五邊形的面積等于？若存在，請求出此時的值，若不存在，請說明理由．19．某學校利用寒假維護其教學樓，若甲、乙兩工程隊合作10天可完成；若甲工程隊先單獨施工5天，再由乙工程隊單獨施工20天也可完成．求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程各需要多少天．37．某工程承包方指定由甲、乙兩個工程隊完成某項工程，若由甲工程隊單獨做需要40天完成，現在甲、乙兩個工程隊共同做20天后，由于甲工程隊另有其他任務不再做該工程，剩下的工程由乙工程隊再單獨做了12天才完成任務．求乙工程隊單獨完成該工程需要多少天？

專題05一元二次方程實際應用的4種壓軸題型全攻略（2）【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一一元二次方程中盈利（虧損）問題的應用】 1【考點二一元二次方程中動態(tài)幾何問題的應用】 2【考點三一元二次方程中工程問題的應用】 2【考點四一元二次方程其它應用的拓展提高】 3【過關檢測】 4【典型例題】【考點一一元二次方程中營銷（虧損）問題的應用】【例題1】端午節(jié)又稱端陽節(jié)，是中華民族重要的傳統(tǒng)節(jié)日，我國各地都有吃粽子的習俗．某超市以9元每袋的價格購進一批粽子，根據市場調查，售價定為每袋15元，每天可售出200袋；若售價每降低1元，則可多售出70袋，問此種粽子售價降低多少元時，超市每天售出此種粽子的利潤可達到1360元？若設每袋粽子售價降低x元，則可列方程為(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】當每袋粽子售價降低x元時，每袋粽子的銷售利潤為元，每天可售出袋，利用總利潤=每袋的銷售利潤×每天的銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：當每袋粽子售價降低x元時，每袋粽子的銷售利潤為元，每天可售出袋，依題意得：．故選：A．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式1】一件工藝品進價為100元，標價為135元售出，每天可售出100件，根據銷售統(tǒng)計，一件工藝品每降低1元出售，則每天可多售出4件，要使顧客盡量得到優(yōu)惠，且每天獲得利潤為3596元，每件工藝品需降價（）A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元【答案】B【分析】設每件工藝品需降價元，根據題意列出一元二次方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設每件工藝品需降價元，根據題意得：，整理得：，解得：，，要使顧客盡量得到優(yōu)惠，，要使顧客盡量得到優(yōu)惠，且每天獲得利潤為3596元，每件工藝品需降價6元，故選：B．【變式2】某商場銷售一款恤，進價為每件40元，當售價為每件60元時，平均每周可賣出200件，為擴大銷售，增加利潤，商場準備降價銷售．經市場調查發(fā)現，每件每降價1元，平均每周可多賣出8件，若要使每周銷售該款恤獲利8450元，設每件降低元，則可列方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】當每件降低元時，每件的銷售利潤為元，平均每周可售出件，利用每周銷售該款恤獲得的總利潤每件的銷售利潤每周的銷售量，可得出關于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：當每件降低元時，每件的銷售利潤為元，平均每周可售出件，根據題意得：，故選：D．【點睛】本題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式3】小明在某書店購買數學課外讀物《幾何原本》，已知每本《幾何原本》的定價為40元，若按八折出售，該書店仍可獲利10元，則每本《幾何原本》的進價為（

）A．22元 B．24元 C．26元 D．28元【答案】A【分析】根據題意可知：標價（折數10）－成本=利潤，可以列出相應方程，然后求解即可；【詳解】設每本《幾何原本》的進價為元，則：由題意可得：，解得：；故選：A．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出等量關系，列出相應的方程；對于本題運用到的公式：標價（折數10）－成本=利潤，一定要熟記并能夠在題目中合理運用．【考點二一元二次方程中動態(tài)幾何問題的應用】【例題2】如圖，在中，，，，點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿向點C以的速度移動，當點Q到達點C時，P，Q均停止運動，若的面積等于，則運動時間為（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒【答案】A【分析】當運動時間為t秒時，，，根據的面積等于，可得出關于t的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．【詳解】解：當運動時間為t秒時，，，根據題意得：，即，整理得：，解得：，，當時，，不符合題意，舍去，∴．∴運動時間為1秒．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式1】如圖，在中，，點M從點A出發(fā)沿邊向點B以的速度移動，點N從點B出發(fā)沿邊向點C以的速度移動．當一個點先到達終點時，另一個點也停止運動，當的面積為時，點M，N的運動時間為()A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，利用勾股定理可求出的長度，當運動時間為時，，，根據的面積為，即可得出關于t的一元二次方程，解之即可得出結論．【詳解】解：在中，，∴．當運動時間為時，，依題意得：，即，整理得：，解得：，∴點M，N的運動時間為．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式2】如圖，在中，，cm，cm．現有動點從點出發(fā)，沿向點方向運動，動點從頂點出發(fā)，沿線段向點方向運動，如果點的速度是2cm/s，點的速度是1cm/s，它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動，當，兩點運動秒時，的面積等于5cm2．A．1 B．3 C．3或5 D．1或5【答案】D【分析】由題意可得，，則利用三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：設運動的時間為，由題意得：，，，解得：，，即當或時，的面積等于．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，三角形的面積公式，正確地列出方程是解題的關鍵．【變式3】如圖，在中，，，，點P，Q分別從A，B兩點出發(fā)沿方向向終點C勻速運動，其速度均為．設運動時間為ts，則當的面積是的面積的一半時，t的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設后，的面積是面積的一半，根據三角形的面積公式即可得出關于的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論．【詳解】設后的面積是的面積的一半，依題意得，，解得：，（不合題意，舍去）∴．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意列出方程是解題的關鍵．【考點三一元二次方程中工程問題的應用】【例題3】某農場開挖一條長480米的渠道，開工后每天比原計劃多挖20米，結果提前4天完成任務，若設原計劃每天挖x米，那么下列方程中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意列出方程即可．【詳解】由題意得：．故答案為：C．【點睛】本題考查了分式方程的實際應用，掌握解分式方程的方法是解題的關鍵．【變式1】甲、乙、丙三名工人共承擔裝搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天時的對話信息如下：甲說：我的工作效率比乙的工作效率少乙說：我3小時完成的工作量與甲4小時完成工作量相等；丙說：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的；丁說：我沒參加此項工作，但我可以計算你們的工作效率．知道工程問題三者關系是：工作效率×工作時間＝工作總量．如果每小時只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的輪流順序至完成工作任務，共需（

）小時．A．20 B．21 C．19 D．19【答案】D【分析】設甲單獨完成任務需要小時，則甲的工作效率是，乙的工作效率是，根據乙提供的信息列出方程并解答；根據丙提供的信息得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的順序至完成工作任務所需的時間．【詳解】解：設甲單獨完成任務需要小時，則甲的工作效率是，乙的工作效率是，由題意得：，解得：，經檢驗是原方程的根，且符合題意，甲的工作效率是，乙的工作效率是，∵丙的工作效率是乙的工作效率的，丙的工作效率是，∴一輪的工作量為：，∴輪后剩余的工作量為：，∴還需要甲工作1小時后，乙需要的工作量為：，∴乙還需要工作的時間為（小時），∴按照甲、乙、丙的輪流順序至完成工作任務，共需（小時）．故選：D．【點睛】本題考查分式方程的應用，解題的關鍵是分析題意，找到合適的等量關系進行求解．【變式2】2020年3月11日，太原解放路的道路改造工程拉開了序幕．工程南起南內環(huán)街，北至花園后南街，全長約8公里．某施工隊承接了這8公里路的修路任務，為了提前完成任務，施工隊實際每天的工作效率比原計劃提高了25%，結果提前10天完成了這項任務．設原計劃每天修路x公里，根據題意列出的方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據工作時間=工作總量÷工作效率，結合實際提前10天完成任務，即可得出關于x的分式方程，此題得解．【詳解】解：設原計劃每天修路x公里，則實際每天修路公里，依題意得：．故選：C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．【變式3】下面是學習分式方程的應用時，老師的板書和兩名同學所列的方程．15.3分式方程甲、乙兩個工程隊，甲隊修路與乙隊修路所用的時間相等，且乙隊每天比甲隊多修．求甲隊每天修路的長度．佳佳：音音：根據以上信息，解答下列問題．（1）佳佳同學所列方程中的x表示，音音同學所列方程中的y表示；（2）甲隊每天修路的長度是．【答案】甲隊每天修路的長度甲隊修400米路所需時間/乙隊修600米路所需時間【分析】（1）佳佳與音音分別根據“時間相等”與“乙隊每天比甲隊多修”建立方程，據此可得出未知數所表示的含義；（2）設甲隊每天修路的長度是x米，據此列出佳佳所示的方程，解方程即可．【詳解】（1）根據題意可得：佳佳同學所列方程中的x表示：甲隊每天修路的長度；音音同學所列方程中的y表示：甲隊修400米路所需時間（或乙隊修600米路所需時間）．故答案為：甲隊每天修路的長度；甲隊修400米路所需時間（或乙隊修600米路所需時間）；（2）設甲隊每天修路的長度是x米，根據題意可列方程：，解方程得：，經檢驗，是原方程的解且符合題意，故甲隊每天修路的長度是．故答案為：40．【點睛】本題考查了分式方程的應用，解題的關鍵是審清題意正確列出方程．【考點四一元二次方程其它應用的拓展提高】【例題4】我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遣人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準與一株椽．”其大意為：現請人代買一批椽，這批椽的價錢為文．如果每株椽的運費是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問文能買多少株椽？設這批椽的數量為株，則符合題意的方程是（

）A． B．C．（ D．【答案】A【分析】先根據少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢可得一株椽的價錢為文，再根據總價錢等于一株椽的價錢乘以椽的數量建立方程即可．【詳解】解：由題意得：一株椽的價錢為文，則可列方程為：，故選：A．【點睛】本題考查了列一元二次方程，找準等量關系是解題關鍵．【變式1】《九章算術》之“粟米篇”中記載了中國古代的“粟米之法”：“粟率五十，糲米三十…”（粟指帶売的谷子，糲米指糙米，其意為：“50單位的粟，可換得30單位的糲米…”，問題：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，則可以換得的糲米為（

）A．6升 B．8升 C．16升 D．18升【答案】D【分析】先把3斗換算成30升，設可以換得糲米x升，再根據50單位的粟：30單位的糲米＝30升粟：x升糲米，列分式方程，求出x即可．【詳解】根據題意得：3斗＝30升，設可以換得的糲米為x升，則，

解得，經檢驗：是原分式方程的解，答：可以換得的糲米為18升．故選：D．【點睛】本題考查的是列分式方程解古代數學問題，弄清題意列出正確的方程是解題的關鍵．注意解分式方程必須要檢驗．【變式2】．某工程隊采用A、B兩種設備同時對長度為4800米的公路進行施工改造．原計劃A型設備每小時鋪設路面比B型設備的2倍多30米，則32小時恰好完成改造任務．(1)求A型設備每小時鋪設的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的4800米多了1000米．在實際施工中，B型設備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了小時，同時，A型設備的鋪路速度比原計劃每小時下降了米，而使用時間增加了小時，求的值．【答案】(1)A型設備每小時鋪設的路面110米(2)18【分析】（1）設B型設備每小時鋪設的路面x米，可得：，解方程即可解得答案；（2）根據A型設備鋪的路+B型設備鋪的路=5800列方程，解方程即可得答案．【詳解】（1）設B型設備每小時鋪設的路面x米，則A型設備每小時鋪設路面米，由題意得，解得，米，所以A型設備每小時鋪設的路面110米；（2）根據題意得：，解得，（舍去），答：m的值是18．【點睛】本題考查一元一次方程、一元二次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系列出方程．【過關檢測】一．選擇題1.某花圃用花盆培育某種花苗，經過試驗發(fā)現，每盆花的盈利與每盆株數構成一定的關系，每盆植入3株時，平均單株盈利10元；以同樣的栽培條件，若每盆每增加1株，平均單株盈利就減少1元，要使每盆的盈利為40元，需要每盆增加幾株花苗？設每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合題意的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據已知假設每盆花苗增加x株，則每盆花苗有株，得出平均單株盈利為元，根據每盆花苗株數平均單株盈利每盆的總盈利，即可得出方程．【詳解】解：由題意得，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找出等量關系式是解題的關鍵．2．某商店經銷一種銷售成本為40元的水果，據市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克：銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，設銷售單價為每千克（）元，月銷售利潤達8000元.則方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據題意銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，得到銷售單價為時銷量為：，再根據：利潤（單價成本）數量，列出方程即可得出答案．【詳解】解：售價為時的銷量為：，月銷售利潤達8000時得：，故答案選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，理解題意找出數量關系列出方程是解題關鍵．3．某商店將進貨價格為20元的商品按單價36元售出時，能賣出200個．已知該商品單價每上漲1元，其銷售量就減少5個．設這種商品的售價上漲元時，獲得的利潤為1200元，則下列關系式正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】這種商品的售價上漲元時，銷售量就減少個，根據利潤=每個的利潤×銷售量即可列出方程．【詳解】解：設這種商品的售價上漲元時，銷售量就減少個，根據題意可得：；故選：A．4．電影《滿江紅》在2023年春節(jié)檔上映，深受觀眾喜愛．某電影院每日開放若干個能容納80位觀眾的放映廳排片《滿江紅》，票價統(tǒng)一訂為60元．經調查發(fā)現，當一天排片3個放映廳時，每個廳均能坐滿．在此基礎上，每增加1個廳，每個廳將減少10位觀眾．若該電影院擬一日票房收入為18000元，設需要增加開放x個放映廳，根據題意可列出方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設需要增加開放x個放映廳，則每個放映廳的人數為人，根據“電影院擬一日票房收入為18000元”列方程即可．【詳解】解：設需要增加開放x個放映廳，則每個放映廳的人數為人，依題意得，故選：B．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用，根據已知表示出每個放映廳的人數是解題關鍵．5．如圖，在中，，AB=，BC=．點從點開始沿邊向點以的速度移動，同時點從點開始沿邊向點以的速度移動，當其中一點到達終點時，另一點隨即停止．當四邊形的面積為時，點的運動時間為(

)A． B．或 C． D．或【答案】C【分析】先求出的面積，得出當四邊形的面積為時△BPQ的面積，設運動時間為t，則，，根據三角形面積公式列出關于他t的方程，解方程即可．【詳解】解：∵在中，，AB=，BC=，∴，∴當四邊形的面積為時，，設運動時間為t，則，，∴，解得：，，∵點P在AB上的運動時間為：，∴，∴不符合題意，即當四邊形的面積為時，點的運動時間為2s，故C正確，符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了動點問題，三角形的面積公式，解二元一次方程組，設運動時間為t，根據題意列出關于t的方程，是解題的關鍵．6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．動點P，Q分別從點A，B同時開始移動，點P的速度為1cm/秒，點Q的速度為2cm/秒，點Q移動到點C后停止，點P也隨之停止運動．下列時間瞬間中，能使△PBQ的面積為15cm2的是（

）A．2秒鐘 B．3秒鐘 C．3秒鐘或5秒鐘 D．5秒鐘【答案】B【分析】設運動時間為t秒，則PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，由三角形的面積公式結合△PBQ的面積為15cm2，即可得出關于t的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論．【詳解】解：設運動時間為t秒，則PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，依題意，得：×2t?（8-t）=15，解得：t1=3，t2=5，∵2t≤6，∴t≤3，∴t=3．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．二.填空題7．春節(jié)期間，某超市舉辦了“年跨年迎新購物季”促銷活動，該超市對一款原價為元的商品降價銷售一段時間后，為了加大促銷力度，再次降價，此時售價共降低了元，則_________．【答案】【分析】根據某超市對一款原價位元的商品降價銷售一段時間后，為了加大促銷力度，再次降價，此時售價降低了元，列方程即可得到結論．【詳解】解：由題意得：，故答案為：．【點睛】此題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，正確理解題意是解題的關鍵．8．原價為20元/盒的商品，若售價為36元/盒，則每天可賣出40盒，經市場調查發(fā)現，若每盒下調1元，平均每天就可以多銷售10盒，要使每天的利潤達到750元，應將每盒的售價下調__________元．【答案】1或11/11或1【分析】設應將每盒的售價下調元，則每盒的利潤為元，每天銷售量為盒，根據每天的利潤達到750元，列出一元二次方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設應將每盒的售價下調元，則每盒的利潤為元，每天銷售量為盒，根據題意得：，整理得：，解得：，，要使每天的利潤達到750元，應將每盒的售價下調1或11元，故答案為：1或11．【點睛】本題考查了解一元二次方程的應用，理解題意，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．9．春節(jié)來臨之際，某童裝專柜決定通過降價銷售，增加收入，在銷售中發(fā)現；某童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元，調查發(fā)現：如果每件童裝降價1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天銷售這種童裝共盈利1050元，設每件童裝降價元，那么可以列方程為．

【答案】【分析】設每件童裝降價x元，根據題意列出方程．【詳解】設每件童裝降價元，根據題意可得，．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程，解題的關鍵是根據實際問題抽象出一元二次方程．10．端午節(jié)又稱端陽節(jié)，是中華民族重要的傳統(tǒng)節(jié)日，我國各地都有吃粽子的習俗，某超市以9元每袋的價格購進一批粽子，根據市場調查，售價定為每袋15元，每天可售出200袋；若售價每降低1元，則可多售出70袋，問此種粽子售價降低多少元時，超市每天售出此種粽子的利潤可達到1360元？若設每袋粽子售價降低x元，則可列方程為．【答案】【分析】由售價及銷售間的關系，可得出降價后每袋粽子的銷售利潤為，每天可售出袋，利用超市每天售出此種粽子的利潤每袋的銷售利潤日銷售量，即可得出關于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：根據題意得：每袋粽子的銷售利潤為，每天可售出袋，∴超市每天售出此種粽子的利潤．故答案為：．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．11．一商店銷售某種商品，當每件利潤為30元時，平均每天可售出20件，經過一段時間銷售，發(fā)現銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件，當每件商品的單價降低元時，該商店銷售這種商品每天的利潤為800元．【答案】10【分析】設商品單價降低x元時，該商店銷售這種商品每天的利潤為800元，然后根據利潤單件利潤銷售量，列出方程求解即可．【詳解】解：設商品單價降低x元時，該商店銷售這種商品每天的利潤為800元，由題意得，，整理得：，解得，∴當每件商品的單價降低10元時，該商店銷售這種商品每天的利潤為800元，故答案為：10．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，正確理解題意找到等量關系列出方程是解題的關鍵．12．某商店銷售一批保暖襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售增加盈利，商店采取適當的降價措施，經調查發(fā)現，在一定的范圍內，保暖襯衫的單價每降1元，商店平均每天可多售出2件，如果商店通過銷售這批保暖襯衫每天要盈利1200元，盡量減少庫存，保暖襯衫的單價應降元．【答案】20【分析】設每件襯衫應降價元，則每件所得利潤為元，但每天多售出件即售出件數為件，因此每天贏利為元，進而可根據題意列出方程求解．【詳解】解：設每件襯衫應降價元，根據題意得，整理得解得：，．因為盡量減少庫存，，故每件襯衫應降20元．答：每件襯衫應降價20元．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，根據題意列出方程是解題的關鍵．13．如圖所示，中，，點P沿射線AB方向從點A出發(fā)以的速度移動，點Q沿射線CB方向從點C出發(fā)以的速度移動，P，Q同時出發(fā)，秒后，的面積為．【答案】或7或【分析】當運動時間為t秒時，，根據的面積為，列出關于t的一元二次方程求解即可．【詳解】解：當運動時間為t秒時，，根據題意得：，∴，∴．當時，，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去）；當時，，整理得：，解得：；當時，，整理得：，解得：（不符合題意，舍去），．綜上所述，或7或秒后，的面積為．故答案為：或7或．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．14．如圖，在中，，，，點從A點開始沿邊向點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動，則、分別從A、同時出發(fā)，經過秒鐘，使的面積等于．【答案】2或4/4或2【分析】設經過秒，的面積等于，得出，，根據三角形的面積公式，得出關于的一元二次方程，解出即可得出結論．【詳解】解：設經過秒，的面積等于，則，，根據題意，可得：，即，解得：，，∴經過或，的面積等于，故答案為：2或4．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解本題的關鍵在利用數形結合思想，找準等量關系，正確列出方程．15．如圖，在中，，，，點從出發(fā)沿向點以厘米秒的速度勻速挪動；點從出發(fā)沿向點以厘米秒的速度勻速挪動點、分別從起點同時出發(fā)，挪動到某一位置時所需時間是為秒，當時，的面積等于．【答案】2【分析】首先用分別表示，的長度，然后利用三角形的面積公式即可列出關于的方程，解方程即可解決問題．【詳解】解：，、，，，，當時，，故舍去，當時，的面積等于，故答案為：．【點睛】此題考查了一元二次方程、三角形的面積公式，也是一個動點問題，用分別表示，的長度是解決問題的關鍵．三、解答題16．譙城區(qū)某商場銷售一款上衣每件進價元，銷售價為元時，每天可售出件，為了擴大銷售量，經市場調查發(fā)現，如果每件服裝降價元；那么平均每天可多售出件．(1)設每件衣服降價元，則每天銷售量增加件，每件商品盈利多少元（用含的代數式表示）；(2)每件服裝降價多少元時，商家平均每天能盈利元；(3)商家能達到平均每天盈利元嗎？請說明你的理由．【答案】(1)；元；(2)當每件服裝降價元時，商家平均每天能盈利元；(3)商家不能達到平均每天盈利元，理由見解析【分析】（1）設每件衣服降價元，根據題意找出數量關系即可解答；（2）設每件衣服降價元，根據題意找出數量關系和等量關系即可解答；（3）設每件衣服降價元，根據題意可得方程進而即可解答．【詳解】（1）解：設每件衣服降價元，∴如果每件服裝降價元，則每天銷售量增加