數(shù)學(xué)學(xué)案：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B選修2-1第二章2。4.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程1．掌握拋物線的定義,理解焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程的幾何意義．2．能夠根據(jù)已知條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．1．拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(F?l)的________的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，________叫做拋物線的焦點(diǎn)，________叫做拋物線的準(zhǔn)線．拋物線定義中的定點(diǎn)F不在定直線l上,否則點(diǎn)的軌跡不是拋物線，而是過點(diǎn)F與l垂直的一條直線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程方程y2＝±2px，x2＝±2py（p＞0)叫做拋物線的______方程．(1）拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________，它的準(zhǔn)線方程是________，它的開口方向______．(2）拋物線y2＝－2px(p＞0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________，它的準(zhǔn)線方程是________，它的開口方向______．（3）拋物線x2＝2py（p＞0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________,它的準(zhǔn)線方程是________,它的開口方向______．（4)拋物線x2＝－2py(p＞0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f（p，2）)），它的準(zhǔn)線方程是y＝eq\f（p,2）,它的開口方向______．拋物線y2＝2px，y2＝－2px,x2＝2py，x2＝－2py(p＞0）的焦點(diǎn)在一次項(xiàng)字母所對應(yīng)的坐標(biāo)軸上,開口方向由一次項(xiàng)系數(shù)的符號確定,當(dāng)系數(shù)為正時，開口向坐標(biāo)軸的正方向；系數(shù)為負(fù)時,開口向坐標(biāo)軸的負(fù)方向．【做一做】若拋物線的焦點(diǎn)為(1，0），則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．y2＝xB．y2＝2xC．y2＝4xD．無法確定1．拋物線的圖象是雙曲線的一支嗎？剖析：雖然拋物線的形狀與雙曲線的形狀看起來有點(diǎn)“像”，但絕不能把拋物線看成是雙曲線的一支．當(dāng)拋物線上的點(diǎn)趨向于無窮遠(yuǎn)時,曲線上點(diǎn)的切線接近于和對稱軸平行;而雙曲線上的點(diǎn)趨向于無窮遠(yuǎn)時，曲線上的點(diǎn)的切線接近于與漸近線平行；拋物線沒有漸近線；從方程上看，拋物線方程與雙曲線方程有很大差別．2．如何確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程?剖析：確定焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸的哪條直線上,開口方向，焦參數(shù)p.過焦點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線段,垂線段的中點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．題型一拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】已知拋物線C過點(diǎn)(2，－4）,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．分析：已知拋物線過一個點(diǎn),應(yīng)分焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上來討論．反思：題目沒有明確焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，所以可以不考慮開口方向，設(shè)拋物線方程為y2＝ax或x2＝ay，將點(diǎn)(2，－4）代入求出a。題型二拋物線定義的應(yīng)用【例2】過拋物線y＝4x2的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A（x1,y1),B(x2，y2)兩點(diǎn)，若y1＋y2＝5，求線段AB的長．分析:先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即x2＝eq\f(1,4)y，再由拋物線的定義得到答案．反思：過焦點(diǎn)的直線被拋物線截得的線段叫焦點(diǎn)弦，焦點(diǎn)與拋物線上的點(diǎn)的連線叫焦半徑．拋物線y2＝2px(p＞0）上的點(diǎn)M(x0，y0)，過該點(diǎn)的焦半徑為x0＋eq\f（p,2).題型三根據(jù)拋物線的方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線【例3】已知拋物線的方程如下，分別求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：(1)y2＝8x；(2)x＝ay2（a≠0）．分析：將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求p,結(jié)合圖形，從而求得焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程．1．拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是（)A．eq\f(|a|,4)B．eq\f(|a|，2）C．|a｜D．－eq\f（a,2)2．拋物線y＝－4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是（）A．eq\f(17,16)B．eq\f(15，16)C．－eq\f(15,16)D．－eq\f（17,16）3．(2010·福建高考，理2)以拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為圓心，且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為（）A．x2＋y2＋2x＝0B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0D．x2＋y2－2x＝04．拋物線y2＝2x上的兩點(diǎn)A,B到焦點(diǎn)的距離之和是5,則線段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是__________．5．已知點(diǎn)P(1,－2)在拋物線y2＝2px上，求點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離．答案：基礎(chǔ)知識·梳理1．距離相等定點(diǎn)F定直線l2．標(biāo)準(zhǔn)(1）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（p,2)，0）)x＝－eq\f(p,2）向右(2)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（p,2），0））x＝eq\f（p，2)向左（3）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（p，2)))y＝－eq\f（p，2)向上(4)向下【做一做】C∵焦點(diǎn)（1，0）在x軸的正半軸上，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x.故選C。典型例題·領(lǐng)悟【例1】解：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)拋物線方程為y2＝ax,將（2,－4)代入得a＝8,故所求方程為y2＝8x；同理，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，求得拋物線方程為x2＝－y.所以滿足條件的拋物線方程為y2＝8x或x2＝－y?！纠?】解：將拋物線方程化為x2＝eq\f（1，4）y，設(shè)焦點(diǎn)為F，|AF｜＝y(tǒng)1＋eq\f（p，2），|BF｜＝y(tǒng)2＋eq\f（p,2）,p＝eq\f（1,8）,|AB｜＝|AF｜＋|BF|＝y(tǒng)1＋eq\f（p，2）＋y2＋eq\f(p,2)＝y(tǒng)1＋y2＋p＝eq\f（41，8）。【例3】解：（1)因?yàn)?p＝8，所以p＝4，開口向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0），準(zhǔn)線方程為x＝－2.（2）因?yàn)樵瓛佄锞€的方程可化為y2＝eq\f(1,a)x，所以2p＝eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（\f（1,a））),所以eq\f(p,2)＝eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1（\f(1，4a))）。當(dāng)a＞0時,焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，4a),0)），準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f（1,4a）；當(dāng)a＜0時，焦點(diǎn)坐標(biāo)仍為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，4a)，0）)，準(zhǔn)線方程仍為x＝－eq\f(1,4a).隨堂練習(xí)·鞏固1．B由已知焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p＝eq\f(｜a|,2)。2．C準(zhǔn)線方程為y＝eq\f（1，16),由定義知eq\f（1，16）－yM＝1?yM＝－eq\f(15,16）.3．D∵拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為(1，0）,∴滿足題意的圓的方程為（x－1）2＋y2＝1，整理得x2＋y2－2x＝0,故選D。4．2由拋物線定義可知，A，B到準(zhǔn)線x＝－eq\f(1，2）的距離之和是5，從而線段AB中點(diǎn)到