高等數(shù)學(xué)（第二版）下冊課件：一階線性微分方程

一階線性微分方程

.9.4.1一階線性微分方程的定義9.4.2一階線性微分方程的解法9.4.1一階線性微分方程的定義形如(9.15)的方程稱為一階線性微分方程.如果形如，稱方程(9.15)為一階非齊次線性方程；，方程(9.16)稱方程(9.16)為一階齊次線性方程.本節(jié)主要討論一階微分方程的解法，重點(diǎn)是利用常數(shù)變易法求解一階非齊次線性方程．9.4.2一階線性微分方程的解法解題思路：利用常數(shù)變易法，把一階線性微分方程對應(yīng)的齊次方程的通解中的任意常數(shù)變易成函數(shù)．具體步驟如下．的通解．先分離變量1.利用分離變量法，解一階線性方程所對應(yīng)的齊次方程(9.16)兩端積分得同解為(9.17)求導(dǎo)得(9.19)知函數(shù)C(x)，即做變換2.利用常數(shù)變易法，把通解（9.17）中的任意常數(shù)C變易成未(9.18)把式(9.18)、(9.19)代入原方程(9.15)得整理得分離變量，兩端積分得為3.將C(x)代入式(9.18)中，得非齊次線性微分方程(9.15)的通解或者(9.20)

非齊次線性微分方程的通解可以寫成兩部分之和，其中第一部分是對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解，第二部分是非齊次線性微分方程的一個特解。因此，在解一階微分方程過程中，通常有兩種方法：公式法和常數(shù)變易法。例9.4.1求微分方程的通解．解（解法一）方程為一階線性微分方程，先解對應(yīng)的齊次方程分離變量兩端積分得通解為用常數(shù)變易法，把任意常數(shù)c變易為函數(shù)C(x)，即是原方程的通解．求導(dǎo)得代入原方程得積分得則原方程的通解為解（解法二）直接應(yīng)用公式(9.20)，但是必須先把方程化成式(9.15)的形式．這里，則通解為例9.4.2求方程的通解．解原方程變形為此方程為一階線性微分方程，先解對應(yīng)的齊次方程分離變量兩邊積分得即用常數(shù)變易法，把任意常數(shù)c變易為函數(shù)C(x)，即y=C(x)x是原方程的通解．代入原方程得所以此原方程通解為例9.4.3求微分方程的通解．解對應(yīng)齊次方程為用常數(shù)變易法，把C換為C(x)，即令那么代入所給非齊次方程，得積分得代入可得方程的通解為一階線性方程初值問題的解題思路一般是先求方程的通解，然后根據(jù)初始條件確定常數(shù)，從而得到特解.解對應(yīng)齊次方程為例9.4.4求方程滿足初始條件的特解．變形為即兩端積分得把任意常數(shù)c變易為函數(shù)C(x)，即是原方程的通解．代入原方程得所以因此原方程的通解為因?yàn)榇虢獾盟栽匠虧M足初始條件的特解為需要注意的是，很多時候，我們在求解微分方程時，往往需要交換x與y的函數(shù)關(guān)系，即將y作為自變量，使方程變?yōu)殛P(guān)于y的一階線性方程求解. 解（解法一）方程變形為這是以x為未知函數(shù)，y為自變量的微分方程，應(yīng)用一階線性微分方程的解法，方程的通解為例9.4.5求微分方程的通解．解（解法二）設(shè)變量u=x+y.則有代入方程整理得分離變量得兩端積分得代回原變量得或者即為原方程的通解．小結(jié)本節(jié)主要介紹了一階線性方程的定義及求解方法，通過常數(shù)變易法可以求解出大