2020-2024年五年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題05 三角函數(shù)（真題5個考點精準(zhǔn)練+模擬練）解析版

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題05三角函數(shù)（真題5個考點精準(zhǔn)練+精選模擬練）5年考情考題示例考點分析2024年秋考14題2024年春考17題兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用，函數(shù)的周期的求法正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)2023秋考4、15題二倍角公式的應(yīng)用、正弦函數(shù)的圖象與三角函數(shù)的最值2022秋考3題2022春考4題三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的周期性及其求法，倍角公式的應(yīng)用兩角和的正切公式2021年秋考15題2021年春考12題三角函數(shù)的單調(diào)性，以及恒成立問題三角函數(shù)的最值2020年秋考18題2020年春考3、5、14題三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用正切函數(shù)的周期性和求法、三角函數(shù)的倍角公式、正弦函數(shù)的圖象一．三角函數(shù)的周期性（共4小題）1．（2020?上海）函數(shù)的最小正周期為．〖祥解〗根據(jù)函數(shù)的周期為，求出函數(shù)的最小正周期．【解答】解：函數(shù)的最小正周期為，故答案為：．【點評】本題主要考查正切函數(shù)的周期性和求法，屬于基礎(chǔ)題．2．（2022?上海）函數(shù)的周期為．〖祥解〗由三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)可得，從而根據(jù)周期公式即可求值．【解答】解：，．故答案為：．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的周期性及其求法，倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（2020?上海）已知函數(shù)，．（1）的周期是，求，并求的解集；（2）已知，，，，求的值域．〖祥解〗（1）直接利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．（2）利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出函數(shù)的值域．【解答】解：（1）由于的周期是，所以，所以．令，故或，整理得或．故解集為或，．（2）由于，所以．所以．由于，，所以．，故，故．所以函數(shù)的值域為．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．4．（2024?上海）已知，．（1）設(shè)，求解：，，的值域；（2），的最小正周期為，若在，上恰有3個零點，求的取值范圍．〖祥解〗（1）由題意，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，可得結(jié)論．（2）由題意，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和零點，求出的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)時，．因為，，所以令，根據(jù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值為，最小值為．因此函數(shù)的值域為，．（2）由題知，所以，．當(dāng)時，，即．當(dāng)時，，所以，即．因此，的取值范圍為，．【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．二．三角函數(shù)的最值（共3小題）5．（2023?上海）已知，記在，的最小值為，在，的最小值為，則下列情況不可能的是A．， B．， C．， D．，〖祥解〗由題意可知，對分別求值，排除，即可得答案．【解答】解：由給定區(qū)間可知，．區(qū)間，與區(qū)間，相鄰，且區(qū)間長度相同．取，則，，區(qū)間，，可知，，故可能；取，則，，，區(qū)間，，，可知，，故可能；取，則，，，區(qū)間，，，可知，，故可能．結(jié)合選項可得，不可能的是，．故選：．【點評】本題考查正弦函數(shù)的圖象與三角函數(shù)的最值，訓(xùn)練了排除法的應(yīng)用，取特值是關(guān)鍵，是中檔題．6．（2021?上海）已知，存在實數(shù)，使得對任意，，則的最小值是．〖祥解〗在單位圓中分析可得，由，即，，即可求得的最小值．【解答】解：在單位圓中分析，由題意可得的終邊要落在圖中陰影部分區(qū)域（其中，所以，因為對任意都成立，所以，即，，同時，所以的最小值為．故答案為：．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．7．（2021?上海）已知，對任意的，，都存在，，使得成立，則下列選項中，可能的值是A． B． C． D．〖祥解〗由題意可知，，，即，，可得，，將存在任意的，，都存在，，使得成立，轉(zhuǎn)化為，，又由，可得，，再將選項中的值，依次代入驗證，即可求解．【解答】解：，，，，，，都存在，，使得成立，，，，，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，，故選項錯誤，當(dāng)時，，，，故選項正確，當(dāng)時，，，故選項錯誤，當(dāng)時，，，故選項錯誤．故選：．【點評】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，以及恒成立問題，需要學(xué)生有較綜合的知識，屬于中檔題．三．同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系（共1小題）8．（2020?上海）“”是“”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件〖祥解〗容易看出，由可得出，而反之顯然不成立，從而可得出“”是“”的充分不必要條件．【解答】解：（1）若，則，““是““的充分條件；（2）若，則，得不出，“”不是“”的必要條件，“”是“”的充分非必要條件．故選：．【點評】本題考查了充分條件、必要條件和充分不必要條件的定義，，正弦函數(shù)的圖象，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．四．兩角和與差的三角函數(shù)（共2小題）9．（2024?上海）下列函數(shù)的最小正周期是的是A． B． C． D．〖祥解〗利用兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式，化簡選項表達(dá)式，求解函數(shù)的周期即可．【解答】解：對于，，則，滿足條件，所以正確．對于，，則，不滿足條件，所以不正確．對于，，函數(shù)是常函數(shù)，不存在最小正周期，不滿足條件，所以不正確．對于，，則，不滿足條件，所以不正確．故選：．【點評】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用，函數(shù)的周期的求法，是基礎(chǔ)題．10．（2022?上海）若，則．〖祥解〗由兩角和的正切公式直接求解即可．【解答】解：若，則．故答案為：．【點評】本題主要考查兩角和的正切公式，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．五．二倍角的三角函數(shù)（共2小題）11．（2023?上海）已知，則．〖祥解〗直接利用正切函數(shù)的二倍角公式求解．【解答】解：，．故答案為：．【點評】本題主要考查了二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．（2020?上海）已知，，則．〖祥解〗根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式，結(jié)合反三角公式即可得到結(jié)論．【解答】解：，，，，，故．故答案為：．【點評】本題主要考查函數(shù)值的計算，利用三角函數(shù)的倍角公式是解決本題的關(guān)鍵．一．選擇題（共12小題）1．（2024?靜安區(qū)二模）函數(shù)的最小正周期為A． B． C． D．〖祥解〗先利用輔助角公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式即可求解．【解答】解：因為，，根據(jù)周期公式可得．故選：．【點評】本題主要考查了輔助角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?寶山區(qū)三模）一個扇形的面積是1平方厘米，它的周長是4厘米，則它的圓心角是弧度A．2 B．3 C．4 D．5〖祥解〗結(jié)合扇形面積公式及弧長公式可求，，然后結(jié)合扇形圓心角公式可求．【解答】解：設(shè)扇形半徑，弧長，則，解得，，所以圓心角為．故選：．【點評】本題主要考查了扇形面積公式及弧長公式，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024?崇明區(qū)二模）設(shè)函數(shù)，若對于任意，在區(qū)間，上總存在唯一確定的，使得，則的最小值為A． B． C． D．〖祥解〗由三角函數(shù)圖象的單調(diào)性得：因為，，，所以，所以，，即，，由三角函數(shù)的最值得：在區(qū)間，上總存在唯一確定的，使得，則在區(qū)間，上總存在唯一確定的，使得，，由函數(shù)在，為增函數(shù)，值域為：，，又，即，故的最小值為：，得解．【解答】解：因為，，，所以，所以，，即，，由在區(qū)間，上總存在唯一確定的，使得，則在區(qū)間，上總存在唯一確定的，使得，，由函數(shù)在，為增函數(shù)，值域為：，，又，即，故的最小值為：，故選：．【點評】本題考查了三角函數(shù)圖象的單調(diào)性，三角函數(shù)的最值，屬中檔題．4．（2024?黃浦區(qū)二模）函數(shù)是A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的偶函數(shù) C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)〖祥解〗利用二倍角公式、誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的奇偶性和周期性，得出結(jié)論．【解答】解：函數(shù)，故該函數(shù)的為奇函數(shù)，且最小正周期為，故選：．【點評】本題主要考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?黃浦區(qū)校級模擬）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點A．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），再向右平行移動個單位長度 B．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動個單位長度 C．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），再向左平行移動個單位長度 D．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動個單位長度〖祥解〗直接利用三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換求出結(jié)果．【解答】解：要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到的圖象，再向右平行移動個單位長度得到的圖象．故選：．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換，主要考查學(xué)生運算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024?閔行區(qū)三模）對于函數(shù)，給出下列結(jié)論：（1）函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱；（2）函數(shù)在區(qū)間上的值域為；（3）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖像；（4）曲線在處的切線的斜率為1．則所有正確的結(jié)論是A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3）〖祥解〗由三角恒等變化得，對于（1），驗證是否成立即可；對于（2），由三角函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的值域即可；對于（3），由函數(shù)的平移及誘導(dǎo)公式即可判斷；對于（4），驗證即可．【解答】解：因為，（1）因為，所以函數(shù)的圖像不關(guān)于點對稱，故錯誤；（2）當(dāng)，時，，，所以，，故正確；（3）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得，故錯誤；（4）因為，所以，所以，即曲線在處的切線的斜率為1，故正確．故說法正確的有（2）、（4）．故選：．【點評】本題考查了三角恒等變化、三角函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．7．（2024?閔行區(qū)二模）已知，集合，，，，，，，，．關(guān)于下列兩個命題的判斷，說法正確的是命題①：集合表示的平面圖形是中心對稱圖形命題②：集合表示的平面圖形的面積不大于A．①真命題；②假命題 B．①假命題；②真命題 C．①真命題；②真命題 D．①假命題；②假命題〖祥解〗根據(jù)函數(shù)的奇偶性、判斷命題①，再結(jié)合對稱性計算陰影部分的面積判斷命題②．【解答】解：對于①，，集合，顯然該函數(shù)為奇函數(shù)，所以，都是奇函數(shù)，則曲線必關(guān)于對稱，即集合表示的平面圖形是中心對稱圖形，①正確；對于②，如圖：陰影部分是由與圍成的正方形的一半，故面積為，②錯誤．故選：．【點評】本題考查三角函數(shù)的奇偶性與對稱性，屬于中檔題．8．（2024?虹口區(qū)二模）設(shè)，將函數(shù)的圖像沿軸向右平移個單位，得到函數(shù)的圖像，則A．函數(shù)是偶函數(shù) B．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱 C．函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù) D．函數(shù)在上的值域為〖祥解〗先確定的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可．【解答】解：，把函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則，是奇函數(shù)，項錯誤；當(dāng)，即，其圖象關(guān)于直線對稱，項錯誤；當(dāng)，即，是減函數(shù)，故在為減函數(shù)，項錯誤，時，，函數(shù)的值域為，，故選項正確．故選：．【點評】本題考查了三角函數(shù)圖象的平移、三角函數(shù)圖象的性質(zhì)及三角函數(shù)的值域，屬于中檔題．9．（2024?浦東新區(qū)校級四模）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線，若關(guān)于軸對稱，則的最小值是A． B． C． D．〖祥解〗由題意，利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得的最小值．【解答】解：將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線，則對應(yīng)函數(shù)為，的圖象關(guān)于軸對稱，，，即，，則令，可得的最小值是，故選：．【點評】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．10．（2024?嘉定區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，，的部分圖像如圖所示，且的圖像關(guān)于點中心對稱，則A．4 B．3 C．2 D．0〖祥解〗根據(jù)函數(shù)圖像的最低點及對稱中心的位置得到，的值，根據(jù)點得出的值，由五點作圖法可得，即可得出答案．【解答】解：由圖可知，，又因為過點，所以，解得，又因為，且在的一個減區(qū)間上，所以，根據(jù)五點作圖法可知，，解得，，．故選：．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．11．（2024?徐匯區(qū)模擬）已知函數(shù)，其中，實數(shù)，下列選項中正確的是A．若，函數(shù)關(guān)于直線對稱 B．若，函數(shù)在，上是增函數(shù) C．若函數(shù)在，上最大值為1，則 D．若，則函數(shù)的最小正周期是〖祥解〗求出即可判斷選項；由正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得關(guān)于的不等式，從而可求出的取值范圍，即可判斷；判斷，即可判斷．【解答】解：對于，若，則，，不是最值，所以不關(guān)于直線對稱，故錯誤；對于，若，則，當(dāng)，時，，，因為正弦函數(shù)在，上不單調(diào)，所以函數(shù)在，上不是增函數(shù)，故錯誤；對于，，，則，，因為函數(shù)在，上最大值為1，所以，解得，故正確；對于，若，函數(shù)，因為，所以函數(shù)的最小正周期不是，故錯誤．故選：．【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．12．（2024?閔行區(qū)校級二模）已知實數(shù)，，且滿足，則下列關(guān)系式成立的是A． B． C． D．〖祥解〗根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)得到，在根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷，正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷，不等式的性質(zhì)判斷，冪函數(shù)的性質(zhì)判斷．【解答】解：在上單調(diào)遞減，又，，，，又，，，對于：因為在定義域上單調(diào)遞增，所以，故錯誤；對于：因為在上單調(diào)遞增，所以，故錯誤；對于：因為，所以，故正確；對于：因為在定義域上單調(diào)遞增，所以，故錯誤；故選：．【點評】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，冪函數(shù)的性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．二．填空題（共33小題）13．（2024?閔行區(qū)校級三模）函數(shù)的最小正周期為．〖祥解〗由已知結(jié)合正切函數(shù)的周期公式即可求解．【解答】解：根據(jù)正切函數(shù)的周期公式可知，．故答案為：．【點評】本題主要考查了正切函數(shù)周期公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．（2024?嘉定區(qū)校級模擬）若，則的值是．〖祥解〗由已知直接利用誘導(dǎo)公式求解．【解答】解：由，得，則．故答案為：．【點評】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．15．（2024?楊浦區(qū)二模）已知，則．〖祥解〗把所求的式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化為關(guān)于的式子，將的值代入即可求出值．【解答】解：因為，所以．故答案為：．【點評】通常，在高考題中，三角函數(shù)多會以解答題的形式出現(xiàn)在第一個解答題的位置，是基礎(chǔ)分值的題目，學(xué)生在解答三角函數(shù)問題時，往往會出現(xiàn)，會而不對的狀況．所以，在平時練習(xí)時，既要熟練掌握相關(guān)知識點，又要在解答時考慮更為全面．這樣才能熟練駕馭三角函數(shù)題．16．（2024?虹口區(qū)二模）若，則．〖祥解〗根據(jù)二倍角公式求解即可．【解答】解：因為，所以．故選：．【點評】本題考查了二倍角公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．17．（2024?奉賢區(qū)三模）函數(shù)的最小正周期為．〖祥解〗先利用輔助角公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式即可求解．【解答】解：，其中，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)的最小正周期為．故答案為：．【點評】本題主要考查了輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?閔行區(qū)二模）始邊與軸的正半軸重合的角的終邊過點，則．〖祥解〗結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及任意角的三角函數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：始邊與軸的正半軸重合的角的終邊過點，則，故．故答案為：．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?寶山區(qū)二模）已知，則．〖祥解〗由已知結(jié)合兩角差的正切公式進(jìn)行化簡即可求解．【解答】解：因為，所以．故答案為：．【點評】本題主要考查了兩角差的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?松江區(qū)二模）已知點的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)至，則點的坐標(biāo)為，．〖祥解〗由題意可求，，利用任意角的三角函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：因為點的坐標(biāo)為，即，所以，可得，，所以點的坐標(biāo)為，．故答案為：，．【點評】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查三角函數(shù)的定義，比較基礎(chǔ)．21．（2024?閔行區(qū)校級二模）已知，且，則．〖祥解〗根據(jù)誘導(dǎo)公式結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)分析求解．【解答】解：因為，且，可知，又因為，且，結(jié)合在內(nèi)單調(diào)遞減，可得．故答案為：．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．22．（2024?虹口區(qū)模擬）若，則．〖祥解〗由題意利用二倍角的正切公式即可求解．【解答】解：因為，所以．故答案為：．【點評】本題主要考查了二倍角的正切公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．23．（2024?楊浦區(qū)校級三模）已知，則．〖祥解〗根據(jù)兩角和的正切公式可求出結(jié)果．【解答】解：因為，所以．故答案為：．【點評】本題主要考查了兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．24．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）若，則．〖祥解〗由已知利用二倍角公式化簡所求即可計算得解．【解答】解：，．故答案為：．【點評】本題主要考查了二倍角公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．25．（2024?普陀區(qū)校級三模）函數(shù)，，設(shè)為的最小正周期，若，則．〖祥解〗由，代入函數(shù)解析式中，結(jié)合，可得的值．【解答】解：函數(shù)，，最小正周期，由，，又，可得．故答案為：．【點評】本題主要考查了正弦函數(shù)周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．26．（2024?青浦區(qū)校級模擬）函數(shù)的最小正周期為．〖祥解〗利用正弦型函數(shù)的周期公式以及絕對值函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的最小正周期．【解答】解：因為的最小正周期為，所以的最小正周期為．故答案為：．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)圖象的變換及周期的求解，屬于基礎(chǔ)題．27．（2024?浦東新區(qū)校級四模）已知，，則．〖祥解〗由已知結(jié)合半角公式進(jìn)行化簡即可求解．【解答】解：因為，，所以，，則．故答案為：．【點評】本題主要考查了半角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．28．（2024?黃浦區(qū)校級三模）函數(shù)的部分圖象如圖，下列結(jié)論正確的序號是②③．①的最小正周期為6；②；③的圖象的對稱中心為；④的一個單調(diào)遞減區(qū)間為．〖祥解〗首先根據(jù)圖象信息，找出周期，從而得出，進(jìn)而求出，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由圖可得，所以①錯誤；因為，所以．因為點在的圖象上，所以即．因為，所以，所以，所以②正確；令得，所以的圖象的對稱中心為，所以③正確；令得，令得，令得，所以，，所以④錯誤．綜上，正確的序號是②③．故答案為：②③．【點評】本題以三角函數(shù)為背景，考查正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．29．（2024?松江區(qū)校級模擬）已知點的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)至，則點的坐標(biāo)為，．〖祥解〗結(jié)合三角函數(shù)的定義可先求出經(jīng)過點的角的三角函數(shù)值，然后結(jié)合兩角和的正弦及余弦公式及三角函數(shù)定義可求．【解答】解；設(shè)點的坐標(biāo)，則，設(shè)為終邊上的一點，則，，則，，即，，故點的坐標(biāo)為，．故答案為：，．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的定義及兩角和的正弦及余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．30．（2024?黃浦區(qū)校級三模）若，，則．〖祥解〗利用同角三角函數(shù)關(guān)系得，再結(jié)合誘導(dǎo)公式即可得到答案．【解答】解：，，，．故答案為：．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題．31．（2024?黃浦區(qū)校級三模）函數(shù)，的零點是．〖祥解〗直接利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出結(jié)果．【解答】解：由于，當(dāng)時，，故函數(shù)的零點為．故答案為：．【點評】本題考查的知識點：余弦函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點和方程的根的關(guān)系，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．32．（2024?普陀區(qū)模擬）若，則〖祥解〗由題意利用誘導(dǎo)公式，求得所給式子的值．【解答】解：，則，故答案為：．【點評】本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．33．（2024?虹口區(qū)二模）已知集合，，則．〖祥解〗先確定集合，再根據(jù)集合運算的定義即可得．【解答】解：，，，，，，則．故答案為：．【點評】本題考查集合的運算，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．34．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知，則．〖祥解〗由已知結(jié)合同角基本關(guān)系即可求解．【解答】解：因為，所以，則．故答案為：【點評】本題主要考查了同角基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．35．（2024?楊浦區(qū)校級三模）函數(shù)的最小正周期是．〖祥解〗把函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后求出它的最小正周期．【解答】解：函數(shù)，它的最小正周期是：．故答案為：．【點評】本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．36．（2024?普陀區(qū)校級模擬）將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變，再將其圖象上的所有點向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則的值可以為（答案不唯一）．（寫出一個符合要求的答案即可）〖祥解〗由正弦型函數(shù)的平移與伸縮變換可得變換后的函數(shù)為，再利用正弦型函數(shù)的對稱性求的值即可．【解答】解：將正弦函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫?，再將其圖象上的所有點向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，又函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則，，即，，故的值可以為（答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象變化的應(yīng)用，屬于中檔題．37．（2024?黃浦區(qū)二模）如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實線部分（它由線段，與分別以，為直徑的半圓弧組成）表示一條步道．其中的點，是線段上的動點，點為線段，的中點，點，在以為直徑的半圓弧上，且，均為直角．若百米，則此步道的最大長度為百米．〖祥解〗因為步道的長度是兩個半圓周長兩條線段長，設(shè)半圓直徑為，求出兩條線段的長，即可計算步道的長，再求最大值即可．【解答】解：根據(jù)題意知，步道的長度為兩個半圓周長兩條線段長，設(shè)半圓直徑為，，連接，因為，所以，所以步道長為，．設(shè)，，則，所以，，因為，，所以當(dāng)時，取得最大值．故答案為：．【點評】本題考查了直線與圓的應(yīng)用問題，也考查了解三角形的應(yīng)用問題，是中檔題．38．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知函數(shù)在上恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為．〖祥解〗令，對應(yīng)正弦函數(shù)的零點問題即可得．【解答】解：令，，，，在上恰有兩個零點，故，，即實數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．39．（2024?嘉定區(qū)二模）已知，則函數(shù)的最小值為．〖祥解〗，可求的范圍，然后結(jié)合同角基本關(guān)系對已知函數(shù)進(jìn)行化簡，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【解答】解：因為，令，因為，所以，所以，故，由可得，，則，原函數(shù)可化為，因為在，上單調(diào)遞增，故時，取得最大值，此時取得最小值．故答案為：．【點評】本題主要考查了同角基本關(guān)系，輔助角公式的應(yīng)用，還考查了函數(shù)單調(diào)性在函數(shù)最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．40．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）若對于任意自然數(shù)，函數(shù)在每個閉區(qū)間，上均有兩個零點，則正實數(shù)的最小值是．〖祥解〗作出函數(shù)圖象，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)算出函數(shù)與原點距離最近的交點坐標(biāo)，結(jié)合題意算出正實數(shù)滿足的條件，從而得出答案．【解答】解：作出函數(shù)的圖象，觀察可得：函數(shù)在正數(shù)范圍內(nèi)的最小零點滿足，解得，函數(shù)在負(fù)數(shù)范圍內(nèi)的最大零點滿足，解得，因為在每個閉區(qū)間，上均有兩個零點，所以且，解得，可知正實數(shù)的最小值是．故答案為：．【點評】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的零點及其應(yīng)用等知識，屬于中檔題．41．（2024?嘉定區(qū)校級模擬）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則．〖祥解〗結(jié)合正弦型函數(shù)圖象的對稱性與割補法，可知陰影部分是一個長為2，寬為的矩形，從而可得，根據(jù)求得的值，再代入點，，即可得解．【解答】解：根據(jù)正弦型函數(shù)圖象的對稱性可知，陰影部分是一個長為2，寬為的矩形，所以，即，所以，即，所以，，將點，代入的解析中，有，則，，所以，，因為，所以．故答案為：．【點評】本題考查三角函數(shù)的圖形與性質(zhì)，熟練掌握正弦函數(shù)的對稱性，理解，的幾何意義是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．42．（2024?長寧區(qū)校級三模）若函數(shù)的一個零點是，則函數(shù)的最大值為2．〖祥解〗由兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：函數(shù)的一個零點是，則，即，即，則，，則函數(shù)的最大值為2．故答案為：2．【點評】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)，重點考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題．43．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知函數(shù)．則函數(shù)的值域為，．〖祥解〗首先利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的值域．【解答】解：因為，所以，所以，所以，函數(shù)的值域為，．故答案為：，．【點評】本題考查的知識點：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．44．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知，若函數(shù)的最大值為2，則．〖祥解〗由輔助角公式得函數(shù)最大值，進(jìn)而列方程即可求解．【解答】解：由題意，其中，所以，因為，所以．故答案為：．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．45．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）記函數(shù)在上的最大值為，最小值為，則當(dāng)時，的最小值為．〖祥解〗求出函數(shù)的最小正周期，得到為最小正周期的，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)關(guān)于的某條對稱軸對稱時取得最小值，不妨令，得到，，，得到答案．【解答】解：的最小正周期，由于，為最小正周期的，要想取得最小值，則在上不單調(diào)，由對稱性可知，當(dāng)關(guān)于的某條對稱軸對稱時，取得最小值，其對稱軸為，所以當(dāng)時，取得最值，不妨令，則，解得，，故，故的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬中檔題．三．解答題（共9小題）46．（2024?浦東新區(qū)校級四模）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的在，上單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間，上有且只有兩個零點，求的取值范圍．〖祥解〗（1）結(jié)合二倍角公式及輔助角公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（2）由已知結(jié)合函數(shù)零點存在條件即可求解．【解答】解：（1），令，，則，，故函數(shù)的在，上單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）令，，則，，若函數(shù)在區(qū)間，上有且只有兩個零點，則，故的范圍為．【點評】本題主要考查了二倍角公式及輔助角公式的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性及零點存在條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．47．（2024?長寧區(qū)二模）某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖像時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：0△01△0（1）請在答題卷上將上表△處的數(shù)據(jù)補充完整，并直接寫出函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，求函數(shù)的值域．〖祥解〗（1）先求出，，即可得函數(shù)解析式，再由五點作圖法可將表格補充完整；（2）求出解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)值域．【解答】解：（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得，，又，，函數(shù)的解析式為，令，解得，可得，數(shù)據(jù)補全如下表：00100（2）若，，則，，，，，，，，，．【點評】本題主要考查五點作圖法，三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．48．（2024?浦東新區(qū)三模）已知，其中，．（1）若，函數(shù)的最小正周期為，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)的部分圖像如圖所示，其中，，求函數(shù)的最小正周期，并求的解析式．〖祥解〗（1）由周期公式求出，可得解析式，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可；（2）由題意可得，結(jié)合已知條件求出周期，從而求出，將代入解析式中，結(jié)合的取值范圍可得的值，從而可得的解析式．【解答】解：（1）若，函數(shù)的最小正周期為，則，解得，故．令，解得，解得單調(diào)減區(qū)間為．（2）由題可得，，，，則，，因此，又，得．由，得．再將代入，即．由，解得．因此的解析式為．【點評】本題主要考查由的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．49．（2024?青浦區(qū)二模）對于函數(shù)，其中，．（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）在銳角三角形中，若（A），，求的面積．〖祥解〗（1）先對恒等變換，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，先求出，再結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算，以及三角形的面積公式，即可求解．【解答】解：（1），由，得，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．（2），則，在銳角三角形中，則，故，即，所以，又，所以，，故的面積．【點評】本題主要考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，屬于中檔題．50．（2024?浦東新區(qū)校級四模）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，求角的大?。枷榻狻剑?）利用二倍角公式，輔助角公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（2）由已知先求出，然后結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡即可求解．【解答】解：（1）由題意得，，令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由（1）知，又，所以，所以，由正弦定理及，得，則，整理得，又，所以．【點評】本題主要考查了二倍角公式，和差角公式及輔助角公式的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．51．（2024?松江區(qū)二模）設(shè)，函數(shù)圖像的兩條相鄰對稱軸之間的距離為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）在中，設(shè)角、及所對邊的邊長分別為、及，若，，，求角．〖祥解〗（1）先對函數(shù)化簡，然后由函數(shù)圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為，可求周期，進(jìn)而可求，即可求解函數(shù)解析式；（2）先由已知求出，結(jié)合正弦定理求出，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和即可求解．【解答】解：，因為函數(shù)的圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，所以，得，所以；（2）由，得，所以，因為，則，所以，解得，因為，，由正弦定理得，得，因為，所以，所以，．【點評】本題主要考查了二倍角公式，輔助角公式在三角化簡中的應(yīng)用，還考查了正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．52．（2024?嘉定區(qū)校級模擬）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）在中，，，為角，，的對邊，且滿足，且，求角的值，進(jìn)而再求（B）的取值范圍．〖祥解〗（Ⅰ）首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用整體思想求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）首先利用正弦定理求出相應(yīng)的角，進(jìn)一步利用三角函數(shù)的關(guān)系式求出結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）由題知，，由，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為．（Ⅱ）由正弦定理得，因為在三角形中，所以，所以，即，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，．由于，所以．則．則．又，所以．由，則（B）的取值范圍是．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用．53．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知函數(shù)．（1）當(dāng)，時，求的增區(qū)間；（2）在中，角所對邊，角所對邊，若（A），求的面積．〖祥解〗（1）利用二倍角公式得到，利用換元法求出單增區(qū)間；（2）先求出，利用余弦定理求出，即可求出三角形的面積．【解答】解：（1），令，則由，，可得，，因為在，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由（A），可得，因為，所以，故或，當(dāng)時，，因為，則，所以，即，不符合三角形內(nèi)角和定理，舍去，所以在中，，即，由余弦定理及可得：，即，解得或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的面積為或．【點評】本題考查三角恒等變換及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查解三角形，屬中檔題．54．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）設(shè)函數(shù)，其中，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求在，上的最小值．〖祥解〗（Ⅰ）利用三角恒等變換化函數(shù)為正弦型函數(shù)，根據(jù)求出的值；（Ⅱ）寫出解析式，利用平移法則寫出的解析式，求出，時的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)，又，，，解得，又，；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將得到的圖象向左平移個單位，得到的圖象，函數(shù)；當(dāng)，時，，，，，當(dāng)時，取得最小值是．【點評】本題考查了三角恒等變換與正弦型函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是中檔題．專題05三角函數(shù)（真題5個考點精準(zhǔn)練+精選模擬練）5年考情考題示例考點分析2024年秋考14題2024年春考17題兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用，函數(shù)的周期的求法正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)2023秋考4、15題二倍角公式的應(yīng)用、正弦函數(shù)的圖象與三角函數(shù)的最值2022秋考3題2022春考4題三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的周期性及其求法，倍角公式的應(yīng)用兩角和的正切公式2021年秋考15題2021年春考12題三角函數(shù)的單調(diào)性，以及恒成立問題三角函數(shù)的最值2020年秋考18題2020年春考3、5、14題三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用正切函數(shù)的周期性和求法、三角函數(shù)的倍角公式、正弦函數(shù)的圖象一．三角函數(shù)的周期性（共4小題）1．（2020?上海）函數(shù)的最小正周期為．〖祥解〗根據(jù)函數(shù)的周期為，求出函數(shù)的最小正周期．【解答】解：函數(shù)的最小正周期為，故答案為：．【點評】本題主要考查正切函數(shù)的周期性和求法，屬于基礎(chǔ)題．2．（2022?上海）函數(shù)的周期為．〖祥解〗由三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)可得，從而根據(jù)周期公式即可求值．【解答】解：，．故答案為：．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的周期性及其求法，倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（2020?上海）已知函數(shù)，．（1）的周期是，求，并求的解集；（2）已知，，，，求的值域．〖祥解〗（1）直接利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．（2）利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出函數(shù)的值域．【解答】解：（1）由于的周期是，所以，所以．令，故或，整理得或．故解集為或，．（2）由于，所以．所以．由于，，所以．，故，故．所以函數(shù)的值域為．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．4．（2024?上海）已知，．（1）設(shè)，求解：，，的值域；（2），的最小正周期為，若在，上恰有3個零點，求的取值范圍．〖祥解〗（1）由題意，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，可得結(jié)論．（2）由題意，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和零點，求出的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)時，．因為，，所以令，根據(jù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值為，最小值為．因此函數(shù)的值域為，．（2）由題知，所以，．當(dāng)時，，即．當(dāng)時，，所以，即．因此，的取值范圍為，．【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．二．三角函數(shù)的最值（共3小題）5．（2023?上海）已知，記在，的最小值為，在，的最小值為，則下列情況不可能的是A．， B．， C．， D．，〖祥解〗由題意可知，對分別求值，排除，即可得答案．【解答】解：由給定區(qū)間可知，．區(qū)間，與區(qū)間，相鄰，且區(qū)間長度相同．取，則，，區(qū)間，，可知，，故可能；取，則，，，區(qū)間，，，可知，，故可能；取，則，，，區(qū)間，，，可知，，故可能．結(jié)合選項可得，不可能的是，．故選：．【點評】本題考查正弦函數(shù)的圖象與三角函數(shù)的最值，訓(xùn)練了排除法的應(yīng)用，取特值是關(guān)鍵，是中檔題．6．（2021?上海）已知，存在實數(shù)，使得對任意，，則的最小值是．〖祥解〗在單位圓中分析可得，由，即，，即可求得的最小值．【解答】解：在單位圓中分析，由題意可得的終邊要落在圖中陰影部分區(qū)域（其中，所以，因為對任意都成立，所以，即，，同時，所以的最小值為．故答案為：．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．7．（2021?上海）已知，對任意的，，都存在，，使得成立，則下列選項中，可能的值是A． B． C． D．〖祥解〗由題意可知，，，即，，可得，，將存在任意的，，都存在，，使得成立，轉(zhuǎn)化為，，又由，可得，，再將選項中的值，依次代入驗證，即可求解．【解答】解：，，，，，，都存在，，使得成立，，，，，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，，故選項錯誤，當(dāng)時，，，，故選項正確，當(dāng)時，，，故選項錯誤，當(dāng)時，，，故選項錯誤．故選：．【點評】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，以及恒成立問題，需要學(xué)生有較綜合的知識，屬于中檔題．三．同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系（共1小題）8．（2020?上海）“”是“”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件〖祥解〗容易看出，由可得出，而反之顯然不成立，從而可得出“”是“”的充分不必要條件．【解答】解：（1）若，則，““是““的充分條件；（2）若，則，得不出，“”不是“”的必要條件，“”是“”的充分非必要條件．故選：．【點評】本題考查了充分條件、必要條件和充分不必要條件的定義，，正弦函數(shù)的圖象，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．四．兩角和與差的三角函數(shù)（共2小題）9．（2024?上海）下列函數(shù)的最小正周期是的是A． B． C． D．〖祥解〗利用兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式，化簡選項表達(dá)式，求解函數(shù)的周期即可．【解答】解：對于，，則，滿足條件，所以正確．對于，，則，不滿足條件，所以不正確．對于，，函數(shù)是常函數(shù)，不存在最小正周期，不滿足條件，所以不正確．對于，，則，不滿足條件，所以不正確．故選：．【點評】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用，函數(shù)的周期的求法，是基礎(chǔ)題．10．（2022?上海）若，則．〖祥解〗由兩角和的正切公式直接求解即可．【解答】解：若，則．故答案為：．【點評】本題主要考查兩角和的正切公式，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．五．二倍角的三角函數(shù)（共2小題）11．（2023?上海）已知，則．〖祥解〗直接利用正切函數(shù)的二倍角公式求解．【解答】解：，．故答案為：．【點評】本題主要考查了二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．（2020?上海）已知，，則．〖祥解〗根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式，結(jié)合反三角公式即可得到結(jié)論．【解答】解：，，，，，故．故答案為：．【點評】本題主要考查函數(shù)值的計算，利用三角函數(shù)的倍角公式是解決本題的關(guān)鍵．一．選擇題（共12小題）1．（2024?靜安區(qū)二模）函數(shù)的最小正周期為A． B． C． D．〖祥解〗先利用輔助角公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式即可求解．【解答】解：因為，，根據(jù)周期公式可得．故選：．【點評】本題主要考查了輔助角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?寶山區(qū)三模）一個扇形的面積是1平方厘米，它的周長是4厘米，則它的圓心角是弧度A．2 B．3 C．4 D．5〖祥解〗結(jié)合扇形面積公式及弧長公式可求，，然后結(jié)合扇形圓心角公式可求．【解答】解：設(shè)扇形半徑，弧長，則，解得，，所以圓心角為．故選：．【點評】本題主要考查了扇形面積公式及弧長公式，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024?崇明區(qū)二模）設(shè)函數(shù)，若對于任意，在區(qū)間，上總存在唯一確定的，使得，則的最小值為A． B． C． D．〖祥解〗由三角函數(shù)圖象的單調(diào)性得：因為，，，所以，所以，，即，，由三角函數(shù)的最值得：在區(qū)間，上總存在唯一確定的，使得，則在區(qū)間，上總存在唯一確定的，使得，，由函數(shù)在，為增函數(shù)，值域為：，，又，即，故的最小值為：，得解．【解答】解：因為，，，所以，所以，，即，，由在區(qū)間，上總存在唯一確定的，使得，則在區(qū)間，上總存在唯一確定的，使得，，由函數(shù)在，為增函數(shù)，值域為：，，又，即，故的最小值為：，故選：．【點評】本題考查了三角函數(shù)圖象的單調(diào)性，三角函數(shù)的最值，屬中檔題．4．（2024?黃浦區(qū)二模）函數(shù)是A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的偶函數(shù) C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)〖祥解〗利用二倍角公式、誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的奇偶性和周期性，得出結(jié)論．【解答】解：函數(shù)，故該函數(shù)的為奇函數(shù)，且最小正周期為，故選：．【點評】本題主要考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?黃浦區(qū)校級模擬）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點A．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），再向右平行移動個單位長度 B．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動個單位長度 C．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），再向左平行移動個單位長度 D．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動個單位長度〖祥解〗直接利用三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換求出結(jié)果．【解答】解：要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到的圖象，再向右平行移動個單位長度得到的圖象．故選：．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換，主要考查學(xué)生運算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024?閔行區(qū)三模）對于函數(shù)，給出下列結(jié)論：（1）函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱；（2）函數(shù)在區(qū)間上的值域為；（3）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖像；（4）曲線在處的切線的斜率為1．則所有正確的結(jié)論是A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3）〖祥解〗由三角恒等變化得，對于（1），驗證是否成立即可；對于（2），由三角函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的值域即可；對于（3），由函數(shù)的平移及誘導(dǎo)公式即可判斷；對于（4），驗證即可．【解答】解：因為，（1）因為，所以函數(shù)的圖像不關(guān)于點對稱，故錯誤；（2）當(dāng)，時，，，所以，，故正確；（3）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得，故錯誤；（4）因為，所以，所以，即曲線在處的切線的斜率為1，故正確．故說法正確的有（2）、（4）．故選：．【點評】本題考查了三角恒等變化、三角函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．7．（2024?閔行區(qū)二模）已知，集合，，，，，，，，．關(guān)于下列兩個命題的判斷，說法正確的是命題①：集合表示的平面圖形是中心對稱圖形命題②：集合表示的平面圖形的面積不大于A．①真命題；②假命題 B．①假命題；②真命題 C．①真命題；②真命題 D．①假命題；②假命題〖祥解〗根據(jù)函數(shù)的奇偶性、判斷命題①，再結(jié)合對稱性計算陰影部分的面積判斷命題②．【解答】解：對于①，，集合，顯然該函數(shù)為奇函數(shù)，所以，都是奇函數(shù)，則曲線必關(guān)于對稱，即集合表示的平面圖形是中心對稱圖形，①正確；對于②，如圖：陰影部分是由與圍成的正方形的一半，故面積為，②錯誤．故選：．【點評】本題考查三角函數(shù)的奇偶性與對稱性，屬于中檔題．8．（2024?虹口區(qū)二模）設(shè)，將函數(shù)的圖像沿軸向右平移個單位，得到函數(shù)的圖像，則A．函數(shù)是偶函數(shù) B．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱 C．函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù) D．函數(shù)在上的值域為〖祥解〗先確定的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可．【解答】解：，把函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則，是奇函數(shù)，項錯誤；當(dāng)，即，其圖象關(guān)于直線對稱，項錯誤；當(dāng)，即，是減函數(shù)，故在為減函數(shù)，項錯誤，時，，函數(shù)的值域為，，故選項正確．故選：．【點評】本題考查了三角函數(shù)圖象的平移、三角函數(shù)圖象的性質(zhì)及三角函數(shù)的值域，屬于中檔題．9．（2024?浦東新區(qū)校級四模）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線，若關(guān)于軸對稱，則的最小值是A． B． C． D．〖祥解〗由題意，利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得的最小值．【解答】解：將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線，則對應(yīng)函數(shù)為，的圖象關(guān)于軸對稱，，，即，，則令，可得的最小值是，故選：．【點評】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．10．（2024?嘉定區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，，的部分圖像如圖所示，且的圖像關(guān)于點中心對稱，則A．4 B．3 C．2 D．0〖祥解〗根據(jù)函數(shù)圖像的最低點及對稱中心的位置得到，的值，根據(jù)點得出的值，由五點作圖法可得，即可得出答案．【解答】解：由圖可知，，又因為過點，所以，解得，又因為，且在的一個減區(qū)間上，所以，根據(jù)五點作圖法可知，，解得，，．故選：．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．11．（2024?徐匯區(qū)模擬）已知函數(shù)，其中，實數(shù)，下列選項中正確的是A．若，函數(shù)關(guān)于直線對稱 B．若，函數(shù)在，上是增函數(shù) C．若函數(shù)在，上最大值為1，則 D．若，則函數(shù)的最小正周期是〖祥解〗求出即可判斷選項；由正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得關(guān)于的不等式，從而可求出的取值范圍，即可判斷；判斷，即可判斷．【解答】解：對于，若，則，，不是最值，所以不關(guān)于直線對稱，故錯誤；對于，若，則，當(dāng)，時，，，因為正弦函數(shù)在，上不單調(diào)，所以函數(shù)在，上不是增函數(shù)，故錯誤；對于，，，則，，因為函數(shù)在，上最大值為1，所以，解得，故正確；對于，若，函數(shù)，因為，所以函數(shù)的最小正周期不是，故錯誤．故選：．【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．12．（2024?閔行區(qū)校級二模）已知實數(shù)，，且滿足，則下列關(guān)系式成立的是A． B． C． D．〖祥解〗根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)得到，在根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷，正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷，不等式的性質(zhì)判斷，冪函數(shù)的性質(zhì)判斷．【解答】解：在上單調(diào)遞減，又，，，，又，，，對于：因為在定義域上單調(diào)遞增，所以，故錯誤；對于：因為在上單調(diào)遞增，所以，故錯誤；對于：因為，所以，故正確；對于：因為在定義域上單調(diào)遞增，所以，故錯誤；故選：．【點評】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，冪函數(shù)的性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．二．填空題（共33小題）13．（2024?閔行區(qū)校級三模）函數(shù)的最小正周期為．〖祥解〗由已知結(jié)合正切函數(shù)的周期公式即可求解．【解答】解：根據(jù)正切函數(shù)的周期公式可知，．故答案為：．【點評】本題主要考查了正切函數(shù)周期公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．（2024?嘉定區(qū)校級模擬）若，則的值是．〖祥解〗由已知直接利用誘導(dǎo)公式求解．【解答】解：由，得，則．故答案為：．【點評】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．15．（2024?楊浦區(qū)二模）已知，則．〖祥解〗把所求的式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化為關(guān)于的式子，將的值代入即可求出值．【解答】解：因為，所以．故答案為：．【點評】通常，在高考題中，三角函數(shù)多會以解答題的形式出現(xiàn)在第一個解答題的位置，是基礎(chǔ)分值的題目，學(xué)生在解答三角函數(shù)問題時，往往會出現(xiàn)，會而不對的狀況．所以，在平時練習(xí)時，既要熟練掌握相關(guān)知識點，又要在解答時考慮更為全面．這樣才能熟練駕馭三角函數(shù)題．16．（2024?虹口區(qū)二模）若，則．〖祥解〗根據(jù)二倍角公式求解即可．【解答】解：因為，所以．故選：．【點評】本題考查了二倍角公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．17．（2024?奉賢區(qū)三模）函數(shù)的最小正周期為．〖祥解〗先利用輔助角公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式即可求解．【解答】解：，其中，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)的最小正周期為．故答案為：．【點評】本題主要考查了輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?閔行區(qū)二模）始邊與軸的正半軸重合的角的終邊過點，則．〖祥解〗結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及任意角的三角函數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：始邊與軸的正半軸重合的角的終邊過點，則，故．故答案為：．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?寶山區(qū)二模）已知，則．〖祥解〗由已知結(jié)合兩角差的正切公式進(jìn)行化簡即可求解．【解答】解：因為，所以．故答案為：．【點評】本題主要考查了兩角差的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?松江區(qū)二模）已知點的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)至，則點的坐標(biāo)為，．〖祥解〗由題意可求，，利用任意角的三角函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：因為點的坐標(biāo)為，即，所以，可得，，所以點的坐標(biāo)為，．故答案為：，．【點評】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查三角函數(shù)的定義，比較基礎(chǔ)．21．（2024?閔行區(qū)校級二模）已知，且，則．〖祥解〗根據(jù)誘導(dǎo)公式結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)分析求解．【解答】解：因為，且，可知，又因為，且，結(jié)合在內(nèi)單調(diào)遞減，可得．故答案為：．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．22．（2024?虹口區(qū)模擬）若，則．〖祥解〗由題意利用二倍角的正切公式即可求解．【解答】解：因為，所以．故答案為：．【點評】本題主要考查了二倍角的正切公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．23．（2024?楊浦區(qū)校級三模）已知，則．〖祥解〗根據(jù)兩角和的正切公式可求出結(jié)果．【解答】解：因為，所以．故答案為：．【點評】本題主要考查了兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．24．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）若，則．〖祥解〗由已知利用二倍角公式化簡所求即可計算得解．【解答】解：，．故答案為：．【點評】本題主要考查了二倍角公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．25．（2024?普陀區(qū)校級三模）函數(shù)，，設(shè)為的最小正周期，若，則．〖祥解〗由，代入函數(shù)解析式中，結(jié)合，可得的值．【解答】解：函數(shù)，，最小正周期，由，，又，可得．故答案為：．【點評】本題主要考查了正弦函數(shù)周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．26．（2024?青浦區(qū)校級模擬）函數(shù)的最小正周期為．〖祥解〗利用正弦型函數(shù)的周期公式以及絕對值函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的最小正周期．【解答】解：因為的最小正周期為，所以的最小正周期為．故答案為：．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)圖象的變換及周期的求解，屬于基礎(chǔ)題．27．（2024?浦東新區(qū)校級四模）已知，，則．〖祥解〗由已知結(jié)合半角公式進(jìn)行化簡即可求解．【解答】解：因為，，所以，，則．故答案為：．【點評】本題主要考查了半角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．28．（2024?黃浦區(qū)校級三模）函數(shù)的部分圖象如圖，下列結(jié)論正確的序號是②③．①的最小正周期為6；②；③的圖象的對稱中心為；④的一個單調(diào)遞減區(qū)間為．〖祥解〗首先根據(jù)圖象信息，找出周期，從而得出，進(jìn)而求出，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由圖可得，所以①錯誤；因為，所以．因為點在的圖象上，所以即．因為，所以，所以，所以②正確；令得，所以的圖象的對稱中心為，所以③正確；令得，令得，令得，所以，，所以④錯誤．綜上，正確的序號是②③．故答案為：②③．【點評】本題以三角函數(shù)為背景，考查正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．29．（2024?松江區(qū)校級模擬）已知點的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)至，則點的坐標(biāo)為，．〖祥解〗結(jié)合三角函數(shù)的定義可先求出經(jīng)過點的角的三角函數(shù)值，然后結(jié)合兩角和的正弦及余弦公式及三角函數(shù)定義可求．【解答】解；設(shè)點的坐標(biāo)，則，設(shè)為終邊上的一點，則，，則，，即，，故點的坐標(biāo)為，．故答案為：，．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的定義及兩角和的正弦及余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．30．（2024?黃浦區(qū)校級三模）若，，則．〖祥解〗利用同角三角函數(shù)關(guān)系得，再結(jié)合誘導(dǎo)公式即可得到答案．【解答】解：，，，．故答案為：．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題．31．（2024?黃浦區(qū)校級三模）函數(shù)，的零點是．〖祥解〗直接利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出結(jié)果．【解答】解：由于，當(dāng)時，，故函數(shù)的零點為．故答案為：．【點評】本題考查的知識點：余弦函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點和方程的根的關(guān)系，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．32．（2024?普陀區(qū)模擬）若，則〖祥解〗由題意利用誘導(dǎo)公式，求得所給式子的值．【解答】解：，則，故答案為：．【點評】本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．33．（2024?虹口區(qū)二模）已知集合，，則．〖祥解〗先確定集合，再根據(jù)集合運算的定義即可得．【解答】解：，，，，，，則．故答案為：．【點評】本題考查集合的運算，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．34．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知，則．〖祥解〗由已知結(jié)合同角基本關(guān)系即可求解．【解答】解：因為，所以，則．故答案為：【點評】本題主要考查了同角基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．35．（2024?楊浦區(qū)校級三模）函數(shù)的最小正周期是．〖祥解〗把函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后求出它的最小正周期．【解答】解：函數(shù)，它的最小正周期是：．故答案為：．【點評】本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．36．（2024?普陀區(qū)校級模擬）將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，再將其圖象上的所有點向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則的值可以為（答案不唯一）．（寫出一個符合要求的答案即可）〖祥解〗由正弦型函數(shù)的平移與伸縮變換可得變換后的函數(shù)為，再利用正弦型函數(shù)的對稱性求的值即可．【解答】解：將正弦函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫?，再將其圖象上的所有點向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，又函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則，，即，，故的值可以為（答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象變化的應(yīng)用，屬于中檔題．37．（2024?黃浦區(qū)二模）如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實線部分（它由線段，與分別以，為直徑的半圓弧組成）表示一條步道．其中的點，是線段上的動點，點為線段，的中點，點，在以為直徑的半圓弧上，且，均為直角．若百米，則此步道的最大長度為百米．〖祥解〗因為步道的長度是兩個半圓周長兩條線段長，設(shè)半圓直徑為，求出兩條線段的長，即可計算步道的長，再求最大值即可．【解答】解：根據(jù)題意知，步道的長度為兩個半圓周長兩條線段長，設(shè)半圓直徑為，，連接，因為，所以，所以步道長為，．設(shè)，，則，所以，，因為，，所以當(dāng)時，取得最大值．故答案為：．【點評】本題考查了直線與圓的應(yīng)用問題，也考查了解三角形的應(yīng)用問題，是中檔題．38．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知函數(shù)在上恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為．〖祥解〗令，對應(yīng)正弦函數(shù)的零點問題即可得．【解答】解：令，，，，在上恰有兩個零點，故，，即實數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．39．（2024?嘉定區(qū)二模）已知，則函數(shù)的最小值為．〖祥解〗，可求的范圍，然后結(jié)合同角基本關(guān)系對已知函數(shù)進(jìn)行化簡，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【解答】解：因為，令，因為，所以，所以，故，由可得，，則，原函數(shù)可化為，因為在，上單調(diào)遞增，故時，取得最大值，此時取得最小值．故答案為：．【點評】本題主要考查了同角基本關(guān)系，輔助角公式的應(yīng)用，還考查了函數(shù)單調(diào)性在函數(shù)最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．40．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）若對于任意自然數(shù)，函數(shù)在每個閉區(qū)間，上均有兩個零點，則正實數(shù)的最小值是．〖祥解〗作出函數(shù)圖象，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)算出函數(shù)與原點距離最近的交點坐標(biāo)，結(jié)合題意算出正實數(shù)滿足的條件，從而得出答案．【解答】解：作出函數(shù)的圖象，觀察可得：函數(shù)在正數(shù)范圍內(nèi)的最小零點滿足，解得，函數(shù)在負(fù)數(shù)范圍內(nèi)的最大零點滿足，解得，因為在每個閉區(qū)間，上均有兩個零點，所以且，解得，可知正實數(shù)的最小值是．故答案為：．【點評】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的零點及其應(yīng)用等知識，屬于中檔題．41．（2024?嘉定區(qū)校級模擬）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則．〖祥解〗結(jié)合正弦型函數(shù)圖象的對稱性與割補法，可知陰影部分是一個長為2，寬為的矩形，從而可得，根據(jù)求得的值，再代入點，，即可得解．【解答】解：根據(jù)正弦型函數(shù)圖象的對稱性可知，陰影部分是一個長為2，寬為的矩形，所以，即，所以，即，所以，，將點，代入的解析中，有，則，，所以，，因為，所以．故答案為：．【點評】本題考查三角函數(shù)的圖形與性質(zhì)，熟練掌握正弦函數(shù)的對稱性，理解，的幾何意義是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．42．（2024?長寧區(qū)校級三模）若函數(shù)的一個零點是，則函數(shù)的最大值為2．〖祥解〗由兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：函數(shù)的一個零點是，則，即，即，則，，則函數(shù)的最大值為2．故答案為：2．【點評】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)，重點考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題．43．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知函數(shù)．則函數(shù)的值域為，．〖祥解〗首先利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的值域．【解答】解：因為，所以，所以，所以，函數(shù)的值域為，．故答案為：，．【點評】本題考查的知識點：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．44．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知，若函數(shù)的最大值為2，則．〖祥解〗由輔助角公式得函數(shù)最大值，進(jìn)而列方程即可求解．【解答】解：由題意，其中，所以，因為，所以．故答案為：．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．45．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）記函數(shù)在上的最大值為，最小值為，則當(dāng)時，的最小值為．〖祥解〗求出函數(shù)的最小正周期，得到為最小正周期的，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)關(guān)于的某條對稱軸對稱時取得最小值，不妨令，得到，，，得到答案．【解答】解：的最小正周期，由于，為最小正周期的，要想取得最小值，則在上不單調(diào)，由對稱性可知，當(dāng)關(guān)于的某條對稱軸對稱時，取得最小值，其