2024-2025學年新教材高中數(shù)學第8章立體幾何初步8.6.3第1課時平面與平面垂直的判定素養(yǎng)作業(yè)提技能含解析新人教A版必修第二冊

PAGE第八章8.68.6.3第1課時A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．已知直線l⊥平面α，則經(jīng)過l且和α垂直的平面(C)A．有1個 B．有2個C．有多數(shù)個 D．不存在[解析]經(jīng)過l的平面都與α垂直，而經(jīng)過l的平面有多數(shù)個，故選C．2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于(CA．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2) D．eq\r(3)[解析]如圖所示，連接AC交BD于O，連接A1O，∠A1OA為二面角A1－BD－A的平面角.設A1A＝a，則AO＝eq\f(\r(2),2)a，所以tan∠A1OA＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2).3．在棱長都相等的四面體P－ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，則下面四個結論中不成立的是(C)A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC[解析]可畫出對應圖形，如圖所示，則BC∥DF，又DF?平面PDF，BC?平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故B成立；又DF?平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立.4．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為A1C1上的點，則下列直線中肯定與CE垂直的是(A．AC B．BDC．A1D1 D．A1[解析]在正方體中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD.又正方形ABCD中，BD⊥AC，且AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1C∵E∈A1C1，∴E∈平面AA1∴CE?平面AA1C1C，∴BD5．(多選)在四棱錐P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為矩形，則下列結論中正確的是(ABD)A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD[解析]對于A選項，AB⊥PA，AB⊥AD，且PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD；對于B選項，由BC⊥AB，BC⊥PA，且AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，又BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB；對于D選項，CD⊥AD，CD⊥PA，且PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，又CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.二、填空題6．假如規(guī)定：x＝y(tǒng)，y＝z，則x＝z，叫做x，y，z關于相等關系具有傳遞性，那么空間三個平面α，β，γ關于相交、垂直、平行這三種關系中具有傳遞性的是__平行__.[解析]由平面與平面的位置關系及兩個平面平行、垂直的定義、判定定理，知平面平行具有傳遞性，相交、垂直都不具有傳遞性.7．在三棱錐P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右圖所示，則在三棱錐P－ABC的四個面中，相互垂直的面有__3__對.[解析]∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，∵PA?平面PAB，PA?平面PAC，∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可證：平面PAB⊥平面PAC.8．在三棱錐S－ABC中，AC⊥平面SBC，已知SC＝a，BC＝eq\r(3)a，SB＝2a，則二面角S－AC－B的大小為__90°__.[解析]因為AC⊥平面SBC，SC，BC?平面SBC，∴AC⊥SC，AC⊥BC，∴二面角S－AC－B的平面角為∠SCB.又SC＝a，BC＝eq\r(3)a，SB＝2a，所以SB2＝SC2＋BC2，故△SCB為直角三角形，∴∠SCB＝90°.三、解答題9．如圖所示，△ABC為正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中點.(1)求證：DE＝DA；(2)求證：平面BDM⊥平面ECA.[解析](1)取EC的中點F，連接DF.∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，EF＝eq\f(1,2)CE＝DB，DF＝BC＝AB，∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故DE＝DA.(2)取AC的中點N，連接MN、BN，則MNCF.∵BDCF，∴MNBD，∴N∈平面BDM.∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又∵AC⊥BN，EC∩AC＝C，∴BN⊥平面ECA.又∵BN?平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.10．(2024·河北衡水中學高一聯(lián)考)如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，DC＝PC＝2，PA＝AB＝BC＝1．(1)證明：平面PAB⊥平面PBC.(2)求四棱錐P－ABCD的體積.[解析](1)證明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得PB＝eq\r(3).因為PC＝2，BC＝1，所以PB2＋BC2＝PC2，即BC⊥PB.因為∠ABC＝90°，所以BC⊥AB.因為PB∩AB＝B，PB?平面PAB，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又BC?平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.(2)在平面PAB內(nèi)，過點P作PE⊥AB，交BA的延長線于點E，如圖所示.由(1)知BC⊥平面PAB，所以BC⊥PE.因為AB∩BC＝B，所以PE⊥平面ABCD.因為在Rt△PEA中，PA＝1，∠PAE＝60°，所以PE＝eq\f(\r(3),2).因為四邊形ABCD是直角梯形，所以四棱錐P－ABCD的體積為VP－ABCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4).B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．下列命題中正確的是(C)A．若平面α和β分別過兩條相互垂直的直線，則α⊥βB．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條平行直線，則α⊥βC．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α⊥βD．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的多數(shù)條直線，則α⊥β[解析]當平面α和β分別過兩條相互垂直且異面的直線時，平面α和β有可能平行，故A錯；由直線與平面垂直的判定定理知，B、D錯，C正確.2．(2024·大連海灣高級中學高一檢測)已知m，n是兩條不重合的直線，α，β是不重合的平面，下面四個結論中正確的是(D)A．若m?α，n?β，m⊥n，則α⊥βB．若m∥α，m⊥n，則n⊥αC．若m⊥n，m⊥β，則n∥βD．若m⊥α，m∥n，n⊥β，則α∥β[解析]A中，m⊥n可得α與β相交，故A錯；B中，m∥α，m⊥n，可得n⊥α或n?α，故B錯；C中，m⊥n，m⊥β，則n∥β或n?β，故C錯；D中，m⊥α，m∥n，n⊥β，則α∥β，故D正確.3．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，則二面角α－l－β的平面角的大小為(D)A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°[解析]如圖，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l(xiāng)⊥平面ABC，設平面ABC∩l＝D，則∠ADB為二面角α－l－β的平面角或補角，∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小為60°或120°.4．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，G是EF的中點，現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B、C、D三點重合，重合后的點記為H，那么，在這個空間圖形中必有(A)A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面[解析]由平面圖得：AH⊥HE，AH⊥HF，∴AH⊥平面HEF，∴選A．二、填空題5．在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝2eq\r(3)，則二面角P－AB－C的大小為__60°__.[解析]取AB中點M，連接PM，MC，則PM⊥AB，CM⊥AB，∴∠PMC就是二面角P－AB－C的平面角.在△PAB中，PM＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，同理MC＝1，則△PMC是等邊三角形，∴∠PMC＝60°.6．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿意__BM⊥PC(其他合理即可)__時，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填寫一個你認為正確的條件即可)[解析]∵四邊形ABCD的邊長相等，∴四邊形ABCD為菱形.∵AC⊥BD，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.若PC⊥平面BMD，則PC垂直于平面BMD中兩條相交直線.∴當BM⊥PC時，PC⊥平面BDM.∴平面PCD⊥平面BDM.三、解答題7．如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中點.證明：平面ABM⊥平面A1B1[解析]由長方體的性質(zhì)可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM?平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1＝2，M為CC1的中點，所以C1M＝CM＝1在Rt△B1C1M中，B1M＝eq\r(B1C\o\al(2,1)＋MC\o\al(2,1))＝eq\r(2)，同理BM＝eq\r(BC2＋CM2)＝eq\r(2)，又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B從而BM⊥B1M又A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平面A1B1因為BM?平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M8．(2024·全國卷Ⅰ文，19)如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(1)證明：MN∥平面C1DE；(2)求點C到平面C1DE的距離.[解析](1)證明：連接B1C，ME.因為M，E分別為BB1，BC的中點，所以ME∥B1C，且ME＝eq\f(1,2)B1C.又因為N為A1D的中點，所以ND＝eq\f(1,2)A1D.由題設知A1B1DC，可得B1CA1D，故ME