學生學習試卷

第頁廣東僑中2024學年第一學期高二級數(shù)學科期中考試題（港澳班）命題人：李小琪審題人：譚景文一、選擇題：本大題共12小題，每小題四個選項中只有一個正確選項，每小題5分．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式化簡集合，再利用交集的定義求解即得.【詳解】解不等式，得，即，解得，則，解不等式，得，，所以.故選：A2.復數(shù)的模為（）A.1 B.2 C. D.5【答案】A【解析】【分析】利用復數(shù)的四則運算化簡復數(shù)，再利用復數(shù)的模長公式即可得解.【詳解】所以復數(shù)的模為1，故選：A3.已知直線：，直線：，則命題：是命題：的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求解.【詳解】由可得：，解得：或，當時，兩直線重合，不合題意，當時，兩直線平行.故選：C.4.若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式即得.【詳解】由，得，而，解得或，所以的取值范圍是.故選：D5.函數(shù)的反函數(shù)是（）A. B.C. D.（）【答案】A【解析】【分析】把y看作常數(shù)，解方程求出，x，y互換，得到即可得解.【詳解】因為，所以，所以，即x，y互換，得：，.故選：A6.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則有，則；故選：．7.正三棱柱各棱長均為，為的中點，那么四面體的體積（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意畫出圖，然后表示出四面體的體積，再計算即可求得.【詳解】如圖所示，為正三棱柱，且棱長均為底面為正三角形，側(cè)面為正方形，則故選：D.8.在一個盒子中有3個紅球和2個黑球，這5個球除顏色外沒有其他差異.現(xiàn)從中依次不放回地隨機抽取出2個球.則兩次取到的球顏色相同的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)3個紅球為A,B,C,2個黑球為,分別列出試驗的樣本空間和所求事件含的基本事件，利用古典概型概率公式計算即得.【詳解】設(shè)3個紅球為A,B,C,2個黑球為.因為試驗為“從中依次不放回地隨機抽取出2個球”，故試驗的樣本空間為：，記“兩次取到的球顏色相同”,則，由古典概型概率公式，可得.故選：B.9.已知直線，若直線與連接、兩點的線段總有公共點，則直線的斜率的范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直線所過定點的坐標，數(shù)形結(jié)合求出直線的斜率的取值范圍.【詳解】直線的方程化為，由，解得，因此直線過定點，線的斜率，直線的斜率，如下圖所示，由直線與線段總有公共點，得直線的斜率有或，又直線的斜率，所以直線的斜率的范圍為.故選：A10.若直線與曲線有公共點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】畫出曲線和直線圖形，利用圓和直線的位置關(guān)系再由點到直線的距離即可求得的取值范圍.【詳解】將曲線整理可得,因此曲線表示的是以2,3為圓心，半徑為2的下半圓，若直線與曲線有公共點，如下圖所示：當直線在直線的位置，即時，直線與曲線有一個公共點；當直線在直線的位置，即直線與曲線相切，此時，解得，（舍）；只有直線位于兩直線之間時，滿足題意，即.故選：A11.圓關(guān)于直線對稱，則實數(shù)（）A.1 B.-3 C.1或-3 D.-1或3【答案】B【解析】【分析】求出圓心坐標，代入直線方程即可求解.【詳解】的圓心坐標為，因為圓關(guān)于直線對稱，所以圓心在直線上，也即，解得：或.當時，可得：，符合圓的方程；當時，可得：，配方可得：，舍去.故選：B12.古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點、的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，.點滿足，設(shè)點所構(gòu)成的曲線為，下列結(jié)論不正確的是（）A.的方程為B.在上存在點，使得到點的距離為3C.在上存在點，使得D.上的點到直線的最小距離為1【答案】C【解析】【分析】對A：設(shè)點Px,y，由兩點的距離公式代入化簡判斷；對B：根據(jù)兩點間的距離公式求得點到圓上的點的距離的取值范圍，由此分析判斷；對C：設(shè)點Mx,y，求點M的軌跡方程，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系分析判斷；對D：結(jié)合點到直線的距離公式求得C上的點到直線的最大距離，由此分析判斷.【詳解】對A：設(shè)點Px,y∵，則，整理得，故C的方程為，故A正確；對B：的圓心，半徑為，∵點到圓心的距離，則圓上一點到點的距離的取值范圍為，而，故在C上存在點D，使得D到點的距離為9，故B正確；對C：設(shè)點Mx,y∵，則，整理得，∴點M的軌跡方程為，是以為圓心，半徑的圓，又，則兩圓內(nèi)含，沒有公共點，∴在C上不存在點M，使得，C不正確；對D：∵圓心到直線的距離為，∴C上的點到直線的最小距離為，故D正確；故選：C.【點睛】思路點睛：利用點與圓的位置關(guān)系來判定B，利用圓與圓的位置關(guān)系來判定C，結(jié)合數(shù)形思想即可.二、填空題：本大題共6題，每小題5分．13.已知點A（1，2）在圓C：外，則實數(shù)m的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】由表示圓可得，點A（1，2）在圓C外可得，求解即可.【詳解】由題意，表示圓，故，即或，點A（1，2）圓C：外，故，即故實數(shù)m的取值范圍為或，故答案為：.14.直線上的一點，到與的距離之差的絕對值的最大值為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)點關(guān)于的對稱點的坐標為，根據(jù)兩點關(guān)于直線對稱求出點的坐標，數(shù)形結(jié)合可知當、、三點共線時，取最大值，即可得解.【詳解】設(shè)點關(guān)于的對稱點的坐標為，連接，則，即，所以①．因為的中點在直線上，所以，即②．由①②得，所以點的坐標為．又，當且僅當、、三點共線時，取最大值.故的最大值為.故答案為：.15.直線與圓C：相交所形成的弦中長度最短的弦長為______【答案】2【解析】【分析】求出直線所過定點，再利用圓的性質(zhì)求出最短弦長.【詳解】直線恒過定點，而圓的圓心，半徑，，即點在圓內(nèi)，當且僅當時，直線被圓截得弦長最短，所以所求最短弦長為.故答案為：216.如圖是一個古典概型的樣本空間和事件和事件，其中，，，，那么_______【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求得事件的樣本點，結(jié)合古典概型的概率計算公式，求解即可.【詳解】由題可知，.故答案為：.17.已知，從點射出的光線經(jīng)x軸反射到直線上，又經(jīng)過直線反射回到時點，則光線所經(jīng)過的路程為_____．【答案】【解析】【分析】求出關(guān)于軸對稱點坐標，再求得關(guān)于直線的對稱點坐標，線段的長即為所求路程．【詳解】直線的方程為：點關(guān)于軸的對稱點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點，則，，解得，．，光線所經(jīng)過的路程．故答案為：．18.在空間直角坐標系中，已知向量，點，點，若平面經(jīng)過點，且以為法向量，是平面內(nèi)的任意一點，則平面的方程為：.由以上的理論，已知一平面和直線垂直，為其垂足，若，平面的方程式是_________【答案】【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)，可求得平面的法向量，注意到點在平面內(nèi)，即可由平面方程得到答案.【詳解】由題意可知：平面的法向量為，點在平面內(nèi)，根據(jù)平面的方程公式可得：，化簡得：.故答案為：.三、解答題：本大題共4小題，每題15分，共60分19.直線l經(jīng)過兩直線：和：的交點.（1）若直線l與直線垂直，求直線l的方程；（2）若點到直線l的距離為5，求直線l的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）聯(lián)立方程組，求得兩直線的交點坐標，利用垂直關(guān)系求得斜率，結(jié)合點斜式方程，即可求解；（2）分直線的斜率存在與不存在，結(jié)合點到直線的距離公式求得斜率，利用點斜式方程，即可求解.【小問1詳解】解：聯(lián)立方程組，解得交點，又直線與直線垂直，所以直線的斜率為，則直線的方程為，即.【小問2詳解】當直線斜率不存在時，直線的方程為，滿足點到直線的距離為5；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，則點到直線的距離為，求得，故直線方程為，即，綜上可得，直線的方程為或.20.已知圓心為C的圓經(jīng)過點和點兩點，且圓心C在直線上．（1）求圓C的標準方程；（2）已知線段MN的端點M的坐標，另一端點N在圓C上運動，求線段MN的中點G的軌跡方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圓心為C的圓經(jīng)過點和點兩點，可知圓心過線段的垂直平分線，將其與直線聯(lián)立可求得圓心C，再求半徑，即可得到圓的標準方程；（2）設(shè)線段MN的中點，由G為線段MN的中點可得，代入圓C的方程，即可得到G的軌跡方程.【小問1詳解】因為圓C經(jīng)過點和點兩點，所以圓心C在線段的垂直平分線上，即上，聯(lián)立可解得，即，所以圓C的半徑為則圓C的標準方程；【小問2詳解】設(shè)線段MN的中點，又M的坐標，且G為線段MN的中點，所以，又N在圓C上運動，可得，化簡可得，所以，線段MN的中點G的軌跡方程.21.質(zhì)量監(jiān)督局檢測某種產(chǎn)品三個質(zhì)量指標，用綜合指標核定該產(chǎn)品的等級.若，則核定該產(chǎn)品為一等品.現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中，隨機抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標列表如下：產(chǎn)品編號質(zhì)量指標（）產(chǎn)品編號質(zhì)量指標（）（1）利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率；（2）在該樣品的一等品中，隨機抽取2件產(chǎn)品，設(shè)事件為“在取出的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標均滿足”，求事件的概率.【答案】（1）0.6；（2）.【解析】【分析】（1）分別計算10件產(chǎn)品的綜合指標，找出滿足條件的件數(shù)，除以總的10件，即可估計總的一等品率；（2）寫出所有的基本事件并得其種數(shù)，找出滿足條件綜合指標均有的基本事件數(shù)，由古典概型概率計算公式求得答案.【詳解】（1）計算10件產(chǎn)品的綜合指標，如下表：產(chǎn)品編號4565656634其中的有共6件，故該樣本的一等品率為，從而估計該批產(chǎn)品的一等品率為0.6.（2）在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為：共15種.在該樣本的一等品中，綜合指標均滿足的產(chǎn)品編號分別為，則事件發(fā)生的所有可能結(jié)果為共3種，所以.【點睛】本題考查用樣本的概率估計總體概率，還考查了古典概型問題求概率，屬于簡單題.22.在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架，的邊長都是1，且它們所在平面互相垂直，活動彈子分別在正方形對角線和上移動，且和的長度保持相等，記，活動彈子在上移動.（1）求證：直線平面；（2）為上的點，求與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）證明見解析.（2）.【解析】【分析】（1）在平面內(nèi)，過點作，交于點，連接.由已知可證明.進而根據(jù)線面平行以及面面平行的判定定理得出平面平面.然后即可根據(jù)面面平行的性質(zhì)，得出證明；（2）以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，設(shè)，，求出，以及平面