數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：平面向量基本定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點剖析一、基底（1）基底的特征：①兩個向量，②不共線.(2）就像平面上可選取不同的坐標系一樣,同一平面可以有不同的基底。因此，要表示一個向量時基底不唯一，但是基底給定時,向量的表示法唯一，即若a=λ1e1+λ2e2=λ1′e1+λ2′e2,則λ1=λ1′且λ2=λ2′.(3)由定理可將任一向量a在給出基底e1、e2的條件下進行分解?！纠?】下面三種說法：①一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底;②一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底;③零向量不可作為基底中的向量，其中正確的說法是（）A。①②B.②③C.①③D.①②③解析：平面內(nèi)向量的基底不唯一。在同一平面內(nèi)任何一組不共線的向量都可作為平面內(nèi)所有向量的一組基底；而零向量可看成與任何向量平行，故零向量不可作為基底中的向量.綜上所述,②③正確.答案：B各個擊破類題演練1設(shè)點O是ABCD兩對角線交點，下列向量組：①與；②與；③與;④與?？勺鳛樵撈矫嫫渌蛄炕椎氖牵?A.①②B.①③C.①④D。③④解析:①與不共線；②=—,∥，與共線；③與不共線;④=-,∥，與共線。由平面向量基底的概念知①③可構(gòu)成平面內(nèi)所有向量的基底。答案：B變式提升1e1、e2是平面內(nèi)的一組基底,則下面四組向量中，不能作為一組基底的是（）A.e1和e1+e2B.e1-2e2和e2—2e1C。e1-2e2和4e2—2e1D.e1+e2和e1-e2解析:∵4e2-2e1=—2（e1—2e2），∴e1—2e2與4e2-2e1共線,不能作為基底.∴選C.答案：C二、平面向量基本定理及其應(yīng)用關(guān)于定理的說明：（1)e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量；(2）平面內(nèi)的任一向量都可用e1、e2線性表示，且這種表示是唯一的；（3）對于基底的選取不唯一，只要是同一平面內(nèi)的不共線向量都可作為基底；(4)當(dāng)平面內(nèi)取定一組基底a0、b0后，任一向量m都被a0、b0唯一確定，其含義是存在唯一實數(shù)對(λ1，λ2),使m=λ1a0+λ2b0。若還有m=λ1′a0+λ2′b0.則必有λ1=λ1′且λ2=λ2【例2】用向量法證明三角形的三條中線交于一點。思路分析：解決本題有兩個關(guān)鍵點：一是由題意證明三線交于一點，需先明確要用同一法;二是利用向量證明兩點重合的方法是構(gòu)造以同一點為起點,這兩點為終點的兩向量相等，從而得這兩點重合。證明:設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、AC、AB的中點,令=a,=b為基底，則=a-b,=a-b，=—a+b,設(shè)AD與BE交于點G1，且=λ,=μ，則有=λa-b，=-a+μb。又有=+=(1—）a+(μ—1）b,∴解得λ=μ=,∴=,再設(shè)與交于G2，同理求得=，∴G1點、G2點重合，即AD、BE、CF交于一點.∴三角形三條中線交于一點。溫馨提示平面向量基本定理是向量法的理論基礎(chǔ)，這個定理揭示了平面向量是由平面內(nèi)兩個不共線向量“生成”的，或者說，任一平面向量均可用平面內(nèi)的任意兩個不共線向量線性表示的實質(zhì),它不僅提供了向量的幾何表示方法,同時也使向量用坐標來表示成為可能,從而架起了向量的幾何運算與代數(shù)運算之間的橋梁。如我們已經(jīng)證明過的結(jié)論:若A、B是直線l上任意兩點,O是l外一點，則對直線l上任一點P，存在實數(shù)t,使OP關(guān)于基底｛,}的分解式為=（1—t）+t(＊)并且滿足(*)式中點P一定在l上.實際上，向量等式(*)叫做直線l的向量參數(shù)方程式,其中實數(shù)t叫做參變數(shù),簡稱參數(shù)。類題演練2已知向量a、b，求作向量3a-2b方法一:如圖，（1)取一點O，作=3a，=—2b.（2）作△OAB,則就是求作的向量.方法二:如圖，(1）取一點O，作=3a，=—2b。（2)作OABC,則就是求作的向量.（1）（2）溫馨提示（1）已知基底求作向量,就是先取平面上任意一點,先分別作出與基底共線的向量，再利用向量加法的平行四邊形法則作出和向量.(2）本題是平面向量基本定理的簡單應(yīng)用,除可運用平行四邊形法則外，還可用向量加法的三角形法則求作向量.變式提升2如圖所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC,E、F分別是AD、BC邊上的中點，且BC=3AD,=a，=b,試以a、b為基底分別表示、和.解：∵AD∥BC且AD=BC,∴==b。∴==b。又∵=，∴=b。∴=-=a-b。∴=+=——=-b-（a-b)=b-a。=+=+=—+=—b+b—a=b—a。=+=—（+)=-（b—a+b）=a—b.溫馨提示（1）本例實質(zhì)上是平面向量基本定理的應(yīng)用，由于與不共線，因此，平面內(nèi)的所有向量都可用它們表示出來。（2）任一平面直線型圖形，根據(jù)平面向量基本定理，都可以表示為某些向量的線性組合.這樣解答幾何問題,應(yīng)先把已知和結(jié)論線段表示為向量形式,然后通過向量的運算,達到解決問題的目的。三、兩向量的夾角與垂直已知兩個非零向量a和b，作=a，=b,則∠AOB(0°≤θ≤180°）叫做向量a與b的夾角；當(dāng)θ=0°時,a與b同向；當(dāng)θ=180°時，a與b反向.說明：（1）向量a與b的夾角定義中強調(diào)的是作=a，=b,即強調(diào)a、b同起點.在研究具體問題時，涉及到不同起點的夾角問題，要把起點移到同一點;（2）向量a與b夾角范圍是0°≤θ≤180°.當(dāng)θ=0°時,a與b同向；當(dāng)θ=180°時，a與b反向;（3）向量a⊥b是兩向量夾角的特殊情況，在今后學(xué)習(xí)中會經(jīng)常用到.【例3】如下圖,在Rt△ABC中，邊AB、BC、AC的長分別為、2、1,求向量與的夾角.思路分析：由于向量與的夾角不是∠C，應(yīng)是∠C的補角，因此，我們應(yīng)先求∠C，然后再求與的夾角。解：∵｜|2+｜｜2=|｜2，∴∠BAC=90°?！遚os∠BCA=,∴∠BCA=60°。∴平移向量使點B與點C重合，則與的夾角為120°.類題演練3在正△ABC中，向量和的夾角是多少度？向量與的夾角是多少度?思路分析：作出圖形，根據(jù)向量夾角的定義求出即可.解：由圖形可知向量與夾角為120°；向量與夾角為60°.變式提升3已