數(shù)電-第一章-數(shù)字邏輯概論

電子技術(shù)基礎(chǔ)數(shù)字部分主講：周旭欣第一章數(shù)字邏輯概論本章重點(diǎn)內(nèi)容：1、二進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)及其與十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換；2、二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算；3、原碼、反碼與補(bǔ)碼；4、二進(jìn)制編碼；5、幾種基本邏輯運(yùn)算；6、邏輯函數(shù)的表示方法。1.1數(shù)制表示數(shù)時(shí)，僅用一位數(shù)碼往往不夠用，必須用進(jìn)位計(jì)數(shù)的方法組成多位數(shù)碼。多位數(shù)碼每一位的構(gòu)成以及從低位到高位的進(jìn)位規(guī)則稱為進(jìn)位計(jì)數(shù)制，簡稱數(shù)制。對(duì)于一個(gè)n位整數(shù)和m位小數(shù)組成的任意進(jìn)制（簡稱R進(jìn)制）數(shù)N，可以用位置計(jì)數(shù)法或多項(xiàng)式法表示。位置計(jì)數(shù)法表示為：（N）R＝（Kn-1Kn-2‥‥K1K0K-1K-2‥‥K-m)R多項(xiàng)式法表示為：（N）R=（N）R=式中：R為基數(shù)；Ri為權(quán)數(shù)Ki為0～R－1中的任意一個(gè)字符；n為整數(shù)部分位數(shù)，m為小數(shù)部分的位數(shù)?；鶖?shù)：進(jìn)位制的基數(shù)，就是在該進(jìn)位制中可能用到的數(shù)碼個(gè)數(shù)。位權(quán)（位的權(quán)數(shù)）：在某一進(jìn)位制的數(shù)中，每一位的大小都對(duì)應(yīng)著該位上的數(shù)碼乘上一個(gè)固定的數(shù)，這個(gè)固定的數(shù)就是這一位的權(quán)數(shù)。權(quán)數(shù)是一個(gè)冪。

一、十進(jìn)制數(shù)碼為：0～9；基數(shù)是10。用字母D表示。運(yùn)算規(guī)律：逢十進(jìn)一，即：9＋1＝10。十進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：D＝∑ki×10i例如：(143.75)D=1×102+4×101+3×100+7×10-1+5×10-2

若在數(shù)字電路中采用十進(jìn)制必須要有十個(gè)電路狀態(tài)與十個(gè)計(jì)數(shù)碼相對(duì)應(yīng)。將在技術(shù)上帶來許多困難，很不經(jīng)濟(jì)。各數(shù)位的權(quán)是２的冪二、二進(jìn)制數(shù)碼為：0、1；基數(shù)是2。用字母B表示。運(yùn)算規(guī)律：逢二進(jìn)一，即：1＋1＝10。

二進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：D＝∑ki×2i例如：（101.11）B＝1×22

＋0×21＋1×20＋1×2－1＋1×2－2

＝（5.75）D

三、八進(jìn)制數(shù)碼為：0～7；基數(shù)是8。用字母O表示。運(yùn)算規(guī)律：逢八進(jìn)一，即：7＋1＝10。八進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：D＝∑ki×8i例如：（207.04）O＝

2×82

＋0×81＋7×80＋0×8－1＋4×8－2

＝(135.0625)D各數(shù)位的權(quán)是8的冪四、十六進(jìn)制數(shù)碼為：0～9、A～F；基數(shù)是16。用字母H來表示。運(yùn)算規(guī)律：逢十六進(jìn)一，即：F＋1＝10。十六進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：D＝∑ki×16i例如：(2A.7F)H＝

2×161＋10×160＋7×16－1＋15×16－2＝(42.4960937)D各位數(shù)的權(quán)是16的冪1.2不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換對(duì)于同一個(gè)數(shù)，可以采用不同的數(shù)制表示，并且它們之間可以相互轉(zhuǎn)換。采用的方法有：1、多項(xiàng)式替代法：此方法用于任意進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。即根據(jù)式（N）R=將任意進(jìn)制數(shù)按權(quán)展開。

2、基數(shù)乘除法：該方法用于將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為任意進(jìn)制數(shù)。整數(shù)部分用基數(shù)除法，小數(shù)部分用基數(shù)乘法。3、直接轉(zhuǎn)換法：

該方法用于二進(jìn)制與八進(jìn)制或十六進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換。具體為：首先將二進(jìn)制分組，整數(shù)從低位到高位，小數(shù)從高位到低位，每三位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)一位八進(jìn)制數(shù)；每四位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)一位十六進(jìn)制數(shù)，分組不夠進(jìn)，整數(shù)在高位補(bǔ)0，小數(shù)在低位補(bǔ)0。一、二十進(jìn)制之間轉(zhuǎn)換二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的基本方法是多項(xiàng)式替代法，對(duì)給定的二進(jìn)制數(shù)按權(quán)展開求和，即可得到十進(jìn)制數(shù)。ForExample:（1011.01）2

＝1×23

＋0×22

＋1×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2

＝（11.25）10二、十二進(jìn)制之間轉(zhuǎn)換十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)的基本方法是基數(shù)乘除法。具體方法：將整數(shù)部分和小數(shù)部分分別進(jìn)行轉(zhuǎn)換。小數(shù)部分---基數(shù)連乘取整。

整數(shù)部分---基數(shù)連除取余。ForExample:

（44.375）D=（？）B整數(shù)部分:基數(shù)連除，取余數(shù)自下而上。小數(shù)部分:基數(shù)連乘，取整數(shù)自上而下。注意：當(dāng)用基數(shù)乘法對(duì)十進(jìn)制小數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí)，可能出現(xiàn)有限位數(shù)的二進(jìn)制小數(shù)不能完全表示十進(jìn)制小數(shù)，則需要根據(jù)轉(zhuǎn)換誤差確定二進(jìn)制小數(shù)的位數(shù)。Forexample:

將（0.718）D轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，要求轉(zhuǎn)換誤差小于1％。解：二進(jìn)制小數(shù)部分的位數(shù)為m，要求2－m≤1％，可求出

m≥＝6.64，所以取m＝7，采用基數(shù)乘法得

（0.718）D＝（0.1011011）B校核轉(zhuǎn)換誤差：（0.1011011）B=（0.7109）D

ε＝0.718－0.7109＝0.71％符合要求。三、二→十六進(jìn)制之間轉(zhuǎn)換二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)可以采用直接轉(zhuǎn)換法。即：將二進(jìn)制數(shù)由小數(shù)點(diǎn)開始，整數(shù)部分向左,小數(shù)部分向右，每4位分成一組，不夠4位補(bǔ)零，則每組二進(jìn)制數(shù)便是一位十六進(jìn)制數(shù)。

Forexample:

（

1011110.1011001）2＝（5E.B2）1600四、十六→

二進(jìn)制之間轉(zhuǎn)換方法：將每位十六進(jìn)制數(shù)用4位二進(jìn)制數(shù)表示。（8FA.C6）16=（1000

11111010.11000110）2五、二—八進(jìn)制之間轉(zhuǎn)換方法：按照每三位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)于一位八進(jìn)制數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。1、二→八進(jìn)制的轉(zhuǎn)換（1101010.01

）2000＝（152.

2）82、八→二進(jìn)制轉(zhuǎn)換（374.26）8＝（011111100.010110）2六、十—十六進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換將十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)時(shí)，按權(quán)展開再相加即可。將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)時(shí)，可先轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，再將得到的二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成等值的十六進(jìn)制數(shù)。進(jìn)位，表示兩個(gè)1相加“逢二進(jìn)一”1.2二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算在數(shù)字電路中，0和1既可以表示邏輯狀態(tài)，又可以表示數(shù)量大小。當(dāng)表示數(shù)量時(shí)，兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)可以進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算。A、無符號(hào)二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算

1、二進(jìn)制加法規(guī)則：0+0=0，0+1=1，1+1=10Forexample:1001+0101=？

1001＋01011110借位表示向高位借12、二進(jìn)制減法

規(guī)則：0－0=0；1－1=0；1－0=1；0－1=11Forexample:1001－0101=？注：無符號(hào)數(shù)無法表示負(fù)數(shù)，所以要求被減數(shù)一定大于減數(shù)。3、乘法和除法運(yùn)算乘法運(yùn)算是左移被乘數(shù)與加法運(yùn)算組成。

規(guī)則：0×0＝0；0×1＝1×0＝0；1×1＝1

1001－01010100除法運(yùn)算是右移被除數(shù)與減法運(yùn)算的組合。規(guī)則：

0÷1＝01÷1＝1Forexample:1001×0101=?1001÷0101=?

1001

×01011001000010010000

0101101

0101010110000101011001010010

1.11…B、帶符號(hào)二進(jìn)制數(shù)的減法運(yùn)算

在定點(diǎn)運(yùn)算的情況下，二進(jìn)制數(shù)的最高位（即最左邊的位）表示符號(hào)位，用0表示正數(shù)，用1表示負(fù)數(shù)。其余部分為數(shù)值位。（+11）D=（01011）B

（－11）D=（11011）B1、幾個(gè)基本概念

原碼：在二進(jìn)制數(shù)的前面增加1位符號(hào)位，0表示正，1表示負(fù)，所得到的二進(jìn)制碼稱為原碼。

反碼：正數(shù)的反碼就是原碼，負(fù)數(shù)的反碼在原碼的數(shù)值位上取反即可得到反碼。

補(bǔ)碼：正數(shù)的補(bǔ)碼就是原碼，負(fù)數(shù)的反碼在反碼的基礎(chǔ)上加1即可得到補(bǔ)碼。2、二進(jìn)制數(shù)的補(bǔ)碼表示在數(shù)字電路中，常將負(fù)數(shù)用補(bǔ)碼表示，便于把減法運(yùn)算變成加法運(yùn)算?；鶖?shù)為R，位數(shù)為n的原碼N，其補(bǔ)碼為：

（N）補(bǔ)=Rn－N具體方法：

a、補(bǔ)碼或反碼的最高位為符號(hào)位。

b、當(dāng)二進(jìn)制數(shù)為正數(shù)時(shí)，補(bǔ)碼、反碼與原碼相同。

c、當(dāng)二進(jìn)制數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，將原碼的數(shù)值位逐位求反，再在最低位加1得到補(bǔ)碼。Forexample:分別計(jì)算A=+5和B=－5的四位二進(jìn)制的原碼、反碼和補(bǔ)碼。解：（A）原=0101（A）反=0101（A）補(bǔ)=0101（B）原=1101（B）補(bǔ)=1011（B）反=1010注：對(duì)于n位帶符號(hào)的二進(jìn)制數(shù)的原碼、反碼、和補(bǔ)碼的數(shù)值范圍為：原碼：－（2n-1－1）~+（2n-1－1）反碼：－（2n-1－1）~+（2n-1－1）補(bǔ)碼：－2n-1~+（2n-1－1）3、二進(jìn)制補(bǔ)碼的減法運(yùn)算在進(jìn)行二進(jìn)制補(bǔ)碼的加法運(yùn)算的時(shí)候，必須要注意被加數(shù)與加數(shù)補(bǔ)碼的位數(shù)要相等，即讓兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)補(bǔ)碼的符號(hào)位對(duì)齊。通常兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)的補(bǔ)碼采用相同的位數(shù)表示。

注意：補(bǔ)碼相加得到的結(jié)果仍是補(bǔ)碼，若要得到原碼，需要對(duì)結(jié)果再次求補(bǔ)。Forexample:計(jì)算（1001）2－（0101）2=？自動(dòng)丟棄

1001－01010100

補(bǔ)碼

補(bǔ)碼

01001＋11011

1

00100減法變加法自動(dòng)丟棄4、溢出

溢出是指兩個(gè)補(bǔ)碼相加后，得到錯(cuò)誤的結(jié)果。

Forexample:用四位二進(jìn)制補(bǔ)碼計(jì)算－3－6＝？解：（－3－6）補(bǔ)＝（－3）補(bǔ)＋（－6）補(bǔ)＝1101＋1010

＝0111

再將0111再次求補(bǔ)碼，得到結(jié)果是0111（＋7），而正確結(jié)果應(yīng)是－9。原因：四位二進(jìn)制補(bǔ)碼中有三位是數(shù)值位，范圍是－8～＋7，－9超出了此范圍。1101

＋1010

101115、溢出的判別兩個(gè)符號(hào)相反的數(shù)相加不會(huì)產(chǎn)生溢出，但兩個(gè)符號(hào)相同的數(shù)相加有可能產(chǎn)生溢出。

判別的方法：當(dāng)進(jìn)位位與和數(shù)的符號(hào)位相反時(shí)，則運(yùn)算結(jié)果是錯(cuò)誤的，產(chǎn)生溢出。

解決方法：將數(shù)值位的擴(kuò)大。1.3碼制數(shù)字系統(tǒng)中的信息可分為兩類:數(shù)值與文字符號(hào)。為表示文字符號(hào)信息，往往采用一定位數(shù)的二進(jìn)制數(shù)碼表示，這個(gè)特定的二進(jìn)制碼稱為代碼，代碼與十進(jìn)制數(shù)值、字母、符號(hào)的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系稱為編碼。若所需編碼的信息有N項(xiàng)，則需要用的二進(jìn)制數(shù)碼的位數(shù)n應(yīng)滿足如下關(guān)系：

2n≥NA、BCD碼（二—十進(jìn)制碼）（BinaryCodedDecimal）常用的BCD碼有8421碼、2421碼、5421碼、余3碼和余3循環(huán)碼。它們都是用4位二進(jìn)制代碼表示1位十進(jìn)制數(shù)。8421碼：

用四位自然二進(jìn)制碼中的前十個(gè)碼字來表示十進(jìn)制數(shù)碼，因各位的權(quán)值依次為8、4、2、1，故稱8421BCD碼。2421碼和5421碼：它們的權(quán)值分別為2、4、2、1和5、4、2、1，它們與8421碼都是有權(quán)碼，與十進(jìn)制數(shù)之間的關(guān)系均可表示為：（N）D=W3b3+W2b2+W1b1+W0b0余3碼和余3循環(huán)碼均為無權(quán)碼，它的每一位沒有一定的權(quán)值，不能用上式來表示其編碼關(guān)系。余3碼由8421碼加0011得到。B、格雷碼格雷碼是一種常見的無權(quán)碼，是一種循環(huán)碼，其特點(diǎn)是任何相鄰的兩個(gè)碼字，僅有一位代碼不同，其它位相同。C、ASCII碼（AmericanStandardCodeforInformationInterchange，美國信息交換標(biāo)準(zhǔn)代碼）它是用七位二進(jìn)制碼表示128個(gè)十進(jìn)制數(shù)、英文大小字母、控制符、運(yùn)算符以及特殊符號(hào)。如圖：P28表1.4.31.4二值邏輯變量與基本邏輯運(yùn)算A、概述

1、邏輯與邏輯運(yùn)算

邏輯：事物間的因果關(guān)系。邏輯運(yùn)算：邏輯狀態(tài)按照指定的某種因果關(guān)系進(jìn)行推理的過程。

2.邏輯代數(shù)與邏輯狀態(tài)邏輯代數(shù)：是描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，是進(jìn)行邏輯分析與綜合的數(shù)學(xué)工具。因?yàn)樗怯鴶?shù)學(xué)家喬治·布爾(GeorgeBoole)于1847年提出的，所以又稱為布爾代數(shù)。邏輯狀態(tài)：事物之間相互關(guān)聯(lián)又相互對(duì)立的兩種狀態(tài)。如：高與低、通與斷、真與假等。3、二值邏輯變量一個(gè)事物的發(fā)生具有完全對(duì)立的兩種可能，則可將其定義為一個(gè)邏輯變量。邏輯變量的取值范圍僅為“0”和“1”，且無大小、正負(fù)之分。

所以這里的0和1并不表示數(shù)量而是表示邏輯狀態(tài)。

B、三種基本邏輯運(yùn)算

1、與運(yùn)算（AND）開關(guān)A開關(guān)B燈Y斷開斷開滅斷開閉合滅閉合斷開滅閉合閉合亮串聯(lián)開關(guān)電路功能表

當(dāng)決定某一事件的全部條件都具備時(shí)，該事件才會(huì)發(fā)生，這樣的因果關(guān)系稱為與邏輯。

設(shè)定邏輯變量并狀態(tài)賦值：邏輯變量：A和B，對(duì)應(yīng)兩個(gè)開關(guān)的狀態(tài)。

1－閉合，0－斷開；邏輯函數(shù)：Y，對(duì)應(yīng)燈的狀態(tài)，1－燈亮，0－燈滅。ABY000010100111與邏輯的真值表

描述邏輯關(guān)系的圖表稱為真值表與邏輯表達(dá)式

Y=A·B（邏輯乘）與邏輯圖形符號(hào)在不混淆的情況下，“·”可省略，即Y=AB能實(shí)現(xiàn)與運(yùn)算的邏輯電路稱為與門2、或運(yùn)算（OR）開關(guān)A開關(guān)B燈Y斷開斷開滅斷開閉合亮閉合斷開亮閉合閉合亮并聯(lián)開關(guān)電路功能表當(dāng)決定某一事件的所有條件中，只要有一個(gè)具備，該事件就會(huì)發(fā)生，這樣的因果關(guān)系叫做或邏輯。設(shè)定邏輯變量并狀態(tài)賦值：邏輯變量：A和B，對(duì)應(yīng)兩個(gè)開關(guān)的狀態(tài)。

1－閉合，0－斷開；邏輯函數(shù)：Y，對(duì)應(yīng)燈的狀態(tài)，1－燈亮，0－燈滅。ABY000011101111或邏輯的真值表或邏輯表達(dá)式

Y=A+B（邏輯加）ABY或邏輯圖形符號(hào)能實(shí)現(xiàn)或運(yùn)算的邏輯電路稱為或門3、非運(yùn)算（NOT）電路功能表開關(guān)A燈Y斷開亮閉合滅當(dāng)某一條件具備了，事情不會(huì)發(fā)生；而此條件不具備時(shí)，事情反而發(fā)生。這種邏輯關(guān)系稱為非邏輯或邏輯非。設(shè)定邏輯變量并狀態(tài)賦值：邏輯變量：A和B，對(duì)應(yīng)兩個(gè)開關(guān)的狀態(tài)。

1－閉合，0－斷開；邏輯函數(shù)：Y，對(duì)應(yīng)燈的狀態(tài)，1－燈亮，0－燈滅。非邏輯的真值表AY0110非邏輯表達(dá)式

Y=A=A’（邏輯非）非邏輯圖形符號(hào)AY能實(shí)現(xiàn)非運(yùn)算的邏輯電路稱為非門或反相器C、幾種常用邏輯運(yùn)算1、與非運(yùn)算ABL001101011110真值表&ABL2、或非運(yùn)算真值表ABL001101011000ABL≥13、異或運(yùn)算ABL001101010110真值表BAL=14、同或運(yùn)算ABL001101011001真值表BAL=1.5邏輯函數(shù)及其表示方法定義：描述輸入變量和輸出變量之間的因果關(guān)系稱為邏輯函數(shù)。

L=F（A，B，C，…）

表示方法：

1、真值表

2、邏輯函數(shù)表達(dá)式