第27章 相似 人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)中考題演練(含答案)

本章中考演練一、選擇題1．[2015·石家莊模擬]已知eq\f(b,a)＝eq\f(5,13)，則eq\f(a－b,a＋b)的值是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(9,4)D.eq\f(4,9)[解析]D先設(shè)出b＝5k，則a＝13k，再把a(bǔ)，b的值代入，∴eq\f(a－b,a＋b)＝eq\f(13k－5k,13k＋5k)＝eq\f(8k,18k)＝eq\f(4,9).2．[2015·嘉興]如圖27－Y－1，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C，直線DF分別交l1，l2，l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn).AC與DF相交于點(diǎn)H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，則eq\f(DE,EF)的值為()A.eq\f(1,2)B．2C.eq\f(2,5)D.eq\f(3,5)[答案]D圖27－Y－1圖27－Y－23．[2015·成都]如圖27－Y－2，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，BD＝3，AE＝4，則EC的長(zhǎng)為()A．1B．2C．3D．4[解析]B根據(jù)平行線段的比例關(guān)系，知eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC)，即eq\f(6,3)＝eq\f(4,EC)，EC＝2.故選B.4．[2015·永州]如圖27－Y－3，下列條件不能判定△ADB∽△ABC的是()A．∠ABD＝∠ACBB．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD·ACD.eq\f(AD,AB)＝eq\f(AB,BC)[解析]D在△ADB和△ABC中，∠A是它們的公共角，當(dāng)∠ABD＝∠ACB或∠ADB＝∠ABC或eq\f(AD,AB)＝eq\f(AB,AC)時(shí)，△ADB∽△ABC，而不是eq\f(AD,AB)＝eq\f(AB,BC).故選D.圖27－Y－3圖27－Y－45．[2015·銅仁]如圖27－Y－4，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE∶CE＝3∶1，連接AE交BD于點(diǎn)F，則△DEF的面積與△BAF的面積之比為()A．3∶4B．9∶16C．9∶1D．3∶1[解析]B∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴△DFE∽△BFA.∵DE∶EC＝3∶1，∴DE∶DC＝3∶4，∴DE∶AB＝3∶4，∴S△DFE∶S△BFA＝9∶16.6．[2014·白銀]如圖27－Y－5，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，連接ED交AB于點(diǎn)F，AF＝x(0.2≤x≤0.8)，EC＝y(tǒng).則在下面的函數(shù)圖象中，大致能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是()圖27－Y－5圖27－Y－6[解析]C根據(jù)題意，知BF＝1－x，BE＝y(tǒng)－1，且△EFB∽△EDC，則eq\f(BF,CD)＝eq\f(BE,CE)，即eq\f(1－x,1)＝eq\f(y－1,y)，所以y＝eq\f(1,x)(0.2≤x≤0.8)，該函數(shù)圖象是位于第一象限的雙曲線的一部分．選項(xiàng)A，D的圖象都是直線的一部分，選項(xiàng)B的圖象是拋物線的一部分，選項(xiàng)C的圖象是雙曲線的一部分．故選C.7．[2014·畢節(jié)]如圖27－Y－7，在△ABC中，AE交BC于點(diǎn)D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，則DC的長(zhǎng)等于()A.eq\f(15,4)B.eq\f(12,5)C.eq\f(20,3)D.eq\f(17,4)[解析]A∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE，∴△ADC∽△BDE，∴eq\f(DC,DE)＝eq\f(AD,BD).∵AD∶DE＝3∶5，AE＝8，∴AD＝3，DE＝5.又∵BD＝4，∴eq\f(DC,5)＝eq\f(3,4)，∴DC＝eq\f(15,4).故選A.圖27－Y－7圖27－Y－8二、填空題8．[2015·秦皇島模擬]如圖27－Y－8，銳角三角形ABC的邊AB，AC上的高線EC，BF相交于點(diǎn)D，請(qǐng)寫出圖中的兩對(duì)相似三角形____________(用相似符號(hào)連接)．[答案]答案不唯一，如△ABF∽△DBE或△ACE∽△DCF或△EDB∽△FDC等[解析]∵銳角三角形ABC的邊AB和AC上的高CE和BF相交于點(diǎn)D，∴∠AEC＝∠BEC＝∠AFB＝∠CFB＝90°.∵∠ABF＝∠DBE，∠ACE＝∠DCF，∴△ABF∽△DBE，△ACE∽△DCF.∵∠EDB＝∠FDC，∴△EDB∽△FDC.∴△ABF∽△DBE∽△DCF∽△ACE.9．[2014·遵義]“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一十五里有木，問(wèn)：出南門幾何步而見木？”這段話摘自《九章算術(shù)》．意思是說(shuō)：如圖27－Y－9，矩形城池ABCD，東邊城墻AB長(zhǎng)9里，南邊城墻AD長(zhǎng)7里，東門點(diǎn)E，南門點(diǎn)F分別是AB，AD的中點(diǎn)，EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AD，EG＝15里，HG經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則FH＝________里．圖27－Y－9[答案]1.05[解析]∵EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AD，HG經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，∴FA∥EG，EA∥FH，∴∠AEG＝∠HFA＝90°，∠EAG＝∠FHA，∴△GEA∽△AFH，∴eq\f(GE,AF)＝eq\f(AE,HF).∵AB＝9里，AD＝7里，EG＝15里，∴AF＝3.5里，AE＝4.5里，∴eq\f(15,3.5)＝eq\f(4.5,HF)，∴FH＝1.05里．10．[2015·自貢]－副三角板疊放在一起如圖27－Y－10，則△AOB與△DOC的面積之比為________．[答案]1∶3[解析]首先設(shè)BC＝x，根據(jù)題意可得∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝BC，∠D＝30°，即可求得CD與AB的長(zhǎng)．因?yàn)椤鰽OB∽△COD，又由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△AOB與△DOC的面積之比．圖27－Y－10圖27－Y－1111．[2014·孝感]如圖27－Y－11，Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，雙曲線y＝eq\f(k,x)(x>0)經(jīng)過(guò)斜邊OA的中點(diǎn)C，與另一條直角邊交于點(diǎn)D.若S△OCD＝9，則S△OBD的值為________．[答案]6圖27－Y－12[解析]如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為E.∵在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，∴CE∥AB.∵C為Rt△OAB的斜邊OA的中點(diǎn)，∴CE為Rt△OAB的中位線，∴△OEC∽△OBA，且eq\f(OC,OA)＝eq\f(1,2).∵雙曲線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是y＝eq\f(k,x)，∴S△BOD＝S△COE＝eq\f(1,2)k，∴S△AOB＝4S△COE＝2k.由S△AOB－S△BOD＝S△OAD＝2S△DOC＝18，得2k－eq\f(1,2)k＝18，解得k＝12，∴S△BOD＝eq\f(1,2)k＝6.故答案為6.三、解答題12．[2014·岳陽(yáng)]如圖27－Y－13，矩形ABCD為臺(tái)球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm.球目前在點(diǎn)E的位置，AE＝60cm.如果小丁瞄準(zhǔn)BC邊上的點(diǎn)F將球打過(guò)去，經(jīng)過(guò)反彈后，球剛好彈到點(diǎn)D的位置．(1)求證：△BEF∽△CDF；(2)求CF的長(zhǎng)．圖27－Y－13解：(1)證明：由題意，得∠EFG＝∠DFG.∵∠EFG＋∠BFE＝90°，∠DFG＋∠CFD＝90°，∴∠BFE＝∠CFD.又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CDF.(2)∵△BEF∽△CDF，∴eq\f(BE,CD)＝eq\f(BF,CF)，即eq\f(130－60,130)＝eq\f(260－CF,CF)，∴CF＝169cm.13．[2015·黃岡]已知：如圖27－Y－14，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，連接AN，過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.(1)求證：∠BCP＝∠BAN；(2)求證：eq\f(AM,MN)＝eq\f(CB,BP).圖27－Y－14[解析](1)由AC為⊙O直徑，得到∠NAC＋∠ACN＝90°，由AB＝AC，得到∠BAN＝∠CAN，根據(jù)PC是⊙O的切線，得到∠ACN＋∠PCB＝90°.(2)由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠ACB，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠PBC＝∠AMN，證出△BPC∽△MNA，從而證得eq\f(AM,MN)＝eq\f(CB,BP).證明：(1)∵AC為⊙O直徑，∴∠ANC＝90°，∴∠NAC＋∠ACN＝90°.∵AB＝AC，∴∠BAN＝∠CAN.∵PC是⊙O的切線，∴∠ACP＝90°，∴∠ACN＋∠PCB＝90°，∴∠BCP＝∠CAN，∴∠BCP＝∠BAN.(2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°，∴∠PBC＝∠AMN.由(1)知∠BCP＝∠BAN，∴△BPC∽△MNA，∴eq\f(AM,MN)＝eq\f(CB,BP).14．[2013·紹興]若一個(gè)矩形的一邊是另一邊的兩倍，則稱這個(gè)矩形為方形．如圖27－Y－15①，矩形ABCD中，BC＝2AB，則稱矩形ABCD為方形．(1)設(shè)a，b是方形的一組鄰邊，寫出a，b的值(一組即可)．(2)在△ABC中，將AB，AC分別五等分，連接兩邊對(duì)應(yīng)的等分點(diǎn)，以這些連接線為一邊作矩形，使得這些矩形的邊B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的對(duì)邊分別在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如圖②所示．①若BC＝25，BC邊上的高為20，判斷以B4C4為一邊的矩形是不是方形，為什么？②若以B3C3為一邊的矩形為方形，求BC與BC邊上的高之比．圖27－Y－15解：(1)答案不唯一，如a＝3，b＝6.(2)①以B4C4為一邊的矩形不是方形．理由：由題意，可知eq\f(B4C4,BC)＝eq\f(16,20)，∴B4C4＝25×eq\f(16,20)＝20.∵20÷4＝5≠2，∴此矩形不是方形．②設(shè)BC邊上的高為h，由題意可知，eq\f(BC,h)＝eq\f(B3C3,\f(3,5)h).若B3C3＝2×eq\f(1,5)h，則eq\f(BC,h)＝eq\f(2,3)；若B3C3＝eq\f(1,2)×eq\f(1,5)h，則eq\f(BC,h)＝eq\f(1,6).綜上所述，若以B3C3為一邊的矩形為方形，則BC與BC邊上的高之比為eq\f(2,3)或eq\f(1,6).15．[2013·蘇州]如圖27－Y－16，點(diǎn)P是菱形ABCD對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接DP并延長(zhǎng)，交邊AB于點(diǎn)E，連接BP并延長(zhǎng)，交邊AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.(1)求證：△APB≌△APD.(2)已知DF∶FA＝1∶2，設(shè)線段DP的長(zhǎng)為x，線段PF的長(zhǎng)為y.①求y與x之間的函數(shù)解析式；②當(dāng)x＝6時(shí)，求線段FG的長(zhǎng)．圖27－Y－16解：(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC平分∠DAB，∴∠DAP＝∠BAP.在△APB和△APD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠BAP＝∠DAP，,AP＝AP，))∴△APB≌△APD.(2)①∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△AFP∽△CBP，∴eq\f(AF,BC)＝eq\f(FP,BP).∵DF∶