《信號與系統(tǒng)》課件第1章

第1章信號與系統(tǒng)的基本概念1.1繪出下列信號的波形圖：

(1)f1(t)=(3-2e-t)ε(t)；

(2)f2(t)=(e-t—e-3t)ε(t)；

(3)f3(t)=e-|t|ε(—t)；

(4)f4(t)=cosπt［ε(t—1)—ε(t—2)］；

(5)f5(t)=e-tε(cost)；

(6)f6(t)=(1—

)［ε(t+2)—ε(t—2)］；(7)f7(t)=3ε(t+1)—ε(t)—3ε(t—1)+ε(t—2)；

(8)f8(t)=e-t+1ε(t—1)；

(9)f9(t)=cosπt［ε(3—t)—ε(—t)］；

(10)f10(t)=r(t)—r(t—1)—r(t—2)+r(t—3)，式中r(t)=tε(t)。

解此題練習(xí)連續(xù)信號的波形圖表示方法。除應(yīng)熟悉常用連續(xù)指數(shù)、正弦和斜升信號波形外，還應(yīng)特別注意階躍函數(shù)的基本性質(zhì)以及信號平移、翻轉(zhuǎn)操作對信號波形的影響。題解圖1.1

1.2繪出下列信號的圖形：

解此題練習(xí)離散信號的圖形表示方法。要求熟悉常用指數(shù)和正弦序列的圖形表示、階躍序列的定義和基本性質(zhì)以及序列平移和翻轉(zhuǎn)操作對序列圖形的影響。題解圖1.2

1.3試寫出題圖1.1各信號的解析表達式。題圖1.1

1.4判定下列信號是否為周期信號。若是周期信號，則確定信號周期T。

解(1)若有兩個周期分別為T1和T2的連續(xù)信號相加，當(dāng)T1/T2為有理數(shù)時,其和信號亦是周期信號,相應(yīng)周期為T1和T2的最小公倍數(shù)；否則,當(dāng)T1/T2為無理數(shù)時,其和信號是非周期信號。因sint的周期T1=2πs,

sin2t的周期T2=πs，且T1/T2=2為有理數(shù),故f1(t)是周期信號,它的周期為2πs。

(2)因sin2t的周期T1=πs,

cosπt的周期T2=2s,且T1/T2=π/2為無理數(shù)，故f2(t)是非周期信號。

(3)因cost的周期為T1=2πs,

sin的周期為T2=

且T1/T2=為無理數(shù),故f3(t)是非周期信號。

(4)在f4(t)中，的周期分別為

其最小公倍數(shù)是1392π,故

f4(t)是周期信號，周期為1392πs。

(5)信號Asint的周期為2π,自乘三次后，沒有改變信號瞬時值變化周期，故f5(t)是周期為2πs的周期信號。

(6)因

均是周期為3的周期序列，故f6(k)也是以3為周期的周期序列。

1.5已知連續(xù)時間信號x(t)和y(t)分別如題圖1.2(a)、(b)所示，試畫出下列各信號的波形圖：

(1)x(t-2)； (2)x(t-1)ε(t)；

(3)x(2-t)； (4)x(2t+2)；

(5)y(t+2)； (6)y(t+1)ε(-t)；

(7)y(-2-t)； (8)y(－1)；

(9)x(t)+y(t)； (10)x(t+1)·y(t－1)。題圖1.2

解

(1)將x(t)波形右移2個單位,得到題(1)波形如題解圖

1.5-1所示。

題解圖1.5-1

(2)將x(t)波形右移1個單位,再結(jié)合單位階躍信號的單邊特性，畫出題(2)波形如題解圖1.5-2所示。題解圖1.5-2

(3)由于x(2-t)=x［-(t-2)］,故可將x(t)波形“翻轉(zhuǎn)”后，再右移2個單位,畫出題(3)波形如題解圖1.5-3中的f3(t)所示。題解圖1.5-3

(4)按照“展縮-平移”方式，將x(t)波形“壓縮”后，再左移1個單位；或者按照“平移-展縮”方式，先將x(t)波形左移2個單位,再將波形“壓縮”，均可畫出題(4)波形。波形繪制過程如題解圖1.5-4所示。題解圖1.5-4

(5)將y(t)波形左移2個單位，即得題(5)波形(見題解圖

1.5-5)。題解圖1.5-5

(6)將y(t)波形左移1個單位，再截取t<0部分，即為題(6)波形(見題解圖1.5-6)。題解圖1.5-6題解圖1.5-7題解圖1.5-8

(9)兩個連續(xù)信號相加,任一時刻的和信號值等于兩信號在該時刻的信號值之和。題(9)信號波形如題解圖1.5-9所示。題解圖1.5-9

(10)兩個連續(xù)信號相乘，任一時刻的積信號值等于兩信

號在該時刻的信號值之積。題(10)信號波形如題解圖1.5-10

所示。題解圖1.5-10

1.6已知離散時間信號x(k)和y(k)分別如題圖1.3(a)、(b)所示，試畫出下列序列的圖形：

(1)x(k+2)；

(2)x(k+2)ε(1-k)；

(3)y(k)［ε(k-1)-ε(-k-1)］；

(4)y(k)-y(-k)；

(5)x(k)+y(k)；

(6)x(k+2)y(k-2)。題圖1.3

解與連續(xù)信號類似,對于序列信號,也可以應(yīng)用圖形翻轉(zhuǎn)、平移操作，結(jié)合信號的基本運算，直接畫出給定序列的圖形。

(1)將x(k)圖形左移2個單位,畫出題(1)序列圖形如題解圖1.6-1所示。題解圖1.6-1

(2)先畫出x(k+2)圖形,并考慮到ε(1-k)=ε［-(k-1)］,僅在k≤1時取值為1,故在x(k+2)圖形中,截取k≤1部分就是題(2)序列的圖形(見題解圖1.6-2)。題解圖1.6-2

(3)因為

所以題(3)序列圖形如題解圖1.6-3所示。題解圖1.6-3

(4)先畫出y(k)、y(-k)圖形，然后進行相減運算，得到題

(4)序列圖形如題解圖1.6-4所示。題解圖1.6-4

(5)和序列圖形如題解圖1.6-5所示。題解圖1.6-5

(6)先畫出x(k+2)、y(k-2)圖形，再進行相乘運算，畫出積序列圖形（見題解圖1.6-6）。題解圖1.6-6

1.7已知信號x(t)、y(t)的波形如題圖1.2所示，分別畫出

的波形。

解通過觀察x(t)和y(t)波形，直接畫出

波形(見題解圖1.7)。應(yīng)特別注意，當(dāng)x(t)、y(t)的信號值發(fā)生跳變時,會在相應(yīng)時刻的波形中呈現(xiàn)沖激信號，其沖激強度取決于信號值跳變的方向和幅度。題解圖1.7

1.8已知信號f(t+1)的波形如題圖1.4所示，試畫出

的波形。題圖1.4

解首先，應(yīng)用信號平移、展縮操作，由f(t+1)波形畫出

波形，然后求導(dǎo)并畫出

的波形。具體過程參見題解圖1.8。題解圖1.8

1.9分別計算題圖1.3中信號x(k)、y(k)的一階前向差分、一階后向差分和迭分。

解

x(k)的一階前向差分:

x(k)的一階后向差分:

x(k)的迭分:

y(k)的一階前向差分:

y(k)的一階后向差分:

y(k)的迭分:

1.10畫出下列各信號的波形圖：

(1)f1(t)=ε(t2-4)；

(2)f2(t)=δ(t+1)-δ(t-1);

(3)f3(k)=ε(k2-4)；

(4)f4(t)=δ(2t-4)。

解

(1)f1(t)=ε(t2-4),波形如題解圖1.10-1所示。題解圖

1.10-1

(2)f2(t)=δ(t+1)-δ(t-1),波形如題解圖1.10-2所示。題解圖

1.10-2

(3)f3(k)=ε(k2-4),波形如題解圖1.10-3所示。題解圖1.10-3

(4)f4(t)=δ(2t-4)=

δ(t-2),波形如題解圖1.10-4所示。題解圖1.10-4

1.11計算下列各題。

1.12如題圖1.5所示電路，輸入為is(t)，分別寫出以i(t)、u(t)為輸出時電路的輸入輸出方程。題圖1.5

解對題解圖1.12，寫出節(jié)點a的KCL方程:

i=is—iL

①

或?qū)懗?/p>

iL=is—i ②

寫出節(jié)點b的KCL方程:

③

寫出回路l的KVL方程:

④

(1)將式④代入式③得

⑤

再將式②代入式⑤,整理得以i為輸出時的輸入輸出方程:

(2)將式①代入式④得

⑥

再將式③代入式⑥,

并整理得以u為輸出時的輸入輸出方程為

題解圖1.12

1.13如題圖1.6所示電路，輸入為us(t),試寫出u(t)為輸出時電路的輸入輸出方程。題圖1.6

解為簡化微、積分算符表示，本題采用第2章將要介紹的微、積分算子概念求解。畫出p算子電路模型如題解圖1.13所示，圖中i1(t)和i2(t)為網(wǎng)孔電流。列出網(wǎng)孔方程：題解圖1.13

因為所以

電路輸入輸出方程為

1.14設(shè)某地區(qū)人口的正常出生率和死亡率分別為α和β，第k年從外地遷入的人口為f(k)。若令該地區(qū)第k年的人口為y(k)，寫出y(k)的差分方程。

解設(shè)第(k－1)年的總?cè)丝跀?shù)為y(k－1),經(jīng)一年后凈增人口數(shù)為(α－β)y(k－1),第k年遷入的人口數(shù)為f(k),故第k年的總?cè)丝跀?shù)為上述三部分之和，即

y(k)=y(k－1)+(α－β)y(k－1)+f(k)

整理得

y(k)-(1+α－β)y(k－1)=f(k)

這是一個一階差分方程。

1.15某經(jīng)濟開發(fā)區(qū)計劃每年投入一定資金，設(shè)這批資金在投入后第二年度的利潤回報率為α%，第三年度開始年度的利潤回報率穩(wěn)定在β%。試建立預(yù)測若干年后該經(jīng)濟開發(fā)區(qū)擁有的資金總額的數(shù)學(xué)模型。

解設(shè)k年后開發(fā)區(qū)擁有資金總額為y(k),第k年投入資金為f(k)。按題意，第(k－1)年投入資金f(k－1)在第k年度增長為(1+α)f(k－1),而資金y(k－2)在第k年度增長為(1+β)y(k－2)。因此，k年后開發(fā)區(qū)擁有的總資金額可表示為

y(k)=(1+β)y(k－2)+(1+α)f(k－1)+f(k)

或?qū)懗?/p>

y(k)－(1+β)y(k－2)=f(k)+(1+α)f(k－1)

顯然，這是一個二階差分方程。

1.16寫出題圖1.7所示電路的狀態(tài)空間方程。(以iL、uC為狀態(tài)變量，i和u為輸出。)題圖1.7

解標(biāo)記節(jié)點a、回路l、支路電流iC(t)如題解圖1.16所示，分別寫出節(jié)點a的KCL方程和回路l的KVL方程：題解圖1.16整理式①、②得狀態(tài)方程：

觀察電路圖，直接寫出輸出方程:

1.17寫出題圖1.8系統(tǒng)的輸入輸出方程。題圖1.8題解圖1.17

解

(a)標(biāo)記輔助變量x(t)及其導(dǎo)函數(shù)x′(t)如題解圖1.17(a)所示，并在兩加法器輸出端寫出輔助等效方程：

①

②

對式①、②求導(dǎo)得

③

④應(yīng)用式③、②、①，將式④改寫為

整理得系統(tǒng)輸入輸出方程:

或者，根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出方程與等效方程①、②之間的系數(shù)對應(yīng)關(guān)系直接寫出上述輸入輸出方程。

(b)標(biāo)記y′(t)、y″(t)如題解圖1.17(b)所示，因為

所以,系統(tǒng)輸入輸出方程為

(c)標(biāo)記x(k)、x(k－1)如題解圖1.17(c)所示,在加法器輸出端寫出輔助等效方程：

①

②

由式①、②得

③

④將式①、③代入式②并考慮到式④,可得

所以，離散系統(tǒng)輸入輸出方程為

(d)標(biāo)記x(k)、x(k－1)、x(k－2)如題解圖1.17(d)所示，寫出輔助等效方程：

①

②由式①、②分別寫出:

③

④

⑤

⑥

將式①、③、④代入式②,并注意式⑤、⑥之間的關(guān)系，最后整理得離散系統(tǒng)輸入輸出差分方程為

1.18設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x(t0)，輸入為f(t)，全響應(yīng)為y(t)，試判斷以下系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)，并說明理由。

解

(1)否(不滿足系統(tǒng)響應(yīng)可分解性)。

(2)否(不滿足零狀態(tài)線性)。

(3)否(不滿足零輸入線性)。

(4)是(分別滿足響應(yīng)可分解性、零輸入和零狀態(tài)線性)。

1.19設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x1(0)和x2(0)，輸入為f(·)，全響應(yīng)為y(·)，試判斷下列系統(tǒng)的性質(zhì)(線性/非線性，時變/時不變，因果/非因果，穩(wěn)定/不穩(wěn)定)。

解

(1)是線性、時不變、因果、穩(wěn)定系統(tǒng)。

(2)是非線性、時不變、因果、不穩(wěn)定系統(tǒng)。

(3)是非線性、時不變、因果、穩(wěn)定系統(tǒng)。

(4)是線性、時變、非因果、穩(wěn)定系統(tǒng)。

(5)是非線性、時不變、因果、穩(wěn)定系統(tǒng)。

(6)是線性、時變、非因果、不穩(wěn)定系統(tǒng)。

1.20證明連續(xù)時間線性、時不變系統(tǒng)具有以下微分特性和積分特性。

若

則

式中，yzs(t)為系統(tǒng)在激勵f(t)作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，初始觀察時刻t0=0。

證因為

令Δt－→0,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)定義，有

所以微分特性成立。

1.21設(shè)某線性系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x1(0－)、x2(0－)，輸入為f(t)，全響應(yīng)為y(t)，且已知：

試求當(dāng)f(t)=0，x1(0－)=5,

x2(0－)=3時的系統(tǒng)響應(yīng)y(t)。

解零輸入線性，包括零輸入齊次性和零輸入可加性。因激勵f(t)=0,故系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)=0。對于零輸入響應(yīng)，

已知根據(jù)零輸入線性，可得

所以，系統(tǒng)響應(yīng)

1.22在題1.21的基礎(chǔ)上，若還已知f(t)=ε(t),

x1(0－)=

x2(0－)=0時，有

試求f(t)=3ε(t),x1(0－)=2,x2(0－)=5時，系統(tǒng)的響應(yīng)y(t)。

解系統(tǒng)的線性特性包括全響應(yīng)的分解特性、零輸入和零狀態(tài)響應(yīng)的線性特性。

因為所以，根據(jù)系統(tǒng)的線性特性，當(dāng)f(t)=3ε(t),

x1(0－)=2,

x2(0－)=5時,有

1.23某線性系統(tǒng)，當(dāng)輸入為ε(t)，初始狀態(tài)x1(0－)=1,

x2(0－)=2時，系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)為

當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)不變，輸入為3ε(t)時，全響應(yīng)為

(1)求初始狀態(tài)為x1(0－)=1,

x2(0－)=2時，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi(t)；

(2)求輸入為2ε(t)時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。

解設(shè)初始狀態(tài)x1(0－)=1,

x2(0－)=2時,系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為