《機電傳動控制》課件第2章

2.1概述2.2機械傳動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的種類2.3電氣傳動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.4機電系統(tǒng)相似模型2.5機電一體化系統(tǒng)模型小結(jié)習(xí)題與思考題2.1.1數(shù)學(xué)模型的概念

1.數(shù)學(xué)模型的概念及建立意義

數(shù)學(xué)模型是系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學(xué)描述。由于系統(tǒng)在從初始狀態(tài)向新的穩(wěn)定狀態(tài)過渡過程中，系統(tǒng)中的各個變量都要隨時間而變化，因而在描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型中不僅會出現(xiàn)這些變量本身，而且也包含這些變量的各階導(dǎo)數(shù)。所以，系統(tǒng)的動態(tài)特性方程式就是微分方程式，它是表示系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的最基本的形式。2.1概述在研究與分析一個機電控制系統(tǒng)時，不僅要定性地了解系統(tǒng)的工作原理及特性，而且還要定量地描述系統(tǒng)的動態(tài)性能。通過定量的分析與研究，找到系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及參數(shù)與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系。這樣，在系統(tǒng)不能按照預(yù)先期望的規(guī)律運行時，便可通過對模型的分析，適當(dāng)?shù)馗淖兿到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，使其滿足規(guī)定性能的要求。另外，在設(shè)計一個系統(tǒng)的過程中，對于給定的被控對象及其控制任務(wù)，可以借助數(shù)學(xué)模型來檢驗設(shè)計思想，以構(gòu)成完整的系統(tǒng)。

這些都離不開數(shù)學(xué)模型。

2.建立數(shù)學(xué)模型的一般原則

由于機電傳動控制系統(tǒng)所涉及的領(lǐng)域很廣，被控對象性質(zhì)差異極大，而且組成系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)有非線性和時變性的特點，各個環(huán)節(jié)之間具有關(guān)聯(lián)性，除此之外還有很多其他的內(nèi)在因素，因此，實際的機電控制系統(tǒng)是比較復(fù)雜的，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是一個變系數(shù)的非線性偏微分方程，求解這些方程是非常困難的，甚至是不可能的。為了便于分析問題，常常需要對實際模型做簡化處理，如將時變參數(shù)定?；?，將非線性參數(shù)線性化，使分布參數(shù)集中等，因而得到具有不同形式的數(shù)學(xué)模型。常見的數(shù)學(xué)模型有:分布參數(shù)模型和集中參數(shù)模型；隨機性模型和確定性模型；線性模型和非線性模型；參數(shù)時變模型和參數(shù)時不變模型；連續(xù)時間模型和離散時間模型；動態(tài)模型和靜態(tài)模型；參數(shù)模型和非參數(shù)模型。簡化后的模型通常是一個線性微分

方程式，求解線性常微分方程比求解變系數(shù)非線性的偏微分方程要容易得多。分析系統(tǒng)時，結(jié)果的準(zhǔn)確程度完全取決于數(shù)學(xué)模型對給定實際系統(tǒng)的近似程度。如果簡化后的數(shù)學(xué)模型與實際系統(tǒng)的模型出入很大，那么控制系統(tǒng)也就失去了它應(yīng)有的控制作用。

但這決不意味著數(shù)學(xué)模型越復(fù)雜越好，一個合理的數(shù)學(xué)模型的建立，應(yīng)該在模型的準(zhǔn)確性和簡化性之間進行折中。所以，在建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的過程中，要特別注意，既不能過分強調(diào)準(zhǔn)確性而使系統(tǒng)過于復(fù)雜，也不能片面追求簡化性而使分析結(jié)果與實際出入過大。2.1.2機電控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的種類

常用的描述機電控制系統(tǒng)靜、動態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型有時域模型、復(fù)數(shù)域模型和頻域模型。

時域模型包括微分方程、差分方程和狀態(tài)方程。其特點是在時間域中對控制系統(tǒng)進行描述，具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點，并且可以提供系統(tǒng)時間響應(yīng)的全部信息。其不足之處是，當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)發(fā)生改變或某個參數(shù)變化時，就要重新列寫并求解微分方程，不便于對系統(tǒng)的分析和設(shè)計。

復(fù)數(shù)域模型包括系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖。傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)性能，而且可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。頻域模型主要描述系統(tǒng)的頻率特性。頻率特性與系統(tǒng)的參數(shù)及結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。例如，對于二階系統(tǒng)，頻率特性與過渡過程性能指標(biāo)有確定的對應(yīng)關(guān)系，對于高階系統(tǒng)，兩者也存在近似關(guān)系，故可以用研究頻率特性的方法，把系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)的變化與過渡過程指標(biāo)聯(lián)系起來。

相對于時域和復(fù)數(shù)域模型來說，頻域模型中的頻率特性有明確的物理意義，很多元部件的頻率特性都可以用實驗的方法來確定。這對于難以從分析其物理規(guī)律著手來列寫動態(tài)方程的元部件和系統(tǒng)有很大的實際意義。

1.微分方程

1)微分方程的一般形式

對于單輸入—單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)，系統(tǒng)微分方程具有下列一般形式:(2-1)式中:c(t)——系統(tǒng)輸出量；

r(t)——系統(tǒng)輸入量；

ai(i=0，1，…，n)和bj(j=0，1，…，m)——與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。

設(shè)r(t)和c(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值均為零，即零初始條件，則對上式中各項分別求拉普拉斯變換，并令C(s)=［c(t)］，R(s)=［r(t)］，可得到的代數(shù)方程為由定義得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為(2-2)式中:M(s)=b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bm

N(s)=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an

2)機電傳動控制系統(tǒng)微分方程的建立

建立控制系統(tǒng)的微分方程時，一般先由系統(tǒng)原理線路圖畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并分別列寫出組成系統(tǒng)各元件的微分方程；然后，消去中間變量，便得到描述系統(tǒng)輸出量與輸入量關(guān)系的微分方程。列寫微分方程的步驟可歸納如下:

(1)根據(jù)元件的工作原理及其在控制系統(tǒng)中的作用，確定其輸入量和輸出量。

(2)分析元件在工作中所遵循的物理規(guī)律或化學(xué)規(guī)律，列寫相應(yīng)的微分方程。

(3)消去中間變量，得到輸出量與輸入量之間關(guān)系的微分方程便是元件時域的數(shù)字模型。一般情況下，應(yīng)將微分方程寫為標(biāo)準(zhǔn)形式，即與輸入量有關(guān)的項寫在方程的右端，與輸出量有關(guān)的項寫在方程的左端，方程兩端變量的導(dǎo)數(shù)項均按降冪排列。

列寫系統(tǒng)各元件的微分方程時，一是應(yīng)注意信號傳送的單向性，即前一個元件的輸出是后一個元件的輸入，一級一級地單向傳送；二是應(yīng)注意前后連接的兩個元件中，后級對前級的負載效應(yīng)，例如，無源網(wǎng)絡(luò)輸入阻抗對前級的影響，齒輪系統(tǒng)對電動機轉(zhuǎn)動慣量的影響等。

2.傳遞函數(shù)

1)基本概念

在控制工程中，表示系統(tǒng)或環(huán)節(jié)輸入輸出關(guān)系的代表性函數(shù)是傳遞函數(shù)。零初始條件下，其定義如下:所謂拉普拉斯變換，是一種將微分方程變換為代數(shù)方程的方法，可以使微分方程的求解簡便，它把時間函數(shù)f(t)變換為復(fù)數(shù)s的函數(shù)F(s)。其定義式為

根據(jù)這個定義確定的拉普拉斯變換有如下性質(zhì):

f(t)的時間微分拉普拉斯變換為其中f(0)為初始值。若將f(0)及其各階導(dǎo)數(shù)設(shè)為0，即在零初始條件下，則有利用這個性質(zhì)，使微分方程經(jīng)拉普拉斯變換后變成s的代數(shù)方程。

各種函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換F(s)，以及從拉普拉斯變換F(s)到時間函數(shù)的逆拉普拉斯變換，都以拉普拉斯變換表的形式給出。

2)傳遞函數(shù)的性質(zhì)

(1)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，具有復(fù)變函數(shù)的全部性質(zhì)，所有系數(shù)均為實數(shù)。

(2)傳遞函數(shù)是一種用系統(tǒng)參數(shù)表示輸出量與輸入量之間關(guān)系的表達式，它只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與輸入量的形式無關(guān)，也不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息。因此，可以用圖2-1所示的結(jié)構(gòu)圖來表示一個具有傳遞函數(shù)G(s)的線性系統(tǒng)。圖中表明，系統(tǒng)輸入量與輸出量的因果關(guān)系可以用傳遞函數(shù)聯(lián)系起來。圖2-1傳遞函數(shù)

(3)傳遞函數(shù)與微分方程有相通性。傳遞函數(shù)的分子多項式系數(shù)及分母多項式系數(shù)，分別與相應(yīng)微分方程的右端及左端微分算符多項式系數(shù)相對應(yīng)。故將微分方程的算符d／dt用復(fù)數(shù)s置換便得到傳遞函數(shù)；反之，將傳遞函數(shù)多項式中的變量s用微分算符d／dt置換便得到微分方程。例如，由傳遞函數(shù)可得s的代數(shù)方程:用微分算符d／dt置換s便得到相應(yīng)的微分方程:

(4)傳遞函數(shù)G(s)的拉普拉斯反變換是脈沖響應(yīng)g(t)。脈沖響應(yīng)(也稱脈沖過渡函數(shù))g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖δ(t)輸入時的輸出響應(yīng)。

因為C(s)=R(s)G(s)，當(dāng)r(t)=δ(t)時，R(s)=

［δ(t)］=1，則C(s)=

［g(t)］，故有

c(t)=g(t)=

-1［G(s)］

3)傳遞函數(shù)的物理含義

傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的?？刂葡到y(tǒng)的零初始條件有兩方面的含義:

(1)指輸入量在t≥0時才作用于系統(tǒng)，因此，在t=0-時，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為零。

(2)指輸入量加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0-

時的值也為零，現(xiàn)實的工程控制系統(tǒng)多屬此類情況。

因此，傳遞函數(shù)可表征控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，并可用來求解輸入量給定時系統(tǒng)的零初始條件響應(yīng)。

3.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

在控制工程中，結(jié)構(gòu)圖指描述系統(tǒng)各元件之間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形。結(jié)構(gòu)圖表示系統(tǒng)輸入變量與輸出變量之間的因果關(guān)系以及系統(tǒng)中各變量所進行的運算，是控制工程中描述復(fù)雜系統(tǒng)的一種非常簡便的方法。

1)結(jié)構(gòu)圖的組成

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖由多組信號組成，它包括以下四個基本單元。

(1)信號線。信號線是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號傳遞的方向，如圖2-2(a)所示。

在線上寫出時間函數(shù)或其拉氏變換。

(2)引出點(測量點)。引出點表示信號引出或測量的位置，同一位置引出的信號特性完全相同，如圖2-2(b)所示。(3)比較點(綜合點)。比較點表示兩個或兩個以上信號的相加、減運算?！?”表示信號相加，有時“+”可以省略不寫；“-”表示信號相減，如圖2-2(c)所示。

(4)環(huán)節(jié)。環(huán)節(jié)表示信號進行的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換，可在方框中寫入元件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，如圖2-2(d)所示。顯然，方框的輸出變量就等于輸入變量與傳遞函數(shù)的乘積，即Uo(s)=G(s)Ui(s)。圖2-2結(jié)構(gòu)圖的四種基本單元

2)結(jié)構(gòu)圖的等效變換

(1)串聯(lián)結(jié)構(gòu)圖的等效變換。圖2-3(a)所示的串聯(lián)結(jié)構(gòu)圖可以等效地轉(zhuǎn)換為圖2-3(b)所示的結(jié)構(gòu)圖。串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)為每個串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積，即

G(s)=G1(s)G2(s)…Gn-1(s)Gn(s)(2-3)圖2-3串聯(lián)結(jié)構(gòu)圖

(2)并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效結(jié)構(gòu)圖。圖2-4(a)所示的并聯(lián)環(huán)節(jié)可以等效為圖2-4(b)所示的環(huán)節(jié)。

并聯(lián)環(huán)節(jié)總的傳遞函數(shù)等于各個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和。并聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

G(s)=G1(s)+G2(s)+…+Gn-1(s)+Gn(s)(2-4)圖2-4并聯(lián)結(jié)構(gòu)圖

(3)反饋環(huán)節(jié)的等效結(jié)構(gòu)圖。圖2-5(a)所示的反饋環(huán)節(jié)可以等效為圖2-5(b)所示的結(jié)構(gòu)圖。

輸入與輸出之間的關(guān)系為:

Ui(s)B(s)=E(s)

(2-5)

E(s)G(s)=Uo(s)

(2-6)

Uo(s)H(s)=B(s)

(2-7)式(2-5)中:“-”表示負反饋，“+”表示正反饋。將式(2-7)代入式(2-5)得

Ui(s)Uo(s)H(s)=E(s)

(2-8)

將式(2-8)代入式(2-6)得

［Ui(s)Uo(s)H(s)］G(s)=Uo(s)

(2-9)

化簡式(2-9)得

(2-10)式(2-10)中，G(s)表示前向通道的傳遞函數(shù)，G(s)H(s)表示閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。圖2-5反饋環(huán)節(jié)2.2.1機械移動系統(tǒng)

機械移動系統(tǒng)的基本元件是質(zhì)量、阻尼和彈簧，圖2-6是這三個機械元件的符號表示。

圖中:F(t)代表外力；x(t)代表位移；m代表質(zhì)量；f為粘滯阻尼系數(shù)；k為彈簧剛度。由圖可得到質(zhì)量的數(shù)學(xué)模型為

2.2機械傳動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型阻尼的數(shù)學(xué)模型為

彈簧的數(shù)學(xué)模型為

F(t)=k［x1(t)-x2(t)］

建立機械移動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基本方程是牛頓第二定律。下面舉例說明機械平移系統(tǒng)的建模方法。圖2-6機械移動元件的符號表示

例1

圖2-7(a)所示的是組合機床動力滑臺銑平面的情況。

設(shè)動力滑臺的質(zhì)量為m，液壓缸的剛度為k，粘滯阻尼系數(shù)為C，外力為f(t)。若不計動力滑臺與支承之間的摩擦力，則系統(tǒng)可以簡化為如圖2-7(b)所示的力學(xué)模型。根據(jù)牛頓第二定律可知，系統(tǒng)的運動方程為

(2-11)圖2-7動力滑臺銑平面及其力學(xué)模型對上式取拉氏變換，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(2-12)

例2

圖2-8為車輛隔振裝置的力學(xué)模型。根據(jù)牛頓第二定律，系統(tǒng)運動方程為

(2-13)圖2-8車輛隔振裝置的力學(xué)模型式中:m——質(zhì)量；

C——阻尼系數(shù)；

k——彈簧剛度。

對式(2-13)進行拉氏變換，得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

(2-14)

由上式可看出，其系統(tǒng)傳遞函數(shù)和動力滑臺的傳遞函數(shù)一樣。根據(jù)式(2-14)可畫出系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖如圖2-9所示。圖2-9系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖

例3

圖2-10為車輛振動系統(tǒng)的簡化模型。

根據(jù)牛頓定律，可建立系統(tǒng)運動方程。車體振動方程為

(2-15)

式中:m1——車體質(zhì)量；

x1——車體位移；

C——減振器阻尼系數(shù)；

k1——彈簧剛度。車輪振動方程為

(2-16)

式中:m2——車輪質(zhì)量；

x2——車輪位移；

k2——彈簧剛度。圖2-10車輛振動系統(tǒng)的簡化模型對式(2-15)和式(2-16)進行拉氏變換，可得:

m1s2X1(s)=-Cs［X1(s)-X2(s)］-k1［X1(s)-X2(s)］

(2-17)

m2s2X2(s)=F(s)-Cs［X2(s)-X1(s)］-k1［X2(s)-X1(s)］-k2X2(s)

(2-18)由式(2-17)和式(2-18)可畫出系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖，如圖2-11(a)、(b)所示。根據(jù)等效變換規(guī)則，圖2-11(c)中的G1(s)和

G2(s)可由下式計算:

(2-19)

(2-20)由圖2-11(c)可得:

(2-21)

(2-22)聯(lián)立求解式(2-21)和式(2-22)，可得出以作用力F(s)為輸入，分別以X1(s)和X2(s)為輸出位移的傳遞函數(shù)為

(2-23)(2-24)圖2-11車輛振動傳遞函數(shù)系統(tǒng)框圖

式(2-23)和式(2-24)完全描述了該機械系統(tǒng)的動力特性，只要給定汽車的質(zhì)量、輪子的質(zhì)量、阻尼及彈簧剛度，便可決定車輛行駛的運動特性。2.2.2機械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)

機械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的基本元件是轉(zhuǎn)動慣量、阻尼和彈簧，圖2-12是這三個機械元件的符號表示。圖中:M(t)代表外力矩；θ(t)代表轉(zhuǎn)角；J代表轉(zhuǎn)動慣量；f為粘滯阻尼系數(shù)；k為彈簧剛度。

由圖可得到轉(zhuǎn)動慣量的數(shù)學(xué)模型為圖2-12機械轉(zhuǎn)動元件的符號表示粘滯阻尼器的數(shù)學(xué)模型為

彈簧的數(shù)學(xué)模型為

M(t)=k［θ1(t)-θ2(t)］

建立機械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基本方程仍是牛頓第二定律。下面舉例說明機械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的建模方法。圖2-13扭擺工作原理

例4

簡單扭擺的工作原理如圖2-13所示，圖中J為擺錘的轉(zhuǎn)動慣量；C為擺錘與空氣間的粘滯阻尼系數(shù)；k為扭簧的彈性剛度；M(t)為加在擺錘上的扭矩；θ(t)為擺錘轉(zhuǎn)角，則

系統(tǒng)的運動方程為

(2-25)

對上式取拉氏變換，得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(2-26)

例5

圖2-14(a)是電動機-齒輪的理想傳動系統(tǒng)，其中電動機產(chǎn)生的力矩M，通過齒輪傳動比i帶動負載，設(shè)J1、b1和J2、b2分別是電動機軸和負載軸上的轉(zhuǎn)動慣量和阻尼系數(shù)，并忽略轉(zhuǎn)軸上的彈性變形，則得到如圖2-14(b)所示的二軸自由體圖。圖2-14電動機-齒輪理想傳動系統(tǒng)根據(jù)電動機與負載間的力矩平衡關(guān)系可得下列運動方程:

(2-27)

式中:M1和M2——兩個齒輪z1和z2的傳遞力矩。假設(shè)動力傳遞過程中無功率損耗，則有

(2-28)

因為，故上式可寫成

(2-29)

聯(lián)立式(2-27)、式(2-29)，求解得:

(2-30)可見，負載轉(zhuǎn)動慣量折算到電動機軸上為，負載的阻尼系數(shù)也可以同樣的方式折算。設(shè)

則相應(yīng)的傳遞函數(shù)可寫成下列形式:

(2-31)

其框圖如圖2-14(c)所示。電路網(wǎng)絡(luò)是建立電路系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。電路網(wǎng)絡(luò)包括無源電路網(wǎng)絡(luò)和有源電路網(wǎng)絡(luò)兩部分。建立電路網(wǎng)絡(luò)動態(tài)模型的依據(jù)是電工學(xué)方面的物理定律，如基爾霍夫定律等。電路系統(tǒng)與機械系統(tǒng)所討論的微分方程形式完全相同，為了分析方便，常使用復(fù)阻抗的概念來建立電路系統(tǒng)模型，這時電阻用R表示，電感用Ls表示，而電容用表示，這樣可用算子為s的代數(shù)方程直接代替復(fù)雜的微分方程，從而方便地得到電路網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

這里首先介紹電路網(wǎng)絡(luò)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的概念。2.3電氣傳動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型圖2-15RC網(wǎng)絡(luò)對于圖2-15所示的RC網(wǎng)絡(luò)，可以用消元的方法求出它的傳遞函數(shù)。但是，如果方程組的子方程數(shù)較多，則消元是比較麻煩的，而且消元之后僅剩下輸入和輸出兩個變量，信號

中間過程得不到反映。利用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖能形象、直觀地表明輸入信號在系統(tǒng)或元件中的傳遞過程。因此，用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)顯得簡單、方便。

由圖2-15可知，RC網(wǎng)絡(luò)的微分方程組為將上式進行拉氏變換可得:

Ui(s)-Uo(s)=RI(s)

(2-32)

Uo(s)=(2-33)

式(2-32)可寫成:

(2-34)

式(2-32)的框圖見圖2-16(a)，式(2-33)的框圖見圖2-16(b)。圖2-16式(2-32)和式(2-33)的框圖將圖2-16(a)和圖2-16(b)合并，可得RC網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖，如圖2-17所示。由圖可寫出RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

(2-35)對于圖2-18(a)所示的RC無源網(wǎng)絡(luò)，可用復(fù)阻抗概念直接建立電路網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型。圖2-17RC網(wǎng)絡(luò)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖圖2-18RC無源網(wǎng)絡(luò)及其動態(tài)結(jié)構(gòu)圖由圖可知:

根據(jù)以上關(guān)系式可建立RC無源網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖，如圖2-18(b)所示。由圖可得出系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

(2-36)

圖2-19所示為一種有源帶通濾波器。圖2-19有源帶通濾波器設(shè)中間變量為i1(t)、i2(t)、i3(t)、i4(t)和uA(t),則有如下方程組:

Ui(s)-UA(s)=I1(s)R1

I1(s)=I2(s)+I3(s)+I4(s)

消去中間變量I1(s)、I2(s)、I3(s)、I4(s)和UA(s)，得該網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

(2-37)2.3.2控制電動機

電動機是機電傳動控制系統(tǒng)中重要的動力元件之一，在數(shù)學(xué)建模時，既要考慮電動機內(nèi)部的電磁相互作用，又要考慮電動機帶有負載的情況。電動機分直流電動機和交流電動機兩大類，直流電動機的控制技術(shù)已經(jīng)比較成熟，交流電動機的控制技術(shù)近年來也發(fā)展很快。

1.電樞控制式直流電動機

圖2-20為電樞控制式直流電動機的原理圖。對于電樞回路，有下述關(guān)系:

(2-38)

式中:ei(t)——電動機電樞輸入電壓;

Ra(t)——電樞繞組電阻；

ia(t)——電樞繞組電流；

La——電樞繞組電感；

em(t)——電動機感應(yīng)電動勢。圖2-20電樞控制式直流電動機的原理圖電動機轉(zhuǎn)矩M(t)與電樞繞組電流ia(t)成正比，設(shè)電動機力矩常數(shù)為KT，則有

M(t)=KTia(t)

(2-39)

電動機感應(yīng)電動勢與角速度成正比，設(shè)反電動勢常數(shù)為Ke，則有

(2-40)

式中:θo(t)——電動機輸出轉(zhuǎn)角。

根據(jù)力的平衡原理，有

(2-41)式中:J——電動機及負載折算到電動機軸上的轉(zhuǎn)動慣量；

C——電動機及負載折算到電動機軸上的阻尼系數(shù)。

將式(2-38)～(2-41)聯(lián)立，消去中間變量可得:

(2-42)

對上式取拉氏變換，可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

(2-43)由于La通常較小，故上式可近似簡化為

(2-44)式中:

——電動機的時間常數(shù)；

——電動機的增益常數(shù)。

若忽視阻尼系數(shù)C的影響，則傳遞函數(shù)可進一步簡化為

(2-45)式中:

2.磁場控制式直流電動機

圖2-21是磁場控制式直流電動機的原理圖。對于輸入回路，有

(2-46)

式中:ei(t)——勵磁繞組輸入電壓；

Lf(t)——勵磁繞組電感；

if(t)——勵磁繞組電流；

Rf——勵磁繞組電阻。圖2-21磁場控制式直流電動機的原理圖由于電動機轉(zhuǎn)矩M(t)與電樞電流ia和氣隙磁通的乘積成正比，ia為常量，Ra為電樞電路的電阻，而磁通與勵磁電流成正比，故轉(zhuǎn)矩M(t)與勵磁電流if(t)成正比。所以有

M(t)=KTif(t)

(2-47)

式中:KT——電動機力矩常數(shù)。

根據(jù)力的平衡方程有

(2-48)將式(2-46)、式(2-47)、式(2-48)聯(lián)立，消去中間變量if(t)、M(t)，經(jīng)拉氏變換得傳遞函數(shù)為

(2-49)

通常，由于，因此傳遞函數(shù)可化簡為

(2-50)式中:

3.直流發(fā)電機

圖2-22是直流發(fā)電機的原理圖。圖中:ei(t)為輸入控制電壓；eo(t)為發(fā)電機輸出電壓；Rf、Rg為電阻；Lf、Lg為電感；if(t)、ig(t)為電流；ZL為負載阻抗；eL(t)為負載電壓。對于輸入回路，根據(jù)基爾霍夫定律有

(2-51)圖2-22直流發(fā)電機的原理圖當(dāng)發(fā)電機的轉(zhuǎn)軸恒速轉(zhuǎn)動時，發(fā)電機輸出電壓eo(t)可認為與控制電流if(t)成正比，即

eo(t)=Kgif(t)

(2-52)式中:Kg為常數(shù)。

將式(2-51)、式(2-52)聯(lián)立，消去中間變量if(t)，經(jīng)拉氏變換后可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

(2-53)式中:

在機電控制系統(tǒng)中，廣泛使用的直流測速機是一種小型直流發(fā)電機。測速機的激磁是恒定的，即圖2-22中的控制電壓應(yīng)保持恒定，輸入變量是發(fā)電機軸的轉(zhuǎn)速，測速發(fā)電機的輸出電壓與輸入轉(zhuǎn)速成正比，其傳遞函數(shù)為

在分析機電系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的時候可以發(fā)現(xiàn)，許多機械系統(tǒng)和電路系統(tǒng)具有相似性，從而對機械系統(tǒng)的研究可以轉(zhuǎn)化為對電路系統(tǒng)的研究。這種轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)是求出機械系統(tǒng)的等效電路以進行電路模擬。因此，機電模擬法是一種十分有效的分析評估方法。2.4機電系統(tǒng)相似模型

分析機械系統(tǒng)時，采用機電模擬法把機械系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為相似的電系統(tǒng)來研究，具有許多優(yōu)點:可以將一個復(fù)雜的機械系統(tǒng)變換為相似的電路圖，利用電路理論分析機械系統(tǒng)，可使問題變得簡單；可以利用相似電路來模擬機械系統(tǒng)，用相似電路進行系統(tǒng)分析(實驗)時，由于電路元件易于更換，且電氣參數(shù)(如電流、電壓等)容易測量，因而可以很方便地觀察系統(tǒng)參數(shù)的變化對系統(tǒng)性能的影啊，從而為選定參數(shù)來構(gòu)成具有優(yōu)良性能的系統(tǒng)提供了便利。所以機電模擬法在振動系統(tǒng)、換能器系統(tǒng)等場合的分析中得到了較廣泛的應(yīng)用。如果機械系統(tǒng)和電氣系統(tǒng)的運動微分方程在數(shù)學(xué)表達式的結(jié)構(gòu)上相同，則稱它們具有相似性。兩個相似系統(tǒng)中相對應(yīng)的物理量稱之為相似量。相似性是建立等效電路的前提，等效電路可用基爾霍夫定律建立。而運動微分方程中的相應(yīng)項也是可以類比的。下面以單自由度振動系統(tǒng)為例，研究機電系統(tǒng)的相似性。圖2-23(a)所示的機械網(wǎng)絡(luò)是單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，在外力f(t)作用下產(chǎn)生位移x。應(yīng)用達朗貝爾原理，作用在

質(zhì)量為m的物體上的所有外力總和為零，即

(2-54)式中:m——質(zhì)量；

b——阻尼系數(shù)；

k——彈簧剛度；

f(t)——外力。圖2-23機械網(wǎng)絡(luò)和電網(wǎng)絡(luò)的相似性所以，機械網(wǎng)絡(luò)的運動微分方程為

(2-55)因速度，故式(2-55)也可寫成

(2-56)

再看圖2-23(b)所示的電網(wǎng)絡(luò)，應(yīng)用基爾霍夫定律，在任一回路中流入任一節(jié)點的電流的總和為零，得到該電網(wǎng)絡(luò)的電流方程為

(2-57)式中:C——電容；

R——電阻；

L——電感；

i(t)——電流源；

U——電壓。對比式(2-56)和式(2-57)可見，兩個方程形式相同，也就是它們在數(shù)學(xué)上是等同的，故用這兩個方程描述的機械網(wǎng)絡(luò)和電網(wǎng)絡(luò)是相似的。從方程的相應(yīng)項進行對比，應(yīng)有電流i(t)-力f(t)，電容C-質(zhì)量m，節(jié)點電壓U-速度v，電感的倒數(shù)1／L-彈簧剛度k，導(dǎo)納1／R-阻尼系數(shù)b之間可進行類比。再對比圖2-23(a)、(b)的機械網(wǎng)絡(luò)和電網(wǎng)絡(luò)可知，它們分別通

過力源和電流源作用于網(wǎng)絡(luò)。所以，這種相似性稱為力-電流模擬或質(zhì)量-電容模擬(或稱導(dǎo)納模擬)。

1.力-電流相似

對機械系統(tǒng)進行研究時，首先必須確定連接點、參考地和參考方向。連接點是若干機械元件相互連接的地方。若系統(tǒng)中各連接點的力、位移和速度都確定了，則整個系統(tǒng)中各元件的力、位移和速度也就確定了。我們規(guī)定同一剛體上的所有點都屬于同一個連接點。圖2-23中只選了一個連接點。連接點的位移和速度都是相對于參考地而言的(而參考地則相應(yīng)于電系統(tǒng)的公共點——地，見表2-1)。參考方向如圖所示，前面我們得到了圖2-23(a)、(b)所示相似系統(tǒng)的運動方程式——式(2-56)和式(2-57)。

力-電流相似的變換規(guī)則為:機械系統(tǒng)中的一個連接點相應(yīng)于相似電路中的一個節(jié)點，機械系統(tǒng)連接點所連接的驅(qū)動力源及無源機械元件與相似電路中的相應(yīng)節(jié)點所連接的電流源及無源電路元件一一對應(yīng)。同樣規(guī)定，剛體上的所有點都看做處于同一連接點上；在力-電流相似中，質(zhì)量m與電容C相似，而m的速度皆是相對參考地而言的，則在相似電路中，電容器的一端總是接地的，因為與物體m的速度v相似的電容器兩端的電位也是相對于地電位而言的。這樣一來，若有兩個以上的物體剛性相連，則在相似電路中相應(yīng)于兩個以上的電容器接在節(jié)點與地之間。

2.力-電壓相似

對于圖2-23(c)所示的電網(wǎng)絡(luò)，應(yīng)用基爾霍夫電壓定律，閉合回路的所有電壓代數(shù)和為零，則該電網(wǎng)絡(luò)的電壓方程為

(2-58)可見，式(2-56)與式(2-58)形式相同，這表明，由這兩個方程所表示的系統(tǒng)也是相似的。也就是說，激勵電壓u(t)-激勵力f(t)，電感L-質(zhì)量m，回路電流i-速度v，電容的倒數(shù)1／C-彈簧剛度k，電阻R-阻尼系數(shù)b之間可以相互模擬。由于兩個網(wǎng)絡(luò)的激勵源分別是力源和電壓源，因此這種相似性稱為力-電壓模擬、質(zhì)量-電感模擬(或阻抗型模擬)。利用力-電壓相似原理，將一個機械系統(tǒng)變換成相似的電路圖時，應(yīng)遵循如下的變換規(guī)則:機械系統(tǒng)的一個連接點對應(yīng)于一個由電壓源和無源元件所組成的獨立閉合回路，回路中的電壓源和電氣無源元件分別相似于機械系統(tǒng)中的對應(yīng)元件，而參考地則相應(yīng)于電系統(tǒng)的公共點——地。

在將機械系統(tǒng)變換成相似的電路圖時，可以只利用電路的各種符號，而參數(shù)及數(shù)值則原封不動地按相似關(guān)系標(biāo)注在電路圖中。例如，圖2-23(a)的機械系統(tǒng)可變換為圖2-24所示的電路圖，電路的符號皆用相似的機械系統(tǒng)的參數(shù)來標(biāo)注。根據(jù)基爾霍夫電壓定律，可以很容易寫出圖2-24所示的回路方程(見式(2-56))。圖2-24圖2-23(a)機械網(wǎng)絡(luò)的相似電路圖表2-1列出了兩種機電相似方式及機電參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。表2-1機電相似變換表一般說來，在擬定機械系統(tǒng)的等效電路時，可以遵循如下原則:若力是以串聯(lián)方式作用于機械系統(tǒng)，則與這些力相應(yīng)的電路元件處于并聯(lián)；若力是并聯(lián)作用，則電路中相應(yīng)元件處于串聯(lián)。

此外，為了使電模擬完全等效于所研究的機械系統(tǒng)，還要注意用無因次分析求出正確的比例因子，以使機械系統(tǒng)和電氣系統(tǒng)彼此間完全等同。從無因次分析中可以得出以下幾個無因次的量:建立了機電參數(shù)的模擬關(guān)系后，就可以把電模擬應(yīng)用到復(fù)雜系統(tǒng)的分析中去，研究機

電系統(tǒng)的相似性。下面舉例說明。

例6

對圖2-25所示機械平移系統(tǒng)進行力-電壓相似變換，求出系統(tǒng)運動方程式。圖2-25機械平移系統(tǒng)

解由圖2-25，選擇右方向為參考方向的正方向(如x1、x2和F所示方向)；由于m1和m2剛性相同，故可視為一個質(zhì)量(m1+m2)；選擇兩個連接點①和②；參考地為陰影線部分。

從圖2-25可見系統(tǒng)有兩個連接點，故該機械系統(tǒng)的相似電路應(yīng)有兩個獨立的閉合回路。第一個回路相應(yīng)于連接點①，由相似于連接點①上的電壓源u(力源F)，電感L1、L2(質(zhì)量m1、m2)，電容C(彈簧柔度ρ1)和電阻R1(阻尼器f1)所組成。第二個回路相應(yīng)于連接點②，由相似于連接點②上的電感L3(質(zhì)量m3)，電容C0、C1(彈簧柔度ρ1、ρ2)和電阻R1(阻尼器f1)所組成?？梢钥吹剑琑1和C1是兩個回路共有的，所以R1和C1應(yīng)串聯(lián)在兩個回路的公共支路上。由圖2-26(a)所示的相似電路，可以很容易列出它的回路方程:(2-59)(2-60)圖2-26圖2-25力-電壓相似電路(a)用電氣參數(shù)標(biāo)注的相似電路；(b)用機械參數(shù)標(biāo)注的相似電路

再利用力-電壓相似變換表進行相似量的變換，便可得到機械系統(tǒng)的運動方程式。同樣，由圖2-26(b)可直接寫出機械系統(tǒng)的運動方程:

(2-61)

(2-62)

例7

仍以圖2-25所示機械系統(tǒng)為例，應(yīng)用力—電流相似，寫出機械系統(tǒng)的運動方程式。圖2-27圖2-25力-電流相似模擬電路

解選擇圖中的兩個連接點①和②，與之相對應(yīng)，在相似電路中有節(jié)點1和2。按照力-電流相似變換規(guī)則，節(jié)點1和地之間的電位差(速度)為v1，節(jié)點2與地之間的電位差為v2，兩節(jié)點間的電位差為v1-v2。與節(jié)點1相連的有電流源(力源)F，無源元件電容(質(zhì)量)m1、m2及電導(dǎo)(阻尼器)f1和電感(彈簧)ρ1；與節(jié)點2相連的無源元件有電容(質(zhì)量)m3，電感(彈簧)ρ2、ρ1以及電導(dǎo)(阻尼器)f1。節(jié)點1和2之間為電感ρ1和電導(dǎo)f1并聯(lián)。這樣就構(gòu)成了如圖2-27所示的相似電路圖。在圖中，電氣元件的參數(shù)都用相似的機械參數(shù)來標(biāo)注。對此電路圖運用基爾霍夫電流定律，可分別列出節(jié)點1、節(jié)點2的方程:或

可以看到，得到的運動方程式與前面導(dǎo)出的結(jié)果相同。這就表明，無論是應(yīng)用力-電壓相似，還是應(yīng)用力-電流相似，都可獲得機械系統(tǒng)的相似電路圖。數(shù)控伺服系統(tǒng)是非常典型的機電一體化控制系統(tǒng)，這里以數(shù)控位移伺服系統(tǒng)為例，介紹機電一體化控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。數(shù)控伺服系統(tǒng)的原理如圖2-28所示。這個系統(tǒng)由伺服電動機、機械傳動、反饋傳感器及放大器等幾個典型環(huán)節(jié)組成。下面先分析典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型，然后得到整個系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。2.5機電一體化系統(tǒng)模型圖2-28數(shù)控位移伺服系統(tǒng)2.5.1直流伺服電動機

圖2-29為直流伺服電動機原理圖。

根據(jù)基爾霍夫定律有:

(2-63)圖2-29直流伺服電動機原理圖式中:Lm——電動機繞組電感；

im——電動機繞組電流；

Rm——電動機繞組電阻；

Ub——電動機反電動勢；

Um——電動機輸入電壓。其中，反電動勢Ub與電動機的角速度成正比，即

(2-64)

式中:kv——比例系數(shù)。

電動機輸出扭矩Tm與電動機電流im成正比，即

Tm=kvim

(2-65)

設(shè)摩擦轉(zhuǎn)矩為粘滯摩擦，阻尼系數(shù)為kf，則摩擦轉(zhuǎn)矩Tf為

(2-66)電動機轉(zhuǎn)動平衡方程為

(2-67)

式中:T——負載轉(zhuǎn)矩；

Jm——電動機轉(zhuǎn)動慣量。

將式(2-64)代入式(2-63)，再將式(2-65)、式(2-66)代入式(2-67)，可得:

(2-69)(2-68)

負載力矩T由電動機所驅(qū)動的負載決定:

(2-70)

式中:i——齒輪傳動比；

TL——絲杠軸驅(qū)動力矩。TL可由下式計算:

(2-71)其中:kL——絲杠軸等效剛度；

L——絲杠導(dǎo)程；

xL——工作臺位移。

將式(2-70)、式(2-71)代入式(2-69)，并對式(2-68)、式(2-69)進行拉氏變換，有:

Um(s)=Lm(s)Im(s)+RmIm(s)+kvsθm(s)

(2-72)

(2-73)

將式(2-72)化簡可得

(2-74)

將式(2-73)化簡可得

(2-75)2.5.2機械傳動鏈

機械傳動鏈如圖2-30所示，它由齒輪傳動和絲杠螺母傳動組成。圖2-30機械傳動鏈這里引入等效剛度的概念。等效剛度就是僅對其中一個軸列出力矩平衡方程式，而將其余各軸的剛度都折合到這根軸的剛性系數(shù)上來計算。例如，對圖示的傳動鏈，僅對絲杠軸列出力矩平衡方程，這時，絲杠軸的等效剛度為

(2-76)式中:i——齒輪傳動比，i=；

k1、k2——分別為軸Ⅰ和軸Ⅱ的扭轉(zhuǎn)剛度；

k3——工作臺推桿剛度；

L——絲杠導(dǎo)程。

同理，可給出等效轉(zhuǎn)動慣量:

(2-77)式中:J1、J2——分別為軸Ⅰ和軸Ⅱ的轉(zhuǎn)動慣量；

m——工作臺質(zhì)量；

JL——等效轉(zhuǎn)動慣量；

等效阻尼系數(shù)為

(2-78)

式中:f1、f