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浙江省桐鄉(xiāng)市鳳鳴高級中學(xué)2025屆高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)函數(shù)(,)是上的奇函數(shù),若的圖象關(guān)于直線對稱,且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則()A. B. C. D.2.中國古典樂器一般按“八音”分類.這是我國最早按樂器的制造材料來對樂器進(jìn)行分類的方法,最先見于《周禮·春官·大師》,分為“金、石、土、革、絲、木、匏(páo)、竹”八音,其中“金、石、木、革”為打擊樂器,“土、匏、竹”為吹奏樂器,“絲”為彈撥樂器.現(xiàn)從“八音”中任取不同的“兩音”,則含有打擊樂器的概率為()A. B. C. D.3.已知函數(shù)是上的偶函數(shù),是的奇函數(shù),且,則的值為()A. B. C. D.4.若函數(shù)f(x)=x3+x2-在區(qū)間(a,a+5)上存在最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.[-5,0) B.(-5,0) C.[-3,0) D.(-3,0)5.已知條件,條件直線與直線平行,則是的()A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知斜率為2的直線l過拋物線C:的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1,則p=()A.1 B. C.2 D.47.定義:表示不等式的解集中的整數(shù)解之和.若,,,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.8.已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.9.已知非零向量,滿足,,則與的夾角為()A. B. C. D.10.新聞出版業(yè)不斷推進(jìn)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革,深入推動(dòng)優(yōu)化升級和融合發(fā)展,持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出口產(chǎn)品供給,實(shí)現(xiàn)了行業(yè)的良性發(fā)展.下面是2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收增長情況,則下列說法錯(cuò)誤的是()A.2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收均逐年增加B.2016年我國數(shù)字出版業(yè)營收超過2012年我國數(shù)字出版業(yè)營收的2倍C.2016年我國新聞出版業(yè)營收超過2012年我國新聞出版業(yè)營收的1.5倍D.2016年我國數(shù)字出版營收占新聞出版營收的比例未超過三分之一11.已知全集,函數(shù)的定義域?yàn)?,集合,則下列結(jié)論正確的是A. B.C. D.12.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,橢圓:的離心率為,F(xiàn)是的右焦點(diǎn),點(diǎn)P是上第一角限內(nèi)任意一點(diǎn),,,若,則的取值范圍是_______.14.設(shè),則除以的余數(shù)是______.15.執(zhí)行右邊的程序框圖,輸出的的值為.16.已知函數(shù)f(x)=axlnx﹣bx(a,b∈R)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線方程為y=3x﹣e,則a+b=_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖所示,在四棱錐中,底面是棱長為2的正方形,側(cè)面為正三角形,且面面,分別為棱的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的正切值.18.(12分)如圖,湖中有一個(gè)半徑為千米的圓形小島,岸邊點(diǎn)與小島圓心相距千米,為方便游人到小島觀光,從點(diǎn)向小島建三段棧道,,,湖面上的點(diǎn)在線段上,且,均與圓相切,切點(diǎn)分別為,,其中棧道,,和小島在同一個(gè)平面上.沿圓的優(yōu)?。▓A上實(shí)線部分)上再修建棧道.記為.用表示棧道的總長度,并確定的取值范圍;求當(dāng)為何值時(shí),棧道總長度最短.19.(12分)中國古建筑中的窗飾是藝術(shù)和技術(shù)的統(tǒng)一體,給人于美的享受.如圖(1)為一花窗;圖(2)所示是一扇窗中的一格,呈長方形,長30cm,寬26cm,其內(nèi)部窗芯(不含長方形邊框)用一種條形木料做成,由兩個(gè)菱形和六根支條構(gòu)成,整個(gè)窗芯關(guān)于長方形邊框的兩條對稱軸成軸對稱.設(shè)菱形的兩條對角線長分別為xcm和ycm,窗芯所需條形木料的長度之和為L.(1)試用x,y表示L;(2)如果要求六根支條的長度均不小于2cm,每個(gè)菱形的面積為130cm2,那么做這樣一個(gè)窗芯至少需要多長的條形木料(不計(jì)榫卯及其它損耗)?20.(12分)設(shè)函數(shù),其中.(Ⅰ)當(dāng)為偶函數(shù)時(shí),求函數(shù)的極值;(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.21.(12分)在三棱柱中,四邊形是菱形,,,,,點(diǎn)M、N分別是、的中點(diǎn),且.(1)求證:平面平面;(2)求四棱錐的體積.22.(10分)如圖,在四棱錐中,四邊形為正方形,平面,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),,.(1)若,證明:平面平面;(2)若三棱錐的體積為,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)可得,由函數(shù)的對稱軸及單調(diào)性即可確定的值,進(jìn)而確定函數(shù)的解析式,即可求得的值.【詳解】函數(shù)(,)是上的奇函數(shù),則,所以.又的圖象關(guān)于直線對稱可得,,即,,由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知,,即,綜上,則,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,由對稱軸、奇偶性及單調(diào)性確定參數(shù),屬于中檔題.2、B【解析】
分別求得所有基本事件個(gè)數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù),根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】從“八音”中任取不同的“兩音”共有種取法;“兩音”中含有打擊樂器的取法共有種取法;所求概率.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率問題的求解,關(guān)鍵是能夠利用組合的知識求得基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù).3、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性及題設(shè)中關(guān)于與關(guān)系,轉(zhuǎn)換成關(guān)于的關(guān)系式,通過變形求解出的周期,進(jìn)而算出.【詳解】為上的奇函數(shù),,而函數(shù)是上的偶函數(shù),,,故為周期函數(shù),且周期為故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的周期性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
求函數(shù)導(dǎo)數(shù),分析函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的簡圖,得到a滿足的不等式組,從而得解.【詳解】由題意,f′(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函數(shù),在(-2,0)上是減函數(shù),作出其圖象如圖所示.令x3+x2-=-,得x=0或x=-3,則結(jié)合圖象可知,解得a∈[-3,0),故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而研究函數(shù)的最值,屬于??碱}型.5、C【解析】
先根據(jù)直線與直線平行確定的值,進(jìn)而即可確定結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行,所以,解得或;即或;所以由能推出;不能推出;即是的充分不必要條件.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判定,熟記概念即可,屬于基礎(chǔ)題型.6、C【解析】
設(shè)直線l的方程為x=y(tǒng),與拋物線聯(lián)立利用韋達(dá)定理可得p.【詳解】由已知得F(,0),設(shè)直線l的方程為x=y(tǒng),并與y2=2px聯(lián)立得y2﹣py﹣p2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)C(x0,y0),∴y1+y2=p,又線段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1,則y0(y1+y2)=,所以p=2,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的相交弦問題,利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵,屬中檔題.7、D【解析】
由題意得,表示不等式的解集中整數(shù)解之和為6.當(dāng)時(shí),數(shù)形結(jié)合(如圖)得的解集中的整數(shù)解有無數(shù)多個(gè),解集中的整數(shù)解之和一定大于6.當(dāng)時(shí),,數(shù)形結(jié)合(如圖),由解得.在內(nèi)有3個(gè)整數(shù)解,為1,2,3,滿足,所以符合題意.當(dāng)時(shí),作出函數(shù)和的圖象,如圖所示.若,即的整數(shù)解只有1,2,3.只需滿足,即,解得,所以.綜上,當(dāng)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選D.8、C【解析】
由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,列出方程求出的值,即可求解雙曲線的離心率,得到答案.【詳解】由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,可得,解得,此時(shí)雙曲線,則曲線的離心率為,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記雙曲線的幾何性質(zhì),準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
由平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系化簡,即可由平面向量數(shù)量積定義求得與的夾角.【詳解】根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關(guān)系可得,,所以,即,由平面向量數(shù)量積定義可得,所以,而,即與的夾角為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,平面向量夾角的求法,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
通過圖表所給數(shù)據(jù),逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】根據(jù)圖示數(shù)據(jù)可知選項(xiàng)A正確;對于選項(xiàng)B:,正確;對于選項(xiàng)C:,故C不正確;對于選項(xiàng)D:,正確.選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查柱狀圖是識別和數(shù)據(jù)分析,題目較為簡單.11、A【解析】
求函數(shù)定義域得集合M,N后,再判斷.【詳解】由題意,,∴.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算,解題關(guān)鍵是確定集合中的元素.確定集合的元素時(shí)要注意代表元形式,集合是函數(shù)的定義域,還是函數(shù)的值域,是不等式的解集還是曲線上的點(diǎn)集,都由代表元決定.12、D【解析】
直接相乘,得,由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果【詳解】∵∴其共軛復(fù)數(shù)為.故選:D【點(diǎn)睛】熟悉復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由于點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),與軸的正方向的夾角在變,所以先設(shè),又由,可知,從而可得,而點(diǎn)在橢圓上,所以將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程中化簡可得結(jié)果.【詳解】設(shè),,,則,由,得,代入橢圓方程,得,化簡得恒成立,由此得,即,故.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查的是利用橢圓中相關(guān)兩個(gè)點(diǎn)的關(guān)系求離心率,綜合性強(qiáng),屬于難題.14、1【解析】
利用二項(xiàng)式定理得到,將89寫成1+88,然后再利用二項(xiàng)式定理展開即可.【詳解】,因展開式中后面10項(xiàng)均有88這個(gè)因式,所以除以的余數(shù)為1.故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用,涉及余數(shù)的問題,解決此類問題的關(guān)鍵是靈活構(gòu)造二項(xiàng)式,并將它展開分析,本題是一道基礎(chǔ)題.15、【解析】初始條件成立方;運(yùn)行第一次:成立;運(yùn)行第二次:不成立;輸出的值:結(jié)束所以答案應(yīng)填:考點(diǎn):1、程序框圖;2、定積分.16、0【解析】
由題意,列方程組可求,即求.【詳解】∵在點(diǎn)處的切線方程為,,代入得①.又②.聯(lián)立①②解得:..故答案為:0.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見證明;(2)【解析】
(1)取PD中點(diǎn)G,可證EFGA是平行四邊形,從而,得證線面平行;(2)取AD中點(diǎn)O,連結(jié)PO,可得面,連交于,可證是二面角的平面角,再在中求解即得.【詳解】(1)證明:取PD中點(diǎn)G,連結(jié)為的中位線,且,又且,且,∴EFGA是平行四邊形,則,又面,面,面;(2)解:取AD中點(diǎn)O,連結(jié)PO,∵面面,為正三角形,面,且,連交于,可得,,則,即.連,又,可得平面,則,即是二面角的平面角,在中,∴,即二面角的正切值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行證明,考查求二面角.求二面角的步驟是一作二證三計(jì)算.即先作出二面角的平面角,然后證明此角是要求的二面角的平面角,最后在三角形中計(jì)算.18、,;當(dāng)時(shí),棧道總長度最短.【解析】
連,,由切線長定理知:,,,,即,,則,,進(jìn)而確定的取值范圍;根據(jù)求導(dǎo)得,利用增減性算出,進(jìn)而求得取值.【詳解】解:連,,由切線長定理知:,,,又,,故,則劣弧的長為,因此,優(yōu)弧的長為,又,故,,即,,所以,,,則;,,其中,,-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故時(shí),所以當(dāng)時(shí),棧道總長度最短.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用,屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】試題分析:(1)由條件可先求水平方向每根支條長,豎直方向每根支條長為,因此所需木料的長度之和L=(2)先確定范圍由可得,再由面積為130cm2,得,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù),令,則在上為增函數(shù),解得L有最小值.試題解析:(1)由題意,水平方向每根支條長為cm,豎直方向每根支條長為cm,菱形的邊長為cm.從而,所需木料的長度之和L=cm.(2)由題意,,即,又由可得.所以.令,其導(dǎo)函數(shù)在上恒成立,故在上單調(diào)遞減,所以可得.則=.因?yàn)楹瘮?shù)和在上均為增函數(shù),所以在上為增函數(shù),故當(dāng),即時(shí)L有最小值.答:做這樣一個(gè)窗芯至少需要cm長的條形木料.考點(diǎn):函數(shù)應(yīng)用題20、(Ⅰ)極小值,極大值;(Ⅱ)或【解析】
(Ⅰ)根據(jù)偶函數(shù)定義列方程,解得.再求導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律,即得極值,(Ⅱ)先分離變量,轉(zhuǎn)化研究函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性與圖象,最后根據(jù)圖象確定滿足條件的的取值范圍.【詳解】(Ⅰ)由函數(shù)是偶函數(shù),得,即對于任意實(shí)數(shù)都成立,所以.此時(shí),則.由,解得.當(dāng)x變化時(shí),與的變化情況如下表所示:00↘極小值↗極大值↘所以在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.所以有極小值,有極大值.(Ⅱ)由,得.所以“在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于“直線與曲線,有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)”.對函數(shù)求導(dǎo),得.由,解得,.當(dāng)x變化時(shí),與的變化情況如下表所示:00↘極小值↗極大值↘所以在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.又因?yàn)椋?,,,所以?dāng)或時(shí),直線與曲線,有且只有兩個(gè)公共點(diǎn).即當(dāng)或時(shí),函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式
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