2024高考數(shù)學專項復(fù)習專題02 超幾何分布 (典型題型歸類訓練)含解析

2024高考數(shù)學專項復(fù)習專題02超幾何分布（典型題型歸類訓練）

一、必備秘籍

1、超幾何分布

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取〃件（不放回），用X表

示抽取的〃件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為

P(X=k)=k=m,m++r

其中〃，N,MsN；MSN,n<N,m=max{O,n-N+M]fr=min{&M},則稱隨機變

量X服從超幾何分布.

2、公式P(X=k)=中個字母的含義

瑪

N—總體中的個體總數(shù)

M一總體中的特殊個體總數(shù)（如次品總數(shù)）

〃一樣本容量

k一樣本中的特殊個體數(shù)（如次品數(shù)）

注意：

（1）”由較明顯的兩部分組成”：如“男生、女生”，“正品、次品”；

（2）不放回抽樣：

（3）注意分布列的表達式中，各個字母的含義及隨機變量的取電范圍.

二、典型題型

題型一：超幾何分布的概率問題

1.（2024上?浙江湖州?高三統(tǒng)考期末）杭州第19屆亞運會，是繼1990年北京亞運會、2010年廣州亞運會

之后，中國第三次舉辦亞洲最高規(guī)格的國際綜合性體育賽事.2023年9月23FI,杭州亞運會開幕式隆重舉行.

某電商平臺亞運周邊文創(chuàng)產(chǎn)品直播間，主播為當晚7點前登錄該直播間的前N名觀眾設(shè)置了兩輪“慶亞運、

送吉祥物”的抽獎活動.每輪抽獎都是由系統(tǒng)獨立、隨機地從這N名觀眾中抽取15名幸運觀眾，抽中者平臺

會有亞運吉祥物玩偶贈送.而直播時這N名觀眾始終在線，記兩次抽獎中被抽中的幸運觀眾總?cè)藬?shù)為X（幸

運觀眾總?cè)藬?shù)不重復(fù)計數(shù)，例如若某幸運觀眾兩次都被抽中，但只記為1人）.

⑴已知小杭是這前N名觀眾中的一人，若小杭被抽中的概率為：，求N的值；

⑵當P（X=20）取到最大值時，求N的值.

2.（2023?上海普陀?統(tǒng)考一模）我國隨著人口老齡化程度的加劇，勞動力人口在不斷減少，“延遲退休〃已成

為公眾關(guān)注的熱點話題之一，為了了解公眾對“延遲退休〃的態(tài)度，某研究機構(gòu)對屬地所在的一社區(qū)進行了調(diào)

查，并將隨機抽取的50名被調(diào)查者的年齡制成如圖所示的莖葉圖.

女男

67789278

123358323344567

01368994023344589

2385234578

24604

⑴經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，投贊成票的人均年齡恰好是這50人年齡的第60百分位數(shù)，求此百分位數(shù)；

⑵經(jīng)統(tǒng)計年齡在［50,59）的被調(diào)查者中，投贊成票的男性有3人，女性有2人，現(xiàn)從該組被調(diào)查者中隨機選

取男女各2人進行跟蹤調(diào)查，求被選中的4人中至少有3人投贊成票的概率（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）

3.（2023?全國?高二課堂例題）某商場為促銷組織了一次幸運抽獎活動.袋中裝有18個除顏色外其余均相

同的小球，其中8個是紅球，10個是白球.抽獎?wù)邚闹幸淮纬槌?個小球，抽到3個紅球得一等獎，抽至IJ

2個紅球得二等獎，抽到1個紅球得三等獎，抽到0個紅球不得獎.求得一等獎、二等獎和三等獎的概率.

4.（2022上?上海虹口?高二華東師范大學第一附屬中學?？计谀┠撑凹a(chǎn)品的次品率為2%,現(xiàn)從中任

意地依次抽出3件進行檢驗.

⑴當〃=500,〃=5000,n=5（m）,若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？

（2）當〃=500,“=5000,〃=50000,若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？

⑶（1）、（2）分別對應(yīng)哪種分布，并結(jié)合（1）（2）探究兩種分布之間的聯(lián)系.

題型二：利用超幾何分布求分布列、期望和方差

1.（2024上?山東德州?高二統(tǒng)考期末）為落實"雙減"政策，提升課后服務(wù)水平，某小學計劃實行課后看護

工作.現(xiàn)隨機抽取該小學三年級的8個班級并調(diào)查需要課后看護的學生人數(shù)，分布如下:

班級代號12345678

需看護學生人數(shù)2022273025233221

⑴若將上述表格中人數(shù)低于25人的班級兩兩組合進行看護，求班級代號為1、2的兩個班合班看護的概率;

⑵從已抽取的8個班級中隨機抽取3個班，記3個班中需要課后看護的學生人數(shù)低于25人的班級數(shù)為X,

求X的分布列及數(shù)學期望.

2.（2024上?廣東潮州?高三統(tǒng)考期末）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南門古夜市正式開業(yè)了，

首期共有70個攤位，集聚了潮州各式美食!南門古夜市的開業(yè)，推動潮州菜產(chǎn)業(yè)發(fā)展，是潮州美食產(chǎn)業(yè)的又

一里程碑.為了解游客對潮州美食的滿意度，隨機對100名游客進行問卷調(diào)查（滿分100分），這100名

游客的評分分別落在區(qū)間[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]內(nèi),統(tǒng)計結(jié)果如頻率分布直方圖所

⑴根據(jù)頻率分布直方圖，求這10C名游客評分的平均值（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點，直為代表）；

⑵為了進一步了解游客對潮州美食的評價，采用分層抽樣的方法從滿意度評分位于分組150,60）,160,70）,

180,90）的游客中抽取10人，再從中任選3人進行調(diào)查，求抽到滿意度評分位于180,90）的人數(shù)；的分布列和

數(shù)學期望.

3.（2024上?廣東揭陽?高三統(tǒng)考期末）為增強學生體質(zhì)，某校高一（1）班組織全班同學參加限時投籃活動，

記錄他們在規(guī)定時間內(nèi)的進球個數(shù)，將所得數(shù)據(jù)分成［6,10）,［10,14）,［14,18）,［18,22）,［22,26］這5組,

并得到如下頻率分布直方圖：

⑴估計全班同學的平均進球個數(shù).（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）

（2）現(xiàn)按比例分配的分層隨機抽樣方法，從進球個數(shù)在［10,14）,［14,18）,［22,26］內(nèi)的同學中抽取8人進行培

訓，再從中抽取3人做進一步培訓.

（i）記這3人中進球個數(shù)在［14,18）的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望；

（ii）已知抽取的這3人的進球個數(shù)不全在同一區(qū)間，求這3人的進球個數(shù)在不同區(qū)間的概率.

4.（2023上?河南南陽?高三南陽中學?？茧A段練習）假設(shè)某市大約有800萬網(wǎng)絡(luò)購物者，某電子商務(wù)公司

對該地區(qū)〃名網(wǎng)絡(luò)購物者某年度上半年前6個月內(nèi)的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額（單位：萬元）都

在區(qū)間［051.1］內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖中的〃，b,c,d滿足

”=。+0.5=人+1=a+1.5,且從左到右6個小矩形依次對應(yīng)第一至六小組，第五小組的頻數(shù)為2400.

（2）現(xiàn)用分層抽樣方法從前4組中選出18人進行網(wǎng)絡(luò)購物愛好調(diào)查，

①求在各組應(yīng)該抽取的人數(shù)；

②在前2組所抽取的人中，再隨雙抽取3人，記這3人來自第一組的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列與

數(shù)學期望.

5.（2023上?甘肅白銀?高三甘肅省靖遠縣第一中學校聯(lián)考階段練習）某商家2023年1月至7月A商品的月

銷售量的數(shù)據(jù)如下圖所示，若月份工與A商品的月銷售量），存在線性關(guān)系.

（1）求月份工與A商品的月銷售量）的回歸直線方程；

⑵若規(guī)定月銷售量大于35的月份為合格月，在合格月中月銷售最低于50的視為良好，記5分，月銷售量

不低于50的視為優(yōu)秀，記10分，從合格月中任取3個月，川X表示賦分之和，求X的分布列和數(shù)學期望.

2>/一，心7

參考公式：回歸直線方程￡，=小+4,其中6=9-加，力=號---------2內(nèi)=1344萬=43.

后2i=l

1=1

三、專項訓練

1.（2024上?湖南常德?高三常德市一中?？茧A段練習）火車晚點是人們在旅行過程中最常見的問題之一，

針對■這個問題，許多人都會打電話進行投訴.某市火車站為了解每年火車的正點率1%對每年顧客投訴次數(shù)）'

（單位：次）的影響，對近8年（2015年~2022年）每年火車正點率x%和每年顧客投訴次數(shù)N的數(shù)據(jù)作了

初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計量的值.

88

Zx

1=1i=!

;=1C=1

60059243837.293.8

⑴求）'關(guān)于％的經(jīng)驗回歸方程；若預(yù)計2024年火車的正點率為84%,試估算2024年顧客對火車站投訴的

次數(shù)：

⑵根據(jù)顧客對火車站投訴的次數(shù)等標準，該火車站這8年中有6年被評為“優(yōu)秀〃，2年為“良好〃，若從這8

年中隨機抽取3年，記其中評價“良好”的年數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

附：經(jīng)驗回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：

〃__

.2菁8一〃.，

方=三---------，a=y-bx

/=!

2.（2023?陜西西安?統(tǒng)考一模）為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對

照組（不加藥物）和實驗組（加藥物）.

⑴設(shè)其中兩只小鼠中在對照組中小鼠數(shù)目為X,求X的分布列利數(shù)學期望；

⑵測得40只小鼠體重如下（單位：g）：（已按從小到大排好）

對照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

實驗組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)，〃，并完成下面2x2列聯(lián)表:

<23.4之23.4

合計

對照組

實驗組

合計

（ii）根據(jù)2x2列聯(lián)表，能否有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.

n(ad-bc)~

附：K?=其中〃=a+Z?+c+d.

[a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

福4）0.100.050.010

k。2.7063.8416.635

3.（2023上吶蒙古呼倫貝爾?高二海拉爾第二中學?？计谀┮阎凶觾?nèi)有大小相同的10個球，其中紅球

?

有出個，口知從盒了中任取2個球都是紅球的概率為百.

⑴求力的值;

⑵現(xiàn)從盒子中任取3個球，記取出的球中紅球的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

4.（2023?全國?模擬預(yù)測）為落實節(jié)能減排的國家政策，某職能部門對市場上兩種設(shè)備的使徒壽命進行調(diào)

查統(tǒng)計，隨機抽取A型和8型設(shè)備各100臺，得到如下頻率分布直方圖.

⑴將使用壽命

O15002IXM)25003000550040(10使用府命

B電

超過2500小時和不超過25（）。小時的臺數(shù)填入卜.面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=（）.（X）l的獨立性檢驗，判

斷使用壽命是否超過2500小時與型號有沒有關(guān)聯(lián)，說明理由.

使用壽命

型號超過2500小不超過2500小合計

時時

A型

B型

合計

（2）用分層抽樣的方法從使用壽命不超過2500小時的A型和8型設(shè)備中共抽取16臺，再從這16臺設(shè)備中隨機

抽取2臺，設(shè)其中A型設(shè)備有X臺，求X的分布列和E（X?）.

⑶現(xiàn)有一項工作需要10臺同型號設(shè)備同時工作2500小時才能完成，工作期間若設(shè)備損壞，則立即更換同型

號設(shè)備（更換設(shè)備的時間忽略不計）.A型和3型設(shè)備每臺的價格分別為1萬元和0.6萬元，A型和3型設(shè)

備每臺每小時分別耗電2度（1度=1千瓦時）和6度，電價為0.75元/度.用頻率估計概率，只考慮設(shè)備的成

本和電費，你認為應(yīng)選擇哪種型號的設(shè)備？說明理由.

,n(ad-bc\..,

附：/-=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'具中〃=

*/次）0.0500.010().(X)1

k03.8416.63510.828

5.(2023?全國?高二課堂例題)一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨

機地摸出20個球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個數(shù).

⑴分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列：

(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率:

6.(2022上?上海嘉定?高二?？计谥?已知共15張卡牌由5張紅卡、10張其它顏色卡組成，混合后分3

輪發(fā)出，每輪隨機發(fā)出5張卡.

⑴求事件"第1輪無紅色卡牌”的概率Pi:

(2)求事件“第1輪有至少3張紅色卡牌〃的概率P2；

⑶求事件"每輪均有紅色卡牌〃的概率.

7.(2022?北京?景山學校?？寄M預(yù)測)4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日為了解某地

區(qū)高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了500名高一學生進行在線調(diào)查，得到了這500名學

生的日平均閱讀時間(單位：小時〕，并將樣本數(shù)據(jù)分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],

(14,16],(16,18]九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

碓

0.15................

024681012141618日平均閱讀時間/小時

⑴從這500名學生中隨機抽取一人，日平均閱讀時間在（10/2］內(nèi)的概率；

（2）為進?步了解這500名學生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在

（12,14］,（14,16］,（1618］三組內(nèi)的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3

人，記日平均閱讀時間在（14,16］內(nèi)的學生人數(shù)為X,求X的分行列和數(shù)學期望；

⑶以樣本的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學生中隨機抽取10名學生，用戶（A）表示這10名學生中恰有

女名學生日平均閱讀時間在（8,12］內(nèi)的概率，其中A=0,1,2,10.當P（燈最大時，寫出攵的值.（只

需寫出結(jié)論）

8.（2020?福建福州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）某省2021年開始將全面實施新高考方案.在6門選擇性考試科目中，

物理、歷史這兩門科目采用原始分計分；思想政治、地理、化學、生物這4門科目采用等級轉(zhuǎn)換賦分，將

每科考生的原始分從高到低劃分為A,B,C,D,E共5個等級，各等級人數(shù)所占比例分別為15%、35%、

35%、13%和2%,并按給定的公式進行轉(zhuǎn)換賦分.該省組織了一次高一年級統(tǒng)一考試，并對思想政治、地

理、化學、生物這4門科目的原始分進行了等級轉(zhuǎn)換賦分.

（2）假設(shè)該省此次高一學生生物學科原始分丫服從正態(tài)分布M75.8,36）.若y~N（〃,『），令上幺，則

（7

7-mi）,請解決下列問題：

①若以此次高一學生生物學科原始分c等級的最低分為實施分層教學的劃線分，試估計該劃線分大約為多

少分？（結(jié)果保留為整數(shù)）

②現(xiàn)隨機抽取了該省800名高一學生的此次生物學科的原始分，若這些學生的原始分相互獨立，記J為被

抽到的原始分不低于71分的學生人數(shù)，求24=幻取得最大值時々的值.

附：若"mi）,則M0.8）?0.788,Pg,1.04）。0.85.

9.（2020?安徽安慶?統(tǒng)考二模）某小區(qū)為了加強對“新型冠狀病毒〃的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不

受影響，小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應(yīng).為做好甲類生活物資的供應(yīng)，超市對社區(qū)居民

戶每天對甲類生活物資的購買量進行了調(diào)查，得到了以下頻率分布直方圖.

（1）從小區(qū)超市某天購買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶.

①若將頻率視為概率，求至少有兩戶購買量在［3,4）（單位：kg）的概率是多少？

②若抽取的5戶中購買量在［3,6］（單位：kg）的戶數(shù)為2戶，從5戶中選出3戶進行生活情況調(diào)查，記3

戶中需求量在［3,6］（單位：kg）的戶數(shù)為求J的分布列和期望；

（2）將某戶某天購買甲類生活物資的量與平均購買量比較，當超出平均購買量不少于0.5kg時，則稱該居

民戶稱為〃迫切需求戶"，若從小區(qū)隨機抽取10戶，且抽到k戶為〃迫切需求戶”的可能性最大，試求k的值.

10.（2020上?重慶?高三重慶南開中學?？茧A段練習）某省從2021年開始將全面推行新高考制度，新高考

“3+1+2”中的“2〃要求考生從政治、化學、生物、地理四門中選兩科，按照等級賦分計入高考成績，等級賦

分規(guī)則如下：從2021年夏季高考開始，高考政治、化學、生物、地理四門等級考試科目的考生原始成績從

高到低劃分為五個等級，確定各等級人數(shù)所占比例分別為15%,35%,35%,13%,2%,等

級考試科目成績計入考生總成績時，將A至七等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法分加轉(zhuǎn)換到

［86J00］、［71,85］、［56,70］、［41,55］、［30,40］五個分數(shù)區(qū)間,得到考生的等級分,等級轉(zhuǎn)換分滿分為100

分.具體轉(zhuǎn)換分數(shù)區(qū)間如下表：

等級ABC1)E

比例15%35%35%13%2%

[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]

賦分區(qū)間

Y-YT-T

而等比例轉(zhuǎn)換法是通過公式計算:22

Y-Y1~T-T]

其中X，匕分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，工、乙分別表示等級分區(qū)間的最低分和最高分，丫表

示原始分，表示轉(zhuǎn)換分，當原始分為時，等級分分別為（、

7Y，tT2

假設(shè)小南的化學考試成績信息如下表:

考生科目考試成績成績等級原始分區(qū)間等級分區(qū)間

化學75分5等級[69,84][71,85]

84-7585-T

設(shè)小南轉(zhuǎn)換后的等級成績?yōu)榱?，根?jù)公式得:

75-69-7-71

所以7'=76.6。77（四舍五入取整），小南最終化學成績?yōu)?7分.

已知某年級學生有100人選了化學，以半期考試成績?yōu)樵汲煽冝D(zhuǎn)換本年級的化學等級成績，其中化學成

績獲得A等級的學生原始成績統(tǒng)計如下表：

成績95939190888785

人數(shù)1232322

（1）從化學成績獲得A等級的學生中任取2名，求恰好有1名同學的等級成績不小于96分的概率;

（2）從化學成績獲得A等級的學生中任取5名，設(shè)5名學生中等級成績不小于96分人數(shù)為久求J的分布

列和期望.

專題02超幾何分布（典型題型歸類訓練）

一、必備秘籍

1、超幾何分布

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取〃件（不放回），用X表

示抽取的〃件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為

（）

Px=k=-^^k=/?7,m+1,777+2,r

c”

其中〃，N,MsN*，MSN,n<N,=max{O,〃-N+M},r=min{〃,M},則稱隨機變

量X服從超幾何分布.

2、公式P（X=Q=筆時

中個字母的含義

C/v

N—總體中的個體總數(shù)

M一總體中的特殊個體總數(shù)（如次品總數(shù)）

〃一樣本容量

女一樣本中的特殊個體數(shù)（如次品數(shù)）

注意：

（1）”由較明顯的兩部分組成”：如“男生、女生”，“正品、次品”：

（2）不放回抽樣；

（3）注意分布列的表達式中，各個字母的含義及隨機變量的取道范圍.

二、典型題型

題型一：超幾何分布的概率問題

1.（2024上，浙江湖州?高三統(tǒng)考期末）杭州第19屆亞運會，是繼1990年北京亞運會、2010年廣州亞運會

之后，中國第三次舉辦亞洲最高規(guī)格的國際綜合性體育賽事.2023年9月23日，杭州亞運會開幕式隆重舉行.

某電商平臺亞運周邊文創(chuàng)產(chǎn)品直播間，主播為當晚7點前登錄該直播間的前N名觀眾設(shè)置了兩輪“慶亞運、

送吉祥物〃的抽獎活動.每輪抽獎都是由系統(tǒng)獨立、隨機地從這N名觀眾中抽取15名幸運觀眾，抽中者平臺

會有亞運吉祥物玩偶贈送.而直播時這N名觀眾始終在線，記兩次抽獎中被抽中的幸運觀眾總?cè)藬?shù)為X（幸

運觀眾總?cè)藬?shù)不重復(fù)計數(shù)，例如若某幸運觀眾兩次都被抽中，但只記為1人）.

⑴已知小杭是這前N名觀眾中的一人，若小杭被抽中的概率為求N的值；

⑵當尸（X=2（））取到最大值時，求N的值.

【答案】⑴45

（2）22

【分析】（1）記“小杭被抽中〃為事件A,“小杭第i次被抽中”為事件A（，=l，2）,可知A=A4+A無+彳&,

利用獨立事件的概率公式可得出關(guān)于N的等式，解之即可；

C6p10（i

（2）求得.P（X=20）=上詈至，解不等式箕21,解出N的取值范圍，即可得解.

【詳解】（1）解：記“小杭被抽中〃為事件A,“小杭第i次被抽中"為事件4（i=L2）.

P（A）=NA6P（M）+P（*）=（S+保若卜2=?

整理可得N2-54N+405=0,即（N—9）（N-45）=（）,

乂因為N215且NcN',解得N=45.

（?）解："X=20"表示第一次在N個人中抽取IS個.

第二次抽取的15個人中，有5人在第一次抽取的15人以外，另外的10個人在第一次抽取的15人中,

「15「5「10「5「10

p（x=2o）=y，=今a記詼=今和，

"VLRCJV"V

縱“一，…C；_（N_14）!N!15!.（N-14）!5；（N_20）!_（N-14『

?,vC3C^_155!（7V-19）!15!-（yV-15）!（N+l）!（N—15）!"（/V+l）（/V-19），

解得NK21.5,乂NwN,所以義=22時;P（X=20）取最大值.

2.（2023?上海普陀?統(tǒng)考一模）我國隨若人口老齡化程度的加劇，勞動力人口在不斷減少，"延遲退休"己成

為公眾關(guān)注的熱點話題之一，為了了解公眾對“延遲退休〃的態(tài)度，某研究機構(gòu)對屬地所在的一社區(qū)進行了調(diào)

查，并將隨機抽取的50名被調(diào)查者的年齡制成如圖所示的莖葉圖.

女男

67789278

123358323344567

01368994023344589

2385234578

24604

⑴經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，投贊成票的人均年齡恰好是這50人年齡的第60百分位數(shù)，求此百分位數(shù)；

（2）經(jīng)統(tǒng)計年齡在［50.59）的被調(diào)查者中，投贊成票的男性有3人，女性有2人，現(xiàn)從該組被調(diào)查者中隨機選

取男女各2人進行跟蹤調(diào)查，求被選中的4人中至少有3人投贊成票的概率（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）

【答案】⑴44.5

（2）|

【分析】（1）求出指數(shù)，再根據(jù)百分位數(shù)的求法即可；

（2）利用組合公式結(jié)合古典概型即可得到答案.

【詳解】（1）由條件得，指數(shù)i=50x60%=30,

則這50人年齡的第60百分位數(shù)是將他們的年齡按從小到大的）順序排列后的第30人與第31人的年齡平均

值，

由莖葉圖可知，第30人的年齡為44,第31人的年齡為45,

則所求的第60百分位數(shù)是44.5.

（2）由莖葉圖可知，年齡在150,59）的被調(diào)查者共9人，其中6名男性，3名女性，

令A(yù)為至少有三人投贊成票，依題意得，

GeyJ

被選中的4人中有兩名女性?名男性投贊成票的概率是

C25

被選中的4人中有一名女性兩名男性投贊成票的概率是笑乒=［，

GC；15

被選中的4人中有兩名女性兩名男性投贊成票的概率是零，

cy15

則被選中的4人中至少有3人投贊成票的概率為P(A),1+2卷+1)

3.(2023?全國?高二課堂例題)某商場為促銷組織了一次幸運抽獎活動.袋中裝有18個除顏色外其余均相

同的小球，其中8個是紅球,10個是白球.抽獎?wù)邚闹小龃纬槌?個小球，抽到3個紅球得一等獎,抽到

2個紅球得二等獎，抽到1個紅球得三等獎，抽到。個紅球不得獎.求得一等獎、二等獎和三等獎的概率.

【答案】得一等獎的概率約為0.0686,得二等獎的概率約為0.3431,得三等獎的概率約為0.4412.

【分析】由題意，用X表示抽到的紅球數(shù)，則X〃(18,8,3),根據(jù)超幾何分布的概率公式得解.

【詳解】解：從18個小球中抽取3個時，有C；種等可能的結(jié)果，用X表示抽到的紅球數(shù)，

則X”(18,8,3),則

P(得一等獎)=P(X=3)=^2^=—?0.0686.

Cl8816

d

P(得二等獎)=P(X=2)=*C*2f=O暴RO土0.3431.

C：8olO

尸(得三等獎)=P(X=l)=^i=—?0.4412.

816

因此，得一等獎的概率約為0.0686,得二等獎的概率約為0.3431,得三等獎的概率約為0.4412.

4.(2022上?上海虹口?高二華東師范大學第一附屬中學?？计谀?某批〃件產(chǎn)品的次品率為2%,現(xiàn)從中任

意地依次抽出3件進行檢驗.

(1)當〃=500,〃=5000,〃=5(XXX),若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？

(2)當〃=500,“=5000,77=50000,若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？

(3)(1)、(2)分別對應(yīng)哪種分布，并結(jié)合(1)(2)探究兩種分布之間的聯(lián)系.

【答案】(1)0.057624；

(2)見解析；

⑶見解析.

【分析】(1)當〃二500時，如果放回，是二項分布，計算概率值；

(2)如果不放回，是超幾何分布，分別計算概率值；

(3)對超幾何分布與二項分布關(guān)系的認以從共同點、不同點和聯(lián)系三個方面進行說明.

【詳解】(1)若以有回放的方式抽取，每次抽取時都是從這〃件產(chǎn)品中抽取，從而抽到次品的概率都為0.02,

可以把3次抽取看成是3次獨立重復(fù)試驗，這樣抽到的次品數(shù)X~8(3,0.02),

恰好抽到1件次品的概率為P(X=1)=C；x0.02x(1-0.02)2=3x0.02x0.982=0.057624.

(2)若以不回放的方式抽取，抽到的次品數(shù)X是隨機變量，X服從超幾何分布，X的分布與產(chǎn)品的總數(shù)〃

有關(guān),

所以需要分3種情況分別計算：

①〃=500時，產(chǎn)品的總數(shù)為500件，其中次品的件數(shù)為500x2%=10件，合格品的件數(shù)為490件,

“、490x489

I0x

2x1

從500件產(chǎn)品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率為P(X=1)?0.057853.

500x499x499

3x2x1

②〃=5000時，產(chǎn)品的總數(shù)為5000件，其中次品的件數(shù)為5(XX)x2%=l(X)件，合格品的件數(shù)為4900件,

從5000件產(chǎn)品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率為

，八八4900x4899

100x

C|（x）C4

P（X=1）=90a2Kl?0.057647.

5000x4999x4998

3x2x1

③“=50000時，產(chǎn)品的總數(shù)為50000件，其中次品的件數(shù)為50000x2%=1000件，合格品的件數(shù)為49000

件,

從50000件產(chǎn)品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率為

49000x48999

plr210（X）X-------

057626

p（X少若==50000x499就19998.°--

3x2x1

(3)對超幾何分布與二項分布關(guān)系的認識:

共同點：每次試驗只有兩種可能的結(jié)果：成功或失敗.

不同點：

1、超幾何分布是不放回抽取，二項分布是放回抽?。?/p>

2、超兒何分布需要知道總體的容量，二項分布不需要知道總體容量，但需要知道“成功率〃;

聯(lián)系：當產(chǎn)品的總數(shù)很大時，超幾何分布近似于二項分布.

題型二：利用超幾何分布求分布列、期望和方差

1.(2024上?山東德州?高二統(tǒng)考期末)為落實“雙減〃政策，提升課后服務(wù)水平，某小學計劃實行課后看護

工作.現(xiàn)隨機抽取該小學三年級的8個班級并調(diào)查需要課后看護的學生人數(shù)，分布如下：

班級代號12345678

需看護學生人數(shù)2022273025233221

⑴若將上述表格中人數(shù)低于25人的班級兩兩組合進行看護，求班級代號為1、2的兩個班合班看護的概率;

(2)從已抽取的8個班級中隨機抽取3個班，記3個班中需要課后看護的學生人數(shù)低于25人的班級數(shù)為X,

求X的分布列及數(shù)學期望.

【答案】(l)g

⑵分布列見解析，￡（%）=|3

【分析】（1）求出將人數(shù)少于25人的4個班兩兩組合進行課后看護的不同組合方法種數(shù)，結(jié)合古典概型的

概率公式可求得所求懺件的概率;

（2）分析可知，隨機變量X的可能取值有0、1、2、3,計算出隨機變量X在不同取值下的概率，可得出

隨機變量X的分布列，進而可求得E（X）的值.

【詳解】（1）解：若將表中人數(shù)少于25人的4個班兩兩組合進行課后看護,

共3=3種不同的方法，其中班級代號為1、2的兩個班合班看護共1種方法.

記A表示事件“班級代號為1、2的兩個班合班看護”，則其概率/＞（*=；.

（2）解：隨機變量X的可能取值為0、1、2、3,

可得P(x=o)=3=2=(，P(X=1)=等=精，

CyDO14CqDO/

*X=2）=罟啜4S=罟

2.（2024上?廣東潮州?高三統(tǒng)考期末）2023年9月26日晚,位于潮州市南春路的南門古夜市正式開業(yè)了,

首期共有70個攤位，集聚了潮州各式美食!南門古夜市的開業(yè)，推動潮州菜產(chǎn)業(yè)發(fā)展，是潮州美食產(chǎn)業(yè)的又

一里程碑.為了解游客對潮州美食的滿意度，隨機對100名游客進行問卷調(diào)查（滿分100分），這100名

游客的評分分別落在區(qū)間[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]內(nèi),統(tǒng)計結(jié)果如頻率分布直方圖所

⑴根據(jù)頻率分布直方圖，求這10C名游客評分的平均值（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點，’直為代表）；

⑵為了進一步了解游客對潮州美食的評價,采用分層抽樣的方法從滿意度評分位干分組150,60）,[60.70）.

［80,90）的游客中抽取10人,再從中任選3人進行調(diào)查，求抽到滿意度評分位于［80,90）的人數(shù)J的分布列和

數(shù)學期望.

【答案】（1）74

（2）分布列見解析，數(shù)學期望為《.

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖以及平均數(shù)的計算方法計算即可；

（2）先由題意得到隨機變量4的取值，并分別計算相應(yīng)的概率，然后列出分布列，并按期望公式計算即可.

【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖得：

1=（55x0.01+65x0.02+75x0.045+85x0.02+95x0.005）x10=74.

（2）由題意可知［50,60）,［60,70）和［80.90）的頻率之比為：1:2:2,

故抽取的10人中［50,60）,［60,70）和［80,90）分別為:2人,4人，4人，

隨機變量4的取值可以為0J2,3,

P（＞°）=m=*，P（*D=等=［

jo°jo乙

S）號4，3哈卷,

6210305

3.（2024上?廣東揭陽?高三統(tǒng)考期末）為增強學生體質(zhì)，某校高一（1）班組織全班同學參加限時投籃活動，

記錄他們在規(guī)定時間內(nèi)的進球個數(shù)，將所得數(shù)據(jù)分成［6,10）,［10,14）,［14,18）,［18,22）,［22,26］這5組,

并得到如下頻率分布直方圖：

⑴估計全班同學的平均進球個數(shù).（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）

⑵現(xiàn)按比例分配的分層隨機抽樣方法，從進球個數(shù)在［1044）,［14,陽），［22,26］內(nèi)的同學中抽取8人進行培

訓，再從中抽取3人做進一步培訓.

(i)記這3人中進球個數(shù)在[14,18)的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望；

(ii)已知抽取的這3人的進球個數(shù)不全在同一區(qū)間，求這3人的進球個數(shù)在不同區(qū)間的概率.

【答案】(1)17.12

34

(2)(i)分布列見解析，(ii)-

【分析】(1)每一組的中點值乘以對應(yīng)的頻率即可得到平均值：

(2)由頻率比得到各小組內(nèi)的人數(shù)，再利用超幾何分布得到X的分布列與數(shù)學期望，即可得到(的答

案；又利用條件概率即可得到(ii)的答案.

【詳解】(1)該班同學的平均進球個數(shù)：

1=8x0.02x4+12x0.04x4+16x0.08x4+20x0.07x4+24x0.04x4=17.12.

(2)由題意可知進球個數(shù)在[10,14),[14,18),[22,26]內(nèi)的頻率分別為0.16,0.32,0.16,

頻率比為0.16:0.32:0.16=1:2:1；

所以抽取的8人中，進球個數(shù)在U0,14),[14,18),[22,26]內(nèi)的人數(shù)分別為2,4,2.

(i)由題意可知，X=0,1,2,3,

C31C'C23

所以P(X=0)=m=霓，P(X=l)=-^=-,

P(X=2)=^-=-,P(X=3)=冬」，

C7C14

所以X的分布列為

XU123

11

33

P14

77

一一13313

所以七(X)=0x二■+lx；+2x；+3xy^=7.

1477142

(ii)記事件A="抽取的3人的進球個數(shù)不全在同一區(qū)間”,

事件“=”抽取的這3人的進球個數(shù)在不同區(qū)間”，

C3-C,13C；C；C=2

則P(A)=8p(AB)=

14C；=，'

2

所以W)=箭

14

4

即這3個人的進球個數(shù)在不同區(qū)間的概率為百.

4.（2023上?河南南陽?高三南陽中學?？茧A段練習）假設(shè)某市大約有800萬網(wǎng)絡(luò)購物者，某電子商務(wù)公司

對該地區(qū)〃名網(wǎng)絡(luò)購物者某年度上半年前6個月內(nèi)的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額（單位：萬元）都

在區(qū)間［051.1］內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖中的mb,c,d滿足

4=c、+0.5=0+l=a+1.5,且從左到右6個小矩形依次對應(yīng)第一至六小組，第五小組的頻數(shù)為2400.

（2）現(xiàn)用分層抽樣方法從前4組中選出18人進行網(wǎng)絡(luò)購物愛好調(diào)杳，

①求在各組應(yīng)該抽取的人數(shù)；

②在前2組所抽取的人中，再隨鞏抽取3人，記這3人來自第一組的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列與

數(shù)學期望.

【答案】（l）a=1.5,b=2,c=2.5,d=3

o

⑵①各組應(yīng)該抽取的人數(shù)分別為3,4,5,6：②分布列見解析，數(shù)學期望為'

【分析】（1）結(jié)合題意及頻數(shù)與頻率，頻率之和為1等知識建立方程組，計算即可；

（2）根據(jù)分層抽樣的定義即可求得各組應(yīng)該抽取的人數(shù)；根據(jù)古典概型概率公式結(jié)合組合數(shù)可求得分布列,

進一步求得數(shù)學期望.

【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，第五小組的頻率為（18x0.1=0.08,又因為第五小組的皴數(shù)為2400,

所以樣本容量〃=鬻=30000,

因為第六小組的頻率為0.2x0.1=0.02,所以第六小組的頻數(shù)是30000x0.02=600.

由頻率之和為1,得（a+〃+c+d+0.8+0.2）x0.1=l,所以a+〃-c+d=9.

因為頻率分布直方圖中的。也Gd?滿足d=c+Q5=A+l=a+1.5,

所以〃=a+0.5,c=a+l,d=。+1.5.

所以代入。+〃+C+4=9中，得a+a+0.5+a+l+a+1.5=9,

得々7+3=9,解得。=1.5.所以6=2,c=2.5,d=3.

（2）①因為前4組的頻率之比為a:A:c:d=1.5:2:2.5:3=3:35:6,

且現(xiàn)從前4組中選出18人進行網(wǎng)絡(luò)購物愛好調(diào)查，

所以在［0.5,0.6）,［0.6,。7）,［0.7,。8Mo.8,。9）應(yīng)該抽取的人數(shù)分別是

3456

18x=3,18x=4,18x=6.

3+4+5+63+4+5+63+4+5+63+4+5+6

②由題意，隨機變量X的所有可能取值是0J2,3.則

p（x=o）咯q,p（x=i）=等q,p（x=2）=皆q*x=3）=C=_L

C；35

故隨機變量X的分布列為

X0123

418121

p35353535

4IX12I9

故隨機變量X的數(shù)學期望為E(X)=0X￡+1X裴+2X^+3X2=5.

5.（2023I：?甘肅白銀?高三甘肅省靖遠縣第?中學校聯(lián)考階段練習）某商家2023年1月至7月A商品的月

銷售量的數(shù)據(jù)如卜圖所示，若月份x與A商品的月銷售量》存在線性關(guān)系.

⑴求月份工與A商品的月銷售量）的回歸直線方程；

（2）若規(guī)定月銷售量大于35的月份為合格月，在合格月中月銷售量低于50的視為良好，記5分，月銷售量

不低于50的視為優(yōu)秀，記10分，從合格月中任取3個月，用X表示賦分之和，求X的分布列和數(shù)學期望.

^x.^-nxy7

參考公式：回歸直線方程?=去+4，其中方=9-應(yīng)＞=弓---------=1344,^=43.

,=,

1-1

【答案】⑴9=5X+23

⑵分布列見解析，七”）二21

【分析】（1）由題意先分別算出滅=4,￡＞；=140,結(jié)合己知參數(shù)即可算出3=5，方=23,從而即可得

（=1

解.

（2）合格月有5個，其中記為5分的月份有3個，記為10分的月份有2個，由超幾何分布的概率公式即

可求出分布列，進一步得出數(shù)學期望.

【詳解】（1）x=-（l+2+3+4+5+6+7）=4,y=43,g.K/=1344,

7r=1

7

=12+22+32+42+52+62+72=140,

r-1

所以$=7i=5,6=E1=43-5X4=23,

140-