數(shù)學(xué)學(xué)案：預(yù)習(xí)導(dǎo)航空間向量的直角坐標(biāo)運算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精預(yù)習(xí)導(dǎo)航課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1.理解空間向量坐標(biāo)的概念，會確定一些簡單幾何體的頂點坐標(biāo)．2．掌握空間向量的坐標(biāo)運算規(guī)律，會判斷兩個向量共線或垂直．3．能夠用向量工具將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決.1．空間向量的坐標(biāo)表示(1）單位正交基底．建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,分別沿x軸、y軸、z軸的正方向引單位向量i，j，k，這三個互相垂直的單位向量構(gòu)成空間向量的一個基底｛i，j，k}，這個基底叫做單位正交基底．單位向量i，j，k都叫做坐標(biāo)向量．（2)空間向量的坐標(biāo)表示．在空間直角坐標(biāo)系中,已知任一向量a，根據(jù)空間向量分解定理，存在唯一實數(shù)組(a1，a2，a3),使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j,a3k分別為向量a在i，j，k方向上的分向量，有序?qū)崝?shù)組(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．上式可簡記作a＝(a1,a2,a3）．思考1空間向量a＝(a1，a2,a3）平行于坐標(biāo)平面xOy時其坐標(biāo)有何特點？提示:a3＝0。2．空間向量的直角坐標(biāo)運算（1）設(shè)a＝(a1，a2，a3），b＝（b1,b2，b3)，則容易得到a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2,a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3);λa＝(λa1,λa2，λa3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3。(2)向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)的求法:設(shè)A(x1,y1，z1)，B(x2，y2，z2），則eq\o(AB,\s\up6（→)）＝eq\o（OB，\s\up6（→）)－eq\o（OA，\s\up6（→))＝（x2,y2，z2)－(x1，y1，z1）＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1）．思考2空間向量的坐標(biāo)與向量終點的坐標(biāo)有什么區(qū)別？提示：向量的坐標(biāo)是其終點與起點坐標(biāo)的差量．只有以原點為起點的向量其坐標(biāo)才等于向量終點的坐標(biāo)．3．空間向量平行和垂直的條件設(shè)a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），則(1)a∥b（b≠0）a＝λba1＝λb1，a2＝λb2,a3＝λb3，當(dāng)b1，b2，b3都不為0時，a∥beq\f（a1，b1)＝eq\f（a2,b2）＝eq\f（a3，b3)；（2）a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.4．兩個向量夾角與向量長度的坐標(biāo)計算公式設(shè)a＝（a1，a2,a3），b＝（b1，b2,b3),則｜a｜＝eq\r（a·a）＝eq\r（a\o\al(2，1）＋a\o\al（2，2）＋a\o\al(2，3）），｜b｜＝eq\r(b·b)＝eq\r(b\o\al（2，1）＋b\o\al（2，2)＋b\o\al(2,3))，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b，｜a｜|b|）＝eq\f（a1b1＋a2b2＋a3b3,\r（a\o\al（2，1)＋a\o\al（2,2）＋a\o\al（2,3））\r(b\o\al（2,1)＋b\o\al（2,2）＋b\o\al（2,3)）)。設(shè)A(x1，y1,z1)，B(x2，y2，z2)，則|eq\o(AB，\s\up6（→）)｜＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12）.思考3空間向量模的坐標(biāo)計算公式與平面向量模的計算公式