江西省吉安市第八中學(xué)2024-2025學(xué)年上月考八年級(jí) 數(shù)學(xué)試題（含解析）

參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）1．在實(shí)數(shù)，，π，，，，，0.1010010001中，無理數(shù)有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義即可求解．【解答】解：，所以無理數(shù)有π，，，，共4個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了無理數(shù)的定義，熟練掌握無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．下列各式計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算對(duì)A、B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)D進(jìn)行判斷．【解答】解：A、原式＝6，所以A選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤；B、5與5不能合并，所以B選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤；C、原式＝8＝8，所以C選項(xiàng)的計(jì)算正確；D、原式＝6，所以D選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的計(jì)算：先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．3．我國是最早了解勾股定理的國家之一，在《周髀算經(jīng)》中記載了勾股定理的公式與證明，相傳是由商高發(fā)現(xiàn)，故又稱之為“商高定理”．下列四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)基礎(chǔ)圖形的面積公式表示出各個(gè)選項(xiàng)的面積，同時(shí)根據(jù)割補(bǔ)的思想可以寫出另外一種面積表示方法，即可得出一個(gè)等式，進(jìn)而可判斷能否證明勾股定理．【解答】解：A、梯形的面積為：，也可看作是2個(gè)直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形組成，則其面積為：，∴，∴a2+b2＝c2，故A選項(xiàng)能證明勾股定理；B、大正方形的面積為：c2，也可看作是4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形組成，則其面積為：，∴a2+b2＝c2，故B選項(xiàng)能證明勾股定理；C、大正方形的面積為：（a+b）2；也可看作是2個(gè)矩形和2個(gè)小正方形組成，則其面積為：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴C選項(xiàng)不能證明勾股定理；D、大正方形的面積為：（a+b）2；也可看作是4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形組成，則其面積為：，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故D選項(xiàng)能證明勾股定理；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明方法，熟練掌握內(nèi)弦圖、外弦圖是解題關(guān)鍵．4．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，則最長邊上的高為（）A．3 B．4 C．2.4 D．3.75【分析】先判斷出三角形為直角三角形，然后根據(jù)三角形面積相等得到最長邊上的高．【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，即32+42＝52，滿足AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是以∠C為直角的直角三角形，設(shè)最長邊上的高為x，根據(jù)△ABC的面積＝AC?BC＝AB?x，∴AC?BC＝AB?x，∴3×4＝5x，解得x＝2.4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了與三角形高有關(guān)的計(jì)算、勾股定理的逆定理，熟練運(yùn)用定理是解題的關(guān)鍵．5．如圖所示，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值是（）A．﹣2+ B．﹣1 C．﹣1﹣ D．2﹣【分析】利用勾股定理求出線段的長度，再用該值加﹣2即可得出a的值．【解答】解：∵＝，∴a＝﹣2+．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸以及勾股定理，利用勾股定理求出線段的長度是解題的關(guān)鍵．6．一輛裝滿貨物，寬為2.4m的卡車，欲通過如圖所示的隧道，則卡車的高必須低于（）A．4.1m B．4.0m C．3.9m D．3.8m【分析】根據(jù)題意欲通過如圖的隧道，只要比較距隧道中線1.2米處的高度比車高即可，根據(jù)勾股定理得出CD的長，進(jìn)而得出CH的長，即可得出答案．【解答】解：∵車寬2.4米，∴欲通過如圖的隧道，只要比較距隧道中線1.2米處的高度與車高．在Rt△OCD中，由勾股定理可得：CD＝＝1.6（m），CH＝CD+DH＝1.6+2.5＝4.1米，∴卡車的外形高必須低于4.1米．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意得出CD的長是解題關(guān)鍵．二．填空題（共6小題）7．（﹣9）2的平方根是±9，算術(shù)平方根是9，立方根是3．【分析】根據(jù)平方根，算術(shù)平方根，立方根的定義即可求得答案．【解答】解：（﹣9）2＝81，其平方根是±9，算術(shù)平方根是9，立方根是＝3，故答案為：±9；9；3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方根，算術(shù)平方根，立方根，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．8．一個(gè)正數(shù)的平方根分別是3a﹣4和1﹣6a，則a的值為﹣1．【分析】根據(jù)平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：由題意得，當(dāng)3a﹣4+1﹣6a＝0，解得a＝﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方根，理解平方根的定義是正確解答的前提．9．比較大?。?＞5（填“＞，＜，＝”）．【分析】首先分別求出兩個(gè)數(shù)的平方各是多少；然后判斷出兩個(gè)數(shù)的平方的大小關(guān)系，即可判斷出兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系．【解答】解：，52＝25，因?yàn)?8＞25，所以2＞5．故答案為：＞．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是判斷出兩個(gè)數(shù)的平方的大小關(guān)系．10．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，若AC⊥BD，，AB＝6，則BC2+AD2＝49．【分析】先利用勾股定理求出OA2+OB2＝36，OC2+OD2＝13，再在Rt△AOD和Rt△BOC中得出OA2+OD2＝AD2，OB2+OC2＝BC2，等量代換即可求出BC2+AD2的值．【解答】解：∵AC⊥BD，AB＝6，，∴在Rt△AOB中，OA2+OB2＝AB2＝62＝36，在Rt△COD中，，又∵在Rt△AOD中，OA2+OD2＝AD2，在Rt△BOC中，OB2+OC2＝BC2，∴BC2+AD2＝OB2+OC2+OA2+OD2＝（OB2+OA2）+（OC2+OD2）＝36+13＝49，故答案為：49．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用勾股定理解決問題．11．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D，E分別是AB、AC的中點(diǎn)，在CD上找一點(diǎn)P，連接AP、EP，當(dāng)AP+EP最小時(shí)，這個(gè)最小值是2．【分析】要求PA+PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化PA，PE的值，從而找出其最小值求解．【解答】解：如圖，連接BE，則BE就是PA+PE的最小值，∵Rt△ABC中，AC＝BC＝4，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴CE＝2cm，∴BE＝，∴PA+PE的最小值是2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】考查等腰直角三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．12．已知，且|a+b|＝﹣a﹣b，則a﹣b的值是﹣1或﹣7．【分析】根據(jù)|a+b|＝﹣a﹣b，可知a+b＜0，分兩種情況：①a＜0，b＜0；②a＜0，b＞0，分別求出a﹣b的值即可．【解答】解：∵|a+b|＝﹣a﹣b，∴a+b＜0，∵，∴分兩種情況：①當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，此時(shí)a＝﹣4，b＝﹣3，a﹣b＝﹣4﹣（﹣3）＝﹣1；②當(dāng)a＜0，b＞0，此時(shí)a＝﹣4，b＝3，a﹣b＝﹣4﹣3＝﹣7．故答案為：﹣1或﹣7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)|a+b|＝﹣a﹣b，判斷a、b的符號(hào)，分情況求出a﹣b的值．三．解答題（共11小題）13．計(jì)算：（1）；（2）．【分析】（1）先根據(jù)二次根式性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再按照二次根式加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)二次根式性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)完全平方公式和二次根式混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）＝2+﹣＝；（2）＝＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式性質(zhì)，二次根式加減運(yùn)算法則，完全平方公式，準(zhǔn)確計(jì)算．14．先化簡(jiǎn)，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝+1，y＝﹣1．【分析】首先化簡(jiǎn)（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），然后把x＝+1，y＝﹣1代入化簡(jiǎn)后的算式，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y）＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy＝9xy當(dāng)x＝+1，y＝﹣1時(shí)，原式＝9（+1）（﹣1）＝9×（2﹣1）＝9×1＝9【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：先按運(yùn)算順序把整式化簡(jiǎn)，再把對(duì)應(yīng)字母的值代入求整式的值．15．（1）圖1中三角形ABC的面積為．（2）在圖2中畫出邊長為、、3的三角形并求其面積．【分析】（1）利用割補(bǔ)法可知S△ABC＝S四邊形EFGH﹣S△ABE﹣S△ACH﹣S△BCG即可解答；（2）利用勾股定理與網(wǎng)格得到，，DF＝3即可解答．【解答】解：（1）∵如圖所示，∴，故答案為：；（2）∵，，DF＝3，∴如圖所示，△DEF即為所求，∴，∴三角形的面積為3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，網(wǎng)格中三角形的面積，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．16．已知a+1的算術(shù)平方根是3，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2．求：（1）a，b，c的值；（2）a+4b﹣4c的平方根．【分析】（1）根據(jù)平方根和立方根的概念分別計(jì)算出a、b、c即可；（2）利用（1）的結(jié)論直接求值即可．【解答】解：（1）∵a+1的算術(shù)平方根是3，∴a+1＝9，∴a＝8；∵﹣27的立方根是b﹣12，∴b﹣12＝﹣3，∴b＝9；∵c﹣3的平方根是±2，∴c﹣3＝4，∴c＝7；即a，b，c的值分別為8，9，7；（2）由（1）知，a+4b﹣4c＝8+4×9﹣4×7＝16，∴a+4b﹣4c的平方根是±4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平方根和立方根的知識(shí)，熟練掌握平方根和立方根的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．結(jié)合數(shù)軸先化簡(jiǎn)，后求值：．【分析】先根據(jù)數(shù)軸分析出c＜a＜0＜b且|c|＞|b|＞|a|，再根據(jù)題意進(jìn)行解題即可．【解答】解：由數(shù)軸可知，∵c＜a＜0＜b且|c|＞|b|＞|a|，∴a+b＞0，b﹣c＞0，∴＝﹣a﹣（a+b）+b﹣c＝﹣2a﹣c．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)、立方根、實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．18．某村有如圖所示的一筆直公路AB，水源C處與公路之間有小片沼澤地，為方便公路上的人用水，擬從C處鋪設(shè)水管到公路上．已知AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米．（1）求∠ACB的大?。唬?）求鋪設(shè)水管的最小長度．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)CD⊥AB時(shí)，鋪設(shè)水管的長度最小，然后利用三角形的面積法進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米，∵AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°；（2）當(dāng)CD⊥AB時(shí)，鋪設(shè)水管的長度最小，∵△ABC的面積＝AB?CD＝AC?BC，∴AB?CD＝AC?BC，∴200CD＝120×160，解得：CD＝96，∴鋪設(shè)水管的最小長度為96米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．19．對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，定義新的運(yùn)算如下：，如，，如．請(qǐng)你計(jì)算：（1）8*7；（2）2?3；（3）6?（5*4）．【分析】（1）把a(bǔ)＝8，b＝7代入求解；（2）把a(bǔ)＝2，b＝3代入求解；（3）先計(jì)算5*4＝3，再計(jì)算6?3．【解答】解：（1）∵，又8+7＝15＞0，故8*7＝＝＝；（2）∵，故；（3）∵5+4＝9＞0，故5*4＝＝＝＝3，6?（5*4）＝6*3＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了定義新運(yùn)算的計(jì)算，掌握計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．20．化簡(jiǎn)時(shí)，通常要求最終結(jié)果中分母不含有根號(hào)，觀察下列等式：①；②；③；…利用你觀察到的規(guī)律解決下列問題：（1）化簡(jiǎn)；（2）求的倒數(shù)；（3）計(jì)算：．【分析】（1）利用題目中分母有理化方法進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)倒數(shù)的定義和分母有理化的方法計(jì)算即可；（3）根據(jù)題目中分母有理化方法化簡(jiǎn)每一項(xiàng)，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可得到答案．【解答】解：（1）＝＝＝；（2）的倒數(shù)為，∴的倒數(shù)為；（3）＝＝＝＝10﹣1＝9．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式分母有理化和二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算方法和法則是解題的關(guān)鍵．21．如圖，細(xì)心觀察，認(rèn)真分析各式，然后解答問題．＝（）2+1＝2，S1＝；＝（）2+1＝3，S2＝；＝（）2+1＝4，S3＝；…（1）請(qǐng)用含有n（n為正整數(shù)）的式子表示Sn＝；（2）推算出OA10＝；（3）求出+++…+的值．【分析】（1）此題要利用直角三角形的面積公式，觀察上述結(jié)論，會(huì)發(fā)現(xiàn)，第n個(gè)圖形的一直角邊就是，然后利用面積公式可得．（2）由同述OA2＝，OA3＝…可知OA10＝．（3）求+++…+的值就是把面積的平方相加即可．【解答】解：（1）+1＝n+1Sn＝（n是正整數(shù)）；故答案為：；（2）∵＝1，＝（）2+1＝2，＝（）2+1＝3，＝（）2+1＝4，∴OA1＝，OA2＝，OA3＝，…∴OA10＝；故答案為：；（3）+++…+＝（）2+（）2+（）2+…+（）2＝（1+2+3+…+10）＝．即：+++?+＝．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理、算術(shù)平方根．解題的關(guān)鍵是觀察，觀察題中給出的結(jié)論，由此結(jié)論找出規(guī)律進(jìn)行計(jì)算．千萬不可盲目計(jì)算．22．在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中點(diǎn)．E為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE．過點(diǎn)D作DF⊥DE，交直線BC于點(diǎn)F，連接EF．（1）如圖1，當(dāng)E是線段AC上一點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)依題意補(bǔ)全圖形，并判斷以AE、BF、EF三條線段為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段CA的延長線上時(shí)，請(qǐng)依題意補(bǔ)全圖2，并判斷（1）中的結(jié)論是否仍成立，如果成立，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）結(jié)論：以AE、BF、EF三條線段為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形．延長FD到P，連接AP，PE，EF．證明AP＝BF，EF＝PE，∠PAE＝90°，可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)B作BM∥AC，與ED的延長線交于點(diǎn)M，連接MF，證明△ADE≌△BDM得AE＝BM，DE＝DM，由垂直平分線的判定定理得EF＝MF，進(jìn)而根據(jù)勾股定理得結(jié)論．【解答】解：（1）結(jié)論：以AE、BF、EF三條線段為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形．理由：延長FD到P，連接AP，PE，EF．在△ADP和△BDF中，，∴△ADP≌△BDF（SAS），∴∠APD＝∠DFB，AP＝BF，∴AP∥BC，∴∠PAE+∠ACB＝180°，∴∠PAE＝90°，∵ED⊥PF，DP＝DF，∴EF＝PE，∵PE2＝AP2+AE2，∴AE2+BF2＝EF2，∴以AE、BF、EF三條線段為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形；（2）結(jié)論：AE2+BF2＝EF2．理由：過點(diǎn)B作BM∥AC，與ED的延長線交于點(diǎn)M，連接MF，則∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，∵D點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD，在△ADE和△BDM中，，∴△ADE≌△BDM（AAS），∴AE＝BM，DE＝DM，∵DF⊥DE，∴EF＝MF，∵BM2+BF2＝MF2，∴AE2+BF2＝EF2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂直平分線的判定，關(guān)鍵在于構(gòu)造全等三角形．23．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）若點(diǎn)P在AC上，且滿足PA＝PB時(shí)，求此時(shí)t的值；（2）若點(diǎn)P恰好在∠BAC的平分線上，求t的值；（3）若以P，C，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，直接寫出t的值．【分析】（1）連接BP，根據(jù)勾股定理求出AC，再根據(jù)勾股定理列方程計(jì)算，得到答案；（2）作PG⊥AB于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CP＝GP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出BG，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可；（3）分CP＝CB、BP＝BC、CP＝CB、PC＝PB四種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：（1）如圖1，連接BP，在Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝＝8（cm），則PC＝8﹣PA，由勾股定理得，PB2＝PC2+BC2，當(dāng)PA＝PB時(shí)，