高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程 三 直線的參數(shù)方程課件 新人教A版選修4-4-新人教A版高二選修4-4數(shù)學(xué)課件

三直線的參數(shù)方程第二講

參數(shù)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握直線的參數(shù)方程.2.能夠利用直線的參數(shù)方程解決有關(guān)問題.問題導(dǎo)學(xué)達標(biāo)檢測題型探究內(nèi)容索引問題導(dǎo)學(xué)知識點直線的參數(shù)方程答案y－y0＝tanα(x－x0).思考1

如圖，直線l過定點M0(x0，y0)且傾斜角為α，那么直線的點斜式方程是什么？思考2

在思考1中，若令x－x0＝tcosα(t為參數(shù))，那么直線l的參數(shù)方程是什么？梳理(1)直線的參數(shù)方程①過點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為

(t為參數(shù))；②由α為直線的傾斜角知，當(dāng)0<α<π時，sinα>0.(2)直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義參數(shù)t的絕對值表示t對應(yīng)的點M到M0的距離.①當(dāng)

與e(直線的單位方向向量)同向時，t取

；②當(dāng)

與e反向時，t取

，當(dāng)M與M0重合時，t＝

.(3)重要公式：設(shè)A，B是直線上任意兩點，它們對應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，則|AB|＝|tB－tA|＝

.正數(shù)負(fù)數(shù)0題型探究|t|表示t對應(yīng)的點M(x，y)到M0的距離.例1

(1)化直線l1的普通方程x＋

y－1＝0為參數(shù)方程，并說明|t|的幾何意義；類型一直線的參數(shù)方程與普通方程的互化解答解直線l1與x軸交于點M0(1,0)，解答①代入②消去參數(shù)t，又∵①②兩式平方相加，得(x＋3)2＋(y－1)2＝4t2，反思與感悟(1)一條直線可以由定點M0(x0，y0)，傾斜角α(0≤α<π)惟一確定，直線上動點M(x，y)的參數(shù)方程為

(t為參數(shù))，這是直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，特別地，當(dāng)α＝

時，直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(2)直線參數(shù)方程的形式不同，參數(shù)t的幾何意義也不同，過定點M0(x0，y0)，斜率為

的直線的參數(shù)方程是

(a，b為常數(shù)，t為參數(shù)).(1)分別求t＝0,2，－2時對應(yīng)的點M(x，y)；解答(2)求直線l的傾斜角；解答(3)求直線l上的點M(－3，0)對應(yīng)的參數(shù)t，并說明t的幾何意義.解答解由(2)可知直線l的單位向量命題角度1求弦長|AB|問題例2

已知拋物線y2＝8x的焦點為F，過F且斜率為2的直線交拋物線于A，B兩點.(1)求|AB|；類型二直線參數(shù)方程的應(yīng)用解答解拋物線y2＝8x的焦點為F(2,0)，設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)值為t1，t2，(2)求AB的中點M的坐標(biāo)及|FM|.解答解答跟蹤訓(xùn)練2

直線l過點P0(－4,0)，傾斜角α＝

，l與圓x2＋y2＝7相交于A，B兩點.(1)求弦長|AB|；設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，(2)求A，B兩點坐標(biāo).解答命題角度2求積|M0A|·|M0B|問題例3

過點P作傾斜角為α的直線與曲線x2＋12y2＝1交于點M，N，求|PM|·|PN|的最小值及相應(yīng)的α值.解答代入曲線x2＋12y2＝1，反思與感悟利用直線的參數(shù)方程，可以求一些距離問題，當(dāng)求直線上某一定點到直線與曲線交點的距離時，根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義解題更為方便.跟蹤訓(xùn)練3

已知直線l經(jīng)過點P(1,1)，傾斜角α＝

，(1)寫出直線l的參數(shù)方程；解答解答(2)設(shè)l與圓x2＋y2＝4相交于兩點A，B，求點P到A，B兩點的距離之積.解因為點A，B都在直線l上，所以可設(shè)它們對應(yīng)的參數(shù)為t1和t2，把直線l的參數(shù)方程代入圓的方程x2＋y2＝4，因為t1和t2是方程①的解，從而t1t2＝－2.所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.類型三直線參數(shù)方程的綜合應(yīng)用解答(1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；所以曲線C1表示一條直線.得(x＋2)2＋(y－1)2＝1，所以曲線C2表示以(－2,1)為圓心，1為半徑的圓.(2)若曲線C1和C2相交于A，B兩點，求|AB|.解答代入曲線C2：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，引申探究1.若點P(－4,0)是曲線C1上的定點，本例其它條件不變，求|PA|＋|PB|的值.解答曲線C2是圓(x＋2)2＋(y－1)2＝1.因為點P(－4,0)在圓(x＋2)2＋(y－1)2＝1外，代入曲線C2：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)為t1，t2，則t1，t2同號，解答|PA|·|PB|＝|t1t2|＝4.反思與感悟(1)參數(shù)方程中一個確定的參數(shù)值對應(yīng)著曲線上一個確定的點，由參數(shù)方程求曲線交點坐標(biāo)時，可以通過方程組求出參數(shù)值，再根據(jù)參數(shù)值得出交點坐標(biāo).(2)解題時如果涉及求直線被曲線截得的線段的長度或者直線上的點與曲線交點之間線段長度的和、乘積等，都可以利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義加以解決.跟蹤訓(xùn)練4已知直線l：

(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ.(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；解曲線C的極坐標(biāo)方程ρ＝2cosθ化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0.解答(2)設(shè)點M的直角坐標(biāo)為(5，

)，直線l與曲線C的交點為A，B，求|MA|·|MB|的值；解答設(shè)這個方程的兩個實根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義可知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.解由(2)知t1，t2為同號，解答達標(biāo)檢測12345√答案解析解析因為題目所給方程不是參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，參數(shù)t不具有幾何意義，故不能直接由1－0＝1來得距離，應(yīng)將t＝0，t＝1分別代入方程得到兩點坐標(biāo)(2，－1)和(5,0)，由兩點間距離公式來求出距離，2.直線

(t為參數(shù)，α＝

)不經(jīng)過A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限12345答案√12345答案解析－14.設(shè)直線l過點A(2，－4)，傾斜角為

，則直線l的參數(shù)方程為_________________________.12345答案解析12345解答5.一直線過點P0(3,4)，傾斜角α＝

，求此直線與直線3x＋2y＝6的交點M與P0之間的距離.將它代入已知直線3x＋2y－6＝0，1.經(jīng)過點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)).其中t表示直線l上以定點M0為起點，任意一點M(x，y)為終點的有向線段

的數(shù)量，可以為正、為負(fù)，也可以為零.2.直線l：

(t為參數(shù))與二次曲線C交于兩點A，B，A，B對應(yīng)的參數(shù)為t1，t2.則|AB|＝|t1－t2|.但|M0