專題03 反比例函數(shù)與幾何綜合問題壓軸題七種模型全攻略（解析版）

專題03反比例函數(shù)與幾何綜合問題壓軸題七種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一已知比例系數(shù)求特殊圖形的面積】 1【考點(diǎn)二根據(jù)圖形面積求比例系數(shù)(解析式)】 3【考點(diǎn)三反比例函數(shù)與三角形的綜合問題】 6【考點(diǎn)四反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合問題】 12【考點(diǎn)五反比例函數(shù)與矩形的綜合問題】 15【考點(diǎn)六反比例函數(shù)與菱形的綜合問題】 20【考點(diǎn)七反比例函數(shù)與正方形的綜合問題】 24【過關(guān)檢測】 27【典型例題】【考點(diǎn)一已知比例系數(shù)求特殊圖形的面積】例題：（2023春·山東東營·九年級(jí)東營市勝利第一初級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，且軸，則的面積等于___________．【答案】1【分析】延長交軸于點(diǎn)，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義求出的面積與的面積，然后相減即可得解．【詳解】解：延長交軸于點(diǎn)．，，則故答案是：1．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，即過雙曲線上任意一點(diǎn)引軸、軸垂線，所得矩形面積為，是經(jīng)常考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，本題作輔助線把的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的面積的差是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，雙曲線與在第一象限內(nèi)的圖象依次是和設(shè)點(diǎn)在圖象上，垂直于軸于點(diǎn)，交圖象于點(diǎn)，垂直于軸于點(diǎn)，交圖象于點(diǎn)，則四邊形的面積為_______【答案】/【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義得到，，然后利用四邊形的面積進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：軸，軸，，，四邊形的面積．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點(diǎn)，過這一個(gè)點(diǎn)向軸和軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值．【變式1-2】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A是x軸正半軸上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，四邊形的面積將會(huì)________．（填“逐漸增大”或“不變”或“逐漸減小”）【答案】逐漸減小【分析】由雙曲線設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用坐標(biāo)表示出四邊形的面積函數(shù)關(guān)系式即可判定．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸正半軸上的一個(gè)定點(diǎn)，四邊形是個(gè)直角梯形，四邊形的面積，是定值，對于，由反比例函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，的值也隨著減小，從而四邊形的面積逐漸減?。蚀鸢笧椋褐饾u減小．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用點(diǎn)的坐標(biāo)求出四邊形的面積的函數(shù)關(guān)系式．【考點(diǎn)二根據(jù)圖形面積求比例系數(shù)(解析式)】例題：（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）如圖，一直線經(jīng)過原點(diǎn)，且與反比例函數(shù)相交于點(diǎn)、點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，連接．若面積為，則___．【答案】4【分析】首先根據(jù)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖像特征，可知、兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則為線段的中點(diǎn)，故的面積等于的面積，都等于，然后由反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義，可知的面積等于，從而求出的值．【詳解】解：反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖像相交于、兩點(diǎn)，、兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，，的面積的面積，又是反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)，且軸于點(diǎn)，的面積，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及到反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義：反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積的關(guān)系，即．【變式2-1】（2023·山西忻州·統(tǒng)考一模）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，B，與x軸交于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，若，則k=______．【答案】【分析】連接，由軸于點(diǎn)C，得出軸，即可得出，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出，解得．【詳解】解：連接，∵過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，∴軸，∴，∴，∵，∴，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了同底等高的三角形面積相等，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，明確是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，反比例函數(shù)和的圖象在第一象限內(nèi)分別交矩形的頂點(diǎn)和對角線的中點(diǎn)，則的值為______．【答案】4【分析】利用點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)的坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)的解析式求解即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)則點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，即∵點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，代入得：，即又∵點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，∴代入點(diǎn)得：故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)，熟練掌握矩形的性質(zhì)以及運(yùn)用中點(diǎn)公式整體代入求解的值是解決本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三反比例函數(shù)與三角形的綜合問題】例題：（2023·山西·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)恰好在反比例函數(shù)的圖象上，且軸于點(diǎn)．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求出，然后利用角直角三角形的性質(zhì)求出，然后利用等邊三角形的性質(zhì)得到，利用勾股定理得到，進(jìn)而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后代入即可求出k的值．【詳解】∵為等邊三角形，∴，∵軸，∴，∵，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴，∴，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)恰好在反比例函數(shù)的圖象上，∴，即．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，點(diǎn)B、D都在x軸上，點(diǎn)A、C都在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為________．【答案】/【分析】過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作AF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)OE=m，則點(diǎn)A（m，m），點(diǎn)B（2m，0），再利用點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，求出m，點(diǎn)B的坐標(biāo)；又設(shè)BF=n，，則點(diǎn)C（2m+n，n），再利用點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象，求出n，點(diǎn)C的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作AF⊥x軸于點(diǎn)F，∵△OAB是等腰直角三角形，∴OE=AE=BE，設(shè)OE=m，則點(diǎn)A（m，m），點(diǎn)B（2m，0），∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴，解得：(舍去)，∴點(diǎn)B（2，0），同理∵△BCD是等腰直角三角形，∴BF=CF，設(shè)BF=n，則點(diǎn)C（2+n，n）．∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴，解得：(舍去)，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何綜合，等腰直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）已知在等腰直角三角形中，，，．(1)如圖1，請直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)______，若點(diǎn)C在反比例函數(shù)上，則______；(2)如圖2，若將延x軸向右平移得到，平移距離為m，當(dāng)，都在反比例函數(shù)上時(shí)，求，m；(3)如圖3，在（2）的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得的面積是面積的一半．若存在，請求出點(diǎn)P；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或【分析】（1）過C作軸，垂足為D，證明，得到，，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)平移得到，，根據(jù)函數(shù)圖像上的點(diǎn)得到，求出m值，再將代入表達(dá)式可得；（3）求出的坐標(biāo)，求出的表達(dá)式，得到與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)面積關(guān)系，作交y軸于點(diǎn)P，求出直線的表達(dá)式，得到點(diǎn)P坐標(biāo)，再由平行線之間的距離的性質(zhì)得到另一個(gè)點(diǎn)P坐標(biāo)．【詳解】（1）解：如圖，過C作軸，垂足為D，∵，，∴，，∵，∴，又，即，∴，在和中，，∴，∴，，∴，代入中，得；（2）由平移可得：，，∵，都在反比例函數(shù)上，∴，解得：，即，，∴；（3）存在，理由是：由平移可得，設(shè)中點(diǎn)為D，則，即，設(shè)的表達(dá)式為，則，解得：，∴的表達(dá)式為，令，則，∴直線與y軸交點(diǎn)為；∵的面積是面積的一半，∴作交y軸于點(diǎn)P，設(shè)的表達(dá)式為，將D代入，得，解得：，∴的表達(dá)式為，令，則，∴，∴點(diǎn)關(guān)于直線的對稱直線與y軸交點(diǎn)為，即，綜上：點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的解析式，圖像的平移，一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積，（3）問較為綜合，解題的關(guān)鍵是將面積與中點(diǎn)聯(lián)系起來，結(jié)合平行線之間的距離求解．【考點(diǎn)四反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合問題】例題：（2023秋·陜西咸陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作平行四邊形，使點(diǎn)B、C均在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，則平行四邊形的面積為_______．【答案】6【分析】作于，根據(jù)四邊形為平行四邊形得軸，則可判斷四邊形為矩形，所以，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義得到，據(jù)此即可得到答案．【詳解】解：過點(diǎn)A作于，如圖，四邊形為平行四邊形，軸，四邊形為矩形，，∵，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是掌握從反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)向軸和軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為．【變式4-1】（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過平行四邊形的頂點(diǎn)C，則________【答案】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，利用平移坐標(biāo)變化規(guī)律求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可得到答案．【詳解】解：∵，∴點(diǎn)A平移到點(diǎn)B，橫坐標(biāo)減2，縱坐標(biāo)加1，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，點(diǎn)O平移到點(diǎn)C也是如此，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為，代入得，，解得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)求出反比例圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式4-2】（2023·河南·模擬預(yù)測）如圖，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A，C都在反比例函數(shù)y（k＞0）的圖象上，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2．(1)求反比例函數(shù)y（k＞0）的解析式；(2)求平行四邊形OABC的面積S．【答案】(1)y(2)16【分析】（1）根據(jù)題意C（2，），利用平行四邊形的性質(zhì)得到A（6，4），代入y（k＞0）即可求得k＝6；（2）作CD⊥x軸于D，AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，則S△COD＝S△AOE|k|，利用S＝S△COD+S梯形BCDF﹣S△AOE﹣S梯形AEFB＝S梯形BCDF﹣S梯形AEFB即可求得．【詳解】（1）解：∵平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A，C都在反比例函數(shù)y（k＞0）的圖象上，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，∴C（2，），∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），∴A（6，4），∴，解得k＝6，∴反比例函數(shù)的解析式為y．（2）作CD⊥x軸于D，AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，則S△COD＝S△AOE|k|，∵k＝6，∴C（2，3），A（6，1），B（8，4），∴CD＝3，AE＝1，BF＝4，∴S＝S△COD+S梯形BCDF﹣S△AOE﹣S梯形AEFB＝S梯形BCDF﹣S梯形AEFB（3+4）（8﹣2）（1+4）（8﹣6）＝21﹣5＝16【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，以及平行四邊形的性質(zhì)．掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五反比例函數(shù)與矩形的綜合問題】例題：（2023·廣東佛山·石門中學(xué)校考一模）如圖，矩形ABCD的邊軸，頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)上，點(diǎn)B、D在反比例函數(shù)上，則矩形ABCD的面積為（）A． B．3 C． D．4【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)（m，），分別表示B、D的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示長和寬，再求矩形的面積即可．【詳解】解：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），∵ADx軸，且D在反比例函數(shù)（x＞0）上，∴D（，），∵ABx軸，且B在反比例函數(shù)（x＞0）上，∴B（m，），∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)，通過設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)表示矩形的長和寬是解決本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·廣東湛江·校考一模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)D，交于點(diǎn)E．(1)求k的值及直線的解析式；(2)在x軸上找一點(diǎn)P，使的周長最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；（2）如圖所示，作點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)G，連接交x軸于P，則，由軸對稱的性質(zhì)推出當(dāng)最小時(shí)，的周長最小，即此時(shí)三點(diǎn)共線，求出直線的解析式為，再求出當(dāng)時(shí)，，即可得到．【詳解】（1）解：∵在矩形中，，∴，，∴，∵點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴，∵反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)D，∴，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為；（2）解：如圖所示，作點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)G，連接交x軸于P，∴，由軸對稱的性質(zhì)可知，∴的周長，∵是定值，∴當(dāng)最小時(shí)，的周長最小，即此時(shí)三點(diǎn)共線，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，在中，當(dāng)時(shí)，，∴．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，軸對稱——最短路線問題，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸上，D是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D的反比例函數(shù)圖像交于E點(diǎn)，連接．若，．(1)求過點(diǎn)D的反比例函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)x軸上是否存在點(diǎn)P使為直角三角形？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)3(3)存在，或【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求出的長，得點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式即可；（2）先求點(diǎn)的坐標(biāo)，得出的長，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；（3）根據(jù)已知先設(shè)，然后根據(jù)為直角三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；然后分別進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形為矩形，∴為直角三角形，∵，，∴，∴，設(shè)反比例函數(shù)解析式為，∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖像上，∴，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）解：∵D為的中點(diǎn)，且，∴，∴E點(diǎn)橫坐標(biāo)為8，且E在反比例函數(shù)圖像上，在中，令，可得，∴，∴，且，∴；（3）解：∵P在x軸上，∴可設(shè)，∵為銳角，∴當(dāng)為直角三角形時(shí)，有或，且點(diǎn)P在x軸正半軸上，①當(dāng)時(shí)，則軸，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；②當(dāng)時(shí)，由，，∴，且，，由勾股定理可得，即，解得，∴；綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法、矩形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)的方法、性質(zhì)與公式，靈活運(yùn)用分類討論的思想方法是解答此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六反比例函數(shù)與菱形的綜合問題】例題：（2023·陜西榆林·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的對角線在軸上，頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，若菱形的面積為6，則的值為__________．【答案】3【分析】連接交于，由菱形的性質(zhì)可知．根據(jù)反比例函數(shù)中的幾何意義，再根據(jù)菱形的面積為6，即可求出的值；【詳解】解：連接交于．四邊形是菱形，，菱形的面積，頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，解得：．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)及反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義．反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線．【變式6-1】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)在軸上，頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，且若將該菱形向下平移個(gè)單位后，頂點(diǎn)恰好落在此反比例函數(shù)的圖像上，則此反比例函數(shù)的表達(dá)式為________．【答案】【分析】過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，設(shè)菱形的邊長為a，根據(jù)菱形的性質(zhì)和三角函數(shù)分別表示和點(diǎn)B向下平移個(gè)單位的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式計(jì)算即可解題．【詳解】解：過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，設(shè)菱形的邊長為a，在中，，，則，，點(diǎn)B向下平移個(gè)單位的點(diǎn)為，即則有解得，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式；(2)設(shè)點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，連接，若的面積是菱形面積的，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)y(2)或【分析】（1）過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，由點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理可求出的長，利用菱形的性質(zhì)可得出的長，可得三點(diǎn)共線，進(jìn)而可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求出的值；（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)的面積是菱形面積的，列方程解出即可．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，則，如圖1所示．∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，，∵四邊形為菱形，，三點(diǎn)共線，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．∵點(diǎn)在反比例函數(shù)y的圖象上，；∴y；（2）解：由（1）知：反比例函數(shù)的關(guān)系式為y，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積是菱形面積的，，，或，或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、菱形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、菱形和三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用勾股定理及菱形的性質(zhì)，找出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)反比例函數(shù)解析式設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，列方程解決問題．【考點(diǎn)七反比例函數(shù)與正方形的綜合問題】例題：（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸上，且．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則k的值為______．【答案】4【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)，即可求出k的值．【詳解】解：正方形中，，∴，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，∴，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，正確求出點(diǎn)B的坐標(biāo)是本題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B分別在函數(shù)，的圖象上，點(diǎn)D，C在x軸上．若四邊形為正方形．則點(diǎn)A的坐標(biāo)是______．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為n，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為n，根據(jù)點(diǎn)A，B分別在函數(shù)，的圖象上得，，根據(jù)四邊形為正方形得，解得，得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5，將代入，進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為n，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為n，∵點(diǎn)A，B分別在函數(shù)，的圖象上，∴，，∵四邊形為正方形，∴，，（舍），∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5，將代入得，，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)．【變式7-2】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形為正方形．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)．(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為

；(2)求反比例函數(shù)的解析式．【答案】(1)(2)y【分析】（1）先求出正方形邊長，即可得的坐標(biāo)；（2）把的坐標(biāo)代入，求出值，即可得反比例函數(shù)解析式．【詳解】（1）∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，故答案為：（2）由（1）可得，∵反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得，∴反比例函數(shù)的解析式．【點(diǎn)睛】本題考查直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)和待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是求出，的坐標(biāo)和掌握待定系數(shù)法．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·北京西城·九年級(jí)北京四中?？奸_學(xué)考試）下面四個(gè)圖中反比例函數(shù)的表達(dá)式均為，則陰影部分的圖形的面積為3的有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)的性質(zhì)以及三角形的面積公式，分別求出四個(gè)圖形中陰影部分的面積，即可求解．【詳解】解：第1個(gè)圖中，陰影面積為3，故符合題意；第2個(gè)圖中，陰影面積為，故不符合題意；第3個(gè)圖中，陰影面積為，故符合題意；第4個(gè)圖中，陰影面積為，故符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，解此類題一定要正確理解k的幾何意義．也考查了反比例函數(shù)的對稱性，三角形的面積．2．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊與軸平行，，兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為，，反比例函數(shù)經(jīng)過，兩點(diǎn)，若，則值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)作，設(shè)，，根據(jù)的長度，在中應(yīng)用勾股定理即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作，∵，兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為，，反比例函數(shù)經(jīng)過，兩點(diǎn)，∴設(shè)，，∴，，∵在中，，即，解得，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、菱形的性質(zhì)等內(nèi)容，根據(jù)提示做出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，點(diǎn)、在軸上在的左側(cè)，且，連接、，這關(guān)于四邊形的面積的結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．四邊形的面積無法確定【答案】A【分析】先證得四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得到，即可利用即可求解．【詳解】解：連接，∵點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于D，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)Q，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴軸，∴，，∴，∴四邊形的面積為8，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是，且保持不變．4．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖，點(diǎn)P是的圖象上一動(dòng)點(diǎn)軸于點(diǎn)C，交的圖象于點(diǎn)A，軸于點(diǎn)D，交的圖象于點(diǎn)B．給出如下結(jié)論：①與的面積相等；②與始終相等；③四邊形的面積大小不會(huì)發(fā)生變化；④．其中所有正確結(jié)論有（

）個(gè)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由于是反比函數(shù)上的點(diǎn)，可得出故①正確；當(dāng)P的橫縱坐標(biāo)相等時(shí)，故②錯(cuò)誤；根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可求出四邊形的面積為定值，故③正確；連接，根據(jù)底面相同的三角形面積的比等于高的比即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵是反比函數(shù)上的點(diǎn)，，故①正確；∵由圖的直觀性可知，P點(diǎn)至上而下運(yùn)動(dòng)時(shí)，在逐漸增大，而在逐漸減小，只有當(dāng)P的橫縱坐標(biāo)相等時(shí)，故②錯(cuò)誤；∵P是的圖像上一動(dòng)點(diǎn)，∴矩形的面積為4，∴，故③正確；連接，

∴，∴，∴，∴，故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①③④．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)中系數(shù)k的幾何意義是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題5．（2023秋·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)，連接，則面積為________．【答案】3【分析】根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義即可求解．【詳解】解：點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)，，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，掌握過反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)向軸或軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足、原點(diǎn)組成的三角形的面積的計(jì)算方法是解本題的關(guān)鍵．6．（2023秋·福建福州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，是反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，垂足為，，則四邊形的面積是______．【答案】6【分析】根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)，∵軸，軸，，∴四邊形是矩形，∴，∴，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，熟知反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為軸正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線軸，分別與反比例函數(shù)和的圖象交于、兩點(diǎn)，若，則的值為______．【答案】【分析】由直線軸，得到軸，軸，于是得到，，再根據(jù)即可求得的值．【詳解】解：直線軸，軸，軸，，，，，，解得：，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義：從反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)向軸或軸作垂線，與原點(diǎn)形成的三角形的面積等于．8．（2023·河北滄州·?？既＃┤鐖D，矩形與反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖象交于點(diǎn)，，與反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖象交于點(diǎn)，連接，．若四邊形的面積為3，則的值為________．

【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義即可得出結(jié)論．【詳解】解：的圖象均在第一象限，，點(diǎn)，均在反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖象上，，矩形的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖象上，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點(diǎn)，過這一個(gè)點(diǎn)向軸和軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍城的矩形的面積是定值．三、解答題9．（2023·福建寧德·模擬預(yù)測）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)，在軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，交于點(diǎn)．

(1)求該反比例函數(shù)的解析式；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解答；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，再根據(jù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等即可解答．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴該反比例函數(shù)的解析式為；（2）解：∵四邊形是正方形，，∴，，∴，∴∴把代入得，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，，反比例函數(shù)與幾何圖形的關(guān)系，掌握反比例函數(shù)與幾何圖形的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2023·山東淄博·二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，的邊在x軸上，對角線交于點(diǎn)D，函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)D．

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)求的面積．【答案】(1)；(2)36【分析】（1）設(shè)，先把點(diǎn)坐標(biāo)代入得，所以反比例函數(shù)解析式為；再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，，則，解方程求出得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再求出的長，最后計(jì)算的面積．【詳解】（1）設(shè)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，反比例函數(shù)解析式為；點(diǎn)為平行四邊形的對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，把，代入得，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式：先設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解析式為常數(shù)，；再把已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）代入解析式，得到待定系數(shù)的方程；然后解方程，求出待定系數(shù)；最后寫出解析式．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．11．（2023·河南商丘·統(tǒng)考三模）如圖，菱形頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)為．

(1)求的值；(2)點(diǎn)為反比例函數(shù)圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可求解；（2）先求得直線的解析式，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意，建立方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，；菱形，點(diǎn)在軸上，，三點(diǎn)共線，點(diǎn)坐標(biāo)為，．（2）點(diǎn)坐標(biāo)為，反比例函數(shù)表達(dá)式為；的表達(dá)式為．設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，解得：舍去，．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與結(jié)合圖形綜合，反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D1，四邊形為正方形，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在x軸上，且，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過正方形的頂點(diǎn)C．

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖2，將正方形沿x軸向右平移得到正方形，點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）過點(diǎn)C作軸，交于點(diǎn)H，設(shè)，則，根據(jù)正方形的性質(zhì)及各角之間的關(guān)系得出，利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出，，即可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）利用（1）中方法確定，由點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)圖象上，確定函數(shù)圖象的平移方式即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：過點(diǎn)C作軸，交于點(diǎn)H，

∵，∴設(shè)，則，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∵反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過正方形的頂點(diǎn)C，∴，∴；∴；（2）解：如圖所示，過點(diǎn)D作軸，，，同（1）方法可得：，∵，∴四邊形為矩形，

∴，∴，∵點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，∴當(dāng)時(shí)，，∴∴點(diǎn)A向右平移個(gè)單位得到點(diǎn)，∴即；【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等，求出點(diǎn)的坐標(biāo)從而確定平移方式是解題關(guān)鍵．13．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，頂點(diǎn)A、恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上．

(1)分別求反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線所對應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使周長的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)在x軸上存在一點(diǎn)，使周長的值最小,最小值是．【分析】（1）過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，證明，則，由得到點(diǎn)A的坐標(biāo)是，由A、恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上得到，解得，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，進(jìn)一步用待定系數(shù)法即可得到答案；（2）延長至點(diǎn)，使得，連接交x軸于點(diǎn)P，連接，利用軸對稱的性質(zhì)得到，，則，由知是定值，此時(shí)的周長為最小，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求出周長最小值即可．【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，則，

∵點(diǎn)，，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，∵A、恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上．∴，解得，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，∴，∴反比例函數(shù)的解析式是，設(shè)直線所對應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為，把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得，，解得,∴直線所對應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為，（2）延長至點(diǎn)，使得，連接交x軸于點(diǎn)P，連接，

∴點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，∴，，∵，∴的最小值是的長度，∵，即是定值，∴此時(shí)的周長為最小，設(shè)直線的解析式是，則，解得，∴直線的解析式是，當(dāng)時(shí)，，解得，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是，此時(shí)，綜上可知，在x軸上存在一點(diǎn)，使周長的值最小，最小值是．【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、用到了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理求兩點(diǎn)間距離、軸對稱最短路徑問題、全等三角形