2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章圓錐曲線與方程2.4拋物線2.4.2拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)案新人教B版選修2-1

PAGEPAGE12．4.2拋物線的幾何性質(zhì)1.了解探討拋物線幾何性質(zhì)的思想方法．2.理解拋物線的幾何性質(zhì)．3.駕馭焦點弦有關(guān)的結(jié)論與性質(zhì)．拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)圖形范圍x≥0x≤0y≥0y≤0對稱軸x軸y軸頂點坐標(biāo)(0，0)焦點坐標(biāo)(eq\f(p,2)，0)(－eq\f(p,2)，0)(0，eq\f(p,2))(0，－eq\f(p,2))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)離心率e＝11．推斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)拋物線關(guān)于頂點對稱．()(2)拋物線只有一個焦點，一條對稱軸，無對稱中心．()(3)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同，但是其離心率都相同．()答案：(1)×(2)√(3)√2．四種標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)的拋物線有相同的()A．頂點B．焦點C．準(zhǔn)線D．對稱軸答案：A3．頂點在原點，對稱軸是y軸，并且頂點與焦點的距離等于3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．x2＝±3yB．y2＝±6xC．x2＝±12yD．x2＝±6y答案：C4．拋物線y＝2px2(p>0)的對稱軸為________．答案：y軸拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)拋物線的頂點在原點，對稱軸是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1短軸所在的直線，拋物線的焦點到頂點的距離為3，求拋物線的方程及準(zhǔn)線方程．【解】因為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1短軸在x軸上，所以拋物線的對稱軸為x軸，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，因為拋物線的焦點到頂點的距離為3，所以eq\f(p,2)＝3，即p＝6，所以拋物線的方程為y2＝12x或y2＝－12x，準(zhǔn)線方程分別為x＝－3或x＝3.eq\a\vs4\al()求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程要明確四個步驟(1)定位置(依據(jù)條件確定拋物線的焦點位置及開口方向)；(2)設(shè)方程(依據(jù)焦點和開口方向設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程)；(3)找關(guān)系(依據(jù)條件列出關(guān)于p的方程)；(4)得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．Ｋ求以雙曲線eq\f(x2,8)－eq\f(y2,9)＝1的右頂點為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及準(zhǔn)線方程．解：因為雙曲線的右頂點為(2eq\r(2)，0)，即拋物線的焦點，所以eq\f(p,2)＝2eq\r(2)，所以2p＝8eq\r(2)，所以拋物線方程為y2＝8eq\r(2)x，準(zhǔn)線方程為x＝－2eq\r(2).焦點弦問題已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝6x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點．若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的值．【解】因為直線l的傾斜角為60°，所以其斜率k＝tan60°＝eq\r(3).又Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，所以直線l的方程為y＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2))).聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝6x，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，))消去y得x2－5x＋eq\f(9,4)＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.1．若本例中“直線l的傾斜角為60°”改為“直線l垂直于x軸”，求|AB|的值．解：直線l的方程為x＝eq\f(3,2)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y2＝6x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2),y＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝－3.))所以|AB|＝3－(－3)＝6.2．若本例中“直線l的傾斜角為60°”改為“|AB|＝9”，求線段AB的中點M到準(zhǔn)線的距離．解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是線段AB的中點M的橫坐標(biāo)是3.又準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(3,2)，所以點M到準(zhǔn)線的距離為3＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).eq\a\vs4\al()拋物線焦點弦問題的解法(1)由于拋物線的焦點弦過焦點，因此與焦點弦有關(guān)的問題要留意結(jié)合拋物線的定義求解．(2)焦點弦有關(guān)的問題要把過焦點的直線方程與拋物線方程聯(lián)立，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解．(3)求焦點弦的長度可以利用兩點間的距離公式，也可以利用弦長公式，但由于弦過焦點，結(jié)合拋物線的定義得出焦點弦長為x1＋x2＋p，同時由弦長x1＋x2＋p≥2eq\r(x1x2)＋p＝2p知，通徑是全部弦中最短的弦．已知拋物線方程為y2＝2px(p>0)，過此拋物線的焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，且|AB|＝eq\f(5,2)p，求AB所在直線的方程．解：如圖所示，拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，設(shè)A，B到準(zhǔn)線的距離分別為dA，dB，由拋物線的定義知，|AF|＝dA＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝dB＝x2＋eq\f(p,2)，于是|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(5,2)p，x1＋x2＝eq\f(3,2)p.當(dāng)x1＝x2時，|AB|＝2p<eq\f(5,2)p，所以直線AB與Ox不垂直．設(shè)直線AB的方程為y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))得k2x2－p(k2＋2)x＋eq\f(1,4)k2p2＝0，x1＋x2＝eq\f(p(k2＋2),k2)＝eq\f(3,2)p，解得k＝±2，所以直線AB的方程為y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))或y＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))).拋物線的最值問題已知拋物線y2＝2x.(1)設(shè)點A的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0))，求拋物線上距離A最近的點P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|；(2)在拋物線上求一點P，使P到直線x－y＋3＝0的距離最短，并求出距離的最小值．【解】(1)設(shè)拋物線上任一點P的坐標(biāo)為(x，y)，則|PA|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,3).因為x≥0且在此區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝0時，|PA|min＝eq\f(2,3)，故距A最近的點的坐標(biāo)為(0，0)．(2)設(shè)點P(x0，y0)是y2＝2x上任一點，則P到直線x－y＋3＝0的距離為d＝eq\f(|x0－y0＋3|,\r(2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,0),2)－y0＋3)),\r(2))＝eq\f(|(y0－1)2＋5|,2\r(2))，當(dāng)y0＝1時，dmin＝eq\f(5,2\r(2))＝eq\f(5\r(2),4)，所以點P的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).有關(guān)拋物線的最值問題，主要有兩種解決思路：一是利用拋物線的定義，進(jìn)行到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，以幾何意義解決之；二是利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)行消元代換，獲得有關(guān)距離的含變量的代數(shù)關(guān)系式，以目標(biāo)函數(shù)最值的求法解決之．eq\a\vs4\al()已知拋物線C的頂點在原點，焦點F在x軸的正半軸上．若拋物線上一動點P到Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))、F兩點距離之和的最小值為4，A在拋物線內(nèi)部．求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，其準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2)，過P點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，由定義知，|PH|＝|PF|.當(dāng)H、P、A三點共線時，|PA|＋|PF|最小．所以|PF|＋|PA|的最小值為eq\f(p,2)＋2＝4，所以p＝4，即y2＝8x.所以拋物線方程為y2＝8x.1．拋物線的性質(zhì)與橢圓、雙曲線相比較，差別較大，它的離心率等于1，它只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸、一條準(zhǔn)線，它不是中心對稱圖形，因而沒有中心，是無心曲線．2．拋物線上一點與焦點F的連線的線段叫做焦半徑，設(shè)拋物線上任一點A(x0，y0)，則四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式下的焦半徑公式如表所示：標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)焦半徑|AF||AF|＝x0＋eq\f(p,2)|AF|＝eq\f(p,2)－x0|AF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)|AF|＝eq\f(p,2)－y0在解決有關(guān)拋物線的最值問題時，不能忽視范圍，拋物線的范圍往往作為隱含條件用，因此要留意對條件的挖掘，另一方面一元二次函數(shù)求最值要考察對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，不確定的要分類探討.1．以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，則其方程為()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8xD．x2＝8y或x2＝－8y解析：選C．設(shè)拋物線y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，通徑為2p＝8，p＝4.2．若拋物線y2＝x上一點P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標(biāo)為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，±\f(\r(2),4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(2),4))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(\r(2),4)))解析：選B．由題意知，點P到焦點F的距離等于它到頂點O的距離，因此點P在線段OF的垂直平分線上，而Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，所以點P的橫坐標(biāo)為eq\f(1,8)，代入拋物線方程得y＝±eq\f(\r(2),4)，故點P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))，故選B．3．過點P(0，1)與拋物線y2＝x有且只有一個交點的直線有()A．4條 B．3條C．2條 D．1條解析：選B．當(dāng)直線垂直于x軸時滿意條件，當(dāng)直線不垂直于x軸時，設(shè)直線方程為y＝kx＋1，滿意條件的直線有兩條，共三條滿意題意的直線．4．拋物線y2＝4x的弦AB垂直于x軸，若AB的長為4eq\r(3)，則焦點到AB的距離為________．解析：不妨設(shè)A(x，2eq\r(3))，則(2eq\r(3))2＝4x.所以x＝3，所以AB的方程為x＝3，拋物線的焦點為(1，0)．所以焦點到AB的距離為2.答案：2[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．頂點在原點，焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．y2＝eq\f(3,2)x B．y2＝3xC．y2＝6x D．y2＝－6x解析：選C．頂點在原點，焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為y2＝2px(p>0)，由題意知eq\f(p,2)＝eq\f(3,2)，故p＝3.因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝6x.2．已知直線y＝kx－k(k為實數(shù))及拋物線y2＝2px(p>0)，則()A．直線與拋物線有一個公共點B．直線與拋物線有兩個公共點C．直線與拋物線有一個或兩個公共點D．直線與拋物線沒有公共點解析：選C．因為直線y＝kx－k恒過點(1，0)，點(1，0)在拋物線y2＝2px的內(nèi)部，所以當(dāng)k＝0時，直線與拋物線有一個公共點，當(dāng)k≠0時，直線與拋物線有兩個公共點．3．過拋物線C：y2＝12x的焦點作直線l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，若x1＋x2＝6，則|AB|＝()A．16 B．12C．10 D．8解析：選B．由拋物線的方程可得p＝6，因為x1＋x2＝6，則|AB|＝x1＋x2＋p＝12.故選B．4．設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B．[－2，2]C．[－1，1] D．[－4，4]解析：選C．由題意知點Q的坐標(biāo)為(－2，0)，若直線l的斜率不存在，明顯不符合題意，故直線l的斜率存在，且設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x＋2)，與拋物線方程y2＝8x聯(lián)立，得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，當(dāng)k＝0時，明顯符合題意；當(dāng)k≠0時，需Δ≥0，即16(k2－2)2－4k2·4k2≥0，解得－1≤k<0或0＜k≤1.5．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的中點的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2解析：選B．因為拋物線的焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以過焦點且斜率為1的直線方程為y＝x－eq\f(p,2)，即x＝y(tǒng)＋eq\f(p,2)，代入y2＝2px得y2＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(p,2)))＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得eq\f(y1＋y2,2)＝p＝2(y1，y2分別為點A，B的縱坐標(biāo))，所以拋物線方程為y2＝4x，準(zhǔn)線方程為x＝－1.6．拋物線y＝eq\f(1,8)x2上一點A(x0，2)到其對稱軸的距離為________．解析：拋物線的對稱軸為y軸，把A(x0，2)代入y＝eq\f(1,8)x2，得xeq\o\al(2,0)＝16，即|x0|＝4，故A到y(tǒng)軸的距離為4.答案：47．已知過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，|AF|＝2，則|BF|＝________．解析：因為y2＝4x，所以p＝2，F(xiàn)(1，0)．又|AF|＝2，所以xA＋eq\f(p,2)＝2，所以xA＋1＝2，所以xA＝1，即AB⊥x軸，F(xiàn)為AB的中點，所以|BF|＝|AF|＝2.答案：28．已知A(2，0)，B為拋物線y2＝x上的一點，則|AB|的最小值為________．解析：設(shè)點B(x，y)，則x＝y(tǒng)2≥0，所以|AB|＝eq\r((x－2)2＋y2)＝eq\r((x－2)2＋x)＝eq\r(x2－3x＋4)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))\s\up12(2)＋\f(7,4)).所以當(dāng)x＝eq\f(3,2)時，|AB|取得最小值，且|AB|min＝eq\f(\r(7),2).答案：eq\f(\r(7),2)9．若拋物線的頂點在原點，開口向上，F(xiàn)為焦點，M為準(zhǔn)線與y軸的交點，A為拋物線上一點，且|AM|＝eq\r(17)，|AF|＝3，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py(p>0)，設(shè)A(x0，y0)，由題知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))).因為|AF|＝3，所以y0＋eq\f(p,2)＝3，因為|AM|＝eq\r(17)，所以xeq\o\al(2,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(p,2)))eq\s\up12(2)＝17，所以xeq\o\al(2,0)＝8，代入方程xeq\o\al(2,0)＝2py0得，8＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝4.所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y或x2＝8y.10．已知拋物線y2＝－x與直線y＝k(x＋1)相交于A、B兩點．(1)求證：OA⊥OB；(2)當(dāng)△OAB的面積等于eq\r(10)時，求k的值．解：(1)證明：設(shè)A(－yeq\o\al(2,1)，y1)，B(－yeq\o\al(2,2)，y2)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝－x,y＝k(x＋1)))，得ky2＋y－k＝0，由題意知k≠0，所以y1y2＝－1，y1＋y2＝－eq\f(1,k).所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝y(tǒng)1y2＋yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＝y(tǒng)1y2(1＋y1y2)＝0，所以O(shè)A⊥OB.(2)由(1)知|y1－y2|＝eq\r((y1＋y2)2－4y1y2)＝eq\r(\f(1,k2)＋4)，所以S△OAB＝eq\f(1,2)·1·|y2－y1|＝eq\f(1,2)eq\r(\f(1,k2)＋4)＝eq\r(10)，所以k＝±eq\f(1,6).[B實力提升]11．以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點．已知|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為()A．2 B．4C．6 D．8解析：選B．由題意，不妨設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，可取Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))，設(shè)O為坐標(biāo)原點，由|OA|＝|OD|，得eq\f(16,p2)＋8＝eq\f(p2,4)＋5，得p＝4，所以選B．12．在直角坐標(biāo)系xOy中任給一條直線，它與拋物線y2＝2x交于A、B兩點，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的取值范圍為________．解析：設(shè)直線方程為x＝ty＋b，代入拋物線y2＝2x，得y2－2ty－2b＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2t，y1y2＝－2b.所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝b2－2b＝(b－1)2－1，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的取值范圍為[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)13．已知M(3，y0)(y0>0)為拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，且|MF|＝5.(1)求拋物線C的方程；