《平均變化率》教案

1.1.1《平均變化率》教案一、教學(xué)目標(biāo)1．感受平均變化率廣泛存在于日常生活之中，經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)描述和刻畫現(xiàn)實(shí)世界的過程.體會數(shù)學(xué)的博大精深以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義.2．理解平均變化率的意義，為后續(xù)建立瞬時變化率和導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)模型提供豐富的背景.二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：平均變化率的實(shí)際意義和數(shù)學(xué)意義難點(diǎn)：平均變化率的實(shí)際意義和數(shù)學(xué)意義三、教學(xué)過程一、問題情境1.情境：現(xiàn)有南京市某年3月和4月某天日最高氣溫記載.時間344日最高氣溫3.518.633.4觀察：3月18日到4月18（理解圖中A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)的含義）T/0CT/0t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)TT(℃T)210問題1：你能用數(shù)學(xué)語言來量化BC段曲線的陡峭程度嗎？（形與數(shù)兩方面）曲線上BC之間一段幾乎成了“直線”，由此聯(lián)想如何量化直線的傾斜程度.問題2：你能據(jù)此歸納出“函數(shù)f(x)的平均變化率”的一般性定義嗎？如果將上述氣溫曲線看成是函數(shù)y=f(x)的圖象,任取x1,x2[1,34]則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,34]上的平均變化率為，在區(qū)間[1，x1]上的平均變化率為，在區(qū)間[x2，34]上的平均變化率為.問題3：下面分別是兩個函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象，它們在區(qū)間[x1,x2]上平均變化率是否相等？為什么？用平均變化率來量化曲線的陡峭程度是“粗糙不精確”的.問題4：如圖，請分別計(jì)算氣溫在區(qū)間[1，32]和區(qū)間[32，34]上的平均變化率.氣溫在區(qū)間[1，32]上的平均變化率約為0.5；氣溫在區(qū)間[32，34]上的平均變化率為7.4.問題5：你能發(fā)現(xiàn)“平均變化率的數(shù)值”和“曲線的陡峭程度”以及“氣溫變化的速度”之間有什么樣的對應(yīng)關(guān)系嗎？平均變化率的絕對值越大，曲線越陡峭，變量變化的速度越快.二、學(xué)生活動1.曲線上BC之間一段幾乎成了“直線”，由此聯(lián)想如何量化直線的傾斜程度.2.由點(diǎn)B上升到C點(diǎn)，必須考察yC—yB的大小，但僅僅注意yC—yB的大小能否精確量化BC段陡峭程度，為什么？3.在考察yC—yB的同時必須考察xC—xB，函數(shù)的本質(zhì)在于一個量的改變本身就隱含著這種改變必定相對于另一個量的改變.三、建構(gòu)數(shù)學(xué)1．通過比較氣溫在區(qū)間[1，32]上的變化率0．5與氣溫[32,34]上的變化率7．4，感知曲線陡峭程度的量化.2.一般地,給出函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率為.3．回到氣溫曲線圖中，從數(shù)和形兩方面對平均變化率進(jìn)行意義建構(gòu).4.平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”，但應(yīng)注意當(dāng)x2—x1很小時，這種量化便有“粗糙”逼近“精確”.四、數(shù)學(xué)運(yùn)用例1某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖所示，試分別計(jì)算從出生到第3個月與第6個月到第12個月該嬰兒體重的平均變化率.重量W(單位:kg)W/W/kg639123.56.58.611t/月t/月解：從出生到第3個月，嬰兒體重的平均變化率為=1（kg/月）從第6個月到第12個月，嬰兒體重的平均變化率為=0.4（kg/月）【跟蹤練習(xí)1】水經(jīng)過虹吸管從容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的體積（單位：），試計(jì)算第一個10s內(nèi)V的平均變化率.解：在第一個10秒內(nèi)，體積V的平均變化率為=＝－0.25（/ｓ）,即第一個10s內(nèi)容器甲中水的體積V的平均變化率為－0.25（/ｓ）.例2已知函數(shù)f（x）=2x+1，g（x）=—2x，分別計(jì)算函數(shù)f（x）及g（x）在區(qū)間[-3，-1]，[0，5]上的平均變化率.解：函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，-1]上的平均變化率為==2.同理可得,函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，5]上的平均變化率為2；函數(shù)g（x）在區(qū)間[-3，-1]上的平均變化率為-2；函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，5]上的平均變化率為-2．【跟蹤練習(xí)2】已知f(x)=3x+1,求f(x)在區(qū)間[a,b]上的平均變化率:(1)a=-1,b=-2;(2)a=-1,b=1;(3)a=-1,b=-0.9.例3已知函數(shù)，分別計(jì)算函數(shù)在下列區(qū)間上的平均變化率：(1)[1，3]；(2)[1，2]；(3)[1，1.1]；(4)[1，1.01];(5)[1，1.001].[探究與思考]當(dāng)x0逼近1的時候，f(x)在區(qū)間[1，x0]上的平均變化率呈現(xiàn)什么樣的變化？答案：逼近2五、回顧小結(jié)1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識有：平均變化率的概念；平均變化率的應(yīng)用2.本節(jié)課涉及的數(shù)學(xué)思想方法有：以直代曲