初高中數(shù)學(xué)銜接教材

初高中數(shù)學(xué)銜接教材

一、現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)知識存在以下“脫節(jié)”：

1.立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運(yùn)算還在用。

2.因式分解初中一般只限于二次項(xiàng)且系數(shù)為“1”的分解，對系數(shù)不為“1”

的涉及不多，而且對三次或高次多項(xiàng)式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多

化簡求值都要用到，如解方程、不等式等。

3.二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高

中函數(shù)、不等式常用的解題技巧。

4.初中教材對二次函數(shù)要求較低，學(xué)生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高中

貫穿始終的重要內(nèi)容。配方、作簡圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、

求最大、最小值，研究閉區(qū)間上函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)必須掌握的基本題型與

常用方法。

5.二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

在初中不作要求，此類題目僅限于簡單常規(guī)運(yùn)算和難度不大的應(yīng)用題型，而在高

中二次函數(shù)、二次不等式與二次方程相互轉(zhuǎn)化被視為重要內(nèi)容，高中教材卻未安

排專門的講授。

6.圖像的對稱、平移變換，初中只作簡單介紹，而在高中講授函數(shù)后，對其

圖像的上、下；左、右平移，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)，軸、直線的對稱問題必須掌

握。

7.含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中

這部分內(nèi)容視為重難點(diǎn)。方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題。

8.幾何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定

理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都沒有學(xué)習(xí)，而高中都要涉及。

另外，像配方法、換元法、待定系數(shù)法初中教學(xué)大大弱化，不利于高中知識

的講授。

二、初高中數(shù)學(xué)銜接目錄：

前百

第一講數(shù)與式的運(yùn)算（兩課時(shí)）

第二講因式分解（兩課時(shí)）

第三講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（一課時(shí)）

第四講不等式（兩課時(shí)）

第五講二次函數(shù)的最值問題（一課時(shí)）

第六講簡單的二元二次方程組（一課時(shí)）

第七講分式方程和無理方程的解法（一課時(shí)）

第八講直線、平面與常見立體圖形（一課時(shí)）

第九講直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系（一課時(shí)）

初高中數(shù)學(xué)銜接教材

初高中銜接從觀念開始

一一致即將畢業(yè)的初三同學(xué)

一、初、高中的比較

和初中數(shù)學(xué)相比，高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容多，抽象性、理論性強(qiáng)，高中很注重自學(xué)

能力的培養(yǎng)的，高中不會像初中那樣老師一天到晚盯著你，在高中一定要注重自

學(xué)能力的培養(yǎng)，誰的自學(xué)能力強(qiáng)，那么在一定的程度上影響著你的成績以及你將

來你發(fā)展的前途。不過，要學(xué)好數(shù)學(xué)也不是很困難的，只要你跟著我的思路走，

你的數(shù)學(xué)一定會很好的。

二、學(xué)好高中數(shù)學(xué)的方法

現(xiàn)在我們來看看該如何才能學(xué)好高中數(shù)學(xué)呢？

第一：要改變一個(gè)觀念。

1、有人會說自己的基礎(chǔ)不好。那我問一下什么是基礎(chǔ)？今天所學(xué)的知識就是

明天的基礎(chǔ)，明天學(xué)習(xí)的知識就是后天的基礎(chǔ)，所以要學(xué)好每一天的內(nèi)容，那么

你打的基礎(chǔ)就是最扎實(shí)的了。所以現(xiàn)在你們是在同一個(gè)起跑線上的，無所謂基礎(chǔ)

好不好。

2、還有同學(xué)會說學(xué)數(shù)學(xué)除了高考沒啥用。其實(shí)，大千世界均蘊(yùn)含數(shù)學(xué)的理性

思想；并且就單純數(shù)學(xué)知識來說，它本身的應(yīng)用性就很廣泛，不僅在科學(xué)方面，

就在我們的生活中也處處要用到數(shù)學(xué)知識。

3、改變在初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣。在初中，許多同學(xué)在課堂上基本可以消化

（或者是可以完全消化）老師所講述的內(nèi)容。這樣就能夠考出好的成績，也就能

夠體會到成功的喜悅?，F(xiàn)在，在高中也許你會發(fā)覺：課上不能完全聽懂老師所

講，課后會有一些作業(yè)很難完成。這樣會讓同學(xué)們有了挫敗感。這是與高中數(shù)學(xué)

的特性有很大的關(guān)系。因此，同學(xué)們要改變自己的學(xué)習(xí)觀念：一、要充分做好課

前的預(yù)習(xí)，對書本的基本內(nèi)容進(jìn)行了解與分析：什么內(nèi)容自己能夠?qū)W會？還有什

么是要期待課堂解決？這樣對第二天要學(xué)的內(nèi)容心里有底，在上課的時(shí)候才能做

到有的放矢，使得課堂的效率達(dá)到最大；二、要加強(qiáng)自己的自主學(xué)習(xí)以及合作學(xué)

習(xí)的習(xí)慣，不能萬事都依靠老師，要多和同學(xué)們進(jìn)行討論交流，增強(qiáng)自己合作交

流的能力。三、要學(xué)會參閱課外書籍。通過閱讀，能夠擴(kuò)展同學(xué)們的視野，拓廣

同學(xué)們的思路，總結(jié)學(xué)習(xí)思想方法，使得同學(xué)們能夠盡快地掌握所學(xué)知識，體會

學(xué)習(xí)的樂趣。

第二：要培養(yǎng)對數(shù)學(xué)的興趣。

有些人在初中就對數(shù)學(xué)很感興趣，希望你們能夠繼續(xù)保持下去。有些人在初

中就不大喜歡數(shù)學(xué)，為什么呢？有兩方面的可能性，一方面可能是由于討厭數(shù)學(xué)

老師，另一方面可能是數(shù)學(xué)老是考不好，越不喜歡數(shù)學(xué)就越不想學(xué)數(shù)學(xué)，越不學(xué)

數(shù)學(xué)，越考不好，如此形成一個(gè)惡性循環(huán)。我希望從今天開始你們要開始培養(yǎng)對

數(shù)學(xué)的熱愛。有人說興趣是最好的老師，只要你對某一事物有濃厚的興趣，那么

你對它的關(guān)注就超出平常，會收到意想不到的效果的。那么我們該如何培養(yǎng)興趣

呢？只要你發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)是好玩的，是美的，那么你就有了濃厚的興趣。其實(shí)在我們

的周圍有很多事情都是可以用數(shù)學(xué)可以來解決的，無非很多人都沒有用數(shù)學(xué)的眼

光來看待。

比如基督教徒認(rèn)為上帝是萬能的。你們認(rèn)為呢？如何來證明你的結(jié)論呢？我

的觀點(diǎn)：上帝不是萬能的。為什么呢？仔細(xì)聽我講來。

證明：（反證法）假如上帝是萬能的，那么他能夠制作出一塊無論什么力量

都搬不動的石頭。根據(jù)假設(shè)，既然上帝是萬能的，那么他一定能夠搬的動他自己

制造的那石頭。這與“無論什么力量都搬不動的石頭”相矛盾，所以假設(shè)不成

立，所以上帝不是萬能的。

其實(shí)這樣的例子周圍還有很多，炒股，銀行存款，摸彩票等等都和數(shù)學(xué)有關(guān)

的。隨著高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，那么上面的問題你都會有所細(xì)致的了解。

第三：學(xué)好高中數(shù)學(xué)要注意培養(yǎng)的幾個(gè)能力。

（一）獨(dú)立思考的能力：能根據(jù)所給的條件進(jìn)行獨(dú)立思考，將所學(xué)的知識與

亟待解決的問題結(jié)合，尋找解決之道。

例、撲克牌中有一個(gè)算24的游戲：給出四個(gè)數(shù)，利用加、減、乘、除及括號

連接這四個(gè)數(shù)，使運(yùn)算結(jié)果為24?，F(xiàn)給出3、3、8、8這四個(gè)數(shù)，請你按上述要求

列出算式，使結(jié)果為24。（美國微軟公司在復(fù)旦大學(xué)招聘人才考試題）

（二）空間想像能力：能根據(jù)條件作出正確的圖形，根據(jù)圖形想像出直觀形

象；能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系；能對圖形進(jìn)行分解、組合；

會運(yùn)用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質(zhì)。

空間想像能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力。主要表現(xiàn)為識圖、

畫圖和對圖形的想像能力。識圖是指觀察研究所給圖形中幾何元素之間的相互關(guān)

系；畫圖是指將文字語言和符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，以及對圖形添加輔助圖形

或?qū)D形進(jìn)行各種變換。對圖形的想像主要包括有圖想圖和無圖想圖兩種，是空

間想像能力高層次的標(biāo)志，邏輯推理能力。

（三）抽象概括能力：抽象是指舍棄事物非本質(zhì)的屬性，揭示其本質(zhì)的屬

性；概括是指把僅僅屬于某一類對象的共同屬性區(qū)分出來的思維過程。抽象和概

括是相互聯(lián)系的，沒有抽象就不可能有概括，而概括必須在抽象的基礎(chǔ)上得出某

一觀點(diǎn)或作出某項(xiàng)結(jié)論。抽象概括能力就是從具體的、生動的實(shí)例，在抽象概括

的過程中，發(fā)現(xiàn)研究對象的本質(zhì)；從給定的大量信息材料中，概括出一些結(jié)論，

并能應(yīng)用于解決問題或作出新的判斷。

（四）推理論證能力：推理是思維的基本形式之一，它由前提和結(jié)論兩部分

組成，論證是由已有的正確的前提到被論證的結(jié)論正確的一連串的推理過程。推

理既包括演繹推理，也包括合情推理。論證方法既包括按形式劃分的演繹法和歸

納法，也包括按思考方法劃分的直接證法和間接證法。一般運(yùn)用合情推理進(jìn)行猜

想，再運(yùn)用演繹推理進(jìn)行證明。

中學(xué)數(shù)學(xué)的推理論證能力是根據(jù)已知的事實(shí)和已獲得的正確數(shù)學(xué)命題來論證

某一數(shù)學(xué)命題真實(shí)性初步的推理能力。

例、操場有100名學(xué)生排成10X10的方陣，共有10行10列，

A.在每一行中選出一個(gè)最高的，共有10個(gè)“高個(gè)子”，其中最矮的記為A；

B.在每一列中選出一個(gè)最矮的，共有10個(gè)“矮個(gè)子”，其中最高的記為B；

問：A與B孰高？

（五）運(yùn)算求解能力：會根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理，能

根據(jù)問題的條件，尋找與設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑；能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估

計(jì)和近似計(jì)算。

運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合.運(yùn)算包括對數(shù)字的計(jì)算、估值和

近似計(jì)算，對式子的組合變形與分解變形，對幾何圖形各幾何量的計(jì)算求解等。

運(yùn)算能力包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等一

系列過程中的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力。

（六）數(shù)據(jù)處理能力：會收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中

抽取對研究問題有用的信息，并作出判斷.數(shù)據(jù)處理能力主要依據(jù)統(tǒng)計(jì)或統(tǒng)計(jì)案例

中的方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析，并解決給定的實(shí)際問題。

（七）數(shù)形結(jié)合的能力：能借助圖形，將抽象的問題應(yīng)用圖形形象的表示出

來，使得問題更加明朗，清晰，便于更快的抓住問題的實(shí)質(zhì)，加快解決問題的速

度。

例、炎炎夏日，虔誠的老太太去山上進(jìn)香，山高路遠(yuǎn)，老太太一路走走停

停，自上午6時(shí)從家出發(fā)，下午4時(shí)方到廟中，在廟中住了一晚，第二天自原路

返回，仍是上午6時(shí)從廟中出發(fā)，下午4時(shí)方回到家中。問：這個(gè)老太太可不可

能在同一時(shí)間經(jīng)過同一地點(diǎn)？

（注：同一時(shí)間指的相對于一天內(nèi)的時(shí)間，如昨天的上午9點(diǎn)與今天的上午9點(diǎn)

是作為同一時(shí)間。）

（八）應(yīng)用意識：能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決問題，包括解

決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中簡單的數(shù)學(xué)問題；能理解對問題陳述的材料，并對

所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)

學(xué)模型；應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問題并加以驗(yàn)證，并能用數(shù)學(xué)語言正確地表達(dá)

和說明。主要過程是依據(jù)現(xiàn)實(shí)的生活背景，提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造數(shù)學(xué)模

型，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并加以解決。

（九）創(chuàng)新意識：能發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知

識、思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進(jìn)行獨(dú)立的思考、探索和研

究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題.創(chuàng)新意識是理性思維的高層次表

現(xiàn)，對數(shù)學(xué)問題的“觀察、猜測、抽象、概括、證明”，是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題

的重要途徑，對數(shù)學(xué)知識的遷移、組合、融會的程度越高，顯示出的創(chuàng)新意識也

就越強(qiáng)。

第四：對數(shù)學(xué)科目的幾個(gè)要求

（-）課前預(yù)習(xí)。怎樣預(yù)習(xí)呢？就是自己在上課之前把內(nèi)容先看一邊，把自

己不懂的地方做個(gè)記號或者打個(gè)問號，以至于上課的時(shí)候重點(diǎn)聽，這樣才能夠很

快提高自己的水平。但是預(yù)習(xí)不是很隨便的把課本看一遍，預(yù)習(xí)要有個(gè)目標(biāo)：

（1）就是通過預(yù)習(xí)可以把書本后面的練習(xí)題可以自己獨(dú)立的完成；（2）并思考

與本節(jié)課有關(guān)的舊知識以及如何將新知識融合在里面；（3）問自己幾個(gè)問題：課

本的例題有什么特性？可否發(fā)展？如何發(fā)展？

（二）上課認(rèn)真聽講。上課的時(shí)候準(zhǔn)備課本，一只筆，一本草稿，一本筆

記。做不做筆記你們自己決定，不過我提倡數(shù)學(xué)課做筆記的。有些知識點(diǎn)比較重

要，課本上又沒有的，你們可以補(bǔ)充在你預(yù)習(xí)時(shí)已有的相應(yīng)知識點(diǎn)的位置；另

外，在預(yù)習(xí)中不能解決或者是還存在的問題現(xiàn)在通過課堂的聽講有所感悟也可以

記錄下來；再來就是，如果你覺得某個(gè)例題比較新或者比較重要，也可以把它記

在相應(yīng)位置上，這樣以后復(fù)習(xí)起來就一目了然了。那么草稿要來干什么的呢？課

堂上你可以自己演算還有做課堂練習(xí)。

（三）關(guān)于作業(yè)，絕對不允許有抄作業(yè)的情況發(fā)生。課后要先復(fù)習(xí)今天所學(xué)

的知識點(diǎn)然后再做作業(yè)，這樣才能收到上課的效果，收到事半功倍的效果。那有

人會問，碰到不會做的題目怎么辦？有兩個(gè)辦法：一、向同學(xué)請教，請教做題目

的思路，而不是整個(gè)過程和答案。同學(xué)之間也要相互幫助，如果你讓他抄襲你的

作業(yè)這樣不是幫助他而是害他，這個(gè)道理大家應(yīng)該明白吧。我非常提倡同學(xué)之間

的相互討論問題的，這樣才能夠相互促進(jìn)提高。二、向老師請教，我希望我每天

下課的時(shí)候都有學(xué)生上來請教我，要養(yǎng)成問的習(xí)慣。我高中的時(shí)候，我們班級的

學(xué)生的問題最多，結(jié)果每次考試的成績都是最好的，我希望這樣的事情發(fā)生在你

們當(dāng)中。

（四）準(zhǔn)備一本筆記本，作為自己的問題集。把平時(shí)自己不懂的和不大理解

的還有易錯的記錄下來，并且要及時(shí)的消化，不懂的地方問老師。這是一個(gè)很好

的辦法，到考試的時(shí)候就可以有重點(diǎn)、有針對性的自己復(fù)習(xí)了。

相信你如果認(rèn)真做到以上幾點(diǎn)，那么在高中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就會非常輕松，成績

就能大幅度地提升，最終到達(dá)高考成功的彼岸！

張正茂

2012.12.7

第一講數(shù)與式的運(yùn)算(兩課時(shí))

在初中，我們已學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)，知道字母可以表示數(shù)用代數(shù)式也可以表示數(shù)，

我們把實(shí)數(shù)和代數(shù)式簡稱為數(shù)與式.代數(shù)式中有整式(多項(xiàng)式、單項(xiàng)式)、分

式、根式。它們具有實(shí)數(shù)的屬性，可以進(jìn)行運(yùn)算。在多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算中，我們

學(xué)習(xí)了乘法公式(平方差公式與完全平方公式)，并且知道乘法公式可以使多項(xiàng)

式的運(yùn)算簡便。由于在高中學(xué)習(xí)中還會遇到更復(fù)雜的多項(xiàng)式乘法運(yùn)算，因此本節(jié)

中將拓展乘法公式的內(nèi)容，補(bǔ)充三個(gè)數(shù)和的完全平方公式、立方和、立方差公

式。在根式的運(yùn)算中，我們已學(xué)過被開方數(shù)是實(shí)數(shù)的根式運(yùn)算，而在高中數(shù)學(xué)學(xué)

習(xí)中，經(jīng)常會接觸到被開方數(shù)是字母的情形，但在初中卻沒有涉及，因此本節(jié)中

要補(bǔ)充。基于同樣的原因，還要補(bǔ)充“繁分式”等有關(guān)內(nèi)容。

一、乘法公式

[公式1](a+c)’=/+/+/+2ab+2bc+2ca

證明：

+6+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2

=a2+lab++lac+2bc+c2=a2+b2+c2+lab+2bc+2ca

等式成立

(r-V2x+-)2

【例1】計(jì)算：3

說明：多項(xiàng)式乘法的結(jié)果一般是按某個(gè)字母的降幕或升幕排列。

【公式2](a'b)(a(立方和公式)

證明：

(a+b)(a2-ab+b2)=ay-b+ab2+a2b-ab2+b'=a3+b'

【例2]計(jì)算：.*Xa'+ab+b2)

【公式3】Sb)(a-ab.心=J°'(立方差公式)

請同學(xué)觀察立方和、立方差公式的區(qū)別與聯(lián)系，公式1、2、3均稱為乘法公

式。

【例3】計(jì)算:

(])(4+/77)(164mm\(2)

111II2、

(-n7--n)(——"2+—mn+—/1*)

5225104

(3)軟,學(xué)心第E廣電篇"(4)<A十21『十1-xy-y

說明：(1)在進(jìn)行代數(shù)式的乘法、除法運(yùn)算時(shí)，要觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是否

滿

足乘法公式的結(jié)構(gòu)。

(2)為了更好地使用乘法公式，記住1、2、3、4、…、20的平方

數(shù)

和1、2、3、4、…、10的立方數(shù)，是非常有好處的。

/【例4】已知/-3x+l=O,求的值。

說明：本題若先從方程『-3、+】=0中解出*的值后，再代入代數(shù)式求值，則

計(jì)算較煩瑣.本題是根據(jù)條件式與求值式的聯(lián)系，用整體代換的方法計(jì)算，簡化

了計(jì)算。請注意整體代換法。本題的解法，體現(xiàn)了“正難則反”的解題策略，根

據(jù)題求利用題知，是明智之舉。

1I、，IL11

;?(-4—)+b(—4—)4cf—+—)

【例5】已知a+b+c=。，求bc%aab的值。

說明：注意字母的整體代換技巧的應(yīng)用。

引申：同學(xué)可以探求并證明：

-3abe=(a+6+c)(a2+b1+c2-ab-be-ca)

根式

式子K(a?°)叫做二次根式，其性質(zhì)如下：

⑴(>/a)'=a(a>0)(2)后=1aI

⑶\[ab=Va\[b(a>0,b>0)⑷

【例6】化簡下列各式:

J(百-(2)-*)2+J(2-4(X2l)

(1)

說明：請注意性質(zhì)4'的使用：當(dāng)化去絕對值符號但字母的范圍未知

時(shí)，要對字母的取值分類討論。

【例7】計(jì)算（沒有特殊說明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù)）:

_2_1+1

（1）2+6（2）Vab（3）

2祗一口+癡

說明：（1）二次根式的化簡結(jié)果應(yīng)滿足：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整

式；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式。

（2）二次根式的化簡常見類型有下列兩種：①被開方數(shù)是整數(shù)或整式?；?/p>

時(shí)，先將它分解因數(shù)或因式，然后把開得盡方的因數(shù)或因式開出來；②分母中有

3l~xl'x

根式（如2777）或被開方數(shù)有分母（如行）.這時(shí)可將其化為國形式（如VI可化

在

為無），轉(zhuǎn)化為“分母中有根式”的情況.化簡時(shí)，要把分母中的根式化為有

理式，采取分子、分母同乘以一個(gè)根式進(jìn)行化簡.（如2+石化為

3（2-揚(yáng)

（2+5）（2一日,其中2+6與2-右叫做互為有理化因式）。

【例8】計(jì)算:

⑴(0+"+I)。-G+Vfr)-(y/a+\[b)2

說明：有理數(shù)的的運(yùn)算法則都適用于加法、乘法的運(yùn)算律以及多項(xiàng)式的乘法

公式、分式二次根式的運(yùn)算。

2+口2-5

【例9】設(shè)'-，求V+尸的值.

說明：有關(guān)代數(shù)式的求值問題：（1）先化簡后求值；（2）當(dāng)直接代入運(yùn)算較復(fù)

雜時(shí)，可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，倒推幾步，再代入條件，有時(shí)整體代入可簡化計(jì)

算量。

三、分式

AA

當(dāng)分式萬的分子、分母中至少有一個(gè)是分式時(shí)，力就叫做繁分式，繁分式的

化簡常用以下兩種方法：（1）利用除法法則；（2）利用分式的基本性質(zhì).

【例10］化簡X

說明：解法一的運(yùn)算方法是從最內(nèi)部的分式入手，采取通分的方式逐步脫掉

AAxm

繁分式，解法二則是利用分式的基本性質(zhì)萬一瓦谷進(jìn)行化簡.一般根據(jù)題目特點(diǎn)

綜合使用兩種方法。

寸+3X+96xx-1

+------

【例11】化簡丁-27---9x-/6+2x

說明：（1）分式的乘除運(yùn)算一般化為乘法進(jìn)行，當(dāng)分子、分母為多項(xiàng)式時(shí)，

應(yīng)先因式分解再進(jìn)行約分化簡；（2）分式的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是最簡分式或整式。

練習(xí)

第二講因式分解（兩課時(shí)）

因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變

形。在分式運(yùn)算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用。是一種重要的基本

技能。

因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差

公式和完全平方公式）外，還有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分組

分解法等等。

一、公式法（立方和、立方差公式）

在第一講里，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式中的立方和、立方差公式：

-ab+b（立方和公式）

（&-蛛/+ab+*）=2'-b'（立方差公式）

由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來

寫，就得到：

a'+ft'=（a+b）（a2-ab+b2）

a'-6'=（a-b）（a2+ab+b'>

這就是說，兩個(gè)數(shù)的立方和（差），等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）乘以它們的平方和

與它們積的差（和）。

運(yùn)用這兩個(gè)公式，可以把形式是立方和或立方差的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。

［例1］用立方和或立方差公式分解下列各多項(xiàng)式：

（1）8+父（2）0.125-276

分析：⑴中，8=2',⑵中場1幽一逐譚=袋球。

說明：（1）在運(yùn)用立方和（差）公式分解因式時(shí)，經(jīng)常要逆用塞的運(yùn)算法則，

如8/6'=（2a6）',這里逆用了法則（ab）"="'方；（2）在運(yùn)用立方和（差）公式分解

因式時(shí)，一定要看準(zhǔn)因式中各項(xiàng)的符號。

【例2】分解因式：

（1）3a%-81/（2）a7-ab"

分析：（1）中應(yīng)先提取公因式再進(jìn)一步分解；（2）中提取公因式后，括號內(nèi)

出現(xiàn)/_尸，可看作是）-（/，、；或山）:

二、分組分解法

從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)

式。而對于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，如“恒-mb+ca▼汕既沒有公式可用，也沒有公因

式可以提取。因此，可以先將多項(xiàng)式分組處理。這種利用分組來因式分解的方法

叫做分組分解法。分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組。

1.分組后能提取公因式

【例3】把2ax-10”+56尸以分解因式。

分析：把多項(xiàng)式的四項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，并使兩組的項(xiàng)按*的降幕

排列，然后從兩組分別提出公因式2a與"，這時(shí)另一個(gè)因式正好都是5y,這

樣可以繼續(xù)提取公因式。

說明：用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理

選擇分組的方法。本題也可以將一、四項(xiàng)為一組，二、三項(xiàng)為一組，同學(xué)不妨一

試。

［例4］把d）-（/_h）cd分解因式。

分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號打開后重新分組，然

后再分解因式。

說明：由例3、例4可以看出，分組時(shí)運(yùn)用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，

先運(yùn)用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運(yùn)用了分配律。由此可以看出

運(yùn)算律在因式分解中所起的作用。

2.分組后能直接運(yùn)用公式

【例5】把/"x+a，分解因式。

分析：把第一、二項(xiàng)為一組，這兩項(xiàng)雖然沒有公因式，但可以運(yùn)用平方差公

式分解因式，其中一個(gè)因式是把第三、四項(xiàng)作為另一組，在提出公因式a

后，另一個(gè)因式也是戶上

【例6］把2丁+4xy+2/-8Z分解因式。

分析：先將系數(shù)2提出后，得到其中前三項(xiàng)作為一組，

它是一個(gè)完全平方式，再和第四項(xiàng)形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式。

說明：從例5、例6可以看出：如果一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組后，各組都能直接運(yùn)

用公式或提取公因式進(jìn)行分解，并且各組在分解后，它們之間又能運(yùn)用公式或有

公因式，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以分組分解法來分解因式。

三、十字相乘法

1..+(P,g)x+pq型的因式分解

這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：

(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1;(2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；(3)一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的

兩個(gè)因數(shù)之和。

x2+(p+g)x+pq=x2+px+qx+pq=A(X+p)+g(x+p)=(x+p)(x+g)

因此，--S*?!?-牘*指牘*，3

運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式。

【例71把下列各式因式分解：

(1)x2-lx+6⑵

x2+13x+36

說明：此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)同號因數(shù)，它們的符

號與一次項(xiàng)系數(shù)的符號相同。

【例8】把下列各式因式分解：

(1)/+5X-24(2)

?-2x-15

說明：此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)異號的因數(shù)，其中絕

對值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號相同。

【例9】把下列各式因式分解：

(1)丁+D-6〉(2)

(X2+xy-8(X1+x)+12

分析：(1)把F+xy6/看成X的二次三項(xiàng)式，這時(shí)常數(shù)項(xiàng)是-6J,一次

項(xiàng)系數(shù)是，，把6V分解成“與2y的積，而3y+(-2y)=y,正好是一次項(xiàng)系

數(shù)。

(2)由換元思想，只要把'，+'整體看作一個(gè)字母心可不必寫出，只當(dāng)作分

解二次三項(xiàng)式/-8a+12。

2.一般二次三項(xiàng)式ax'+bx+c型的因式分解

大家知道，

(%x+q)=以町/+(耳。2+%q)*+cj

.反過來，就得到：

2

a[a2x+(atc2+a2ct)x^qq=(%*+G)(%x+c2)

我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)a分解成為%,常數(shù)項(xiàng)。分解成2,,把可，小，G，c寫成

%七,這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到4J+%q,如果它正好等于

江+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)6,那么K+bx+c就可以分解成(%x+cJ(i+G),其

中位于上一行，%,q位于下一行。

這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做

十字相乘法。

必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗

試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解。

【例10]把下列各式因式分解：

(1)12x-5x-2(2)

5x2+6Ay-8y

說明：用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)較困

難，具體分解時(shí)，為提高速度，可先對有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為

負(fù)數(shù)，用減法“湊"，看是否符合一次項(xiàng)系數(shù)，否則用加法“湊“，先“湊“絕

對值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號。

四、其它因式分解的方法

1.配方法

【例11】分解因式丁+6.”16

說明：這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項(xiàng)式

化為兩個(gè)平方式，然后用平方差公式分解。當(dāng)然，本題還有其它方法，請大家試

驗(yàn)。

2.拆、添項(xiàng)法

【例12】分解因式3/+4

分析：此多項(xiàng)式顯然不能直接提取公因式或運(yùn)用公式，分組也不易進(jìn)行.細(xì)

查式中無一次項(xiàng)，如果它能分解成幾個(gè)因式的積，那么進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，必是把

一次項(xiàng)系數(shù)合并為0了，可考慮通過添項(xiàng)或拆項(xiàng)解決。

說明：本解法把原常數(shù)4拆成1與3的和，將多項(xiàng)式分成兩組，滿足系數(shù)對

應(yīng)成比例，造成可以用公式法及提取公因式的條件。本題還可以將3寸拆成

父一4父，將多項(xiàng)式分成兩組(x'+V)和一49+4。

一般地，把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解，可以按照下列步驟進(jìn)行：

(1)如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式；

(2)如果各項(xiàng)沒有公因式，那么可以嘗試運(yùn)用公式來分解；

(3)如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其它方法(如十字相乘

法)來分解；

(4)分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。

練習(xí)

第三講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(一課時(shí))

現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而

一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等

式及解析幾何等章節(jié)有著許多應(yīng)用。本節(jié)將對一元二次方程根的判別式、根與系

數(shù)的關(guān)系進(jìn)行闡述。

一、一元二次方程的根的判斷式

一元二次方程ax；版+c=0(a=0),用配方法將其變形為：

2a4a~

(1)當(dāng)從-4女＞0時(shí)，右端是正數(shù)。因唬之程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：

-d±\Jb2-4ac

x-----------

2a

(2)當(dāng)//-4ac=0時(shí)，右端是零。因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：

b

2a

(3)當(dāng)Z/-4ac＜0時(shí)，右端是負(fù)數(shù)。因此，方程沒有實(shí)數(shù)根。

由于可以用4ac的取值情況來判定一元二次方程的根的情況。因此，把

//-420叫做一元二次方程/+打+。=0("0)的根的判別式，表示為：

&=b'-4ac

【例11不解方程，判斷下列方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)：

(1)2r-3x+l=o(2)4「+9=l2y(3)

5(x2+3)-6A=0

說明：在求判斷式時(shí)，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式。

［例2］已知關(guān)于x的一元二次方程3X=2X+A=O,根據(jù)下列條件，分別求

出女的范圍：

(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)方程有兩個(gè)相

等的實(shí)數(shù)根；

(3)方程有實(shí)數(shù)根；(4)方程無實(shí)

數(shù)根。

【例3】已知實(shí)數(shù)X、＞滿足x+J；-H+2A-J+I=O,試求x、，的值。

二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

一元二次方程“解+"0(a/0)的兩個(gè)根為:

-b-、b-4QC-b-個(gè)b—4ac

X\=2(i,

所以：

yjb2-4ac-b-^Jb2-4acb

-b+y/b2-4ac-b-\/b2-4ac(.-b)2-(vft2-4ac)24acc

x-xI--------------------------------------------------------------------；----------------=—

}la2a(2a)24a2a

定理：如果一元二次方程ax：，=°(”°)的兩個(gè)根為,那么：

bc

%+毛=—,%%=一

a"a

說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所

以通常把此定理稱為“韋達(dá)定理”。上述定理成立的前提是A20。

【例4】若'」是方程f+2x-2007-0的兩個(gè)根，試求下列各式的值：

1+±

(1)xj+xj；(2)X、xz；(3)

(占-5)(x,-5).⑷|A,_&I。

分析：本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會出現(xiàn)復(fù)雜

的計(jì)算。這里，可以利用韋達(dá)定理來解答。

說明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：

11再+與

22

X：+X；=(%+劣尸-2、￡X[X2X/](A；-)=(X)+X,)-4A,A,

2

|%-七1=+毛)’-4%x；j,+X,A,=+X,))

X：+X；=(A；+七)、3、與(,\+")等等。韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想。

V-(A+l)x+—內(nèi)+1=0

[例5]已知關(guān)于X的方程4,根據(jù)下列條件，分別求

出人的值。

⑴方程兩實(shí)根的積為5；⑵方程的兩實(shí)根斗與滿足

分析：（1）由韋達(dá)定理即可求之；（2）有兩種可能，一是二是

=所以要分類討論。

說明：根據(jù)一元二次方程兩實(shí)根滿足的條件，求待定字母的值，務(wù)必要注意

方程有兩實(shí)根的條件，即所求的字母應(yīng)滿足△20。

［例6］已知牛三是一元二次方程4k+八”0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

/2x—Ywx—2x>）=——>

（1）是否存在實(shí)數(shù)3使--2成立？若存在，求出A的值；

若不存在，請您說明理由。

（2）求使4外的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)A的整數(shù)值。

說明：（1）存在性問題的題型，通常是先假設(shè)存在，然后推導(dǎo)其值，若能求

出，則說明存在，否則即不存在。

（2）本題綜合性較強(qiáng)，要學(xué)會對《+?為整數(shù)的分析方法。

練習(xí)

第四講不等式（兩課時(shí)）

初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法。高中階段

將進(jìn)一步學(xué)習(xí)一元二次不等式和分式不等式等知識。本講先介紹一些高中新課標(biāo)

中關(guān)于不等式的必備知識。

一、一元二次不等式及其解法

1.形如小+A+c>0（或<0）（其中a工0）的不等式稱為關(guān)于x的一元二次不

等式。

2.一元二次不等式八'+桁+c>0（或<。）與二次函數(shù)｝=ax'+bx+c（a工0）

及一元二次方程K+b*+c=o的關(guān)系（簡稱：三個(gè)二次）。以二次函數(shù)

y=/+x6為例：

yf

-3.\0/2

（1）作出圖象;

（2）根據(jù)圖象容易看到，圖象與x軸的交點(diǎn)是（-3,0）.（2,0）,即當(dāng),”-3或2

時(shí)，y一°。就是說對應(yīng)的一元二次方程x'+x-6=0的兩實(shí)根是'=-3或2。

（3）當(dāng)x<-3或x>2時(shí)，y>0,對應(yīng)圖像位于x軸的上方。就是說

x2+A-6>0的解是X<-3或X>2。

當(dāng)-3<x<2時(shí)，"0,對應(yīng)圖像位于x軸的下方。就是說丁+乂-6<0的

解是-3Vx<2。

一般地，一元二次不等式可以結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步

驟如下：

（1）將二次項(xiàng)系數(shù)先化為正數(shù)；

（2）觀測相應(yīng)的二次函數(shù)圖象。

①如果圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（牛°），（&，°）,此時(shí)對應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)

不相等的實(shí)數(shù)根**（也可由根的判別式A>。來判斷）。

捋口么（圖1）?+bx+c>0（a>0）=A<%或才\

（---,0）

②如果圖象與'軸只有一個(gè)交點(diǎn)2a此時(shí)對應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)

b

相的實(shí)數(shù)根''一萬（也可由根的判別式A=。來判斷）o

、.b

c>0（s>0）<=>x=---

那么（圖2）：2a

ax'++c<0（a>0）<=>無解

③如果圖象與X軸沒有交點(diǎn)，此時(shí)對應(yīng)的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根（也可由

根的判別式A<0來判斷）。

那么（圖3）：afc>°（a>0）=x取一切實(shí)數(shù)

ax2+c<0(a>0)<=>無解

如果單純的解一個(gè)一元二次不等式的話，可以按照一下步驟處理：

(1)化二次項(xiàng)系數(shù)為正；

(2)若二次三項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積，則求出兩根'…占.那么

“>0”

型的解為X<M或X>X2(俗稱兩根之外)；“<0”型的解為一’(俗稱兩根之

間)；

(3)否則，對二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方，變成

1b248c—b

a)C+c=a(x+—)+-------------

2a4a,

結(jié)合完全平方式為非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解。

【例11解不等式丁+x-6>0。

分析：不等式左邊可以因式分解，根據(jù)“符號法則一一正正(負(fù)負(fù))得正、

正負(fù)得負(fù)”的原則，將其轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組。

說明：當(dāng)把一元二次不等式化為ax'""。>0(或<。)的形式后，只要左邊可

以分解為兩個(gè)一次因式，即可運(yùn)用本題的解法。

［例2］解下列不等式：

(1)(x+2)(x-3)<6(2)(x-1)(x+2)4(x-

2)(2x+l)

分析：要先將不等式化為ax'c>。(或<。)的形式，通常使二次項(xiàng)系數(shù)

為正數(shù)。

【例3】解下列不等式：

(1)x2-2x-8<0(2)X2-4,v+4^0(3)

X2-A+2<0

【例4】已知對于任意實(shí)數(shù)X,A/-2X+A恒為正數(shù)，求實(shí)數(shù)*的取值范圍。

［例5］已知關(guān)于x的不等式TH-0的解為求北的

值。

分析：對應(yīng)的一元二次方程的根是I和3,且對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象開口向

上。根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以求解。

說明：本例也可以根據(jù)方程有兩根1和3,用代入法得：

仆1)2-d+1)(-1)-3=0,?3-*〃+1一=0,且注意《>0,從而《=1。

二、簡單分式不等式的解法

【例6】解下列不等式：

(1)

2x-3八

-----<0

x+1(2)

X2-X+1

分析：(1)類似于一元二次不等式的解法，運(yùn)用“符號法則”將之化為兩個(gè)

一元一次不等式組處理；或者因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)(式)相除異號，那么這兩個(gè)數(shù)(式)乘也

異號，可將分式不等式直接轉(zhuǎn)化為整式不等式求解。

(2)注意到經(jīng)過配方法，分母實(shí)際上是一個(gè)正數(shù)。

【例7】解不等式x+2

說明：(1)轉(zhuǎn)化為整式不等式時(shí)，一定要先將右端變?yōu)?。

(2)本例也可以直接去分母，但應(yīng)注意討論分母的符號：

上，3n「+2>。或「+2<?；蚧?

x+23(x+2)>13(x+2)<1——3

'1I3I3

三、含有字母系數(shù)的一元二次不等式

一元一次不等式最終可以化為">°工0)的形式。

b

(1)當(dāng)a>。時(shí)，不等式的解為：一三；

色

(2)當(dāng)"0時(shí)，不等式的解為：“:；

(3)當(dāng)&=0時(shí)，不等式化為：0x>b；

①若b?0,則不等式無解；②若b<0,則不等式的解是全體實(shí)數(shù)。

【例8】求關(guān)于x的不等式nrx+2>2mx+m的解。

【例9】已知關(guān)于*的不等式〃-Ax>x+2的解為'-3,求實(shí)數(shù)人的值。

分析：將不等式整理成。的形式，可以考慮只有當(dāng)">0時(shí)，才有形如

b_b

a的解，從而令a2。

練習(xí)

第五講二次函數(shù)的最值問題(一課時(shí))

二次函數(shù)尸=a『.6x+c（aN0）是初中函數(shù)的主要內(nèi)容，也是高中學(xué)習(xí)的重要

基礎(chǔ)。在初中階段大家已經(jīng)知道：二次函數(shù)在自變量'取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值情況

b4ac-b2

（當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在'一焉處取得最小值4a,無最大值；當(dāng)&<。時(shí)，函數(shù)

b4ac-b2

在'2a處取得最大值4a,無最小值。

本節(jié)我們將在這個(gè)基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)當(dāng)自變量'在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)的最

值問題。同時(shí)還將學(xué)習(xí)二次函數(shù)的最值問題在實(shí)際生活中的簡單應(yīng)用。

【例1】當(dāng)-2vxv2時(shí)，求函數(shù)，2、一的最大值和最小值。

分析：作出函數(shù)在所給范圍的及其對稱軸的草圖，觀察圖象的最高點(diǎn)和最低

點(diǎn)，由此得到函數(shù)的最大值、最小值及函數(shù)取到最值時(shí)相應(yīng)自變量、的值。

【例2】當(dāng)叱xv2時(shí)，求函數(shù)J，-一「1的最大值和最小值。

【例3】當(dāng)CO時(shí)，求函數(shù)-M2-X）的取值范圍。

125

y--x—x—

【例4】當(dāng)rvxvr+l時(shí)，求函數(shù)22的最小值（其中，為常數(shù)）。

分析：由于x所給的范圍隨著，的變化而變化，所以需要比較對稱軸與其范圍

的相對位置。

［例5］某商場以每件30元的價(jià)格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天

的銷售量（件）與每件的銷售價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)，"1623x,3O￡x<54o

（1）寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤，與每件銷售價(jià)、之間的函數(shù)關(guān)系

式；

（2）若商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？

最大銷售利潤為多少？

練習(xí)

第六講簡單的二元二次方程組（一課時(shí)）

在初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程組的解

法，掌握了用消元法解二元一次方程組.高中新課標(biāo)必修2中學(xué)習(xí)圓錐曲線時(shí)，

需要用到二元二次方程組的解法.因此，本講講介紹簡單的二元二次方程組的解

法。

含有兩個(gè)未知數(shù)、且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做二元

二次方程。

由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組，或由兩個(gè)二元二次

方程組組成的方程組，叫做二元二次方程組。

一、由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組

一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組一般都可以用代入法

求解.其蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化思想：將二元一次方程化歸為熟悉的一元二次方程求解。

\2x-y=0(1)

【例1】解方程組〔解-爐+3=°⑵

分析：由于方程⑴是二元一次方程，故可由方程Q),得，=2x,代入方程

⑵消去九

說明：

(1)解由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組的步驟：

①由二元一次方程變形為用x表示產(chǎn)的方程，或用￥表示x的方程(3)；

②把方程(3)代入二元二次方程，得一個(gè)一元二次方程；

③解消元后得到的一元二次方程；

④把一元二次方程的根，代入變形后的二元一次方程(3),求相應(yīng)的未

知

數(shù)的值；

⑤寫出答案。

(2)消x,還是消幾應(yīng)由二元一次方程的系數(shù)來決定.若系數(shù)均為整數(shù)，那

么最好消去系數(shù)絕對值較小的，如方程x-2y+l-0,可以消去、,變形得

、二2尸I,再代入消元。

(3)消元后，求出一元二次方程的根，應(yīng)代入二元一次方程求另一未知數(shù)的

值，不能代入二元二次方程求另一未知數(shù)的值，因?yàn)檫@樣可能產(chǎn)生增根，這一點(diǎn)

切記。

*+y=|1(1)

【例2】解方程組I28(2)

分析：本題可以用代入消元法解方程組，但注意到方程組的特點(diǎn)，可以把,*、

，看成是方程？-?lz+28=0的兩根，則更容易求解。

(x+y=a

說明：(D對于這種對稱性的方程組'-11h,利用一元二次方程的根與系

數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程時(shí)，未知數(shù)要換成異于X、的字母，如z。

fx=4Lv=7

(2)對稱形方程組的解也應(yīng)是對稱的，即有解,,則必有解14。

二、由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組

1.可因式分解型的方程組

方程組中的一個(gè)方程可以因式分解化為兩個(gè)二元一次方程，則原方程組可轉(zhuǎn)

化為兩個(gè)方程組，其中每個(gè)方程組都是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程

組成。

V-/=5(x+y)(1)

［例3］解方程組X?+個(gè)+爐=43(2)

分析：注意到方程=j),可分解成(x+y)(x-y-5)=°,即得

*+^-°或、y5=0,則可得到兩個(gè)二元二次方程組，且每個(gè)方程組中均有一

個(gè)方程為二元一次方程。

說明：由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組中，有一個(gè)方程可以通過因式分

解，化為兩個(gè)二元一次方程，則原方程組轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)方程組，其中每一個(gè)方程

組均有一個(gè)方程是二元一次方程。

X2+xy=12(1)

［例4］解方程組xy+「=4(2)

分析：本題的特點(diǎn)是方程組中的兩個(gè)方程均缺一次項(xiàng)，我們可以消去常數(shù)

項(xiàng)，可得到一個(gè)二次三項(xiàng)式的方程.對其因式分解，就可以轉(zhuǎn)化為例3的類型。

說明：若方程組的兩個(gè)方程均缺一次項(xiàng)，則消去常數(shù)項(xiàng)，得到一個(gè)二元二次方

程.此方程與原方程組中的任一個(gè)方程聯(lián)立，得到一個(gè)可因式分解型的二元二次

方程組。

fX2+/=26(1)

【例5】解方程組1刈=5⑵

分析：⑴+(2)x2得："+.療=36,，(1)_(2)x2得：

(xy)2=16(4),分別分解(3)、(4)可得四個(gè)二元一次方程組。

fZ+K=f+y=<?

說明：對稱型方程組，如1x+y=6、m都可以通過變形轉(zhuǎn)化為

x+y=m

xy=n的形式，通過構(gòu)造一元二次方程求解。

2.可消二次項(xiàng)型的方程組

j懸新*巽:二ri；

【例6】解方程組1%尸俾密：

分析：注意到兩個(gè)方程都有廿項(xiàng)，所以可用加減法消之，得到一個(gè)二元一次

方程，即轉(zhuǎn)化為由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組.

說明：若方程組的兩個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)對應(yīng)成比例，則可用加減法消去二

次項(xiàng)，得到一個(gè)二元一次方程，把它與原方程組的任意一個(gè)方程聯(lián)立，解此方程

組，即得原方程組的解.二元二次方程組類型多樣，消元與降次是兩種基本方

法，具體問題具體解決。

練習(xí)

第七講分式方程和無理方程的解法（一課時(shí)）

初中大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了可化為一元一次方程的分式方程的解法。本講將要學(xué)習(xí)

可化為一元二次方程的分式方程的解法以及無理方程的解法.并且只要求掌握（1）

不超過三個(gè)分式構(gòu)成的分式方