專項(xiàng)18-矩形的性質(zhì)-專題訓(xùn)練

矩形的性質(zhì)-專題訓(xùn)練一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（興賓區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，O是BC的中點(diǎn)，∠AOD＝90°，若矩形的周長(zhǎng)為36，則AB的長(zhǎng)為（）A．6 B．9 C．12 D．42．（蘭陵縣期末）如圖，在矩形ABCD中對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，AE＝8，AC＝20，則OE的長(zhǎng)為（）A．43 B．4 C．6 D．83．（遵義期末）矩形ABCD中，AD＝3，AB＝9，點(diǎn)E、F同時(shí)分別從點(diǎn)A、C出發(fā)沿AB、CD方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)四邊形EBFD為菱形時(shí)，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（）A．4秒 B．5秒 C．6秒 D．62秒4．（五蓮縣期末）如圖，在一張長(zhǎng)方形紙片上畫一條線段AB，將右側(cè)部分紙片四邊形ABCD沿線段AB翻折至四邊形ABC'D'，若∠ABC＝58°，則∠1＝（）A．60° B．64° C．42° D．52°5．（江漢區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，作AF⊥BE于F，連接DF，若AB＝6，DF＝BC，則CE的長(zhǎng)度為（）A．2 B．52 C．3 D．6．（梁溪區(qū)校級(jí)二模）矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）A．兩組對(duì)邊分別平行 B．對(duì)角線相等 C．對(duì)角線互相垂直 D．對(duì)角線平分一組對(duì)角7．（太倉(cāng)市期中）菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）A．兩組對(duì)角分別相等 B．對(duì)角線相等 C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角線互相垂直8．（高淳區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E．若BE＝EO，則AD的長(zhǎng)是（）A．62 B．23 C．32 D．259．（常州期末）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線BD＝6，∠AOD＝120°，則矩形ABCD的面積為（）A．9 B．93 C．12 D．12310．（曲阜市期末）已知：如圖，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是線段AD上任意一點(diǎn)，且PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE+PF等于（）A．6013 B．5013 C．185二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上11．（大邑縣期中）如圖在矩形ABCD對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若∠ACB＝30°，AB＝2，則BD的長(zhǎng)為．12．（徐匯區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，O是兩對(duì)角線交點(diǎn)，AE⊥BD于點(diǎn)E．若OE：OD＝1：2，AE＝3cm，則BE＝cm．13．（玄武區(qū)期中）如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線夾角為60°，一條短邊為4，則矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為．14．（錫山區(qū)期中）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段AO上，且DE＝DC，若∠EDO＝15°，則∠DEC＝°．15．（東臺(tái)市期末）長(zhǎng)方形的一條對(duì)角線的長(zhǎng)為10cm，一邊長(zhǎng)為6cm，它的面積是cm2．16．（碭山縣期末）已知，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6，AD＝10，延長(zhǎng)BC至E，使CE＝4，連接DE，動(dòng)點(diǎn)F從B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t的值為時(shí)，△ABF和△DCE全等．17．（吳中區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝18cm，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以3cm/s的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以acm/s的速度沿CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，并且當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；當(dāng)△EBP與△PCQ全等時(shí)，a的值是．18．（相城區(qū)期末）兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形ABCD與長(zhǎng)方形EFGD如圖放置，點(diǎn)D在線段AG上，若AG＝m，CE＝n，則長(zhǎng)方形ABCD的面積是．（用m，n表示）三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（句容市期中）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，且EC平分∠BED．（1）△BEC是否為等腰三角形？請(qǐng)給出證明；（2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求DE的長(zhǎng)．20．（常州期中）如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在BC邊上，F(xiàn)E平分∠DFB．（1）判斷△DEF的形狀，并說明理由；（2）若點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，求AE的長(zhǎng)．21．（延慶區(qū)期末）在矩形ABCD中，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為邊BC，DA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且CE＝AF，連接AE，DE，BF．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）若AF＝1，AB＝2，AD=5，求證：AE平分∠DEB22．（溧陽(yáng)市期末）如圖，矩形ABCD中，AB=2BC，在邊AB上截取BE，使得BE＝BC，連接CE，作DF⊥EC于點(diǎn)F，連接BF并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)G，連接DE（1）求證：DE平分∠AEC；（2）若AD=6，求出DG23．（沙坪壩區(qū)校級(jí)三模）如圖，AC為矩形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AD上的點(diǎn)，連接AE，CF，若∠BAE＝∠DCF：（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若AC平分∠DAE，AB＝4，BC＝8，求△AEC的周長(zhǎng)．24．如圖，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，連接CE，AF．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．（2）若AB=3，BC＝3，求CE

矩形的性質(zhì)-專題訓(xùn)練（解析版）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（興賓區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，O是BC的中點(diǎn)，∠AOD＝90°，若矩形的周長(zhǎng)為36，則AB的長(zhǎng)為（）A．6 B．9 C．12 D．4【分析】首先證明△ABO≌△DCO，推出OA＝OB；由∠AOD＝90°，推出∠OAD＝∠ODA＝45°；由∠BAD＝∠CDA＝90°，推出∠BAO＝∠CDO＝45°，則∠BAO＝∠AOB，∠CDO＝∠COD，從而推出AB＝BO＝OC＝CD，設(shè)AB＝CD＝x，則BC＝AD＝2x，由題意x+x+2x+2x＝36，解方程即可解決問題．【解析】解∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，在△ABD和△DCO中，AB=DC∠B=∠C∴△ABO≌△DCO（SAS），∴OA＝OB，∵∠AOD＝90°，∴∠OAD＝∠ODA＝45°，∵∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠BAO＝∠CDO＝45°，∴∠BAO＝∠AOB，∠CDO＝∠COD，∴AB＝BO＝OC＝CD，設(shè)AB＝CD＝x，則BC＝AD＝2x，由題意x+x+2x+2x＝36，∴x＝6，∴AB＝6．故選：A．2．（蘭陵縣期末）如圖，在矩形ABCD中對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，AE＝8，AC＝20，則OE的長(zhǎng)為（）A．43 B．4 C．6 D．8【分析】由矩形的性質(zhì)可得AO＝CO=12【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝CO=12∴OE=AO故選：C．3．（遵義期末）矩形ABCD中，AD＝3，AB＝9，點(diǎn)E、F同時(shí)分別從點(diǎn)A、C出發(fā)沿AB、CD方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)四邊形EBFD為菱形時(shí)，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（）A．4秒 B．5秒 C．6秒 D．62秒【分析】設(shè)t秒時(shí)四邊形EBFD為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到DE＝DF＝FB＝BE，然后表示出AE＝t，DF＝9﹣t，從而根據(jù)勾股定理列出方程32+t2＝（9﹣t）2求解即可．【解析】設(shè)t秒時(shí)四邊形EBFD為菱形，此時(shí)DE＝DF＝FB＝BE，則AE＝t，DF＝9﹣t，根據(jù)勾股定理得：32+t2＝（9﹣t）2，解得：t＝4，故選：A．4．（五蓮縣期末）如圖，在一張長(zhǎng)方形紙片上畫一條線段AB，將右側(cè)部分紙片四邊形ABCD沿線段AB翻折至四邊形ABC'D'，若∠ABC＝58°，則∠1＝（）A．60° B．64° C．42° D．52°【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠BAD＝122°，由折疊的性質(zhì)可得∠BAD＝∠BAD'＝122°，即可求解．【解析】∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，且∠ABC＝58°，∴∠BAD＝122°，∵將右側(cè)部分紙片四邊形ABCD沿線段AB翻折至四邊形ABC'D'，∴∠BAD＝∠BAD'＝122°，∴∠1＝122°+122°﹣180°＝64°，故選：B．5．（江漢區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，作AF⊥BE于F，連接DF，若AB＝6，DF＝BC，則CE的長(zhǎng)度為（）A．2 B．52 C．3 D．【分析】過D作DH⊥AF于點(diǎn)H，延長(zhǎng)DH與AB相交于點(diǎn)G，先根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知條件得DA＝DF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得H是AF的中點(diǎn)，由平行線等分線段定理得G是AB的中點(diǎn)，進(jìn)而證明四邊形BEDG是平行四邊形，求得DE，便可得CE的長(zhǎng)度．【解析】過D作DH⊥AF于點(diǎn)H，延長(zhǎng)DH與AB相交于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC，∵DF＝BC，∴DA＝DF，∴AH＝FH，∵AF⊥BE，∴DG∥BE，∴AG＝BG=1∵矩形ABCD中，AB＝DC＝6，AB∥DC，∴四邊形BEDG為平行四邊形，∴DE＝BG＝3，∴CE＝CD﹣DE＝6﹣3＝3．故選：C．6．（梁溪區(qū)校級(jí)二模）矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）A．兩組對(duì)邊分別平行 B．對(duì)角線相等 C．對(duì)角線互相垂直 D．對(duì)角線平分一組對(duì)角【分析】根據(jù)矩形和菱形的性質(zhì)得出即可．【解析】矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是對(duì)角線相等，故選：B．7．（太倉(cāng)市期中）菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）A．兩組對(duì)角分別相等 B．對(duì)角線相等 C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角線互相垂直【分析】依據(jù)菱形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解析】A、矩形的兩組對(duì)角相等，菱形的兩組對(duì)角相等，故A錯(cuò)誤；B、矩形的每條對(duì)角線相等，菱形不具有該性質(zhì)，故B錯(cuò)誤；C、菱形和矩形的對(duì)角線都相互平分，故C錯(cuò)誤；D、菱形的對(duì)角線互相垂直，而矩形的對(duì)角線不具有該性質(zhì)，故D正確．故選：D．8．（高淳區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E．若BE＝EO，則AD的長(zhǎng)是（）A．62 B．23 C．32 D．25【分析】由矩形的性質(zhì)可得OB＝OD＝OA＝OC，AC＝BD，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得OA＝AB＝OB，可證△OAB是等邊三角形，可得∠ABD＝60°，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵BE＝EO，AE⊥BD，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB，即△OAB是等邊三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠ABD＝30°，∴AD=3AB＝23故選：B．9．（常州期末）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線BD＝6，∠AOD＝120°，則矩形ABCD的面積為（）A．9 B．93 C．12 D．123【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠ABC＝90°，AO＝BO，求出△AOB是等邊三角形，求出AB＝3，AC＝6，根據(jù)勾股定理求出BC，再求出面積即可．【解析】∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝180°﹣∠AOD＝60°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝6，AO＝OC，BO＝DO=1∴AO＝OB＝3，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝AO＝3，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=AC2∴矩形ABCD的面積是AB×BC＝3×33=9故選：B．10．（曲阜市期末）已知：如圖，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是線段AD上任意一點(diǎn)，且PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE+PF等于（）A．6013 B．5013 C．185【分析】首先連接OP．由矩形ABCD的兩邊AB＝5，BC＝12，可求得OA＝OD=132，然后由S△AOD＝S△AOP+S△【解析】連接PO，∵矩形ABCD的兩邊AB＝5，BC＝12，∴S矩形ABCD＝AB?BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC=A∴S△AOD=14S矩形ABCD＝15，OA＝OD=1∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP=12OA?PE+12OD?PF=12OA（PE+PF）∴PE+PF=60故選：A．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上11．（大邑縣期中）如圖在矩形ABCD對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若∠ACB＝30°，AB＝2，則BD的長(zhǎng)為4．【分析】根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得AC＝2AB，再根據(jù)矩形的對(duì)角線相等解答．【解析】在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠ACB＝30°，AB＝2，∴AC＝2AB＝2×2＝4，∵四邊形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝4．故答案為：4．12．（徐匯區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，O是兩對(duì)角線交點(diǎn)，AE⊥BD于點(diǎn)E．若OE：OD＝1：2，AE＝3cm，則BE＝3cm．【分析】由矩形的性質(zhì)可得AO＝BO，由線段的垂直平分線的性質(zhì)可得AO＝AB，可證△ABO是等邊三角形，∠ABO＝60°，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO，∵OE：OD＝1：2，∴OE=12∴BE＝OE，又∵AE⊥BD，∴AO＝AB，∴AO＝AB＝BO，∴△ABO是等邊三角形，∴∠ABO＝60°，∴∠BAE＝30°，∴AE=3BE＝3cm∴BE=3cm故答案為：3．13．（玄武區(qū)期中）如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線夾角為60°，一條短邊為4，則矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為8．【分析】由矩形的性質(zhì)和已知條件得出△AOB是等邊三角形，得出OA＝AB＝4，AC＝2OA＝8．【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OA＝AB＝4，∴AC＝2OA＝8，故答案為：8．14．（錫山區(qū)期中）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段AO上，且DE＝DC，若∠EDO＝15°，則∠DEC＝55°．【分析】證出∠DEC＝∠OCD＝∠ODC，設(shè)∠DEC＝∠OCD＝∠ODC＝x，則∠COD＝180°﹣2x，由三角形的外角性質(zhì)得出∠COD＝∠DEC+∠EDO，得180°﹣2x＝x+15°，解方程即可．【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠OCD，∴∠DEC＝∠OCD＝∠ODC，設(shè)∠DEC＝∠OCD＝∠ODC＝x，則∠COD＝180°﹣2x，又∵∠COD＝∠DEC+∠EDO，∴180°﹣2x＝x+15°，解得：x＝55°，即∠DEC＝55°，故答案為：55．15．（東臺(tái)市期末）長(zhǎng)方形的一條對(duì)角線的長(zhǎng)為10cm，一邊長(zhǎng)為6cm，它的面積是48cm2．【分析】利用勾股定理列式求出另一邊長(zhǎng)，然后根據(jù)矩形的面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解析】∵長(zhǎng)方形的一條對(duì)角線的長(zhǎng)為10cm，一邊長(zhǎng)為6cm，∴另一邊長(zhǎng)為102?62∴它的面積為8×6＝48cm2．故答案為：48．16．（碭山縣期末）已知，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6，AD＝10，延長(zhǎng)BC至E，使CE＝4，連接DE，動(dòng)點(diǎn)F從B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t的值為2或11時(shí)，△ABF和△DCE全等．【分析】由矩形的性質(zhì)可得AB＝CD，∠B＝∠A＝∠DCE＝90°，分點(diǎn)F在BC上或AD上兩種情況討論，由全等三角形的性質(zhì)可求解．【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠B＝∠DCB＝90°，∴∠B＝∠A＝∠DCE＝90°，當(dāng)點(diǎn)F在BC上時(shí)，∵△ABF≌△DCE，∴BF＝CE＝4，∴t=42=2當(dāng)點(diǎn)F在AD上時(shí)，∵△ABF≌△CDE，∴AF＝CE＝4，∴t=10×2+6?42=綜上所述：t＝2或11，故答案為：2或11．17．（吳中區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝18cm，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以3cm/s的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以acm/s的速度沿CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，并且當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；當(dāng)△EBP與△PCQ全等時(shí)，a的值是3或2．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理解答即可．【解析】∵AB＝12cm，E是AB的中點(diǎn)，∴EB＝6cm，∵點(diǎn)P的速度是3cm/s，∴ts后BP＝3tcm，∴PC＝BC﹣BP＝（18﹣3t）cm，則18﹣3t＝6，解得t＝4，則BP＝3×4＝12cm，∵△EBP與△PCQ全等，∴4a＝12，解得a＝3．當(dāng)at＝6，3t＝18﹣3t，也符合題意，解得a＝2故答案為：3或2．18．（相城區(qū)期末）兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形ABCD與長(zhǎng)方形EFGD如圖放置，點(diǎn)D在線段AG上，若AG＝m，CE＝n，則長(zhǎng)方形ABCD的面積是m2?n24【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)以及矩形的面積公式即可求出答案．【解析】由題意可知：AD＝ED，DG＝CD，設(shè)AD＝ED＝x，∴x+n+x＝m，∴x=m?n∴AD=m?n2，CD∴長(zhǎng)方形ABCD的面積為AD?CD=m故答案為：m2三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（句容市期中）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，且EC平分∠BED．（1）△BEC是否為等腰三角形？請(qǐng)給出證明；（2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求DE的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)EC平分∠BED，可得∠BEC＝∠DEC，根據(jù)四邊形ABCD是矩形，可得AD∥BC，所以∠BCE＝∠DEC，進(jìn)而可得△BEC是等腰三角形；（2）根據(jù)∠ABE＝45°，可得三角形ABE是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理可得BE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得DE的長(zhǎng)．【解析】（1）△BEC是等腰三角形，證明：∵EC平分∠BED，∴∠BEC＝∠DEC，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BCE＝∠DEC，∴∠BEC＝∠BCE，∴BE＝BC，∴△BEC是等腰三角形；（2）∵∠ABE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴AE＝AB＝1，∴BE=A∴BE＝BC＝AD=2∴DE＝AD﹣AE=220．（常州期中）如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在BC邊上，F(xiàn)E平分∠DFB．（1）判斷△DEF的形狀，并說明理由；（2）若點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，求AE的長(zhǎng)．【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得AD∥BC，由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得∠DEF＝∠DFE，可得結(jié)論；（2）由勾股定理可求DF的長(zhǎng)，即可求解．【解析】（1）△DEF是等腰三角形，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∠C＝90°，∴∠BFE＝∠DEF，∵FE平分∠DFB，∴∠BFE＝∠DFE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵AB＝1，BC＝2，∴CD＝1，AD＝2，∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∴FC=1Rt△DCF中，∠C＝90°，∴DF=D∴DE＝DF=2∴AE＝AD﹣DE＝2?221．（延慶區(qū)期末）在矩形ABCD中，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為邊BC，DA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且CE＝AF，連接AE，DE，BF．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）若AF＝1，AB＝2，AD=5，求證：AE平分∠DEB【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出AD∥BC，AD＝BC，由CE＝AF，得出DF＝BE，DF∥BE，即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理得出BF=5，由平行四邊形的性質(zhì)得出DF∥BE，DE＝BF=5，則∠DAE＝∠AEB，證出DE＝AD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAE＝∠DEA，得出∠AEB＝∠【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CE＝AF，∴DF＝BE，DF∥BE，∴四邊形BEDF為平行四邊形；（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠FAB＝90°，∵AF＝1，AB＝2，∴由勾股定理得：BF=A∵四邊形BEDF為平行四邊形，∴DF∥BE，DE＝BF=5∴∠DAE＝∠AEB，∵AD=5∴DE＝AD，∴∠DAE＝∠DEA，∴∠AEB＝∠DEA，即AE平分∠DEB．22．（溧陽(yáng)市期末）如圖，矩形ABCD中，AB=2BC，在邊AB上截取BE，使得BE＝BC，連接CE，作DF⊥EC于點(diǎn)F，連接BF并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)G，連接DE（1）求證：DE平分∠AEC；（2）若AD=6，求出DG【分析】（1）證明CE=2BC，進(jìn)而得CD＝CE，得∠CDE＝∠CED，再由平行線的性質(zhì)得∠AED＝∠CDE（2）證明△DFG≌△EBF便得DG＝EF，求出EF便可．【解析】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥DC，∠ABC＝90°，∵BC＝BE，∴CE=2BC∵AB=2BC∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∵AB∥CD，∴∠CDE＝∠AED，∴∠AED＝∠DEC，∴DE平分∠AEC；（2）∵BC＝BE，∠CBE＝90°，∴∠BCE＝∠BEC＝45°，∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠BEC＝45°，∵DF⊥CE，∴∠CDF＝45°，∴DF＝CF，∴CD=2DF∵AB＝CD，AB=2BC，BC＝∴BE＝DF＝CF＝BC，∵∠ADC＝90°，∴∠FDG＝45°，∴∠BEF＝∠EDF，∵BC＝CF，∠BCF＝45°，∴∠CBF＝∠CFB＝67.5°，∴∠EBF＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠DFG＝180°﹣67.5°﹣90°＝22.5°，∴∠EBF＝∠DFG，在△DFG和△EBF中，∠FDG=∠BEFBE=DF∴△DFG≌△EBF（ASA），∴DG＝EF，∵EF＝CE﹣CF＝AB﹣BC=2∴DG＝23?23．（沙坪壩區(qū)校級(jí)三模）如圖，AC為矩形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AD上的點(diǎn)，連接AE，CF，若∠