第10講 新高考新結(jié)構(gòu)命題下的概率統(tǒng)計解答題綜合訓(xùn)練（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點幫

Page新高考新結(jié)構(gòu)命題下的概率統(tǒng)計解答題綜合訓(xùn)練（9類核心考點精講精練）在新課標(biāo)、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進(jìn)。這不僅僅是一場考試形式的變革，更是對教育模式和教育理念的全面革新。當(dāng)前的高考試題設(shè)計，以“三維”減量增質(zhì)為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時，提升題目的質(zhì)量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個方面：三考題目設(shè)計著重考查學(xué)生的知識主干、學(xué)習(xí)能力和學(xué)科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學(xué)生的實際水平。三重強(qiáng)調(diào)對學(xué)生思維深度、創(chuàng)新精神和實際應(yīng)用能力的考查，鼓勵學(xué)生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個人的獨特見解和創(chuàng)造力。三突出試題特別突出對學(xué)生思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過精心設(shè)計的題目，引導(dǎo)學(xué)生深入思考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。面對新高考新結(jié)構(gòu)試卷的5個解答題，每個題目的考查焦點皆充滿變數(shù)，無法提前預(yù)知。概率統(tǒng)計版塊作為一個重要的考查領(lǐng)域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對較為適中，易于學(xué)生入手。同樣不能忽視的是，概率統(tǒng)計版塊也可能被置于第18、19題這樣的壓軸大題中，此時的分值將提升至17分，挑戰(zhàn)學(xué)生的解題能力和思維深度，難度自然相應(yīng)加大。面對如此多變的命題趨勢，教師在教學(xué)備考過程中必須與時俱進(jìn)。不僅要深入掌握不同題目位置可能涉及的知識點及其命題方式，更要能夠靈活應(yīng)對，根據(jù)試題的實際情況調(diào)整教學(xué)策略。本文基于新高考新結(jié)構(gòu)試卷的特點，結(jié)合具體的概率統(tǒng)計解答題實例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的概率統(tǒng)計解答題綜合訓(xùn)練指南，以期在新高考中取得更好的成績。考點一、條件概率1．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）某設(shè)備由相互獨立的甲?乙兩個部件組成，若兩個部件同時出現(xiàn)故障，則設(shè)備停止運轉(zhuǎn)；若有且只有一個部件出現(xiàn)故障，則設(shè)備出現(xiàn)異常.在一個生產(chǎn)周期內(nèi)，甲部件出現(xiàn)故障的概率為，乙部件出現(xiàn)故障的概率為.甲部件出現(xiàn)故障，檢修費用為3千元；乙部件出現(xiàn)故障，檢修費用為2千元，在一個生產(chǎn)周期內(nèi)，甲?乙兩個部件至多各出現(xiàn)一次故障.(1)試估算一個生產(chǎn)周期內(nèi)的平均檢修費用；(2)求在設(shè)備出現(xiàn)異常的情況下，甲部件出現(xiàn)故障的概率.2．（2024·遼寧·一模）某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度(單位：cm)介于之間，現(xiàn)對植物園部分該種觀賞花卉的高度進(jìn)行測量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示.(1)求的值;(2)以頻率估計概率，完成下列問題.(i)若從所有花卉中隨機(jī)抽株，記高度在內(nèi)的株數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(ii)若在所有花卉中隨機(jī)抽取3株，求至少有2株高度在的條件下，至多1株高度低于的概率.3．（2022·全國·高考真題）一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（ⅰ）的結(jié)果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.8284．（2024·廣東佛山·三模）隨著春季學(xué)期開學(xué)，某市市場監(jiān)管局加強(qiáng)了對學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動“大文明”，同時踐行綠色發(fā)展理念．該市某中學(xué)有A，B兩個餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近一個月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）王同學(xué)9天6天12天3天張老師6天6天6天12天假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率．(1)估計一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；(2)記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，，已知推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：．5．（2024·河南駐馬店·二模）某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績，現(xiàn)將最近300個工作日每日的汽車銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計，如圖所示.

(1)求的值以及該公司這300個工作日每日汽車銷售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)以頻率估計概率，若在所有工作日中隨機(jī)選擇4天，記汽車銷售量在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購買一輛汽車可以進(jìn)行一次抽獎活動，規(guī)則如下：抽獎區(qū)有兩個盒子，其中盒中放有9張金卡?1張銀卡，盒中放有2張金卡?8張銀卡，顧客在不知情的情況下隨機(jī)選擇其中一個盒子進(jìn)行抽獎，直到抽到金卡則抽獎結(jié)束（每次抽出一張卡，然后放回原來的盒中，再進(jìn)行下次抽獎，中途可更換盒子），卡片結(jié)果的排列對應(yīng)相應(yīng)的禮品.已知顧客小明每次抽獎選擇兩個盒子的概率相同，求小明在首次抽獎抽出銀卡的條件下，第二次從另外一個盒子中抽獎抽出金卡的概率.考點二、全概率公式與貝葉斯公式1．（2023·河南·三模）某學(xué)校安排甲、乙、丙三個班級同時到學(xué)校禮堂參加聯(lián)歡晚會，已知甲班藝術(shù)生占比8%，乙班藝術(shù)生占比6%，丙班藝術(shù)生占比5%．學(xué)生自由選擇座位，先到者先選．甲、乙、丙三個班人數(shù)分別占總?cè)藬?shù)的，，．若主持人隨機(jī)從場下學(xué)生中選一人參與互動．(1)求選到的學(xué)生是藝術(shù)生的概率；(2)如果選到的學(xué)生是藝術(shù)生，判斷其來自哪個班的可能性最大．2．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）甲箱裝有2個黑球和4個白球，乙箱裝有2個黑球和3個白球，這些球除顏色外完全相同.某人先從兩個箱子中任選一個箱子，再從中隨機(jī)摸出一球.(1)求摸出的球是黑球的概率；(2)若已知摸出的球是黑球，用概率公式判斷該球取自哪個箱子的可能性更大.3．（2024·新疆·二模）某人工智能研究實驗室開發(fā)出一款全新聊天機(jī)器人棋型，它能夠通過學(xué)習(xí)和理解人類的語言來進(jìn)行對話．聊天機(jī)器人棋型的開發(fā)主要采用RLHF（人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí)）技術(shù)，在測試它時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則它的回答被采納的概率為90%，當(dāng)出現(xiàn)語法錯誤時，它的回答被采納的概率為.(1)在某次測試中輸入了7個問題，聊天機(jī)器人棋型的回答有5個被采納，現(xiàn)從這7個問題中抽取4個，以表示抽取的問題中回答被采納的問題個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為，若聊天機(jī)器人棋型的回答被采納的概率為，求的值．4．（23-24高二下·福建南平·階段練習(xí)）某運動隊為評估短跑運動員在接力賽中的作用，對運動員進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.運動員甲在接力賽中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四個位置，統(tǒng)計以往多場比賽，其出場率與出場時比賽獲勝率如下表所示.比賽位置第一棒第二棒第三棒第四棒出場率0.30.20.2.0.3比賽勝率0.60.80.70.7(1)當(dāng)甲出場比賽時，求該運動隊獲勝的概率.(2)當(dāng)甲出場比賽時，在該運動隊獲勝的條件下，求甲跑第一棒的概率.5．（2024·遼寧·三模）隨著中國科技的進(jìn)步，涌現(xiàn)了一批高科技企業(yè)，也相應(yīng)產(chǎn)生了一批高科技產(chǎn)品，在城市，生產(chǎn)某高科技產(chǎn)品的本地企業(yè)有甲?乙兩個，城市的高科技產(chǎn)品的企業(yè)市場占有率和指標(biāo)的優(yōu)秀率如下表：市場占有率指標(biāo)的優(yōu)秀率企業(yè)甲企業(yè)乙其它(1)從城市的高科技產(chǎn)品的市場中隨機(jī)選一件產(chǎn)品，求所選產(chǎn)品的指標(biāo)為優(yōu)秀的概率；(2)從城市的高科技產(chǎn)品的市場中隨機(jī)選一件產(chǎn)品，若已知所選產(chǎn)品的指標(biāo)為優(yōu)秀，求該產(chǎn)品是產(chǎn)自企業(yè)甲的概率；(3)從城市的高科技產(chǎn)品的市場中依次取出6件指標(biāo)為優(yōu)秀的產(chǎn)品，若已知6件產(chǎn)品中恰有4件產(chǎn)品產(chǎn)自企業(yè)甲，記離散型隨機(jī)變量表示這6件產(chǎn)品中產(chǎn)自企業(yè)乙的件數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.6．（2024·安徽·模擬預(yù)測）現(xiàn)需要抽取甲?乙兩個箱子的商品，檢驗其是否合格.其中甲箱中有9個正品和1個次品；乙箱中有8個正品和2個次品.從這兩個箱子中隨機(jī)選擇一個箱子，再從該箱中等可能抽出一個商品，稱為首次檢驗.將首次檢驗的商品放回原來的箱子，再進(jìn)行二次檢驗，若兩次檢驗都為正品，則通過檢驗.首次檢驗選到甲箱或乙箱的概率均為.(1)求首次檢驗抽到合格產(chǎn)品的概率；(2)在首次檢驗抽到合格產(chǎn)品的條件下，求首次檢驗選到的箱子為甲箱的概率；(3)將首次檢驗抽出的合格產(chǎn)品放回原來的箱子，繼續(xù)進(jìn)行二次檢驗時有如下兩種方案：方案一，從首次檢驗選到的箱子中抽??；方案二，從另外一個箱子中抽取.比較兩個方案，哪個方案檢驗通過的概率大.考點三、二項分布1．（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測）在一個袋子中有若干紅球和白球（除顏色外均相同），袋中紅球數(shù)占總球數(shù)的比例為．(1)若有放回摸球，摸到紅球時停止．在第次沒有摸到紅球的條件下，求第3次也沒有摸到紅球的概率；(2)某同學(xué)不知道比例，為估計的值，設(shè)計了如下兩種方案：方案一：從袋中進(jìn)行有放回摸球，摸出紅球或摸球次停止．方案二：從袋中進(jìn)行有放回摸球次．分別求兩個方案紅球出現(xiàn)頻率的數(shù)學(xué)期望，并以數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，分析哪個方案估計的值更合理．2．（2024·安徽·模擬預(yù)測）某學(xué)校組織一場由老師與學(xué)生進(jìn)行的智力問題比賽，最終由小明同學(xué)和唐老師入圍決賽，決賽規(guī)則如下：①學(xué)生：回答n個問題，每個問題小明回答正確的概率均為；若小明回答錯誤，可以行使學(xué)生權(quán)益，即可以進(jìn)行場外求助，由場外同學(xué)小亮幫助答題，且小亮每個問題回答正確的概率均為.②教師：回答個問題，每個問題唐老師回答正確的概率均為.假設(shè)每道題目答對與否相互獨立，最終答對題目多的一方獲勝.(1)若，，記小明同學(xué)答對問題（含場外求助答對題數(shù)）的數(shù)量為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望：(2)若，且小明同學(xué)獲勝的概率不小于，求p的最小值.3．（2024·河北·三模）某學(xué)校的數(shù)學(xué)興趣小組對學(xué)校學(xué)生的冰雪運動情況進(jìn)行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)約有的學(xué)生喜歡滑雪運動．從這些被調(diào)研的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)查，假設(shè)每個學(xué)生被選到的可能性相等．(1)記表示喜歡滑雪運動的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望．(2)若該數(shù)學(xué)興趣小組計劃在全校學(xué)生中抽選一名喜歡滑雪運動的學(xué)生進(jìn)行訪談．抽選規(guī)則如下：在全校學(xué)生中隨機(jī)抽選一名學(xué)生，如果該學(xué)生喜歡滑雪運動，就不再抽選其他學(xué)生，結(jié)束抽選活動；如果該學(xué)生不喜歡滑雪運動，則繼續(xù)隨機(jī)抽選，直到抽選到一名喜歡滑雪運動的學(xué)生為止，結(jié)束抽選活動．并且規(guī)定抽取的次數(shù)不超過次，其中小于當(dāng)次調(diào)查的總?cè)藬?shù)．設(shè)在抽選活動結(jié)束時，抽到不喜歡滑雪運動的學(xué)生的人數(shù)為，求抽到名學(xué)生不喜歡滑雪運動的概率．4．（2024·北京西城·三模）根據(jù)2024城市魅力排行榜，一線城市4個，分別為：上海、北京、深圳、廣州；新一線城市15個，分別為：成都、杭州、重慶、蘇州、武漢、西安、南京、長沙、天津、鄭州、東莞、無錫、寧波、青島、合肥.其中城區(qū)常住人口超過一千萬的超大城市10個，分別為：上海、北京、深圳、重慶、廣州、成都、天津、東莞、武漢、杭州.(1)從10個超大城市中隨機(jī)抽取一座城市，求該城市是一線城市的概率；(2)從10個超大城市按不可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個城市，隨機(jī)變量X表示新一線城市的數(shù)量，求隨機(jī)變量X的分布列和期望；(3)從10個超大城市中按可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個城市，隨機(jī)變量Y表示新一線城市的數(shù)量，比較E（X）與E（Y）的大小關(guān)系.（直接寫出結(jié)果）5．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行射擊比賽，已知甲射擊一次命中的概率為，乙射擊一次命中的概率為，比賽共進(jìn)行輪次，且每次射擊結(jié)果相互獨立，現(xiàn)有兩種比賽方案，方案一：射擊次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：從第一次射擊開始，若本次命中，則得6分，并繼續(xù)射擊；若本次未命中，則得0分，并終止射擊．(1)設(shè)甲同學(xué)在方案一中射擊輪次總得分為隨機(jī)變量是，求；(2)甲、乙同學(xué)分別選取方案一、方案二進(jìn)行比賽，試確定的最小值，使得當(dāng)時，甲的總得分期望大于乙．6．（2024·河南駐馬店·二模）某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績，現(xiàn)將最近300個工作日每日的汽車銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計，如圖所示.

(1)求的值以及該公司這300個工作日每日汽車銷售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)以頻率估計概率，若在所有工作日中隨機(jī)選擇4天，記汽車銷售量在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購買一輛汽車可以進(jìn)行一次抽獎活動，規(guī)則如下：抽獎區(qū)有兩個盒子，其中盒中放有9張金卡?1張銀卡，盒中放有2張金卡?8張銀卡，顧客在不知情的情況下隨機(jī)選擇其中一個盒子進(jìn)行抽獎，直到抽到金卡則抽獎結(jié)束（每次抽出一張卡，然后放回原來的盒中，再進(jìn)行下次抽獎，中途可更換盒子），卡片結(jié)果的排列對應(yīng)相應(yīng)的禮品.已知顧客小明每次抽獎選擇兩個盒子的概率相同，求小明在首次抽獎抽出銀卡的條件下，第二次從另外一個盒子中抽獎抽出金卡的概率.考點四、超幾何分布1．（2024·上海長寧·二模）盒子中裝有大小和質(zhì)地相同的6個紅球和3個白球；(1)從盒子中隨機(jī)抽取出1個球，觀察其顏色后放回，并同時放入與其顏色相同的球3個，然后再從盒子隨機(jī)取出1個球，求第二次取出的球是紅球的概率；(2)從盒子中不放回地依次隨機(jī)取出2個球，設(shè)2個球中紅球的個數(shù)為，求的分布、期望與方差；2．（2023·陜西榆林·模擬預(yù)測）某校體育節(jié)組織比賽，需要志愿者參加服務(wù)的項目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、4×100米接力．(1)志愿者小明同學(xué)可以在6個項目中選擇3個項目參加服務(wù)，求小明在選擇60米袋鼠跳服務(wù)的條件下，選擇3000米服務(wù)的概率；(2)為了調(diào)查志愿者選擇服務(wù)項目的情況，從志愿者中抽取了15名同學(xué)，其中有9名首選100米，6名首選4×100米接力．現(xiàn)從這15名同學(xué)中再選3名同學(xué)做進(jìn)一步調(diào)查．將其中首選4×100米接力的人數(shù)記作X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．3．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）袋中有8個除顏色外完全相同的小球，其中1個黑球，3個白球，4個紅球.(1)若從袋中一次性取出兩個小球，即取到的紅球個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若從袋中不放回的取3次，每次取一個小球，取到黑球記0分，取到白球記2分，取到紅球記4分，在最終得分為8分的條件下，恰取到一個紅球的概率.4．（2024·山西·三模）袋中裝有大小、形狀、材質(zhì)完全相同的n個小球，其中有個紅球.(1)若，現(xiàn)從袋中隨機(jī)摸出2個小球，其中紅球的個數(shù)為隨機(jī)變量，求的方差(2)從袋中有放回地摸取小球次，每次摸出一個小球，其中摸到紅球的次數(shù)為隨機(jī)變量，若的期望，方差，求;(3)若，現(xiàn)從袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1個小球，記錄顏色后將摸出的小球放回袋中.以摸出紅球的頻率估計袋中紅球所占比例，若，求紅球占比估計值的誤差不超過的概率.參考數(shù)據(jù):0123456789100.02820.01210.00520.00220.00100.00040.00020.00010.00000.00000.00005．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）某自然保護(hù)區(qū)經(jīng)過幾十年的發(fā)展，某種瀕臨滅絕動物數(shù)量有大幅度的增加.已知這種動物擁有兩個亞種（分別記為種和種）.為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個亞種的數(shù)目，某動物研究小組計劃在該區(qū)域中捕捉100個動物，統(tǒng)計其中種的數(shù)目后，將捕獲的動物全部放回，作為一次試驗結(jié)果.重復(fù)進(jìn)行這個試驗共20次，記第次試驗中種的數(shù)目為隨機(jī)變量.設(shè)該區(qū)域中種的數(shù)目為，種的數(shù)目為（，均大于100），每一次試驗均相互獨立.(1)求的分布列；(2)記隨機(jī)變量.已知，（i）證明：，；（ii）該小組完成所有試驗后，得到的實際取值分別為.數(shù)據(jù)的平均值，方差.采用和分別代替和，給出，的估計值.（已知隨機(jī)變量服從超幾何分布記為：（其中為總數(shù)，為某類元素的個數(shù)，為抽取的個數(shù)），則）考點五、正態(tài)分布1．（2024·黑龍江·三模）為建立健全國家學(xué)生體質(zhì)健康監(jiān)測評價機(jī)制，激勵學(xué)生積極參加身體鍛煉，教育部印發(fā)了《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》，要求各學(xué)校每學(xué)年開展覆蓋本校各年級學(xué)生的《標(biāo)準(zhǔn)》測試工作.為做好全省的迎檢工作，某市在高三年級開展了一次體質(zhì)健康模擬測試，并從中隨機(jī)抽取了500名學(xué)生的數(shù)據(jù)，根據(jù)他們的健康指數(shù)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)估計這500名學(xué)生健康指數(shù)的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)由頻率分布直方圖知，該市學(xué)生的健康指數(shù)X近似服從正態(tài)分布N(，)，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差(=84.75).①求P(60.29≤X≤87.92)；②已知該市高三學(xué)生約有30000名，記健康指數(shù)在區(qū)間[60.29，87.92]的人數(shù)為，試求E().附：參考數(shù)據(jù)：，若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(，)，則，，.2．（2024·湖北·模擬預(yù)測）某品牌專賣店統(tǒng)計歷史消費數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：進(jìn)店消費的顧客的消費額X（單位：元）服從正態(tài)分布．為回饋廣大顧客，專賣店對消費達(dá)一定金額的顧客開展了品牌知識有獎答題活動，顧客需要依次回答兩類試題，若顧客答對第一類題，則回答第二類題，若顧客沒有答對第一類題，則不再答第二類題，直接結(jié)束有獎答題活動．對于每一類題，答錯得0分，答對得10分，兩類題總分20分，答題結(jié)束后可減免與得分相同數(shù)額的現(xiàn)金（單位：元）．每類試題均有兩次答題機(jī)會，在任意一類試題中，若第一次回答正確，則認(rèn)為答對該類試題，就不再進(jìn)行第二次答題．若第一次回答錯誤，則進(jìn)行第二次答題，若第二次答題正確，則也認(rèn)為答對該類試題；若第二次回答錯誤，則認(rèn)為答錯該類試題．(1)若某天有200位進(jìn)店消費的顧客，請估計該天消費額在內(nèi)的人數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；附：若，則．(2)某顧客消費達(dá)到指定金額后可參與答題活動，類題中的兩次答題機(jī)會答對的概率都是，類題中的兩次答題機(jī)會答對的概率都是，且每次答題相互獨立．若答題結(jié)束后可減免的現(xiàn)金數(shù)額為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．3．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）“公平正義”是社會主義和諧社會的重要特征，是社會主義法治理念的價值追求.“考試”作為一種公平公正選拔人才的有效途徑，正被廣泛采用.一般地，對于一次成功的考試來說，所有考生得考試成績應(yīng)服從正態(tài)分布.某單位準(zhǔn)備通過考試（按照高分優(yōu)先錄取的原則）錄用300人，其中275個高薪職位和25個普薪職位.實際報名人數(shù)為2000名，考試滿分為400分.記考生的成績?yōu)?，且，已知所有考生考試的平均成績，?60分及其以上的高分考生有30名.(1)求的值．（結(jié)果保留位整數(shù)）(2)該單位的最低錄取分?jǐn)?shù)約是多少？（結(jié)果保留為整數(shù)）(3)考生甲的成績?yōu)?86分，若甲被錄取，能否獲得高薪職位？若不能被錄取，請說明理由．參考資料：①當(dāng)時，令，則．②當(dāng)，，，，．4．（2024·福建福州·三模）已知某種機(jī)器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布．其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過240V．在上述三種狀態(tài)下，該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．(1)求該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品時，電壓不超過200V的概率；(2)從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時n的值．附：若，取，．5．（2024·福建龍巖·三模）某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級劃分為五個層級，分別對應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：.根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)品稱為等品，其它產(chǎn)品稱為等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣本，統(tǒng)計得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)長期檢測結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為11，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計該芯片為等品的概率(保留小數(shù)點后面兩位有效數(shù)字)；(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表；②參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.)(2)（i）從樣本的質(zhì)量指標(biāo)值在和[85，95]的芯片中隨機(jī)抽取3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在[85，95]的芯片件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）該企業(yè)為節(jié)省檢測成本，采用隨機(jī)混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件等品芯片的利潤是元，一件等品芯片的利潤是元，根據(jù)(1)的計算結(jié)果，試求的值，使得每箱產(chǎn)品的利潤最大.01236．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）某工廠為了提高精度，采購了一批新型機(jī)器，現(xiàn)對這批機(jī)器的生產(chǎn)效能進(jìn)行測試，對其生產(chǎn)的第一批零件的內(nèi)徑進(jìn)行測量，統(tǒng)計繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求a的值以及這批零件內(nèi)徑的平均值和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)以頻率估計概率，若在這批零件中隨機(jī)抽取4個，記內(nèi)徑在區(qū)間內(nèi)的零件個數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望；(3)已知這批零件的內(nèi)徑（單位：mm）服從正態(tài)分布，現(xiàn)以頻率分布直方圖中的平均數(shù)作為的估計值，頻率分布直方圖中的標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計值，則在這批零件中隨機(jī)抽取200個，記內(nèi)徑在區(qū)間上的零件個數(shù)為，求的方差.參考數(shù)據(jù)：，若，則，，.考點六、獨立性檢驗1．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）春夏之交因晝夜溫差大，細(xì)菌、病毒等活躍，是流感高發(fā)季節(jié)．某校高二年級某組團(tuán)統(tǒng)計了流感暴發(fā)前的半個月與流感暴發(fā)后的半個月的學(xué)生請假情況，得到如下數(shù)據(jù)：因發(fā)燒請假非發(fā)燒請假合計流感暴發(fā)前1030流感暴發(fā)后30合計70(1)完成列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗，判斷能否認(rèn)為流感暴發(fā)對請假的同學(xué)中發(fā)燒的人數(shù)有影響．(2)后經(jīng)過了解，在全校因發(fā)燒請假的同學(xué)中男生占比為，且的因發(fā)燒請假的男生需要輸液治療，的因發(fā)燒請假的女生需要輸液治療．學(xué)校隨機(jī)選擇一名因發(fā)燒請假在醫(yī)院輸液的同學(xué)進(jìn)行慰問，求這名同學(xué)是女生的概率．附：．0．050．010．0013．8416．63510．8282．（2024·山西太原·模擬預(yù)測）貴州省“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽在比賽間隙進(jìn)行蘆笙舞、侗族大歌等非物質(zhì)文化遺產(chǎn)展演，這項活動將體育運動與當(dāng)?shù)孛褡迕袼孜幕嘤|合，創(chuàng)造出獨特的文體公共產(chǎn)品．為了打造更具吸引力的賽事，某平臺發(fā)起了群眾觀賽意見反饋調(diào)查，共收回了200份調(diào)查問卷．性別關(guān)注賽事不關(guān)注賽事男8436女4040(1)通過進(jìn)一步分析關(guān)注賽事群眾的調(diào)查問卷得知，關(guān)注表演的女性用戶有24名，現(xiàn)從關(guān)注賽事的群眾中抽取一人，設(shè)“抽取的一人為男性”為事件A，“抽取的一人關(guān)注表演”為事件B，若，則以此次調(diào)查的數(shù)據(jù)為依據(jù)，估計從平臺用戶中任意抽取一名用戶，該用戶關(guān)注表演的概率為多少；(2)是否有的把握認(rèn)為是否關(guān)注賽事與性別有關(guān)？附：，其中．0.0500.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.8283．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測）為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動物試驗，得到如下的列聯(lián)表（單位：只）：藥物疾病合計未患病患病未服用5040服用合計75200(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整；(2)依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為藥物有效呢？從概率的角度解釋得到的結(jié)論；(3)為了進(jìn)一步研究，現(xiàn)按分層抽樣的方法從未患病動物中抽取10只作為樣本，從該樣本中隨機(jī)抽取4只，設(shè)其中未服用藥物的動物數(shù)為，求的分布列及期望.附表及公式：.0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.0244．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）某學(xué)校為了研究不同性別的學(xué)生對“村BA”賽事的了解情況，進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別隨機(jī)抽取男生和女生各80名作為樣本，設(shè)事件“了解村BA”，“學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計，.(1)根據(jù)已知條件，補全列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷該校學(xué)生對“村BA”的了解情況與性別是否有關(guān)？了解不了解總計男生女生總計(2)現(xiàn)從該校不了解“村BA”的學(xué)生中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10名學(xué)生，再從這10名學(xué)生隨機(jī)抽取4人，設(shè)抽取的4人中男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，.0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.8285．（2024·安徽·模擬預(yù)測）元宵節(jié)是中國的傳統(tǒng)節(jié)日，為慶祝元宵節(jié)，某大學(xué)開展吃元宵、吃酒圓、猜燈謎等一系列活動．(1)為探究元宵節(jié)吃湯圓和吃元宵的地域差異，某小組開展調(diào)研，得到如下列聯(lián)表，已知，是否有的把握認(rèn)定吃湯圓或元宵與地域有關(guān)？北方南方湯圓1636元宵2424(2)在猜燈謎活動中共有10道標(biāo)有序號的各不相同的題目，甲同學(xué)隨機(jī)抽取其中的5道回答．（i）求抽取的5道題中恰有5道題序號均相鄰的概率；（ii）已知：若是兩點分布，且，則，若甲抽取的題目中有對相鄰序號的題目，計算的數(shù)學(xué)期望．附：6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在學(xué)校食堂就餐成為了很多學(xué)生的就餐選擇．學(xué)校為了解學(xué)生食堂就餐情況，在校內(nèi)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，其中男生和女生人數(shù)之比為，現(xiàn)將一周內(nèi)在食堂就餐超過8次的學(xué)生認(rèn)定為“喜歡食堂就餐”，不超過8次的學(xué)生認(rèn)定為“不喜歡食堂就餐”．“喜歡食堂就餐”的人數(shù)比“不喜歡食堂就餐”人數(shù)多20人，“不喜歡食堂就餐”的男生只有10人．男生女生合計喜歡食堂就餐不喜歡食堂就餐10合計100(1)將上面的列聯(lián)表補充完整，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析學(xué)生喜歡食堂就餐是否與性別有關(guān)：(2)用頻率估計概率，從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，記其中“喜歡食堂就餐”的人數(shù)為X．事件“”的概率為，求隨機(jī)變量X的期望和方差．參考公式：，其中．a(chǎn)0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828考點七、線性回歸直線方程1．（2024·山東濟(jì)南·三模）近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進(jìn)技術(shù)革新，利潤穩(wěn)步提高．統(tǒng)計該企業(yè)2019年至2023年的利潤（單位：億元），得到如圖所示的散點圖．其中2019年至2023年對應(yīng)的年份代碼依次為1，2，3，4，5．(1)根據(jù)散點圖判斷，和哪一個適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)根據(jù)（2）的結(jié)果，估計2024年的企業(yè)利潤．參考公式及數(shù)據(jù)；，，，，，，2．（2024·福建南平·模擬預(yù)測）某大型商場的所有飲料自動售賣機(jī)在一天中某種飲料的銷售量（單位：瓶）與天氣溫度（單位：）有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，為能及時給飲料自動售賣機(jī)添加該種飲料，該商場對天氣溫度和飲料的銷售量進(jìn)行了數(shù)據(jù)收集，得到下面的表格：1015202530354041664256204840968192經(jīng)分析，可以用作為關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程．(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程(結(jié)果保留兩位小數(shù))；(2)若飲料自動售賣機(jī)在一天中不需添加飲料的記1分，需添加飲料的記2分，每臺飲料自動售賣機(jī)在一天中需添加飲料的概率均為，在商場的所有飲料自動售賣機(jī)中隨機(jī)抽取3臺，記總得分為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考公式及數(shù)據(jù)：對于一組數(shù)據(jù)，經(jīng)驗回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為3．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）“南澳牡蠣”是我國地理標(biāo)志產(chǎn)品，產(chǎn)量高、肉質(zhì)肥、營養(yǎng)好，素有“海洋牛奶精品”的美譽.2024年該基地考慮增加人工投入，現(xiàn)有以往的人工投入增量x（人）與年收益增量y（萬元）的數(shù)據(jù)如下：人工投入增量x（人）234681013年收益增量y（萬元）13223142505658該基地為了預(yù)測人工投入增量為16人時的年收益增量，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：由最小二乘公式可求得y與x的線性回歸方程：；模型②：由散點圖的樣本點分布，可以認(rèn)為樣本點集中在曲線：的附近，對人工投入增量x做變換，令，則，且有，，，.(1)（i）根據(jù)所給的統(tǒng)計量，求模型②中y關(guān)于x的回歸方程（精確到0.1）；（ii）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的決定系數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測人工投入增量為16人時的年收益增量.回歸模型模型①模型②回歸方程182.479.2(2)根據(jù)養(yǎng)殖規(guī)模與以往的養(yǎng)殖經(jīng)驗，產(chǎn)自某南澳牡蠣養(yǎng)殖基地的單個“南澳牡蠣”質(zhì)量（克）在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布.購買10只該基地的“南澳牡蠣”，會買到質(zhì)量小于20g的牡蠣的可能性有多大?附：若隨機(jī)變量，則，；樣本的最小二乘估計公式為：，，.4．（2024·山東淄博·二模）汽車尾氣排放超標(biāo)是導(dǎo)致全球變暖、海平面上升的重要因素．我國近幾年著重強(qiáng)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大新能源項目的支持力度，積極推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展．某汽車制造企業(yè)對某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進(jìn)行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計表：年份t20152016201720182019年份代碼x（x＝t﹣2014）12345銷量y（萬輛）1012172026(1)計算銷量y關(guān)于年份代碼x的線性相關(guān)系數(shù)r，并判斷是否可以認(rèn)為y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系（若|r|≥0.75，則認(rèn)為有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系）．若是，求出y關(guān)于x的線性回歸方程：若不是，說明理由；(2)為了解購車車主的性別與購車種類（分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車）的情況，該企業(yè)又隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)100位購車車主的購車情況，假設(shè)一位車主只購一輛車．男性車主中購置傳統(tǒng)燃油汽車的有40名，購置新能源汽車的有30名：女性車主中有一半購置新能源汽車．將頻率視為概率，已知一位車主購得新能源汽車，請問這位車主是女性的概率．附：若為樣本點，相關(guān)系數(shù)公式：r；為回歸方程，則，．5．（2024·海南·模擬預(yù)測）某海鮮餐廳在試營業(yè)期間，同時采用自助餐和團(tuán)購套餐兩種營銷模式，其中自助餐模式是指顧客可隨意享用餐廳內(nèi)所有菜品，最長可用餐2小時；團(tuán)購套餐是指顧客在APP上購買團(tuán)購券后到店消費，只可享用套餐內(nèi)所包含的菜品，用餐時間不限.該餐廳為了了解這兩種營銷模式的受歡迎程度，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了130位顧客對這兩種營銷模式的意見反饋，統(tǒng)計結(jié)果如下表：認(rèn)為自助餐更有性價比認(rèn)為團(tuán)購套餐更有性價比男性顧客4020女性顧客3040(1)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷能否認(rèn)為顧客對這兩種營銷模式的意見與顧客的性別有關(guān)；(2)店長統(tǒng)計了第，，，天自助餐的用餐人數(shù)，統(tǒng)計結(jié)果如下（已知）：（天）（用餐人數(shù)）32527395經(jīng)計算得經(jīng)驗回歸方程為，以樣本的相關(guān)系數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，對該經(jīng)驗回歸方程的擬合效果進(jìn)行說明.附：（i）在經(jīng)驗回歸方程中，.（ii）相關(guān)系數(shù)若，可認(rèn)為該模型擬合效果良好，反之，則認(rèn)為該模型擬合效果不好.（iii），其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.8286．（2024·全國·模擬預(yù)測）氮氧化物是一種常見的大氣污染物，它是由氮和氧兩種元素組成的化合物，有多種不同的形式．下圖為我國2014年至2022年氮氧化物排放量（單位：萬噸）的折線圖，其中，年份代碼1～9分別對應(yīng)年份2014～2022．計算得，，．(1)是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？請用折線圖和相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)是否可用題中數(shù)據(jù)擬合得到的線性回歸模型預(yù)測2023年和2033年的氮氧化物排放量？請說明理由．附：相關(guān)系數(shù)，．考點八、概率統(tǒng)計與數(shù)列雜糅1．（2023·全國·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）現(xiàn)有甲、乙兩個不透明的盒子，甲盒子裝有2個紅球和1個白球，乙盒中裝有1個紅球和1個白球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中，重復(fù)次這樣的操作后，記甲盒子中紅球的個數(shù)為，甲盒中恰有1個紅球的概率為，恰有2個紅球的概率為（注：所有小球大小、形狀、質(zhì)地均相同）(1)求的值；(2)設(shè)，證明：；(3)求的數(shù)學(xué)期望的值．3．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）現(xiàn)有甲、乙兩個盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個紅球和1個黑球．從兩個盒子中各任取一個球交換，記為一次操作．重復(fù)進(jìn)行次操作后，記甲盒子中黑球個數(shù)為，甲盒中恰有1個黑球的概率為，恰有2個黑球的概率為．(1)求隨機(jī)變量的分布列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)求證：．4．（2024·廣西南寧·三模）夏日天氣炎熱，學(xué)校為高三備考的同學(xué)準(zhǔn)備了綠豆湯和銀耳羹兩種涼飲，某同學(xué)每天都會在兩種涼飲中選擇一種，已知該同學(xué)第1天選擇綠豆湯的概率是，若前一天選擇綠豆湯，后一天繼續(xù)選擇綠豆湯的概率為，而前一天選擇銀耳羹，后一天繼續(xù)選擇銀耳羹的概率為，如此往復(fù)．(1)求該同學(xué)第2天選擇綠豆湯的概率；(2)記該同學(xué)第天選擇綠豆湯的概率為，證明：為等比數(shù)列；(3)求從第1天到第10天中，該同學(xué)選擇綠豆湯的概率大于選擇銀耳羹概率的天數(shù)．5．（2024·安徽·模擬預(yù)測）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時甲得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨立．在某局雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了個球該局比賽結(jié)束．(1)求事件“且乙獲勝”的概率；(2)求；(3)記事件“且甲獲勝”的概率為，求證：．6．（2024·湖南衡陽·一模）學(xué)校教學(xué)樓的每兩層樓之間的上下樓梯有個臺階，從下至上記臺階所在位置為，同學(xué)甲在上樓的過程中，每一步等可能地跨或個臺階（位置或）.(1)記甲邁步后所在的位置為，寫出的分布列和期望值.(2)求甲步內(nèi)到過位置的概率；(3)求步之內(nèi)同時到過位置和的有多少種走法，及發(fā)生的概率.7．（2024·廣西南寧·二模）2023年10月7日，杭州第19屆亞運會女子排球中國隊以3：0戰(zhàn)勝日本隊奪得冠軍，這也是中國女排第9個亞運冠軍，她們用汗水詮釋了幾代女排人不屈不撓、不斷拼搏的女排精神，某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞，組建了一支女子排球隊，其中主攻手2人，副攻手2人，接應(yīng)手1人，二傳手1人，自由人1人．現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人參與傳球訓(xùn)練(1)求抽到甲參與傳球訓(xùn)練的概率；(2)記主攻手和自由人被抽到的總?cè)藬?shù)為，求的分布列及期望；(3)若恰好抽到甲，乙，丙3人參與傳球訓(xùn)練，先從甲開始，甲傳給乙、丙的概率均為，當(dāng)乙接到球時，乙傳給甲、丙的概率分別為，當(dāng)丙接到球時，丙傳給甲、乙的概率分別為，假設(shè)球一直沒有掉地上，求經(jīng)過n次傳球后甲接到球的概率．8．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）在足球比賽中，有時需通過點球決定勝負(fù)．(1)撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將(也稱為守門員)也會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個方