第16講 圓錐曲線中的切線方程與切點(diǎn)弦方程（高階拓展、競(jìng)賽適用）（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page圓錐曲線中的切線方程與切點(diǎn)弦方程（高階拓展、競(jìng)賽適用）（4類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新Ⅱ卷，第10題,6分過(guò)拋物線上的點(diǎn)與圓相切切線長(zhǎng)根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)直線與拋物線交點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題2020年新Ⅱ卷，第21題,12分求橢圓的切線方程根據(jù)橢圓過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓中三角形(四邊形)的面積求橢圓中的最值問(wèn)題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握?qǐng)A錐曲線切線的定義2.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的切線問(wèn)題及其相關(guān)計(jì)算【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)知識(shí)講解1過(guò)圓x2+y2x

2.設(shè)Px0,y0x

3.設(shè)Px0,yx

4.設(shè)Px0,yy設(shè)Px0,xx0+yy0=r2

6.設(shè)Px0,y0為橢圓x2axx0a2?yyy考點(diǎn)一、橢圓中的切線方程和切點(diǎn)弦方程1．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）橢圓上點(diǎn)P(1,1)處的切線方程是．2．（22-23高三下·河南·階段練習(xí)）已知橢圓，離心率為，過(guò)的直線分別與相切于，兩點(diǎn)，則直線方程為（

）A．或 B．C． D．或3．（22-23高二上·江西吉安·期末）已知過(guò)圓錐曲線上一點(diǎn)的切線方程為.過(guò)橢圓上的點(diǎn)作橢圓的切線，則過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（

）A． B．C． D．1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程．2．（22-23高三全國(guó)·課后作業(yè)）曲線上點(diǎn)到直線距離的最小值為．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)E和一個(gè)焦點(diǎn)F．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過(guò)與橢圓相切的直線方程．4．（24-25高三上·湖南·開學(xué)考試）已知橢圓過(guò)點(diǎn)和.(1)求的離心率；(2)若直線與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求的一般式方程.5．（23-24高二下·河南開封·期末）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線l與平行，且與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求l的方程．考點(diǎn)二、雙曲線中的切線方程和切點(diǎn)弦方程1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求雙曲線在點(diǎn)處的切線方程．2．（2023高二·全國(guó)·專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作雙曲線：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求直線的方程．3．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知雙曲線的一條切線的斜率為2，求這條切線方程．1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（1）求雙曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）已知是雙曲線外一點(diǎn)，過(guò)P引雙曲線的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求直線AB的方程．2．（2020高三·江蘇·專題練習(xí)）在雙曲線上求一點(diǎn)，使到直線的距離最短．考點(diǎn)三、拋物線中的切線方程和切點(diǎn)弦方程1．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）拋物線過(guò)點(diǎn)的切線方程為（）A． B． C． D．2．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作拋物線：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求直線的方程．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則.4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知M是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B（與坐標(biāo)原點(diǎn)O不重合），當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為．1．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）過(guò)拋物線上一點(diǎn)的拋物線的切線方程為.2．（21-22高二下·河南新鄉(xiāng)·期末）過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．3．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：，過(guò)直線：上的動(dòng)點(diǎn)可作的兩條切線，記切點(diǎn)為，則直線（

）A．斜率為2 B．斜率為 C．恒過(guò)點(diǎn) D．恒過(guò)點(diǎn)4．（24-25高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且F與圓上點(diǎn)的距離的最小值為2．(1)求；(2)已知點(diǎn)，，是拋物線的兩條切線，，是切點(diǎn)，求．考點(diǎn)四、切線方程及切點(diǎn)弦方程的應(yīng)用1．（2021·天津·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率為，且．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有唯一的公共點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，過(guò)與垂直的直線交軸于點(diǎn)．若，求直線的方程．2．（2021·全國(guó)·高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為．（1）求；（2）若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．1．（2024·四川德陽(yáng)·三模）已知為拋物線：的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)，若拋物線在兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，則.2．（2024·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）過(guò)點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為為拋物線的焦點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，曲線C：與直線交與M,N兩點(diǎn)，(1)當(dāng)時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有？說(shuō)明理由.4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的最大面積為1．(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線（切點(diǎn)分別為），試證明動(dòng)直線恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)拋物線，直線與交于，兩點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知點(diǎn)為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，設(shè)切點(diǎn)分別為，，試求直線，斜率之積的最小值．6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的長(zhǎng)軸為雙曲線的實(shí)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)已知橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為．過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作橢圓的切線，兩切線交于點(diǎn)．求證：．1．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程．2．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)雙曲線：上點(diǎn)．求雙曲線在點(diǎn)處的切線的方程．3．（2021高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求與雙曲線有共同的漸近線，且與直線相切的標(biāo)準(zhǔn)雙曲線方程.4．（22-23高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知圓的方程為，拋物線的方程為，則兩曲線的公共切線的其中一條方程為．5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的一條切線方程為，則的準(zhǔn)線方程為．6．（24-25高三上·浙江·開學(xué)考試）已知拋物線與斜率為的直線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．7．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知是雙曲線外一點(diǎn)，過(guò)P引雙曲線的兩條切線，為切點(diǎn)，求直線的方程．8．（2020·陜西西安·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為．9．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）已知拋物線，為直線上一點(diǎn)，過(guò)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的值為（

）A．0 B．1 C．-2 D．-110．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)P（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：的最大距離為.1．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，則該雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為．2．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：，定點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，過(guò)作拋物線的兩條切線，，，是切點(diǎn)，則面積的最小值為.3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y2=2pxp>0上有異于原點(diǎn)的，兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，以A，B為切點(diǎn)的拋物線的切線分別記為PA，PB，則（

A．若，則A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線 B．若，則A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線C．若，則A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線 D．若，則A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線4．（24-25高三上·河北邢臺(tái)·開學(xué)考試）已知是拋物線上任一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求點(diǎn)到直線的距離的最小值.5．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，離心率為，拋物線的焦點(diǎn)為．(1)記橢圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，若，求拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相切于第一象限，切點(diǎn)為，證明：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)．6．（23-24高三下·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，漸近線方程為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作雙曲線的切線與軸交于點(diǎn)，試判斷與的大小關(guān)系，并給予證明．7．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)與軸垂直的直線交于兩點(diǎn)，且，離心率為.(1)求的方程；(2)已知圓上點(diǎn)處的切線方程是，利用類比思想可知雙曲線上點(diǎn)處的切線方程為.過(guò)點(diǎn)分別作雙曲線的左?右兩支的切線，切點(diǎn)分別為，連接，并過(guò)線段的中點(diǎn)分別再作雙曲線左?右兩支的切線，切點(diǎn)分別為，證明：點(diǎn)在同一條直線上.8．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)與的焦點(diǎn)間的距離為.(1)求與的方程；(2)過(guò)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)可以作兩條與的公切線.（i）求點(diǎn)的坐標(biāo).（ii）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，是否存在過(guò)點(diǎn)的直線，使與均有兩個(gè)交點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.9．（23-24高二上·湖南衡陽(yáng)·期末）已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足，且.(1)求的方程；(2)已知直線與交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作的切線，若兩切線交于點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，證明：經(jīng)過(guò)定點(diǎn).10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓上僅存在個(gè)點(diǎn)，使得為直角三角形，且面積的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在軸的左側(cè)，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為、.求的取值范圍.1．（福建·高考真題）如圖，直線與拋物線相切于點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求以點(diǎn)為圓心，且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程.2．（安徽·高考真題）設(shè)是拋物線的焦點(diǎn)．（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，求切線方程；（Ⅱ）設(shè)為拋物線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足，延長(zhǎng)分別交拋物線于點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．3．（陜西·高考真題）已知拋物線，直線交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線交于點(diǎn).（Ⅰ）證明：拋物線在點(diǎn)處的切線與平行；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.4．（廣東·高考真題）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)的軌跡方程.5．（廣東·高考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為．設(shè)為直線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；(3)當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值．6．（福建·高考真題）如圖，等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E：x2=2py（p＞0）上．（1）

求拋物線E的方程；（2）

設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P，與直線y=-1相交于點(diǎn)Q．證明以PQ為直徑的圓恒過(guò)y軸上某定點(diǎn)7．（湖南·高