《自動控制原理》第2章-連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型

1導(dǎo)讀為什么要介紹本章?分析、設(shè)計控制系統(tǒng)的第一步是建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。本章主要講什么內(nèi)容?首先介紹控制系統(tǒng)數(shù)學模型的概念，然后闡述分析、設(shè)計控制系統(tǒng)常用的幾種數(shù)學模型，包括微分方程、傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖以及信號流圖。使讀者了解機理建模的基本方法，著重了解這些數(shù)學模型之間的相互關(guān)系。第2章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型2第2章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型系統(tǒng)(機械,電氣,過程等)建模方法機理或?qū)嶒灁?shù)學模型性能分析

穩(wěn)定性、動態(tài)性能、魯棒性等等若性能不滿足要求對系統(tǒng)進行校正校正方法（控制器設(shè)計方法）

滯后-超前、PID.LQ最優(yōu)等3第2章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1系統(tǒng)數(shù)學模型的概念2.4傳遞函數(shù)2.2微分方程模型2.5結(jié)構(gòu)圖2.6控制系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB表示2.3拉普拉斯變換4第2章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1系統(tǒng)數(shù)學模型的概念2.4傳遞函數(shù)2.2微分方程模型2.5結(jié)構(gòu)圖2.6控制系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB表示2.3拉普拉斯變換52.1系統(tǒng)數(shù)學模型的概念自控理論方法是先將系統(tǒng)抽象完數(shù)學模型,然后用數(shù)學的方法處理?？刂葡到y(tǒng)的數(shù)學模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學表達式或圖形表達式或數(shù)字表達式。完全不同物理性質(zhì)的系統(tǒng)，其數(shù)學模型具有相似性！6建立數(shù)學模型的方法機理分析建模方法,稱為分析法；實驗建模方法,通常稱為系統(tǒng)辨識。數(shù)學模型的定義與主要類型

靜態(tài)模型與動態(tài)模型(靜態(tài)模型是t→∞時系統(tǒng)的動態(tài)模型)

輸入輸出描述模型（外部描述模型）與內(nèi)部描述模型

連續(xù)時間模型與離散時間模型

參數(shù)模型與非參數(shù)模型107第2章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型的概念2.2微分方程模型2.4傳遞函數(shù)2.5結(jié)構(gòu)圖2.6控制系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB表示2.3拉普拉斯變換8第2章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型2.2微分方程模型描述系統(tǒng)輸出變量和輸入變量之間動態(tài)關(guān)系的微分方程稱為微分方程模型92.2微分方程模型系統(tǒng)微分方程的形式與系統(tǒng)分類之間的關(guān)系:（1）非線性微分方程描述的是非線性系統(tǒng)；（2）線性微分方程描述的是線性系統(tǒng);（3）時變系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)與時間有關(guān)；（4）時不變(定常)系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)與時間無關(guān)。系統(tǒng)u(t)y(t)10例2.1一階RC網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)11例2.2二階RC網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)12思考：能否可以將二階RC網(wǎng)絡(luò)看成是兩個一階RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)？分別建立一階RC網(wǎng)絡(luò)的輸入輸出之間的微分方程關(guān)系，然后直接得到二階RC網(wǎng)絡(luò)的輸入輸出之間的微分方程關(guān)系？串聯(lián)？T12=013C-+一階有源網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)二階有源網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)思考：能否可以將下列有源二階RC網(wǎng)絡(luò)看成是兩個有源一階RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)？為什么？14第2章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型的概念2.2微分方程模型2.4傳遞函數(shù)2.5結(jié)構(gòu)圖2.6控制系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB表示2.3拉普拉斯變換15數(shù)學預(yù)備知識:拉氏變換典型信號的拉氏變換（1）16典型信號的拉氏變換（2）17拉氏變換的性質(zhì)18應(yīng)用拉氏變換的終值定理求注意拉氏變換終值定理的適用條件:事實上:

的極點均處在復(fù)平面的左半邊。不滿足終值定理的條件。

19幾個拉氏變換定理的證明20拉氏變換的應(yīng)用:求解微分方程21有理分式的分解（1）:極點為相異實數(shù)的情況22有理分式的分解（2）:出現(xiàn)極點為相同實數(shù)的情況23有理分式的分解（2）:出現(xiàn)極點為相同實數(shù)的情況24有理分式的分解（3）:出現(xiàn)極點為相異復(fù)數(shù)數(shù)的情況2526第2章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型的概念2.2微分方程模型2.4傳遞函數(shù)2.5結(jié)構(gòu)圖2.6控制系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB表示2.3拉普拉斯變換272.4.1傳遞函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)的定義系統(tǒng)u(t)y(t)定義:在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)G(s)U(s)Y(s)系統(tǒng)微分方程與傳遞函數(shù)可以直接轉(zhuǎn)換!28系統(tǒng)G(s)U(s)Y(s)下面考察單位脈沖輸入信號下系統(tǒng)的輸出單位脈沖輸入信號的拉氏變換為1單位脈沖輸入信號下系統(tǒng)的輸出的拉氏變換為單位脈沖輸入信號下系統(tǒng)的輸出為系統(tǒng)G(s)1G(s)系統(tǒng)g(t)思考：求系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的輸出相應(yīng)（單位階躍響應(yīng)）。并考慮系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)之間的關(guān)系？脈沖響應(yīng)是系統(tǒng)的數(shù)學模型!階躍響應(yīng)不是系統(tǒng)的數(shù)學模型!29傳遞函數(shù)的性質(zhì):

（1）傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入輸出無關(guān)；（2）傳遞函數(shù)概念僅適用于線性定常系統(tǒng)，具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)；（3）傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式，即n≥m；（4）傳遞函數(shù)是系統(tǒng)沖激響應(yīng)的拉氏變換；（5）傳遞函數(shù)與真正的物理系統(tǒng)不存在一一對應(yīng)關(guān)系；（6）由于傳遞函數(shù)的分子多項式和分母多項式的系數(shù)均為實數(shù)，故零點和極點可以是實數(shù)，也可以是成對的共軛復(fù)數(shù)。

302.4.2傳遞函數(shù)的表示方式1.有理分式形式2.零極點形式312.零極點形式（傳遞函數(shù)是s的復(fù)變函數(shù),s是復(fù)數(shù)變量）322.零極點形式（傳遞函數(shù)是s的復(fù)變函數(shù),s是復(fù)數(shù)變量）333.時間常數(shù)形式342.4.3線性系統(tǒng)的基本環(huán)節(jié)放大環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)）:積分環(huán)節(jié):微分環(huán)節(jié):慣性環(huán)節(jié):振蕩環(huán)節(jié):一階微分環(huán)節(jié):二階微分環(huán)節(jié):滯后環(huán)節(jié)（純時滯環(huán)節(jié)）:一個系統(tǒng)或一個元件（線性連續(xù)）總可以由一個或幾個基本環(huán)節(jié)組成。有些基本環(huán)節(jié)在實際中可以單獨存在,但象各種微分環(huán)節(jié)實際上是不能單獨存在的。35傳遞函數(shù)的一般形式（考慮時間滯后情況）不考慮時間滯后時（不存在輸送帶）:考慮時間滯后時（存在輸送帶）:36慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻就已有輸出,僅由于慣性,輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值；慣性環(huán)節(jié)與延遲環(huán)節(jié)的區(qū)別:延遲環(huán)節(jié)從輸入開始后在0－τ時間內(nèi)沒有輸出,在t=τ之后,才有輸出。37第2章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型的概念2.2微分方程模型2.4傳遞函數(shù)2.5結(jié)構(gòu)圖2.6控制系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB表示2.3拉普拉斯變換382.5.1結(jié)構(gòu)圖的基本組成控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是系統(tǒng)數(shù)學模型的圖解形式，可以形象直觀地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關(guān)系及其功能以及信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程。特點:具有圖示模型的直觀，又有數(shù)學模型的精確。39結(jié)構(gòu)圖包含四個基本元素:信號線:帶有箭頭的直線，箭頭表示信號傳遞方向。引出點（測量點）:引出或者測量信號的位置。這里的信號引出與測量信號一樣,不影響原信號,所以也稱為測量點。比較點（綜合點）:對兩個或者兩個以上的信號進行代數(shù)運算。方塊:表示對輸入信號進行的數(shù)學變換。對于線性定常系統(tǒng)或元件，通常在方框中寫入其傳遞函數(shù)。40幾種基本的結(jié)構(gòu)框圖41比較點后移2.5.2結(jié)構(gòu)圖的變換法則42比較點前移43比較點合并44引出點前移45引出點后移46結(jié)構(gòu)圖化簡求系統(tǒng)傳遞函數(shù)的基本方法:(1)利用等效變換法則，通過移動比較點和引出點，消去交叉回路，變換成可以運算的幾種基本的簡單回路。(2)將結(jié)構(gòu)圖變換為代數(shù)方程組,然后求解代數(shù)方程組.(3)將結(jié)構(gòu)圖變換為信號流圖,然后應(yīng)用梅森增益公式(4)直接應(yīng)用梅森增益公式(最好不用!!)G(s)R(s)C(s)變換法則對應(yīng)于代數(shù)變換結(jié)構(gòu)圖對應(yīng)于代數(shù)方程組結(jié)構(gòu)圖化簡對應(yīng)于代數(shù)方程組求解中消元2.5.3結(jié)構(gòu)圖的簡化47結(jié)構(gòu)框圖的化簡例2.11G(s)R(s)C(s)48結(jié)構(gòu)圖的化簡例2.12G(s)R(s)C(s)492.5.4反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)R(s)C(s)N(s)R(s)C(s)C(s)N(s)50

反饋控制系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)R(s)E(s)N(s)R(s)E(s)E(s)N(s)51第2章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型的概念2.2微分方程模型2.4傳遞函數(shù)2.5結(jié)構(gòu)圖2.6控制系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB表示2.3拉普拉斯變換522.6

控制系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB表示MATLAB是由美國Mathworks開發(fā)的大型數(shù)學軟件包,在自動控制、圖象及信號處理等許多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。MATLAB的安裝、啟動等與一般軟件相同。啟動MATLAB后進入標準的Windows命令窗口。在MATLAB命令窗口里,用戶可以直接輸入命令程序,單擊菜單欄按鈕,就可以進行計算,其結(jié)果也在命令窗口中顯示。程序較長時,可以打開一個新窗口,在新窗口里編寫和修改程序。然后為這個程序命名,并保存在同一子目錄下。此后在命令窗口打入程序名并回車,就執(zhí)行該程序。Simulink是用于連續(xù)、離散以及混合的線性、非線性控制系統(tǒng)建模、仿真和分析的軟件包,并為用戶提供了用方框圖進行建模的圖形接口,很適合用于控制系統(tǒng)的仿真。MATLAB只能作為輔助的分析與設(shè)計系統(tǒng)的工具,不能代替控制理論分析與設(shè)計方法。532.6.1傳遞函數(shù)模型的MATLAB表示1.有理分式形式的傳遞函數(shù)在MATLAB中表示為在MATLAB窗口中鍵入按回車鍵,命令窗口輸出如下結(jié)果Tramsferfunction:542.6.1傳遞函數(shù)模型的MATLAB表示2.零極點形式的傳遞函數(shù)在MATLAB中表示為在MATLAB窗口中鍵入按回車鍵,命令窗口輸出如下結(jié)果Zero/pole/gain:552.6.2結(jié)構(gòu)圖的MATLAB表示兩個環(huán)節(jié)的并聯(lián)兩個環(huán)節(jié)的串聯(lián)反饋連接56問題？57本章小結(jié)1.數(shù)學模型的概念所謂數(shù)學模型就是根據(jù)系統(tǒng)運動過程的物理、化學等規(guī)律，所寫出的描述系統(tǒng)運動規(guī)律、特性和輸出與輸入關(guān)系的數(shù)學表達式。數(shù)學模型的主要類型有:靜態(tài)模型與動態(tài)模型、輸入輸出模型與狀態(tài)空間模型、連續(xù)模型與離散模型、參數(shù)模型與非參數(shù)模型等。不同的數(shù)學模型形式之間可以互相轉(zhuǎn)換。系統(tǒng)建模有兩大類方法:機理建模方法和實驗建模方法。2.微分方程系統(tǒng)輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)和系統(tǒng)輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式，稱為系統(tǒng)微分方程描述。微分方程描述是系統(tǒng)最基本的數(shù)學模型，可以描述各種連續(xù)時間系統(tǒng)。線性系統(tǒng)用線性微分方程描述，非線性系統(tǒng)用非線性微分方程描述。線性時變系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)是時間的函數(shù)。線性定常系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)與時間無關(guān)。列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟。583.傳遞函數(shù)在零初始條件下,線