第一章線性系統(tǒng)分析-信息光學(xué)-教學(xué)課件

信息光學(xué)朱衛(wèi)華河海大學(xué)理學(xué)院參考文獻1、金國藩等.二元光學(xué),國防工業(yè)出版社。2、李育林等.空間光調(diào)制器及應(yīng)用,國防工業(yè)出版社。3、黃子強.液晶顯示原理,國防工業(yè)出版社。4、呂乃光.傅里葉光學(xué),機械工業(yè)出版社。5、[瑞士]H.P.赫爾齊克.微光學(xué)、系統(tǒng)和應(yīng)用,國防工業(yè)出版社。6、陶世荃等.光全息存儲,北京工業(yè)大學(xué)出版社。7、宋菲君.近代光學(xué)信息處理,北京大學(xué)出版社。8、竺子民.光電圖像處理,華中科技大學(xué)出版社。9、鄭光照.光信息科學(xué)與技術(shù)應(yīng)用，電子工業(yè)出版社。10、宋菲君.信息光子學(xué)物理，北京大學(xué)出版社。作業(yè)P321.4用寬度為a的狹縫，對平面上光強分布掃描，在狹縫后用光電探測器，求輸出強度分布。補充題空間濾波仿真實驗同學(xué)們回去操作練習(xí)前言光學(xué)是一門較早發(fā)展的學(xué)科，它在科學(xué)(量子論、相對論）與技術(shù)的發(fā)展史上占有重要地位。近幾十年來，由于光學(xué)自身的發(fā)展以及和其它科學(xué)技術(shù)（如電子技術(shù)、計算機技術(shù)等）的廣泛結(jié)合與相互滲透，傳統(tǒng)的光學(xué)在理論方法和實際應(yīng)用(如信息的存貯,光纖通信)上都有了許多重大的突破和進展，形成了許多新的分支學(xué)科或邊緣學(xué)科。

1935年F.Zernike相襯原理的提出;1948年D.Gabor全息照相術(shù)的發(fā)明;1955年H.H.Hopkins光學(xué)傳遞函數(shù)理論的建立;1960年T.H.Maiman紅寶石激光器的誕生.

它們是現(xiàn)代光學(xué)發(fā)展中的幾件大事，連同60年代以后由于各種激光器的研制成功而迅速發(fā)展起來的非線性光學(xué)、纖維光學(xué)、集成光學(xué)等諸方面，使現(xiàn)代光學(xué)廣泛地活躍在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的許多部門。表征現(xiàn)代光學(xué)重大進展的另一件大事，是P.M.Duffieux

1946年把傅里葉變換的概念引入光學(xué)領(lǐng)域，由此發(fā)展成現(xiàn)代光學(xué)的一個重要分支——傅里葉光學(xué)（信息光學(xué)）。它應(yīng)用線性系統(tǒng)理論和空間頻譜的概念，分析光的傳播、衍射和成像等問題。它用改變頻譜的方法處理相干處理系統(tǒng)中的光信息；用頻譜被改變的觀點評價非相干成像系統(tǒng)的像質(zhì)。信息光學(xué)促進了圖像科學(xué)、應(yīng)用光學(xué)和光電子學(xué)的發(fā)展。可以認為它是光學(xué)、光電子學(xué)、信息論和通訊理論的交叉學(xué)科。光學(xué)薄膜和光學(xué)晶體是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中不可缺少的重要器件，用途非常廣泛。研究光在光學(xué)薄膜中的反射、折射、偏振及光譜特性，以及晶體對光波的雙折射和偏振效應(yīng)，分別構(gòu)成了薄膜光學(xué)和晶體光學(xué)的重要內(nèi)容，也是現(xiàn)代光學(xué)的重要組成部分。當(dāng)今社會是信息社會,信息技術(shù)正在改變著人類社會.在各種各樣的信息技術(shù)中,光信息技術(shù)的地位越來越重要,作用也越來越突出。在信息的產(chǎn)生、采集、顯示、傳輸、存貯以及處理的各個環(huán)節(jié)中，光信息技術(shù)都扮演著重要的角色。光信息科學(xué)與技術(shù)是光學(xué)和信息科學(xué)相結(jié)合的一門學(xué)科。光信息科學(xué)與技術(shù)與應(yīng)用介紹一、光信息科學(xué)基礎(chǔ)

1、線性系統(tǒng)理論

2、光學(xué)變換理論

3、光傳播理論

4、光成像理論基礎(chǔ)篇二、光信息技術(shù)基礎(chǔ)

1、激光技術(shù)

2、空間光調(diào)制器基本技術(shù)篇一、光信息的采集和顯示技術(shù)光信息的采集

1、光電信息變換法：光電信息有直接對應(yīng)關(guān)系，如數(shù)碼相機。

2、光信息編碼法----按一定的規(guī)律把圖像的信息映射到某一空間，再把映射信息轉(zhuǎn)化為電信息或光信息。這里的電信息（光信息）對應(yīng)的不是圖像本身的信息，而是映射信息，因此在重現(xiàn)過程中直接重現(xiàn)的往往不是圖像本身，而是其映射的結(jié)果。如果需要重現(xiàn)圖像的話，就必須通過一定的重建方法來實現(xiàn)。這種方法常用于光學(xué)信息處理。比如，通過傅里葉變換，空間信息變?yōu)轭l域信息。光信息顯示1、CRT——陰極射線顯示器（電子束掃描），傳統(tǒng)的電視機，電腦顯示器。2、液晶顯示器

結(jié)構(gòu)簡單，在兩片敷有透明導(dǎo)電電極的平板玻璃夾層中裝入一種具有液體性質(zhì)而光學(xué)上具有晶體性質(zhì)的物體（液晶），在透明電極上加上幾伏至幾十伏的電壓，電極之間的透光率、色彩、反射率就會發(fā)變化。液晶顯示器的突出優(yōu)點是電壓低，功率小，可與集成電路配套使用，體積小。此外，在明亮的條件下能得到使人滿意的對比度、色彩。但它的工作溫度范圍小，一般在0~50度，目前制作大面積的平板顯示器有一定的困難。3、等離子顯示板

在兩塊平板玻璃中封入電離發(fā)光的氣體，在透明電極上加上幾百伏的電壓，電極之間電場使氣體電離發(fā)光。它最適用于組裝成大屏幕顯示屏，多用于體育場、軍事指揮中心。二、光信息的傳輸技術(shù)1、光纖通信技術(shù)2、無源導(dǎo)波器件光纖連接器、光分路耦合器、波分復(fù)用器件、光隔離器、光開關(guān).三、光信息存貯技術(shù)1、光盤的存貯原理只讀存貯光盤、可擦重寫相變光盤、直接重寫相變光盤、可擦重寫磁光光盤。2、相變光盤的結(jié)構(gòu)及制備3、光盤存貯器設(shè)備中的光學(xué)系統(tǒng)四、光信息的加工及其處理技術(shù)1、空間濾波2、照相圖像的恢復(fù)3、假彩色編碼--用黑白膠片保存彩色像4、圖像增強五、光學(xué)圖像特征識別其它應(yīng)用技術(shù)篇一、光學(xué)計量技術(shù)1、全息干涉計量2、全息散斑計量二、全息術(shù)1、白光再現(xiàn)全息圖2、計算全息3、模壓全息技術(shù)三、層析成像技術(shù)1、投影數(shù)據(jù)和拉冬變換2、圖像的重建3、圖像的光學(xué)模擬重現(xiàn)四、條形碼技術(shù)條形碼系統(tǒng)是按照特定格式組合起來的一組寬度不同的平行線條，其線條和間隔代表了某些數(shù)字符號，用以表示某些信息。這種代碼非常容易使用簡便的閱讀器裝置進行識別，經(jīng)過閱讀設(shè)備的光電轉(zhuǎn)換的信號只需經(jīng)過簡單的接口電路即能輸送到微型機等數(shù)據(jù)處理裝置，進行信息的處理。五、紅外技術(shù)紅外技術(shù)一開始主要用于軍事方面，近年來隨著紅外技術(shù)的發(fā)展，特別是一些新型的紅外探測器和成像器件的陸續(xù)問世及其成本的不斷下降，使得紅外技術(shù)的應(yīng)用范圍大大擴展。在一些技術(shù)發(fā)達的國家，紅外技術(shù)不僅用于軍事、科學(xué)研究、工農(nóng)生產(chǎn)、醫(yī)學(xué)等方面，而已進入人們的日常生活中。六、高速激光印刷系統(tǒng)進展篇一、光纖通信新技術(shù)1、光纖接入網(wǎng)2、相干光通信3、光復(fù)用技術(shù)4、全光傳輸5、光孤子通信二、光信息存儲新進展

1、新型光信息存貯2、全息信息存貯四、二元光學(xué)又稱衍射光學(xué)，光學(xué)元器件的大小在微米的量級，可以構(gòu)成大量光學(xué)器件陣列。三、光計算1、模擬光計算2、數(shù)字光計算16相位級CdTe微透鏡陣列電子掃描顯微圖第一章線性系統(tǒng)分析一個光學(xué)系統(tǒng)可以用一個有輸入和輸出的方框圖來表示。光學(xué)系統(tǒng)對輸入信號的作用可以是線性的，也可以是非線性的。對于非線性系統(tǒng)，目前還沒有通用的技術(shù)來求解。雖然任何一個光學(xué)系統(tǒng)都不是嚴格線性的，但在一定的條件下，許多光學(xué)系統(tǒng)可以作為線性系統(tǒng)來處理。另外，由于光學(xué)系統(tǒng)幾乎都是用二維空間變量來描述，所以我們首先介紹二維線性系統(tǒng)的一些基本知識。系統(tǒng)輸入輸出1.1光學(xué)中常用的幾種初等函數(shù)一、矩形函數(shù)矩形函數(shù)的定義為函數(shù)圖像如下圖所示01二維矩形函數(shù)可表示成一維矩形函數(shù)的乘積式中a>0,b>0,它在xy平面上，以原點為中心的ab矩形范圍內(nèi)，函數(shù)值為1，其它地方為零。光學(xué)上常用矩形函數(shù)表示不透明屏上的矩形孔、狹縫的透過率。它與其它函數(shù)相乘，可限制函數(shù)自變量的取值范圍，起到截取函數(shù)的作用，故又稱為門函數(shù)。如表示一個只出現(xiàn)在區(qū)間二、sinc函數(shù)一維sinc函數(shù)的定義為式中a>0,函數(shù)在x=x0處有最大值1。對于x0=0,該函數(shù)在原點處有最大值1.二個第一級零值之間的寬度為2a,函數(shù)圖像如圖所示。零點位于二維sinc函數(shù)的定義為sinc函數(shù)常用來描述矩孔或單縫的夫瑯和費衍射圖樣，且與矩形函數(shù)互為傅里葉變換。三、階躍函數(shù)階躍函數(shù)的定義為10階躍函數(shù)與某函數(shù)相乘時，如x>0，則積等于原函數(shù)，在x<0的部分，其積為零。因而階躍函數(shù)的作用如同一個開關(guān)，可開啟或關(guān)閉另一函數(shù)。四、符號函數(shù)符號函數(shù)的定義為10-1符號函數(shù)與某函數(shù)相乘，可以使該函數(shù)在某點的極性（正負號）發(fā)生翻轉(zhuǎn)。五、三角函數(shù)一維三角函數(shù)的定義為10式中a>0,函數(shù)圖形是底邊寬為2a，高為1的三角形，三角形函數(shù)可表示光瞳為矩形的非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)。六、圓域函數(shù)圓域函數(shù)的定義為函數(shù)圖形呈圓柱形，底半徑為a，高度為1。極坐標下的形式為圓域函數(shù)常用來描述圓孔的透過率七、高斯函數(shù)高斯函數(shù)的定義為二維高斯函數(shù)的形式是曲面下的體積為aba>0.當(dāng)x0=0時，函數(shù)在原點處有最大值1。高斯圖形中曲線下的面積為a.式中曲面下的體積為aba=1,b=1時極坐標下高斯函數(shù)在統(tǒng)計領(lǐng)域中經(jīng)常用到。高斯函數(shù)在光學(xué)中常用來描述激光器發(fā)出的高斯光束，有時也用于光學(xué)信息處理中的切趾術(shù)。1.2

函數(shù)在物理學(xué)和工程技術(shù)中常用狄拉克提出的

函數(shù)描述某種極限狀態(tài)和高度集中的物理量。例如，在電學(xué)中常用

函數(shù)表示點電荷，而在光學(xué)中，函數(shù)表示的是點光源。函數(shù)不是普通函數(shù)，是廣義函數(shù)，它不像普通函數(shù)那樣完全由數(shù)值對應(yīng)關(guān)系確定，其屬性完全由它在積分中的作用表現(xiàn)出來。從應(yīng)用的角度看，也可以把函數(shù)與普通函數(shù)聯(lián)系起來，用普通函數(shù)描述它的性質(zhì)。下面介紹三種最基本的函數(shù)定義。一、函數(shù)定義定義A定義B定義A對函數(shù)給出了類似普通函數(shù)形式的定義，然而定義式描述的圖像并不普通，它是一個在原點以外處處為零，而在原點處出現(xiàn)無窮大的函數(shù)。定義B是把函數(shù)看作一些普通函數(shù)構(gòu)成的序列的極限。下圖給出了一維矩形函數(shù)序列和高斯函數(shù)序列的例子，隨著N的增大，所取的矩形函數(shù)和高斯函數(shù)對應(yīng)的曲線將變得越來越窄，峰值卻越來越高，而曲線下的面積始終保持為1。當(dāng)N時，它們的函數(shù)曲線趨近于定義A中的“脈沖”。gn(x,y)的具體形式是多種多樣的，常用的有矩形函數(shù)，高斯函數(shù)和sinc(x,y)函數(shù)。back定義C

中f(x,y)在原點處連續(xù)。該式表明函數(shù)在積分域中的作用就是賦與函數(shù)在x=0,y=0處的數(shù)值f(0,0).這是廣義函數(shù)的定義方式，具有普遍意義。不同形式的函數(shù)，只要它們在積分中的作用和上式相同，就可認為它們與函數(shù)相等，這一性質(zhì)在理論推導(dǎo)中經(jīng)常用到。二、函數(shù)的表示和性質(zhì)11定義C2、篩選性質(zhì)1、函數(shù)和其它函數(shù)的乘積3、坐標縮放性質(zhì)4、可分離變量性質(zhì)5、函數(shù)是偶函數(shù)三、梳狀函數(shù)光學(xué)上，單位光通量間隔為1個單位的點光源線陣的亮度，可用一個一維梳狀函數(shù)表示：n為整數(shù)梳狀函數(shù)也是廣義函數(shù)，其性質(zhì)可由函數(shù)的性質(zhì)推出。利用坐標縮放性質(zhì)，可以把間隔為x0的等間距脈沖序列表示為梳狀函數(shù)與普通函數(shù)的乘積是因此，可以利用梳狀函數(shù)對普通函數(shù)作等間距抽樣。在x和y方向間隔分別為a和b的二維脈沖序列表示為ab1.3二維傅里葉變換1、二維傅里葉變換的定義含有兩個變量x,y的函數(shù)f(x,y)，其二維傅里葉變換定義為{}在此定義中，本身也是兩個自變量的函數(shù)。變換F振幅譜相位譜功率譜類似地，函數(shù)f(x,y)也可以用其頻譜函數(shù)表示，即：上式稱為F（，）的二維傅里葉逆變換。正變換和逆變換在形式上非常相似，只是被積函數(shù)中指數(shù)因子的符號和積分變量不同而已。我們可以用傅里葉變換對偶式來表示兩種變換之間的關(guān)系式。=-1{}F-1（）FF()二、傅里葉變換存在的條件（1）、函數(shù)f(x,y)必須對整個XY平面絕對可積，即（2）、函數(shù)f(x,y)必須在XY平面上的每一個有限區(qū)域內(nèi)局部連續(xù)，即僅存在有限個不連續(xù)點和有限個極大和極小點。（3）、函數(shù)f(x,y)必須沒有無窮大間斷點。上述三個存在條件是從數(shù)學(xué)的角度提出的，我們不證明它。這是因為，從應(yīng)用的角度看，作為時間或空間函數(shù)而實際存在的物理量，其傅里葉變換總是存在的。但需說明的，為了物理學(xué)上描述方便起見，我們往往又用理想化的數(shù)學(xué)函數(shù)來表示實際的物理圖形，對這些有用的函數(shù)而言，上面的三個條件中的一個或多個可能均不成立。例如階躍函數(shù)，函數(shù)等就不滿足存在條件。因此，為了在傅里葉分析中能有更多的函數(shù)來描述物理圖形，有必要對傅里葉變換的定義作一些推廣。三、廣義傅里葉變換對于不嚴格滿足存在條件的函數(shù)，首先把它定義為某一個序列的極限，該序列中的每一成分都具有通常的傅里葉變換，然后求出該序列各成分的傅里葉變換，從而得到一個相應(yīng)的變換序列。如果后一序列極限存在，就稱它為所考慮函數(shù)的廣義傅里葉變換。所以廣義傅里葉變換就是極限意義下的傅里葉變換。例題：求函數(shù)f(x,y)=1的傅里葉變換解：上述函數(shù)顯然不符合傅里葉變換存在的條件，現(xiàn)在我們把它定義為矩形函數(shù)序列的極限。01先求矩形函數(shù)的傅里葉變換{rect(y)}{rect(x)}FF請同學(xué)業(yè)們動手推導(dǎo)f(x,y)=1所以1的傅里葉變換是函數(shù)。問題：函數(shù)的逆傅里葉變換等于1嗎？{}-1FF物理圖像f(x,y)=1請同學(xué)業(yè)們動手推導(dǎo)例子：求梳狀函數(shù)comb(x/a)的傅里葉變換因為梳函數(shù)是周期性函數(shù)，可將其展開為傅里葉級數(shù)其中所以，梳函數(shù)的傅里葉變換為F其間隔為?1.4卷積與相關(guān)一、卷積的定義兩個函數(shù)f(x,y)和h(x,y)的卷積的定義為：它是包含兩個參量的二重?zé)o窮積分，這里的參變量x,y和積分變量，均為實數(shù)，但函數(shù)f(x,y)和h(x,y)可以是實數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。*號表示卷積運算。1、卷積的定義2、卷積運算的例子例：如圖，已知兩個函數(shù)f(x)和h(x),求其卷積求卷積的方法：（1）、將f(x)和h(x)變?yōu)閒(

)和h(

)，并畫出相應(yīng)的曲線（2）、將h(

)

h(-

)只要將h(

)曲線相對縱軸折疊便得到其鏡像h(-

)曲線。（3）、對任一x(-,+)，只要將曲線h(-

)沿x軸平移x便得到h(x-

)

x>0右移，x<0,左移（4）、計算所對應(yīng)的曲線下的面積為了得到卷積，需對-,+

的每一個x值求其卷積值。綜合上面的結(jié)果可得兩函數(shù)的卷積上述卷積的圖解方法，概括起來有四個步驟：折疊、位移、相乘和積分。圖解方法在系統(tǒng)分析中是很有用的，它使我們能直觀理解許多抽象的關(guān)系。在直接計算卷積積分時，圖解方法也有助于確定積分限。為了加深印象，再看一個例子。例：如圖，已知兩個函數(shù)f(x)和h(x),求其求卷積解：（1）、將f(x)和h(x)變?yōu)閒(

)和h(

)，并畫出相應(yīng)的曲線（2）、將h(

)

h(-

)只要將h(

)曲線相對縱軸折疊便得到其鏡像h(-

)曲線。（3）、將曲線h(-

)沿x軸平移x便得到h(x-

)，因此g(x)=0例：求兩個矩形函數(shù)的卷積，參閱教材P12頁，下面給出結(jié)論3、卷積運算的兩個效應(yīng)（1）展寬效應(yīng)：假設(shè)函數(shù)只在一個有限區(qū)間不為零，這個區(qū)間可稱為函數(shù)的寬度。一般說來，卷積函數(shù)的寬度等于被卷函數(shù)的和。（2）平滑效應(yīng)：被卷積的函數(shù)經(jīng)過卷積運算，其細微結(jié)構(gòu)在一定程度上被消除，函數(shù)本身的起伏振蕩變得平緩圓滑。光電探測器記錄光強的過程用矩形函數(shù)表示狹縫的透過率h(x),并對光強的空間分布f(x)掃描，在狹縫后面用光電探測器記錄光強分布g(x).這一掃描記錄過程包含了平移、相乘、積分幾個環(huán)節(jié)，由于h(x)是偶函數(shù)，折疊不發(fā)生變化。因而這是一個卷積運算過程。當(dāng)狹縫很窄，g(x)越接近于f(x).當(dāng)狹縫越寬，平滑效應(yīng)就越嚴重，g(x)中已失去f(x)的細節(jié)。4、卷積運算的基本性質(zhì)（1）分配律（2）交換律（3）結(jié)合律（4）平移不變性已知則令5、函數(shù)f(x,y)與函數(shù)的卷積說明：任意函數(shù)f(x,y)與

（x,y)函數(shù)的卷積等于函數(shù)本身.任意函數(shù)f(x,y)與

（x-x0,y-y0)函數(shù)的卷積等于函數(shù)被平移到脈沖所在的空間位置上（x0,y0）處。==函數(shù)f(x,y)與多個脈沖函數(shù)的卷積可在每個脈沖位置上產(chǎn)生f(x,y)的波形。這一性質(zhì)有助于我們描述各種重復(fù)性的結(jié)構(gòu)，例如，雙縫、多縫、光柵等衍射屏的透過率函數(shù)。=二、相關(guān)1、互相關(guān)的定義兩個函數(shù)f(x,y)和g(x,y)的互相關(guān)定義為★式中f﹡是函數(shù)f的復(fù)共軛，★號表示相關(guān)運算。令我們可得互相關(guān)定義的另一種形式2、互相關(guān)的卷積表達式互相關(guān)與卷積是不同的兩種運算，參與互相關(guān)的兩個函數(shù)都不翻轉(zhuǎn)，但是我們可以把它表示成卷積的形式。若f(x,y)是實偶函數(shù)，則★2、互相關(guān)的性質(zhì)（1）證明：令（2）證明：引用許瓦茲不等式其中和一般為復(fù)數(shù)，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)=k時才成立，k是復(fù)常數(shù)。令則由許瓦茲不等式得因為2、自相關(guān)1、定義：時互相關(guān)成為自相關(guān)★當(dāng)（3）、歸一化互相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)=歸一化自相關(guān)函數(shù)關(guān)于互相關(guān)和自相關(guān)的說明互相關(guān)是兩個信號之間存在多少相似性的量度。兩個完全不同的、毫無關(guān)系的信號，對所有位置，它們互相關(guān)的值應(yīng)為零。假如兩個信號由于某種物理上的聯(lián)系在一些部位存在相似性，在相應(yīng)的位置上就存在非零的互相關(guān)。在x0處由于信號相似程度大，因而出現(xiàn)相關(guān)峰值?！镒韵嚓P(guān)是自變量相差某一大小時，函數(shù)值間相關(guān)的量度。當(dāng)x=0,y=0，自相關(guān)最大。當(dāng)信號相對本身有平移時，就改變了位移為零時具有的逐點相似性，自相關(guān)的模減小。但是只要信號本身在不同位置存在相似結(jié)構(gòu)，相應(yīng)部位還會產(chǎn)生不為零的自相關(guān)值，當(dāng)位移足夠大時，自相關(guān)值可能趨于零?！?-5傅里葉變換的基本性質(zhì)和有關(guān)定理一、傅里葉變換的基本性質(zhì)1、線性性質(zhì)設(shè)a,b為常數(shù)，則即兩個函數(shù)的線性組合的傅里葉變換等于各函數(shù)的傅里葉變換的相應(yīng)組合。FFF2、迭次傅里葉變換對二元函數(shù)作二次傅里葉變換，可得其倒立像3、坐標縮放性質(zhì)4、位移定理函數(shù)空域的位移，帶來頻域中的線性相移，另一方面函數(shù)在空域中的相移，會導(dǎo)致頻域位移。FFFFFFffffff5、體積對應(yīng)關(guān)系6、復(fù)共軛傅里葉變換若f(x,y)為實函數(shù)，顯然有稱具有厄米對稱性二、傅里葉變換的基本定理1、卷積定理FF說明：空域兩個函數(shù)的卷積，在頻域等于其變換的乘積。這一定理有重要的意義，當(dāng)一個復(fù)雜函數(shù)可以表示成簡單函數(shù)的乘積或卷積時，利用卷積定理可由簡單函數(shù)的傅里葉變換來確定復(fù)雜函數(shù)的傅里葉變換。而且定理為獲得兩個函數(shù)的卷積提供了另一途徑，即將兩函數(shù)的變換式相乘，再對乘積作逆變換。2、相關(guān)定理（1）互相關(guān)定理★FFFFF互譜能量密度（2）自相關(guān)定理★稱為信號f(x,y)的能譜密度3、巴塞伐定理和廣義巴塞伐定理在應(yīng)用中上述積分都可以表示某種能量。本定理表明對能量的計算，既可以在空域進行，也可以在頻域進行。從物理上看，這是能量守恒的體現(xiàn)，故也稱為能量積分定理。F4、傅里葉積分定理5、導(dǎo)數(shù)定理設(shè)則有-1FF=-1FFFFF證明：F-1FF5、矩定理由導(dǎo)數(shù)定理可得下面的零階、一階和二階矩定理（1）零階矩定理（2）一階矩定理（3）、二階矩定理例題：？例題：求矩形函數(shù)的傅里葉變換FF例題：求高斯函數(shù)的傅里葉變換FF例題：求余弦函數(shù)的傅里葉變換FF例題：求三角函數(shù)的傅里葉變換利用卷積定理FFFFF下面利用卷積定理的圖解方法求三角函數(shù)的傅里葉變換。這種方法，用圖形表示出函數(shù)在空間域和頻率域的對應(yīng)關(guān)系，分析思路直觀且便于記憶。*0-11例：求極坐標內(nèi)的二維傅里葉變換。同理上面極坐標下的傅里葉變換的形式是相當(dāng)復(fù)雜的，但是當(dāng)g具有圓對稱性時，極坐標顯得比較方便。傅里葉-貝塞爾變換設(shè)g(r,)具有圓對稱性，即g與無關(guān)，于是可以寫成g(r,)=g(r)利用貝塞爾函數(shù)關(guān)系式式中是第一類零階貝塞爾函數(shù)上式表明，圓對稱函數(shù)的傅里葉變換仍是圓對稱的類似地可得其傅里葉逆變換在極坐下，圓對稱函數(shù)的傅里葉變換和逆變換的運算是相同的。我們把這種特殊形式的傅里葉變換稱為傅里葉-貝塞爾變換。在研究圓孔的衍射時我們要用到上面的變換。例題：求圓域函數(shù)的傅里葉變換利用傅里葉-貝塞爾變換。令并利用恒等式F1.6線性系統(tǒng)分析一、用數(shù)學(xué)符號表示系統(tǒng)從數(shù)學(xué)上來講，很多現(xiàn)象都有可以抽象為使函數(shù)f通過一定的變換，形成函數(shù)g的運算過程。這種實現(xiàn)函數(shù)變換的運算過程稱為系統(tǒng)。這種意義下的系統(tǒng)，既可以是特定功能的元器件組合，例如，電子線路、光學(xué)透鏡組等，也可以是與實際器件無關(guān)的物理現(xiàn)象，例如光波通過自由空間的傳播過程等。這樣定義的系統(tǒng)的作用可由算符L{}來表征。若函數(shù)f(x,y)表示一個系統(tǒng)的輸入，g(x,y)表示與之相應(yīng)的輸出，系統(tǒng)的作用則可用下式表示LL

{}具體地指出算符的形式和性質(zhì)是有困難的，因為這取決于系統(tǒng)的物理性質(zhì)。我們主要討論系統(tǒng)中一種重要的類型，即線性系統(tǒng)。由于它具有線性性質(zhì)，從而可以對它作出更深刻的討論，而得出有確切含義的輸入和輸出關(guān)系式。二、線性系統(tǒng)定義一個系統(tǒng)對輸入f1和f2的輸出響應(yīng)為g1、g2，則有若對于任意復(fù)常數(shù)a1和a2，當(dāng)輸入函數(shù)為a1f1(x,y)+a2f2(x,y)時，輸出為則此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。LLL由線性系統(tǒng)的定義可知，線性系統(tǒng)具有疊加性質(zhì)，即系統(tǒng)對幾個輸入的線性組合的整體響應(yīng)就等于各單個輸入產(chǎn)生的響應(yīng)的線性組合。利用線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)，可以方便地求出系統(tǒng)對于任意復(fù)雜輸入的響應(yīng)。方法是：首先，我們把復(fù)雜的輸入分解成許多更加基本的函數(shù)，即“基元”函數(shù)的線性組合。而基元函數(shù)的響應(yīng)是較容易單獨確定的。這些基元函數(shù)的響應(yīng)再經(jīng)線性組合，就可以得到復(fù)雜輸入所對應(yīng)的輸出，這是線性系統(tǒng)的最大好處。基元函數(shù)通常是指不能再分解的基本函數(shù)。在線性分析系統(tǒng)中，常用的基元函數(shù)有

函數(shù)、余弦函數(shù)、和復(fù)指數(shù)函數(shù)。010203三、脈沖響應(yīng)以

函數(shù)作為基元函數(shù)，研究輸入與輸出的關(guān)系利用

函數(shù)的篩選性質(zhì)，任何輸入函數(shù)都可以分解為

函數(shù)的線性組合這個積分可以看成是x,y平面上無窮多個不同位置（，）處的以權(quán)重為系數(shù)的線性疊加

函數(shù)L的意義是：輸入平面上位于x=

,y=

處的單位脈沖（點光源）通過系統(tǒng)后在輸出平面上得到的分布。所以它是脈沖響應(yīng)或點擴散函數(shù)。對于給定的光學(xué)系統(tǒng)，點擴散函數(shù)一般與輸入點脈沖的位置（

,

）有關(guān)。令脈沖響應(yīng)式（*）通常稱為疊加積分，它描述了線性系統(tǒng)輸入和輸出的變換LLL顯然，線性系統(tǒng)的性質(zhì)完全由它對單位脈沖的響應(yīng)表征。只要知道系統(tǒng)對位于輸入平面上所有可能的點上的脈沖的響應(yīng)，就可以通過疊加積分而完全確定系統(tǒng)的輸出。另外，如果系統(tǒng)的輸入和輸出之間滿足疊加積所描述的關(guān)系，就可以認為這是一個線性系統(tǒng)。令脈沖響應(yīng)式（*）通常稱為疊加積分，它描述了線性系統(tǒng)輸入和輸出的變換L為了更好地理解疊加積分的物理意義，我們以線性光學(xué)成像系統(tǒng)為例加以說明：一輻輸入圖像可看成是一個點物的集合，只要能確定所有點物的像，就可以完備地描述這一成像系統(tǒng)的效應(yīng)。但要注意的是，一定要把所有物點的像疊加起來，才能得到輸出圖像。即完全確定一個線性系統(tǒng)的性質(zhì)，需要知道系統(tǒng)對于輸入平面上所有可能位置上的

函數(shù)輸入的脈沖響應(yīng)。h的波形可能并不相同。其函數(shù)形式與輸入時刻有關(guān)，記為四、線性不變系統(tǒng)一個線性系統(tǒng)的性質(zhì)可能是隨時間（或空間位置）變化的。例如，一個電路系統(tǒng)，不同時刻輸入的時間脈沖信號，其響應(yīng)L顯然，要做到這一點，是相當(dāng)困難的。不過對于線性系統(tǒng)的一個重要子類——線性不變系統(tǒng)，分析才變得十分簡單。若輸入脈沖延遲時間，其響應(yīng)僅僅有相應(yīng)的時間延遲，而函數(shù)形式不變，即L我們稱這樣的線性系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。這種系統(tǒng)輸入與輸出之間的變換關(guān)系是確定的，不隨時間變化。固定電阻、電容、電感的特性在一段時間內(nèi)，可看作是不隨時間變化的，它們組成的電路是時不變的。一個空間脈沖（如單位點光源）在輸入平面上位移，線性系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)形式不變，只是產(chǎn)生相應(yīng)的位移，即L這樣的系統(tǒng)稱為空間不變系統(tǒng)或位移不變系統(tǒng)對于空間不變系統(tǒng)，其輸入與輸出的變換關(guān)系是不隨輸入空間位置而變化的變的。其唯一的效應(yīng)是輸出發(fā)生同樣的位移。若L則L對于線性不變系統(tǒng)，疊加積分式變?yōu)槭街衕(x,y)是坐標原點單位脈沖響應(yīng)，它可以表征線性空不變系統(tǒng)的性質(zhì)。上式（**）積分稱為卷積積分，其含義仍舊是指：把輸入函數(shù)f(x,y)分解為無窮多個

函數(shù)的線性組合，每個脈沖都按其位置加權(quán)，然后把系統(tǒng)對于每個脈沖的響應(yīng)疊加在一起就得對于f(x,y)的整體響應(yīng)。與（*）式不同的是，不論輸入脈沖位置如何，系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的函數(shù)的形式是相同的。因而系統(tǒng)的作用可以用一個脈沖響應(yīng)函數(shù)來表征。說明：對于成像系統(tǒng)而言，物平面上一個點光源（

函數(shù)），通過成像系統(tǒng)后得到一個彌散像點分布（h函數(shù)），這種彌散作用很像日暈、月暈現(xiàn)象。對于線性不變系統(tǒng)，由于像點的形狀不隨物點空間位置而變，所以又把這種特性稱為等暈性。對于實際成像系統(tǒng)，一般不可能是嚴格的空不變系統(tǒng)，這是由于像差的大小與物點位置有關(guān)。然而絕大多數(shù)光學(xué)系統(tǒng)像差大小隨時物點位置的變化是緩慢的，因此，即使是空間不變性不能在整個視場內(nèi)成立，我們也可把視場分成若干個區(qū)域，在每個區(qū)域內(nèi)使空間不變性近似成立。這樣劃分的區(qū)域稱為等暈區(qū)。對于每個等暈區(qū)都有各自的h。因此，對線性不變系統(tǒng)的討論是具有普遍意義的。五、線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)上式是輸入和輸出關(guān)系在空域表示，利用卷積定理，可以得到頻率的關(guān)系式。

輸入頻譜

輸出頻譜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或頻率響應(yīng)它決定了輸入頻譜中各種頻率成分通過系統(tǒng)時將發(fā)生什么樣的變化。說明：對線性平移不變系統(tǒng)，可以采用兩種研究方法。一是在空域通過輸入函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積求得輸出函數(shù)；二是在頻域求得輸入函數(shù)與脈沖響應(yīng)兩者各自的頻譜函數(shù)的積。再對該積求逆傅里葉變換求得輸出函數(shù)。從表面上看，后一種方法比前一種方法復(fù)雜，但實際情況并非如此，這是因為利用傅里葉變換的性質(zhì)和傅里葉變換對偶表，?？梢允沟酶道锶~變換、求積和求逆傅里葉變換這一運算過程遠比卷積運算方便。因此從頻率域來考察線性平移不變系統(tǒng)，不僅有重要的理論意義，而且有很高的實用價值。下面進一步來討論傳遞函數(shù)的物理意義：前面我們把線性系統(tǒng)的輸入函數(shù)f(x,y)分解成函數(shù)的線性組合，而對于線性不變系統(tǒng)，可以找到更為合適的基元函數(shù)，即復(fù)指數(shù)函數(shù)。逆傅里葉變換提供了對于輸入函數(shù)進行分解的方法。在光學(xué)中，、

具有長度倒數(shù)的量綱，因此具有空間頻率的意義。上式表明?？臻g信號f(x,y)可以分解成具有不同空間頻率、的基元函數(shù)exp[j2(x+y]的線性組合，F(xiàn)（,）dd就是這一線性組合中對應(yīng)基元函數(shù)的權(quán)重因子。這就是除了函數(shù)以外的第二種基元函數(shù)。這種分解法通常稱為傅里葉分解。LL又因為利用L上式表明，各基元復(fù)指數(shù)函數(shù)在通過線性不變系統(tǒng)后，仍然是同頻率的復(fù)指數(shù)函數(shù)。但是可能產(chǎn)生與頻率有關(guān)的幅值變化和相移，這些變化決定于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。因此傳遞函數(shù)又稱為頻率響應(yīng)，它描述了系統(tǒng)的頻率域的特性。線性不變系統(tǒng)六、線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)定義：如果函數(shù)f(x,y)滿足條件式中a為一復(fù)數(shù)，叫本征值，則稱f(x,y)為算符所表征的系統(tǒng)的也就是說，系統(tǒng)的本征函數(shù)是一個特定的輸入函數(shù)，相應(yīng)的輸出函數(shù)等于輸入函數(shù)與一復(fù)常數(shù)的乘積。由上面的討論可知，復(fù)指數(shù)函數(shù)可以形式不變地通過線性不變系統(tǒng)，因此，它正是線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)。在分析線性不變系統(tǒng)時，取復(fù)指數(shù)函數(shù)為基元函數(shù)是非常方便的。L本征函數(shù)L對于非相干處理系統(tǒng)，系統(tǒng)對光強是線性的，這種系統(tǒng)可以把一個實值輸入變換成一個實值輸出，也是一種常見的系統(tǒng)，這類系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是厄米的，即有：令振幅傳遞函數(shù)相位傳遞函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)下面我們來證明余弦函數(shù)是這類系統(tǒng)的本征函數(shù)令為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，輸入函數(shù)為因為因此，輸入頻譜為輸出頻譜為系統(tǒng)的輸出函數(shù)為F

-1因輸入函數(shù)的頻率是任意的，故上式可寫成一般形式L上式表明，對于具有實值脈沖響應(yīng)的線性不變系統(tǒng)，余弦輸入將產(chǎn)生同頻率的余弦輸出，但可能產(chǎn)生與頻率有關(guān)的衰減和相移。這種變化的大小分別決定于傳遞函數(shù)的模和輻角。（1）、衍射孔徑比波長大得多；對于大多數(shù)問題，這兩個條件是常常是能滿足的。對于高分辨率衍射光柵等不滿足上述條件的情況，衍射場的能量分布與光的偏振態(tài)密切相關(guān)，必須考慮矢量波衍射理論。本課程只討論光波的標量衍射理論。（2）、觀察點離衍射孔徑不要太近。1.7二維光場分析光是電磁波，完備描述光波，應(yīng)考慮光波場的矢量性質(zhì)。然而在光的干涉、衍射等許多現(xiàn)象中，允許把光波近似作為標量波處理。也就是只考慮電磁場的一個橫向分量，并假定任何別的分量可以用同樣的方法獨立處理。而實際上電磁場的各分量是通過Maxwell方程聯(lián)系在一起的，不能獨立處理。不過，研究表明，只要滿足如下兩個條件。此時，應(yīng)用標量理論得到的結(jié)果（衍射場能量分布）與實際十分相符.注：

Maxwll方程與電磁波動方程前提條件：無源空間，激勵電流和自由電荷均為零，且設(shè)媒質(zhì)是各向同性、線性和均勻的。各向同性線性均勻1.7.1單色光波場的復(fù)振幅表示利用由（1）式同理得式（3）、（4）是無源空間中E，H滿足的方程，稱為電磁波動方程，是研究電磁波問題的基礎(chǔ)。標量理論是只考慮電磁場中的一個分量，且認為各分量是獨立的。球面波和平面波是波動方程的基本解，而由波動方程的線性性質(zhì)，任何復(fù)雜的波都能用球面波或平面波的線性組合表示。因此，有必要了解從數(shù)學(xué)上來描述這些波。1.7.1單色光波場的復(fù)振幅表示單色光場中某一點P在時刻t的光振動可表示為式中是光波的時間頻率。a(P)和（P）分別是P點的光振動的振幅和初相位。一個理想的單色光波對于時間和空間都是無限的?？疾鞂嶋H發(fā)光過程，它總是發(fā)生在一定時間和一定空間范圍內(nèi)，所以理想單色光波是不存在的。但是在實際存在的光波中，有的光波僅僅包含以某一頻率為中心的很窄的頻率范圍，即窄帶光。單色光的結(jié)論可以推廣到窄帶光。對寬帶的非單色光，可以將它們分解為單色光。然后再應(yīng)用單色光的有關(guān)結(jié)論。所以對單色光的討論不僅有理論意義，而且還有實際意義。根據(jù)歐拉公式，一個余弦函數(shù)可以表示為相應(yīng)的復(fù)指數(shù)函數(shù)的實部。因此，u(P,t)也可以表示為如下式子式中Re{}表示對括號內(nèi)復(fù)函數(shù)取實部。顯然，利用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示光振動，便于把相位中空間部分（P）和由時間變量決定的部分2

t分開來。定義一個新物理量稱為單色光場中P點的復(fù)振幅，它包含了P點光振動的振幅a(P)和初相位（P）。U（P）定義一個新物理量稱為單色光場中P點的復(fù)振幅，它包含了P點光振動它與時間無關(guān)，而僅是空間位置的函數(shù)。對于單色光波，由于頻率恒定，由時間變量確定的相位因子exp(-j2t)對于光場中各點來說均是相同的。光場中光振動的空間分布完全由復(fù)振幅U隨空間位置的變化所確定。U（P）的振幅a(P)和初相位

（P）。利用復(fù)振幅U（P），光振動的表達式可寫為在計算干涉、衍射和另一些光學(xué)問題時，涉及單色光波的線性運算，可直接利用復(fù)振幅進行計算，導(dǎo)出所需結(jié)果的復(fù)振幅。由復(fù)振幅計算光強可按下式進行。例題：利用復(fù)振幅求兩相干光場的干涉公式S1S2P這是大家熟悉的雙光束干涉公式。如要求光柵的衍射公式，可利用N個復(fù)振幅直接相加，得其合復(fù)振幅，進而求得光強。比利用余弦函數(shù)計算方便得多。1、球面波的復(fù)振幅從點光源發(fā)出的光，其波面表現(xiàn)為球面波。我們常把一個復(fù)雜的光源看做是許多點光源的集合，因此，點光源是一個重要的基本光源，球面波是基本的波面形式。（設(shè)點光源初相為零）發(fā)散波a0是距光源單位距離處的振幅會聚波（設(shè)點光源初相為零）發(fā)散波任一點P處的復(fù)振幅為--波數(shù)同理，對于會聚球面波，其復(fù)振幅為下面討論球面波在直角坐標系中光場的分布表達式許多問題中，我們所關(guān)心的往往是某個確定平面的上的光場分布，所以下面重點討論某一特定平面上復(fù)振幅的數(shù)學(xué)表達式。0當(dāng)xy平面上只考慮一個對s點張角不太大的范圍，這時有傍軸條件作泰勒級數(shù)展開，略去高階項得上式代入發(fā)散球面波復(fù)振幅公式得到xy平面上產(chǎn)生的復(fù)振幅分布為在相位因子中包括兩項：描述了位相隨x,y平面坐標的變化我們稱之為球面波的（二次）相位因子，當(dāng)平面上復(fù)振幅分布的表達式中包含有這一因子，就可近似認為距離該平面z處有一點光源發(fā)出的球面波經(jīng)過這個平面。exp(jkz)是常量位相因子x,y平面上位相相同的點的軌跡，即等相位線方程為式中c表示某一常量。不同c值所對應(yīng)的等相位線構(gòu)成一簇同心圓，它們是球形波面與x,y平面的交線。要注意的是相位值差2

的同心圓之間的間隔并不相等，而是由中心向外愈來愈密集。當(dāng)光源位于x0，y0平面的坐標原點上，傍軸近似下，發(fā)散球面波在x,y平面上復(fù)振幅分布為會聚球面波在x,y平面上復(fù)振幅分布為它表示經(jīng)過x,y平面向距離為處會聚的球面波在該平面產(chǎn)生的復(fù)振幅分布。2、平面波的復(fù)振幅平面波也是光波最簡單的一種形式。點光源發(fā)出的光經(jīng)透鏡準直，或者把點光源移到無窮遠處，可以近似獲得平面波。沿方向傳播的單色平面波，在光場中P（x,y,z)點產(chǎn)生的復(fù)振幅可以表示為式中，a表示常量振幅，cos,cos,cos

為傳播方向的方向余弦。利用式中是常量位相因子，不隨

x,y平面坐標變化。