人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一5.6 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)（精講）（含答案及解析）

5.6函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)（精講）一．三角函數(shù)的伸縮平移1.φ對函數(shù)y＝sin(x＋φ)，x∈R的圖象的影響-----橫坐標(biāo)平移-----左加右減2.ω(ω>0)對函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)圖象的影響-----橫坐標(biāo)伸縮3.A(A>0)對y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響-----縱坐標(biāo)的伸縮二.函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）中，A，ω，φ的物理意義（1）簡諧運動的振幅就是A.（2）簡諧運動的周期T＝eq\f(2π,ω).（3）簡諧運動的頻率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π).（4）ωx＋φ稱為相位.（5）x＝0時的相位φ稱為初相.一．圖象平移變換的方法(1)確定平移方向和平移的量是解決平移變換的關(guān)鍵．(2)當(dāng)x的系數(shù)是1時，若φ>0，則左移φ個單位；若φ<0，則右移|φ|個單位．(3)當(dāng)x的系數(shù)是ω(ω>0)時，若φ>0，則左移eq\f(φ,ω)個單位；若φ<0，則右移eq\f(|φ|,ω)個單位．二．“五點法”作圖1.實質(zhì)：利用“五點法”作函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象，實質(zhì)是利用函數(shù)的三個零點，兩個最值點畫出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象．2．用“五點法”作函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象的步驟第一步：列表ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π,ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π,ω)－eq\f(φ,ω)f(x)0A0－A0第二步：在同一坐標(biāo)系中描出各點．第三步：用光滑曲線連接這些點，形成圖象．三．由y＝Asin(ωx＋φ)的圖象求其解析式的常用方法方法一：最值法(1)A：一般可由圖象的最高點和最低點的縱坐標(biāo)來確定|A|，|A|＝eq\f(fxmax－fxmin,2).(2)ω：因為T＝eq\f(2π,ω)，所以往往通過求周期T來確定ω.可通過已知曲線及其與x軸的交點來確定T，注意相鄰的最高點與最低點之間的水平距離為eq\f(T,2)，相鄰的兩個最高點(最低點)之間的水平距離為T.(3)φ：以五點作圖法中的最高點作為突破口，即當(dāng)ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z時，y有最大值，或者由五點作圖法中的第一個點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)，0))作為突破口，從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一點的位置．方法二：“五點”對應(yīng)法依據(jù)五點作圖法的原理，點的序號與式子的關(guān)系如下；“第一點”(即圖象第一次上升時與x軸的交點)橫坐標(biāo)滿足ωx＋φ＝0；“第二點”(即圖象的“峰點”)橫坐標(biāo)滿足ωx＋φ＝eq\f(π,2)；“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)橫坐標(biāo)滿足ωx＋φ＝π；“第四點”(即圖象的“谷點”)橫坐標(biāo)滿足ωx＋φ＝eq\f(3π,2)；“第五點”(即圖象第二次上升時與x軸的交點)橫坐標(biāo)滿足ωx＋φ＝2π.考點一“五點法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象【例1】（2023春·云南昆明·高一校考階段練習(xí)）（1）利用“五點法”畫出函數(shù)在長度為一個周期的閉區(qū)間的簡圖.列表:

xy作圖:

（2）并說明該函數(shù)圖象可由的圖象經(jīng)過怎么變換得到的.【一隅三反】1．（2023春·江西南昌·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)用“五點法”畫出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象；(2)直接寫出函數(shù)的值域和最小正周期．列表：作圖：

2．（2023春·北京·高一?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù).(1)試用“五點法”畫出它的圖象；列表：作圖：(2)從正弦曲線出發(fā)，如何通過圖象變換得到函數(shù)的圖象？（兩種方法）3．（2023·江西贛州·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù).（1）在給定的平面直角坐標(biāo)系中，用“五點法”畫出函數(shù)在區(qū)間上的簡圖(請先列表，再描點連線)；（2）若，求的值.考點二三角函數(shù)圖象的伸縮平移變換【例2-1】（2023秋·湖北武漢）要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向右平移個單位【例2-2】（2023秋·新疆·高一校聯(lián)考期末）為了得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)圖象上所有點的（

）A．橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度B．橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移個單位長度C．橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度D．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度【例2-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后，得到的函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，則的最小值為.【例2-4】（2023春·上海嘉定·高一?？计谥校┌押瘮?shù)的圖像適當(dāng)變動就可以得到圖像，這種變動可以是（

）A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移【一隅三反】1．（2023秋·廣西貴港）要得到函數(shù)的圖象，需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移1個單位長度 D．向右平移1個單位長度2．（2023春·四川綿陽·高一綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校校考期中）為了得到函數(shù)的圖象，只需要把函數(shù)圖象（

）A．先將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位B．先將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位C．先向左平移個單位，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）D．先向左平移個單位，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）3．（2023秋·河南焦作）已知函數(shù)，若將的圖象向左平移個單位長度后所得的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則m的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2023春·廣東廣州）要得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度考點三由圖象求三角函數(shù)的解析式【例3】（2023春·四川宜賓·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則（

）

A．的最小正周期為B．當(dāng)時，的值域為C．為是偶函數(shù)D．將的圖象所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點對稱【一隅三反】1．（2023春·新疆伊犁·高一校聯(lián)考期末）（多選）函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（

）

A．的最小正周期為B．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸C．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為D．將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象2．（2023秋·四川成都）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則（

）

A． B．C． D．3．（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼市二中?？计谀┮阎瘮?shù)的部分圖象如圖所示，為了得到函數(shù)的圖象，只要把的圖象上所有的點（

）

A．向左平行移動個單位長度 B．向右平行移動個單位長度C．向左平行移動個單位長度 D．向右平行移動個單位長度考點四y＝Asin（ωx＋φ）的性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例4】（2023春·江西贛州·高一統(tǒng)考期末）已如函數(shù)．(1)用“五點法”作出函數(shù)在區(qū)間上的圖像；(2)將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，再將圖像上的每個點的橫坐標(biāo)都伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求在區(qū)間上的取值范圍．【一隅三反】1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求的值；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域．2．（2023春·江西·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù).(1)求的最大值及相應(yīng)的取值；(2)若把的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，求在上的單調(diào)遞增區(qū)間.3．（2023春·廣東江門·高一鶴山市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)將函數(shù)的圖象向下平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，若方程有兩個不等的實根，求實數(shù)的取值范圍.

5.6函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)（精講）一．三角函數(shù)的伸縮平移1.φ對函數(shù)y＝sin(x＋φ)，x∈R的圖象的影響-----橫坐標(biāo)平移-----左加右減2.ω(ω>0)對函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)圖象的影響-----橫坐標(biāo)伸縮3.A(A>0)對y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響-----縱坐標(biāo)的伸縮二.函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）中，A，ω，φ的物理意義（1）簡諧運動的振幅就是A.（2）簡諧運動的周期T＝eq\f(2π,ω).（3）簡諧運動的頻率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π).（4）ωx＋φ稱為相位.（5）x＝0時的相位φ稱為初相.一．圖象平移變換的方法(1)確定平移方向和平移的量是解決平移變換的關(guān)鍵．(2)當(dāng)x的系數(shù)是1時，若φ>0，則左移φ個單位；若φ<0，則右移|φ|個單位．(3)當(dāng)x的系數(shù)是ω(ω>0)時，若φ>0，則左移eq\f(φ,ω)個單位；若φ<0，則右移eq\f(|φ|,ω)個單位．二．“五點法”作圖1.實質(zhì)：利用“五點法”作函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象，實質(zhì)是利用函數(shù)的三個零點，兩個最值點畫出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象．2．用“五點法”作函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象的步驟第一步：列表ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π,ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π,ω)－eq\f(φ,ω)f(x)0A0－A0第二步：在同一坐標(biāo)系中描出各點．第三步：用光滑曲線連接這些點，形成圖象．三．由y＝Asin(ωx＋φ)的圖象求其解析式的常用方法方法一：最值法(1)A：一般可由圖象的最高點和最低點的縱坐標(biāo)來確定|A|，|A|＝eq\f(fxmax－fxmin,2).(2)ω：因為T＝eq\f(2π,ω)，所以往往通過求周期T來確定ω.可通過已知曲線及其與x軸的交點來確定T，注意相鄰的最高點與最低點之間的水平距離為eq\f(T,2)，相鄰的兩個最高點(最低點)之間的水平距離為T.(3)φ：以五點作圖法中的最高點作為突破口，即當(dāng)ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z時，y有最大值，或者由五點作圖法中的第一個點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)，0))作為突破口，從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一點的位置．方法二：“五點”對應(yīng)法依據(jù)五點作圖法的原理，點的序號與式子的關(guān)系如下；“第一點”(即圖象第一次上升時與x軸的交點)橫坐標(biāo)滿足ωx＋φ＝0；“第二點”(即圖象的“峰點”)橫坐標(biāo)滿足ωx＋φ＝eq\f(π,2)；“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)橫坐標(biāo)滿足ωx＋φ＝π；“第四點”(即圖象的“谷點”)橫坐標(biāo)滿足ωx＋φ＝eq\f(3π,2)；“第五點”(即圖象第二次上升時與x軸的交點)橫坐標(biāo)滿足ωx＋φ＝2π.考點一“五點法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象【例1】（2023春·云南昆明·高一校考階段練習(xí)）（1）利用“五點法”畫出函數(shù)在長度為一個周期的閉區(qū)間的簡圖.列表:

xy作圖:

（2）并說明該函數(shù)圖象可由的圖象經(jīng)過怎么變換得到的.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】（1）先列表，后描點并畫圖.0xy0100

（2）把的圖象上所有的點向左平移個單位，得到的圖象，再把所得圖象的點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象.【一隅三反】1．（2023春·江西南昌·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)用“五點法”畫出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象；(2)直接寫出函數(shù)的值域和最小正周期．列表：作圖：

【答案】(1)答案見解析(2)值域，最小正周期為【解析】（1）解：列表:0圖象如圖所示：

（2）解：因為，則，故函數(shù)的值域為，最小正周期為.2．（2023春·北京·高一?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù).(1)試用“五點法”畫出它的圖象；列表：作圖：(2)從正弦曲線出發(fā)，如何通過圖象變換得到函數(shù)的圖象？（兩種方法）【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；【解析】（1）令，則，列表如下，描點畫圖.（2）方法一：先將的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，然后使曲線上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，最后將曲線上各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模玫降膱D象.方法二：先將的圖象各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，然后將曲線向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，最后將曲線上各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到的圖象.3．（2023·江西贛州·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù).（1）在給定的平面直角坐標(biāo)系中，用“五點法”畫出函數(shù)在區(qū)間上的簡圖(請先列表，再描點連線)；（2）若，求的值.【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）列表如下：020-202（2）解：由，得，由，得，由，得，則.考點二三角函數(shù)圖象的伸縮平移變換【例2-1】（2023秋·湖北武漢）要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向右平移個單位【答案】B【解析】因為,所以將函數(shù)的圖象向左平移個單位可得到函數(shù)的圖象.故選:B.【例2-2】（2023秋·新疆·高一校聯(lián)考期末）為了得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)圖象上所有點的（

）A．橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度B．橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移個單位長度C．橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度D．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度【答案】A【解析】將圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得，再把得到的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．故選：A【例2-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后，得到的函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，則的最小值為.【答案】【解析】將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖像，因為圖像關(guān)于軸對稱，所以，，則，.令，得的最小值為.故答案為：【例2-4】（2023春·上海嘉定·高一?？计谥校┌押瘮?shù)的圖像適當(dāng)變動就可以得到圖像，這種變動可以是（

）A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移【答案】D【解析】，，函數(shù)的圖象向左平移可以得到的圖象.故選：D【一隅三反】1．（2023秋·廣西貴港）要得到函數(shù)的圖象，需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移1個單位長度 D．向右平移1個單位長度【答案】B【解析】由于，所以將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到的圖象．故選：B2．（2023春·四川綿陽·高一綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校?？计谥校榱说玫胶瘮?shù)的圖象，只需要把函數(shù)圖象（

）A．先將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位B．先將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位C．先向左平移個單位，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）D．先向左平移個單位，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）【答案】B【解析】先將函數(shù)圖像橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）得到，再向右平移個單位得到的圖像；或者將函數(shù)圖像向右平移個單位，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）可得到的圖像.故選：B3．（2023秋·河南焦作）已知函數(shù)，若將的圖象向左平移個單位長度后所得的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則m的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】的圖象向左平移m個單位長度后，得到的圖象對應(yīng)函數(shù)，因為的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，所以，即，因為，故當(dāng)時，m取得最小值．故選：B.4．（2023春·廣東廣州）要得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【解析】因為，即只需要把函數(shù)的圖像向右平移個單位長度即可.故選：D考點三由圖象求三角函數(shù)的解析式【例3】（2023春·四川宜賓·高一校考階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則（

）

A．的最小正周期為B．當(dāng)時，的值域為C．為是偶函數(shù)D．將的圖象所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點對稱【答案】ACD【解析】由圖可知，，最小正周期，故選項A正確；由，知，因為，所以，所以，，即，，又，所以，所以，對于選項B，當(dāng)時，，所以，故選項B錯誤；對于選項C，令，定義域為，，所以為偶函數(shù)，即為偶函數(shù)，故選項C正確；對于選項D，將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，因為當(dāng)時，，故選項D正確.故選：ACD.【一隅三反】1．（2023春·新疆伊犁·高一校聯(lián)考期末）（多選）函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（

）

A．的最小正周期為B．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸C．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為D．將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象【答案】CD【解析】由圖象可得，，，又，故，所以.顯然A錯誤；對于B項，，不是對稱軸，故B錯誤；對于C項，令，故C正確；對于D項，將函數(shù)的圖象向右平移個單位得，故D正確.故選：CD.2．（2023秋·四川成都）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖象可知，，解得；由振幅可知；將代入可得，又，即可得，因此，易知，故選：C.3．（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼市二中?？计谀┮阎瘮?shù)的部分圖象如圖所示，為了得到函數(shù)的圖象，只要把的圖象上所有的點（

）

A．向左平行移動個單位長度 B．向右平行移動個單位長度C．向左平行移動個單位長度 D．向右平行移動個單位長度【答案】D【解析】根據(jù)題中函數(shù)的部分圖象，結(jié)合五點法作圖可得，故，又，故，所以，為了得到函數(shù)的圖象，只要把的圖象上所有的點向右平