《工程力學(xué) 》課件第11章

第11章組合變形11.1概述11.2拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形11.3應(yīng)力狀態(tài)11.4強度理論11.5彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形思考題

習(xí)題

11.1概

述

在實際工程中，桿件在受力后，往往同時產(chǎn)生兩種或兩種以上基本變形的組合，這種桿件的變形稱為組合變形。例如，圖11-1所示支架中的AB梁，力Ry、G和Ty使梁彎曲，力Rx和Tx使梁壓縮，梁AB發(fā)生壓縮和彎曲的組合變形。圖11-2所示反應(yīng)釜中的攪拌軸，葉片在攪拌物料時既受到阻力的作用而發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，同時還受到攪拌軸和槳葉的自重作用而發(fā)生軸向拉伸變形。圖11-3所示機械中的齒輪傳動軸，在齒輪嚙合力的作用下，同時發(fā)生扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形。圖11-1圖11-2圖11-311.2拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形

若作用在構(gòu)件對稱平面內(nèi)的外力既不與軸線重合也不與軸線垂直，如圖11-4所示，則構(gòu)件將產(chǎn)生拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形?，F(xiàn)以矩形截面懸臂梁為例，來說明拉伸（壓縮）與彎曲組合變形的強度計算方法。

圖11-4

如圖11-4(a)所示懸臂梁AB的自由端受集中力F的作用，F(xiàn)力作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，并與梁軸線成夾角α。固定端A受約束反力FAx、FAy以及約束反力偶MA的作用。為了分析出梁的變形，將載荷F分解成兩個正交分量Fx和Fy，兩分力的大小分別為

FAx和Fx使桿件軸向拉伸，F(xiàn)y、FAy和MA使桿件發(fā)生彎曲，因此，桿AB上發(fā)生軸向拉伸與彎曲的組合變形。由軸力引起的應(yīng)力沿截面均勻分布，其值為

由彎矩引起的彎曲正應(yīng)力在截面上呈線性分布，其值為

由于軸力和彎矩引起的應(yīng)力均為正應(yīng)力，因此根據(jù)疊加原理知，危險點為截面的上、下邊緣點。

當(dāng)時，截面上邊緣點的應(yīng)力，即截面上的最大拉應(yīng)力為

截面下邊緣點的應(yīng)力，即截面上的最大壓應(yīng)力為

若桿件材料為塑性材料，需按截面上的最大應(yīng)力進行強度計算，其強度條件為

但對于抗拉、抗壓強度不同的脆性材料，則要分別按最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力進行強度計算，故強度條件分別為

例11-1如圖11-5(a)所示鉆床受壓力P=15kN作用，已知偏心距e=0.4m，鑄鐵立柱的許用拉應(yīng)力［σl］=35MPa，許用壓應(yīng)力［σy］=120MPa。試求鑄鐵立柱所需的直徑。

解（１）分析立柱變形。將P力平移到立柱軸線上，同時附加一個力偶Mf=Pe。在P和Mf的共同作用下,立柱發(fā)生彎曲和拉伸的組合變形。圖11-5（２）分析內(nèi)力。假想地將立柱截開，取上端為研究對象（圖11-5(b)），

由平衡條件得

（３）分析應(yīng)力軸力產(chǎn)生的拉應(yīng)力在截面上均勻分布，其值為

彎矩在橫截面上產(chǎn)生彎曲應(yīng)力，其最大值為

立柱右側(cè)邊緣點的總應(yīng)力為

立柱左側(cè)邊緣點的總應(yīng)力為

（４）強度計算由于鑄鐵抗壓能力強，抗拉能力差，故應(yīng)對受拉側(cè)進行強度計算，即

代入已知數(shù)據(jù)得

解上式即可求得立柱的直徑d。因為這是一個三次方程，求解較繁。因為一般在偏心距較大的情況下，偏心拉伸（或壓縮）桿件的彎曲正應(yīng)力是主要的，所以可先按彎曲強度條件求出立柱的一個近似直徑，然后將此直徑的數(shù)值稍稍增大，再代入偏心拉伸的強度條件中進行校核，如數(shù)值相差較大，再作適當(dāng)變更，以試湊的方法進行設(shè)計計算，最后即可求得滿足此方程的直徑。

先考慮彎曲強度條件

即

得直徑,將其稍稍加大，現(xiàn)取，心拉伸的強度條件進行校核，得

滿足強度條件。最后選用立柱的直徑。

例11-2最大吊重P=8kN的起重機如圖11－6(a)所示。AB為工字鋼，材料為Q235鋼，［σ］=100MPa。試選擇工字鋼型號。圖11-6解：（１）求CD桿受力

CD桿的長度為

AB桿的受力簡圖如圖11-6(b)所示。

設(shè)CD桿的拉力為F，由平衡方程

得

（２）分析桿件變形

把F分解為Fx和Fy兩個分力，可見AB桿在AC段內(nèi)產(chǎn)生壓縮與彎曲的組合變形。作桿的彎矩圖和軸力圖如圖11-6c所示。從圖中看出，在c點左側(cè)的截面上彎矩最大，而軸力在ＡＣ段為相同值，故Ｃ截面為危險截面。

（３）根據(jù)彎曲強度條件選取工字鋼

因為

作桿的彎矩圖和軸力圖如圖11-6(c)所示。從圖中看出，在C點左側(cè)的截面上彎矩最大，而軸力在ＡＣ段為相同值，

故Ｃ截面為危險截面。

（４）強度校核由于軸力和彎矩的共同影響，危險截面C的下邊緣點為危險點，最大壓應(yīng)力為

于最大壓應(yīng)力力與許用應(yīng)力接近相等，故無需重新選擇截面的型號。

11.3應(yīng)力狀態(tài)

桿件在基本變形，橫截面上的危險點是在正應(yīng)力或剪應(yīng)力的單獨作用下發(fā)生破壞的。而桿件在復(fù)雜的組合變形中。橫截面上既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力，這時材料的破壞是由哪個應(yīng)力決定的呢？這就需要對截面上一點的應(yīng)力情況和材料破壞的原因作進一步的研究。在軸向拉伸的桿件中，如圖11-7所示，可以證明，任意截面m—n上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為

（11-1）

(11-2)

上式中，α為軸線正向與截面外法線的夾角（規(guī)定逆時針為正），稱為截面的方位角。A為橫截面面積。顯然，在同一點處不同方位的截面上，應(yīng)力的大小和方向都隨所取截面的方位角α而改變。而桿件在扭轉(zhuǎn)或彎曲中，即使在同一截面上各點的應(yīng)力也不相同。因此，為了解決桿件的強度問題，需要研究構(gòu)件內(nèi)在哪一點、哪一個截面上的應(yīng)力為最大。把桿件受力后其中任一點處各個截面上的應(yīng)力情況，稱為該點的應(yīng)力狀態(tài)。

圖11-7圖11-8圖11-9

圖11-10圖11-11

用截面法，根據(jù)靜力平衡方程可求得構(gòu)件內(nèi)某點的單元體上任意斜截面上的應(yīng)力為

(11-3)

(11-4)上面兩式表明，斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力均隨截面方位角α而改變，是α的函數(shù)?？梢宰C明，構(gòu)件內(nèi)某點的單元體上，各截面中的最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力就是該點的主應(yīng)力，其值可由下式求出

（11-5）

主平面的位置可由下式確定

（11-6）

圖11-1211.4強度理論

強度理論是解決復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下強度條件如何建立的問題。構(gòu)件在軸向拉、

壓時的強度條件為

式中

，σu可通過拉伸或壓縮試驗來確定，因此構(gòu)件的強度條件是以材料試驗為基礎(chǔ)的。

１．最大拉應(yīng)力理論（第一強度理論）該理論認為，引起材料破壞的主要因素是最大拉應(yīng)力，即認為材料不論處于什么樣的應(yīng)力狀態(tài)下，只要在構(gòu)件內(nèi)一點處的最大拉應(yīng)力σ1達到材料的極限值σb，就引起斷裂破壞。它的破壞條件是:由上式導(dǎo)出的第一強度理論的強度條件是

（11-7）

式中，［σ］為單向拉伸時的許用應(yīng)力。

２．最大伸長線應(yīng)變理論（第二強度理論）這一理論認為，材料發(fā)生脆性斷裂的原因是最大伸長線應(yīng)變。也就是說，不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)下，只要最大伸長線應(yīng)變ε1達到了單向拉伸斷裂時的最大伸長線應(yīng)變值εljx，材料就會發(fā)生斷裂破壞。其破壞條件是:根據(jù)胡克定律，上式可改寫為

由此導(dǎo)出第二強度理論的強度條件為

(11-8)３．最大切應(yīng)力理論（第三強度理論）此理論認為,最大剪應(yīng)力是引起材料屈服的主要因素。即不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)下，只要危險點的最大剪應(yīng)力達到材料在單向拉伸試驗下發(fā)生屈服時的最大剪應(yīng)力τs，材料就會發(fā)生屈服破壞。因此，材料發(fā)生屈服破壞的條件是根據(jù)胡克定律，上式可改寫為

由此導(dǎo)出第二強度理論的強度條件為

(11-8)

４．形狀改變比能理論（第四強度理論）這一理論認為,形狀改變比能是引起屈服的主要原因。即認為無論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)下，只要形狀改變比能達到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材料就會發(fā)生屈服。由此而導(dǎo)出的第四強度理論的強度條件為

(11-10)實驗表明，第四強度理論比第三強度理論更符合實驗結(jié)果，因此，在工程中得到廣泛應(yīng)用。大量的實例說明,材料的失效形式與應(yīng)力狀態(tài)和材料的性質(zhì)有關(guān)：（１）無論是塑性或脆性材料，在三向拉應(yīng)力相近的情況下，都將以斷裂的形式失效，宜采用最大拉應(yīng)力理論。（２）無論是塑性或脆性材料，在三向壓應(yīng)力相近的情況下，都可引起塑性變形，宜采用第三或第四強度理論。（３）一般情況下，對脆性材料宜采用第一或第二強度理論。（４）一般情況下，對塑性材料宜采用第三或第四強度理論。11.5彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形

彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形是工程實際中常見的情況，通常情況下發(fā)生純扭轉(zhuǎn)變形的軸很少見。下面來討論圓截面桿在彎扭組合時的強度問題。如圖11-13(a)所示的曲拐，AB段為等直實心圓截面桿，在C點處受一個集中力F作用。圖11-13

１．外力分析

將F力向AB桿的B截面形心簡化，得到橫向力F和附加力偶矩M=Fb。F力使AB桿發(fā)生彎曲，附加力偶矩M使其發(fā)生扭轉(zhuǎn)，所以AB桿發(fā)生彎扭組合變形，其計算簡圖如圖11-13(b)所示。

２．內(nèi)力分析

作出AB桿的內(nèi)力圖（如圖11-13(c)、(d)所示）。由彎矩圖和扭矩圖可知，固定端A為危險截面，其上的彎矩值和扭矩值分別為

３．應(yīng)力分析彎矩M引起垂直于橫截面的彎曲正應(yīng)力，扭矩Mn引起切于橫截面的剪應(yīng)力。固定端左側(cè)截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分布如圖11-14(a)、(b)所示?？梢娫摻孛嫔螩、D兩點處的彎曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力均分別達到了最大值，因此，C、D兩點均為危險點，該兩點的彎曲正應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力分別為圖11-14

４．強度計算

對于塑性材料制成的轉(zhuǎn)軸，因其抗拉、抗壓強度相同，因此，應(yīng)當(dāng)采用第四強度理論或第三強度理論。單元體C的第三、

第四強度理論的相應(yīng)強度條件分別為

（11－11）

(11-12)將

、代入以上兩式，且因為Wn=2WZ,即可得到

(11-13)(11-14)

以上的分析和計算公式同樣適用于空心截面桿的彎扭組合變形，因為空心截面的抗扭截面模量也是其抗彎截面模量的兩倍。對于拉伸（壓縮）與扭轉(zhuǎn)組合變形的圓桿，由于其危險截面上的應(yīng)力情況及危險點的應(yīng)力狀態(tài)都與彎曲和扭轉(zhuǎn)組合變形時相同，因此，公式(11-11)、(11-12)可以使用。

例11-3

已知軸AB的中點裝有一重G=5kN、直徑D=1.2m的皮帶輪，其兩邊的拉力分別為P=3kN和2P=6kN。軸長1.6m并通過聯(lián)軸器和電動機聯(lián)接，如圖11-15(a)所示。試按第三強度理論設(shè)計此軸的直徑。

解（１）分析軸的變形。輪中點所受的力F為輪重與皮帶拉力之和，即Q=5+3+6=14kN,軸的計算簡圖如圖11－15(b)所示。Q與A、B處的反力RA、RB使軸產(chǎn)生彎曲，軸中點還受皮帶拉力產(chǎn)生的力矩作用，其值為（２）分析軸的內(nèi)力。畫出軸的扭矩圖和彎矩圖，如圖11-15(c)、(d)所示。根據(jù)內(nèi)力圖，可知軸的危險截面為中點稍偏右的截面,則最大彎矩為

軸右半段各截面上的扭矩值均相等，其值為

圖11-15（３）按第三強度理論計算軸的直徑。

由公式（11-13）得

因WZ=0.1d3，所以取 。

例11-4圖11-16(a)為一卷揚機的示意圖，設(shè)卷揚機軸的直徑d=30mm，輪直徑D=360mm，軸材料的許用應(yīng)力［σ］=80MPa。試用第三強度理論來確定卷揚機起吊的最大許可載荷P。

解（１）外力分析。

將P力向C點軸心平移，可得一橫向力P和一力偶矩為

的力偶。卷揚機軸的計算簡圖如圖11-16(b)所示。軸在力P作用下產(chǎn)生彎曲變形，在力偶M作用下AC段產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。故卷揚機軸的AC段產(chǎn)生彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形。

圖11-16（２）內(nèi)力分析。由內(nèi)力圖得出C點稍偏左的截面為危險截面，

最大彎矩值為

扭矩值為

（３）按第三強度理論求許可載荷。實心圓截面的抗彎截面系數(shù)為

又

即

于是可得

思

考

題

11-1試用外力簡化的方法判斷圖中各構(gòu)件屬于何種變形？

思考題11-1圖

11-2指出上題各圖中構(gòu)件的危險截面及最大應(yīng)力的位置。

11-3何謂點的應(yīng)力狀態(tài)？何謂主平面與主應(yīng)力？單元體的主應(yīng)力和正應(yīng)力有何區(qū)別與聯(lián)系？

11-4在單元體中，最大正應(yīng)力作用的平面上有無剪應(yīng)力?最大剪應(yīng)力作用的平面上有無正應(yīng)力？

11-5對于拉伸（壓縮）和扭轉(zhuǎn)的組合變形，為什么公式（11-11）、(11-12)能夠應(yīng)用，而公式(11-13)、(11-14)不能應(yīng)用？

11-6什么是強度理論？

為什么要建立強度理論？

習(xí)

題

11-1矩形截面180mm×240mm的木梁，受拉力F=18kN。求梁內(nèi)的最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力。

題11-1圖

11-2如圖所示鉤頭螺栓，螺紋的內(nèi)徑d=25.1mm，當(dāng)擰緊螺母時承受偏心力F=4.2kN的作用,偏心距e=50mm。試求螺栓內(nèi)的最大應(yīng)力。

題11-2圖

11-3梁AB的截面為100mm×100mm的正方形。若P=3kN，試作軸力圖及彎矩圖，

并求最大拉應(yīng)力及最大壓應(yīng)力。

題11-3圖

11-4一梁AB的跨度為6m，梁上鉸接一桁架，力F=10kN平行于梁軸線且作用于桁架E點。

若梁的橫截面為100mm×200mm的矩形，試求梁內(nèi)的最大拉應(yīng)力。

題11-4圖

11-5單軌吊車起吊重物如圖所示。已知電葫蘆與起重機重量總和P=16kN，橫梁AB采用16號工字鋼，許用應(yīng)力［σ］=120MPa，梁長l=3200mm。試校核橫梁AB的強度。題11-5圖

11-6鉆床如圖所示，工作壓力F=15kN，e=400mm,［σ］=36MPa。試計算鑄鐵立柱所需的直徑d。題11-6圖

11-7如圖所示，長l=1m的軸AB用聯(lián)軸器和電動機連接，在AB軸的中點裝有一直徑D=1m的帶輪，兩邊的拉力各為F1=4kN和F2=2kN，帶輪重量不計。若軸材料的許用應(yīng)力［σ］=140MPa，軸的直徑為62mm，試按第三強度理論校核此軸的強度。題11-7圖

11-8開口鏈環(huán)由直徑d=20mm的鋼桿制成，鋼桿的許用應(yīng)力［σ］=100MPa。若a=50mm，求鏈環(huán)的最大許可載荷。題11-8圖

11-9構(gòu)件受力如圖所示。要