廣東省部分名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2024—2025年度高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第一冊(cè)第一章至第三章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后所對(duì)應(yīng)的直線的斜率為（）A. B. C. D.2.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，長軸長為10，點(diǎn)在橢圓上，則的周長為（）A.16 B.18 C. D.203.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，定點(diǎn)，則的最小值為（）A.6 B.7 C.8 D.94.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上有一點(diǎn)，若，則（）A.9 B.1 C.1或9 D.11或95.在正方體中，，，則（）A. B.C. D.6.過拋物線的焦點(diǎn)作圓的切線，該切線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，則（）A. B.14 C.15 D.167.如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為，底面為直角梯形，，，，三棱錐的外接球?yàn)榍颍瑒t平面截球所得截面圓的面積為（）A. B. C. D.8.圓冪是指平面上任意一點(diǎn)到圓心的距離與半徑的平方差.在平面上任給兩個(gè)不同圓心的圓，則兩圓圓冪相等的點(diǎn)的集合是一條直線，這條線被稱為這兩個(gè)圓的根軸.已知圓與圓，是這兩個(gè)圓根軸上一點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線，直線，圓，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.若，則B.若，則C.若與圓相交于，兩點(diǎn)，則D.過上一點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)為，則10.在菱形中，，，E為AB的中點(diǎn)，將沿直線DE翻折至的位置，使得二面角為直二面角，若為線段的中點(diǎn)，則（）A.平面B.C.異面直線，所成的角為D.與平面所成角的余弦值為11.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若存在點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為B.若存在點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為C.若存在點(diǎn)，使得，且，則橢圓的離心率為D.若存在點(diǎn)，使得，且，則橢圓的離心率為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，則向量在向量上的投影向量的模為___________.13.雙曲線以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，長軸的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________，漸近線方程為___________.14.已知圓，直線，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為___________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知橢圓上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離的最大值為16，最小值為4.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程.16.（15分）已知的頂點(diǎn)，，頂點(diǎn)滿足，記頂點(diǎn)的軌跡為.（1）求曲線的方程.（2）過點(diǎn)的直線（斜率不為0）與曲線交于不同的兩點(diǎn)P，Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP，OQ的斜率之積是否為定值.若為定值，求出該定值；若不是，說明理由.17.（15分）如圖，在幾何體中，平面平面，四邊形和是全等的菱形，且平面平面，是正三角形，，.（1）求該幾何體的體積；（2）求平面與平面夾角的余弦值.18.（17分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（1）求軌跡的方程.（2）已知直線與軌跡交于A，B兩點(diǎn)，以A，B為切點(diǎn)作兩條切線，分別為，，且，相交于點(diǎn).若，求.19.（17分）在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，且多邊形在兩側(cè)的頂點(diǎn)到的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”.已知雙曲線與雙曲線有相同的離心率，，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，雙曲線在點(diǎn)處的切線與雙曲線的漸近線交于A，B兩點(diǎn)（A在B上方），當(dāng)軸時(shí)，直線為的等線.（1）求雙曲線的方程；（2）若是四邊形的等線，求四邊形的面積；（3）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP與雙曲線的右支交于點(diǎn)，試判斷雙曲線在點(diǎn)處的切線是否為的等線，請(qǐng)說明理由.[注]雙曲線在其上一點(diǎn)處的切線方程為.2024—2025年度高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)參考答案1.D直線的斜率為，傾斜角為120°，所以繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后所對(duì)應(yīng)的直線的傾斜角為30°，斜率為.2.B因?yàn)殚L軸長為10，所以長半軸長，短半軸長，半焦距，故的周長為.3.C因?yàn)榈扔邳c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以當(dāng)PQ垂直于準(zhǔn)線時(shí)，有最小值，最小值為.4.A因?yàn)?，所以，?5.D因?yàn)?，，所?因?yàn)?，所?6.D記拋物線的焦點(diǎn)為，則.記切點(diǎn)為，因?yàn)閳A的圓心為，所以，，所以，所以直線AB的方程為.設(shè)，，聯(lián)立方程組得，所以，所以.7.A如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，.易知三棱錐的外接球球心為PD的中點(diǎn)，所以.設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以令，?因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離.設(shè)截面圓的半徑為，則，所以截面圓的面積為.8.A由題知，圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑.設(shè)點(diǎn)為圓與圓的根軸上的任意一點(diǎn)，則，所以，整理得，即圓與圓的根軸為直線.取關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，則.因?yàn)椋栽谏?，所以?dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值.因?yàn)榈降木嚯x為，到的距離為，所以，即的最大值為.9.ABD若，則，得，故A正確.若，則，得，故B正確.因?yàn)檫^定點(diǎn)，所以，故C不正確.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值.因?yàn)閳A心到直線的距離，所以，故D正確.10.AC如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.對(duì)于A，因?yàn)?，平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面，故A正確.對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，所以DP，EC不垂直，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，所以異面直線，所成的角為，故C正確.對(duì)于D，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋粤?，?設(shè)與平面所成的角為，因?yàn)?，所以，，故D錯(cuò)誤.11.BCD對(duì)于A，只需，因?yàn)椋?，所以，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，若存在，則只需，所以，故B正確.對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以?因?yàn)?，所以，，所以，故C正確.對(duì)于D，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)椋?，所?由，得，所以D正確.12.向量在向量上的投影向量的模為.13.；設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為，長軸頂點(diǎn)為，所以，，所以.故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，漸近線方程為.14.11設(shè)圓心關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，則解得即，連接，（圖略），所以，故的最小值為.15.解：（1）由題意，可知解得因?yàn)?，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，，則兩式相減得，整理可得.因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，.所以直線的斜率，故直線的方程為，即.16.解：（1）設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，所以的方程?（2）設(shè)，，.聯(lián)立方程組得，所以，.因?yàn)椋?，故直線OP，OQ的斜率之積為定值，且定值為.17.解：取AC的中點(diǎn)，連接，，則，.因?yàn)槠矫嫫矫?，且交于AC，所以平面.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.（1）連接BC.因?yàn)?，，所?因?yàn)椋?，所以，則，所以.設(shè)平面的法向量為，則令，得，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離，所以，所以該幾何體的體積.（2）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以令，則.設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以所?設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.解：（1）由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以軌跡的方程為.（2）設(shè)，，聯(lián)立方程組得，則，.易知，的斜率存在，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組得.由，解得，所以的方程為.同理可得，的方程為.由解得即點(diǎn).因?yàn)?，，，且，所以，即，化?jiǎn)得，因此或故.因?yàn)橹本€為的等線，所以點(diǎn)在軸的上方，即.由，得.因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以雙曲線的離心率為，又因?yàn)?，所以，所以，，所以雙曲線的方程為.（2）設(shè)，則雙曲線在點(diǎn)處的切線的方程為.雙曲線的漸近線方程為，可得，，所以，所以