11.2.2三角形的外角（解析版）

11.2.2三角形的外角一、單選題1．如圖，把紙片沿DE折疊，點(diǎn)A落在四邊形BCED的外部，，，則的度數(shù)為（）A．32° B．30° C．28° D．26°【答案】C【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，再利用三角形外角的性質(zhì)表示出，然后根據(jù)角的和差整理即可得解．【詳解】解：如圖，由翻折的性質(zhì)得，∴，∴在△ADE中，，∵，∴，∴，∵，，∴．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，理解折疊前后對(duì)應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵．2．如圖，，點(diǎn)在上，，，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）（1）；（2）；（3）；（4）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】利用平行線的性質(zhì)和三角形的性質(zhì)依次判斷即可求解．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝110°，∴∠C＝70°，∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正確，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，∴∠D+∠CED＝110°，∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正確，∵點(diǎn)E在AC上的任意一點(diǎn)，∴AE無法判斷等于CE，∠BED無法判斷等于45°，故（1）、（4）錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．3．如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，則∠A＝（）A．105° B．95° C．85° D．75°【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，求得∠ACD＝120°，利用三角形的外角性質(zhì)求解即可.【詳解】∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，∠ACE＝60°，∴∠ACD＝120°，∵∠ACD＝∠A+∠B，且∠B＝35°，∴∠A＝85°，故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練運(yùn)用兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.4．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D在AB上，將△ABC沿CD折疊，點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)B′處，若，則∠A的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】C【分析】利用翻折不變性，三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵△CDB′是由△CDB翻折得到，∴∠CB′D＝∠B，∵∠CB′D＝∠A＋∠ADB′＝∠A＋20°，∴∠A＋∠A＋20°＝90°，解得∠A＝35°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．5．如圖，和相交于點(diǎn)，，則下列結(jié)論中不正確的是（）．A． B．C． D．【答案】D【分析】利用三角形的外角性質(zhì)，對(duì)頂角相等逐一判斷即可.【詳解】∵∠1=∠2，∠A=∠C，∠1=∠A+∠D，∠2=∠B+∠C，∴∠B=∠D，∴選項(xiàng)A、B正確；∵∠2=∠A+∠D，∴，∴選項(xiàng)C正確；沒有條件說明故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握并運(yùn)用兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6．已知，是的邊上一點(diǎn)，，和的平分線交于點(diǎn)，若，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用角平分線和三角形外角的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)定理即可得出的大小．【詳解】解：如下圖所示，∵和的平分線交于點(diǎn)，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)定理，與角平分線有關(guān)的計(jì)算．正確理解三角形外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和是解題關(guān)鍵．7．下列命題是假命題的是（）A．三角形的內(nèi)角和是180° B．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等C．三角形的外角大于任何一個(gè)內(nèi)角 D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)、平行線的性質(zhì)與判定進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A選項(xiàng)，三角形的內(nèi)角和是180°，是真命題，不符合題意；B選項(xiàng)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，是真命題，不符合題意；C選項(xiàng)，三角形的外角大于任何一個(gè)內(nèi)角，是假命題，符合題意；D選項(xiàng)，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，是真命題，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)，平行的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵是熟練準(zhǔn)確掌握基礎(chǔ)知識(shí)．8．如圖，AE、AD分別是的高和角平分線，且，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC=，利用AD平分∠BAC及三角形的外角性質(zhì)求出∠ADC=∠B+∠BAD=，再根據(jù)∠AED=求出答案．【詳解】∵，，∴∠BAC=，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=，∴∠ADC=∠B+∠BAD=，∵AE⊥BC，∴∠AED=，∴∠DAE=-∠ADE=，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，垂直的定義，角平分線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，這是三角形的基礎(chǔ)題型．二、填空題9．已知，直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過作直線的垂線交于點(diǎn)．若，則__________．【答案】90°或30°【分析】先由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠EFC＝∠PEF．若設(shè)∠PEF＝x，則∠EFC＝x，∠APQ＝2x，∠EQP＝x，再由EF⊥PQ，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠PEF＋∠APQ＝90°，即x＋2x＝90°，解方程求出x＝30°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠AEQ的度數(shù)．【詳解】解：①如圖：∵AB∥CD，∴∠EFC＝∠PEF．設(shè)∠PEF＝x，則∠EFC＝x，∠APQ＝2∠EFC＝2x，∠EQP＝∠EFC＝x．∵EF⊥PQ，∴∠PEF＋∠APQ＝90°，即x＋2x＝90°，解得x＝30°，∴∠EQP＝x＝30°，∠APQ＝2x＝60°，∴∠AEQ＝∠EQP＋∠APQ＝30°＋60°＝90°．②如圖：易知∠EFC＝∠FEB＝∠HEA，∠APQ＝∠HPE，又∵∠PHE＝90°，故∠EFC＝30°，∠EQP＝30°，∠APQ＝60°；故∠AEQ＝∠APQ?∠EQP＝30°．綜上所述：90°或30°．故答案是：90°或30°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)，難度適中．設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，列出方程，是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，連接CD，若∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，則∠DCE的度數(shù)為_____．【答案】70°．【分析】由三角形的外角的性質(zhì)定理得到∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠CBD+∠D，再由已知∠ABD＝∠CBD，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°解方程組可求得結(jié)果．【詳解】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠ACE＝∠A+∠ABC＝40°+2∠CBD，∴∠DCE+∠ACD＝∠A+2∠CBD，∵∠DCE＝∠CBD+∠D，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，∴∠DCE+30°＝40°+2∠CBD，即∠DCE＝2∠CBD+10°①，∠DCE＝40°+∠CBD②，由①②得∠DCE＝70°，故答案為：70°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的外角的性質(zhì)定理，角平分線的定義，熟練應(yīng)用三角形的外角的性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵．11．如圖，，點(diǎn)，分別在射線，上，平分，的反向延長線與的平分線交于點(diǎn)，則的度數(shù)是_______．【答案】【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，列式求出，再根據(jù)角平分線的定義求出和，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，可得，平分，平分，，，，，，，，，．故答案為：45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，以及角平分線的定義，解題時(shí)注意：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．12．已知，一個(gè)含角的直角三角板按如圖所示放置，，則_____．【答案】75°．【分析】利用外角求∠5，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求∠1．【詳解】解：由題意可知∠4=45°，∠2=∠3=30°，∠5=∠2+∠3=75°，∵，∴∠1=∠5=75°，故答案為：75°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外角的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行推理計(jì)算．三、解答題13．如圖，在中，，直線分別交的邊、和的延長線于點(diǎn)、、．（1）若，則__________．（2）、、有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【答案】（1）；（2）∠F+∠FEC=2∠A，理由見解析【分析】（1）在△ABC中，利用三角形內(nèi)角和定理求得∠C的度數(shù)，再在△EFC中，利用三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得出∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，再根據(jù)∠A=∠ABC，即可得出答案．【詳解】（1）在△ABC中，∠A=∠ABC，且∠A=70°，∴∠C=，∴∠F+∠FEC=；故答案為：；（2）∠F+∠FEC=2∠A，理由：∵∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，∴∠F+∠FEC=∠F+∠A+∠ADE，∵∠ADE=∠BDF，∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC，∵∠A=∠ABC，∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC=2∠A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，以及三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用三角形外角的性質(zhì)．14．將△ABC紙片沿DE折疊，其中∠B＝∠C．（1）如圖1，點(diǎn)C落在BC邊上的點(diǎn)F處，AB與DF是否平行？請說明理由；（2）如圖2，點(diǎn)C落在四邊形ABCD內(nèi)部的點(diǎn)G處，探索∠B與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）平行，理由見解析；（2）∠1+∠2＝2∠B，理由見解析【分析】（1）AB與DF平行．根據(jù)翻折可得出∠DFC＝∠C，結(jié)合∠B＝∠C即可得出∠B＝∠DFC，從而證出AB∥DF；（2）連接GC，由翻折可得出∠DGE＝∠ACB，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，通過角的運(yùn)算即可得出∠1+∠2＝2∠B．【詳解】解：（1）AB與DF平行．理由如下：由翻折，得∠DFC＝∠C．又∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DFC，∴AB∥DF．（2）連接GC，如圖所示．由翻折，得∠DGE＝∠ACB．∵∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，∴∠1+∠2＝∠DGC+∠DCG+∠EGC+∠ECG＝（∠DGC+∠EGC）+（∠DCG+∠ECG）＝∠DGE+∠DCE＝2∠ACB．∵∠B＝∠ACB，∴∠1+∠2＝2∠B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定以及翻折得性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出∠B=∠DFC；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)利用角的計(jì)算求出∠1+∠2=2∠B．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，找出相等（或互補(bǔ)）的角是關(guān)鍵.15．在中，與的平分線相交于點(diǎn)．（1）如圖①，如果，求的度數(shù)；（2）如圖②，作外角，的角平分線，且交于點(diǎn)，試探索，之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，在圖②中延長線段，交于點(diǎn)若中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，求的度數(shù)．【答案】（1）；（2）；（3）的度數(shù)是90°或60°或120°【分析】（1）運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出∠PBC+∠PCB，進(jìn)而求出∠BPC即可解決問題；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠MBC與∠BCN，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q=90°∠A，求出∠E=∠A，∠EBQ=90°，所以如果△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么分四種情況進(jìn)行討論：①∠EBQ=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°；③∠Q=2∠E；④∠E=2∠Q；分別列出方程，求解即可．【詳解】（1）∵，∴，又∵點(diǎn)是和的平分線的交點(diǎn)，∴，∴；（2）∵外角，的角平分線交于點(diǎn)，∴，，∵，，∴，，∴，∴；（3）延長BC至F，∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF=2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC，∵∠ECF=∠EBC+∠E，∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠ABC+2∠E，又∵∠ACF=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠E，即∠E=∠A，∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=∠ABC+∠MBC=（∠ABC+∠A+∠ACB）=90°．如果△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么分四種情況：①∠EBQ=2∠E=90°，則∠E=45°，∠A=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°，則∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；③∠Q=2∠E，則∠E=30°，解得∠A=2∠E=60°；④∠E=2∠Q，則∠E=60°，解得∠A=2∠E=120°．綜上所述，∠A的度數(shù)是90°或60°或120°．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)，角平分線定義等知識(shí)；靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．16．（1）已知直線，小亮把一塊含角的直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在直線上．①若三角尺與平行線的位置如圖1所示，，求的度數(shù)；②若三角尺與平行線的位置如圖2所示，且，則的度數(shù)又是多少？（2）已知直線，小亮把一塊含角的直角三角尺按圖3所示放置，若，求的度數(shù)．【答案】（1）①50°；②20°；（2）35°【分析】（1）①由直角三角板的性質(zhì)可知∠3=180°-∠1-90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②首先過點(diǎn)B作BD∥a，由直線a∥b，可得BD∥a∥b，由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得答案∠4的度數(shù)，又由△ABC是含有45°角的三角板，即可求得∠3的度數(shù)，繼而求得∠2的度數(shù)；（2）先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠3的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)得出∠4的度數(shù)，由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）①如圖①∵∠1=40°，∴∠3=180°-∠1-90°=180°-40°-90°=50°，∵a∥b，∴∠2=∠3=50°；②如圖②過點(diǎn)B作BD∥a，∵直線a∥b，∴BD∥a∥b，∴∠4=∠1=25°，∵∠ABC=45°，∴∠3=∠ABC-∠4=45°-25°=20°，∴∠2=∠3=20°；（2）如圖3，∵∠3是△ADG的外角，∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，∵直線a∥b，∴∠3=∠4=55°，∵∠4+∠EFC=90°，∴∠EFC=90°-55°=35°，∴∠2=35°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵．17．△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AE是△ABC的高．（1）如圖1，若∠B＝40°，∠C=60°，求∠DAE的度數(shù)；（2）如圖2，∠B＜∠C，則DAE、∠B，∠C之間的數(shù)量關(guān)系為___________；（3）如圖3，延長AC到點(diǎn)F，∠CAE和∠BCF的角平分線交于點(diǎn)G，求∠G的度數(shù)．【答案】（1）10°；（2）∠DAE＝(∠C?∠B)；（3）45°．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分線的定義可得∠CAD的度數(shù)，利用三角形的高線可求∠CAE得度數(shù)，進(jìn)而求解即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的數(shù)量關(guān)系；（3）設(shè)∠ACB＝，根據(jù)角平分線的定義得∠CAG＝∠EAC＝（90°?）＝45°?，∠FCG＝∠BCF＝（180°?）＝90°?，再利用三角形外角的性質(zhì)即可求得結(jié)果．【詳解】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴∠BAC＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝40°，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝90°?60°＝30°，∴∠DAE＝∠CAD?∠CAE＝10°；（2）∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴∠BAC＝180°?∠B?∠C，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°?∠C，∴∠DAE＝∠CAD?∠CAE＝∠BAC?（90°?∠C）＝（180°?∠B?∠C）?90°＋∠C＝∠C?∠B，即∠DAE＝(∠C?∠B)．故答案為：∠DAE＝(∠C?∠B)．（3）設(shè)∠ACB＝，∵AE⊥BC，∴∠EAC＝90°?，∠BCF＝180°?，∵∠CAE和∠BCF的角平分線交于點(diǎn)G，∴∠CAG＝∠EAC＝（90°?）＝45°?，∠FCG＝∠BCF＝（180°?）＝90°?，∵∠FCG＝∠G＋∠CAG，∴∠G＝∠FCG?∠CAG＝90°??（45°?）＝45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、三角形的高及角平分線等知識(shí)，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理并能靈活運(yùn)用三角形的高、角平分線這些知識(shí)解決問題是關(guān)鍵．18．如圖，已知在中，是外角的平分線，是的平分線．（1）求證：．（2）若，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)即可求證；

（2）由∠A=2∠E，∠A=∠ABC，∠ABC=2∠ABE得∠ABE=∠E，從而AB∥CE．【詳解】證明：（1）∵是的一個(gè)外角，是的一個(gè)外角，∴，，∴，．∵是外角的平分線，是的平分線，∴，，∴．（2）由（1）可知．∵，，∴，即，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的綜合問題，涉及平行線的判定，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．已知直線與互相垂直，垂足為O，點(diǎn)A在射線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在射線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A，B均不與點(diǎn)O重合．（1）如圖1，平分平分．若，則______．（2）如圖2，平分交于點(diǎn)I，平分的反向延長線交的延長線于點(diǎn)D．①若，則_______．②在點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)過程中，的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，求出的度數(shù)；若變化，請說明理由．（3）如圖3，已知點(diǎn)E在的延長線上，的平分線的平分線與的平分線所在的直線分別相交于點(diǎn)D，F(xiàn)．在中，如果有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的3倍，請直接寫出的度數(shù)．【答案】（1）135；（2）①45；②的大小不會(huì)發(fā)生變化，；（3）或．【分析】（1）先求出∠IBA、∠MAB，根據(jù)∠AIB=180°-（∠IBA+∠IAB）求解即可；（2）①由∠CBA=∠D+∠BAD求出∠CBA、∠BAD即可解答；②由點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠ADB=45°，可得∠D=∠CBA-∠BAD=∠MBA-∠BAO=（∠MBA-∠BAO）=∠AOB進(jìn)行計(jì)算即可；（3）先證明∠ABO=2∠D，∠DAF=90°，再分①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)∠DAF=3∠F時(shí)，③當(dāng)時(shí)，④當(dāng)時(shí)四種情況