15.1.1從分?jǐn)?shù)到分式（解析版）

15.1.1從分?jǐn)?shù)到分式一、單選題1．若分式的值為零，則的值等于（）A．﹣1 B．0 C．2 D．1【答案】D【分析】根據(jù)分式值為零的條件列出，且值需保證，即可得到答案．【詳解】要使分式的值為零，必須，，解得，，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是分式的值為零的條件，掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零是解題的關(guān)鍵．2．若a2-3a+1＝0，則a2+的值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】先由原等式得a2+1＝3a，利用等式的基本性質(zhì)兩邊同除以a，可得，再兩邊同時平方后得出，即可計算出結(jié)果．【詳解】由a2－3a+1＝0得a2+1＝3a，∵a≠0，給a2+1＝3a兩邊同除以a，得，則，∴．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了求分式的值，根據(jù)已知求出是解題的關(guān)鍵．3．若，則的值是（）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】先根據(jù)求出ab與a-b的關(guān)系，再代入所求代數(shù)式進(jìn)行計算即可．【詳解】∵，即ab=-3（a-b），∴原式==-3．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵．4．分式的值為0，則（）A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝±2【答案】B【分析】根據(jù)分式值為零的條件可得x2﹣4＝0，且x﹣2≠0，再解即可．【詳解】由題意得：x2﹣4＝0，且x﹣2≠0，解得：x＝﹣2，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了分式值為零的條件，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．5．分式有意義，則、滿足的條件是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分式有意義的條件是分母不等于零．【詳解】分式有意義，則x應(yīng)滿足的條件是x-3≠0，即x≠3，y為任意數(shù)．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了分式有意義的條件，分式有意義的條件是分母不等于零．6．下列各式中，分式有（）個，，，，，A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】分母是整式且整式中含有字母，根據(jù)這點(diǎn)判斷即可．【詳解】∵中的分母是3，不含字母，∴不是分式；∵中的分母是n，是整式，且是字母，∴是分式；∵中的分母是a+5，是多項(xiàng)式，含字母a，∴是分式；∵中的分母是15，不含字母，∴不是分式；∵中的分母是，是整式，含字母x，y，∴是分式；∵中的分母是，是整式，含字母a，b，∴是分式；共有4個，故選A．【點(diǎn)評】本題考查了分式的定義，熟練掌握分式構(gòu)成的兩個基本能條件是解題的關(guān)鍵．7．若分式有意義，則的取值范圍是（）A． B． C． D．取任意實(shí)數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)分式有意義的基本條件計算即可．【詳解】∵分式有意義，∴x-2≠0，∴，故選C．【點(diǎn)評】本題考查了分式有意義的條件，熟記有意義的條件，熟練轉(zhuǎn)化成不等式是解題的關(guān)鍵．8．使分式有意義的x的取值范圍是（）A．x≠1 B．x≠0C．x≠±1 D．x為任意實(shí)數(shù)【答案】C【分析】分式有意義的條件是分母不等于零，據(jù)此可得x的取值范圍．【詳解】由題意，得x2?1≠0，解得：x≠±1，故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義?分母為零；（2）分式有意義?分母不為零；（3）分式值為零?分子為零且分母不為零．二、填空題9．分式的值為0，則的值為_______________．【答案】【分析】根據(jù)分式的值為零的條件可得，且x+1≠0，再解即可．【詳解】由題意得：，且x+1≠0，解得：x=1，故答案為：1．【點(diǎn)評】此題主要考查了分式的值為零的條件，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．10．下列各式：（1﹣x），，，+x，，其中是分式的有_____個．【答案】2【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．【詳解】（1﹣x），，，分母中都不含字母，因此它們是整式，而不是分式．+x，，分母中含有字母，因此是分式．分式有兩個，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題主要考查分式的定義，注意不是字母，是常數(shù)，所以，不是分式，是整式．11．已知x﹣＝1，則的值為_____．【答案】2【分析】將已知等式去分母整理后，代入原式計算即可得到結(jié)果．【詳解】∵x﹣＝1∴x2﹣1＝x，∴x2＝x+1，∴原式＝＝＝＝＝＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評】此題考查了分式的值，利用了整體代入的思想，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．12．觀察下列各等式：，-，，-，......，猜想第八個分式__．【答案】【分析】通過觀察找出規(guī)律即可，第n個分式可表示為．【詳解】當(dāng)n=8時，求得分式為：所以答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是應(yīng)該具備的基本能力．本題的關(guān)鍵是得出規(guī)律．三、解答題13．已知,，求下列各式的值：（1）和；（2）+．【答案】（1）5，1；（2）【分析】（1）把所給的式子利用完全平方公式分解后，再把兩式進(jìn)行相加和相減即可求解；（2）先化簡原式，再將（1）所求的和的值代入即可求解．【詳解】（1）∵,，∴①②①＋②得：∴①－②得：∴（2）+將和代入上式可得：原式【點(diǎn)評】本題考查完全平方公式的運(yùn)用、分式的化簡求值，學(xué)會利用整體代入的思想，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式求出和的值．14．例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0解：由實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則：“兩數(shù)相乘，同號得正”得①，或②，解不等式組①得，x＞2，解不等式組②得，x＜﹣3，所以原不等式的解集為x＞2或x＜﹣3．閱讀例題，嘗試解決下列問題：（1）平行運(yùn)用：解不等式x2﹣9＞0；（2）類比運(yùn)用：若分式的值為負(fù)數(shù)，求x的取值范圍．【答案】（1）x＞3或x＜﹣3；（2）【分析】（1）結(jié)合題中的方法，先對不等式左邊因式分解為兩個多項(xiàng)式，再分類討論即可；（2）利用“兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)”結(jié)合題干的方法分類討論即可．【詳解】（1）解不等式x2﹣9＞0，即為解，根據(jù)“兩數(shù)相乘，同號得正”得①，或②，解不等式組①得，x＞3，解不等式組②得，x＜﹣3，∴原不等式的解集為x＞3或x＜﹣3；（2）由題得不等式，根據(jù)“兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)”得①，或②，解不等式組①得，，不等式組②無解，∴原不等式的解集為．【點(diǎn)評】本題考查一元二次不等式，以及分式不等式，理解并熟練運(yùn)用題干中介紹的方法是解題關(guān)鍵．15．若a，b為實(shí)數(shù)，且，求3a﹣b的值．【答案】2【分析】根據(jù)題意可得，解方程組可得a,b,再代入求值.【詳解】∵，∴，解得，∴3a﹣b=6﹣4=2．故3a﹣b的值是2．【點(diǎn)評】本題考核知識點(diǎn)：分式性質(zhì)，非負(fù)數(shù)性質(zhì).解題關(guān)鍵點(diǎn)：理解分式性質(zhì)和非負(fù)數(shù)性質(zhì).16．已知分式，試問：當(dāng)m為何值時，分式有意義？當(dāng)m為何值時，分式值為0？【答案】（1）且；（2）【分析】(1)根據(jù)分式有意義的條件是分母不等于零列出不等式計算即可；(2)根據(jù)分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零列式計算即可．【詳解】由題意得，，解得，且；由題意得，且，解得，，則當(dāng)時，此分式的值為零．【點(diǎn)評】本題考查了分式有意義和分式為0的條件，熟練掌握分式有意義的條件是分母不等于零、分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零是解題的關(guān)鍵.17．若分式有意義，求x的取值范圍.【答案】【分析】先把除法化為乘法，再根據(jù)分式有意義的條件即可得到結(jié)果．【詳解】∵，∴x+2≠0且x+4≠0且x+3≠0，解得：x≠﹣2、﹣3、﹣4．【點(diǎn)評】本題主要考查了分式有意義的條件，關(guān)鍵是注意分式所有的分母部分均不能為0，分式才有意義．18．若分式的值為零，求x的值．莉莉的解法如下：解：分式的值為零．，．請問莉莉的解法正確嗎？如果不正確，請寫出正確的解法．【答案】莉莉的解法不正確，正確的解法見解析．【分析】分式的值為零時，分子等于零，且分母不等于零．依此列出算式計算即可求解．【詳解】莉莉的解法不正確，正確的解法如下：分式的值為零，且，解得．【點(diǎn)評】本題考查了分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．19．觀察下列等式：根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題：①；②；③；④；……(1)完成第⑤個等式；(2)寫出你猜想的第個等式(用含的式子表示)并證明其正確性．【答案】（1）；（2），詳見解析【分析】(1)根據(jù)已知的等式即可寫出第⑤個等式；（2）發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可得到第個等式，根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求解．【詳解】（1）第5個等式為：（2）猜想：第n個等式為：證